《概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)》期末復(fù)習(xí)題

題目類(lèi)型：選擇題，填空題，計(jì)算題。提醒注意以下幾點(diǎn)：1、概率論局部中的古典概率計(jì)算只要求常見(jiàn)類(lèi)型如抽球問(wèn)題和分球入盒問(wèn)題2、要求熟知事件關(guān)系及其運(yùn)算，各種概率計(jì)算公式等；3、常用分布的概率計(jì)算以及性質(zhì)，數(shù)學(xué)期望與方差；4、一維、二維隨機(jī)變量的分布函數(shù)密度函數(shù)之間的關(guān)系以及運(yùn)算,隨機(jī)變量的獨(dú)立性與相關(guān)性的關(guān)系以及判別；5、隨機(jī)變量數(shù)學(xué)期望與方差以及協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)與計(jì)算；6、掌握正態(tài)分布隨機(jī)變量的有關(guān)計(jì)算以及利用中心極限定理的計(jì)算；7、數(shù)理統(tǒng)計(jì)的根本概念，常用的抽樣分布以及各分布表分位點(diǎn)的性質(zhì)；8、掌握參數(shù)估計(jì)中的矩估計(jì)與極大似然估計(jì)、估計(jì)量的無(wú)偏性和有效性；9、區(qū)間估計(jì)與假設(shè)檢驗(yàn)，只考單個(gè)正態(tài)總體的兩個(gè)參數(shù)的區(qū)間估計(jì)和假設(shè)檢驗(yàn)，對(duì)于假設(shè)檢驗(yàn)，要求會(huì)區(qū)分并進(jìn)行單側(cè)或雙側(cè)檢驗(yàn)。精選課件?概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)?復(fù)習(xí)一、填空題

1.設(shè)A、B、C為三事件，則事件“A發(fā)生B與C都不發(fā)生”可表示為_(kāi)________;

事件“A、B、C不都發(fā)生”可表示為_(kāi)____________

事件“A、B、C都不發(fā)生”可表示為_(kāi)_____________。2.100件產(chǎn)品中有10件次品，任取5件恰有3件次品的概率為_(kāi)______〔只寫(xiě)算式〕。3.已知隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為

，那么P(X=1)=_0.4，P(X=2.5)=0_

4.設(shè)則X的函數(shù)Y=

~N(0,1)。精選課件5.設(shè)二維隨機(jī)變量（X,Y)的聯(lián)合分布律為

則__1/3__

6.已知，則7.在假設(shè)檢驗(yàn)中假設(shè)原假設(shè)H0實(shí)際為真時(shí)卻拒絕H0，稱(chēng)這類(lèi)錯(cuò)誤為棄真〔第一類(lèi))錯(cuò)誤

8.設(shè)隨機(jī)變量

則9.假設(shè)X～2(10)，那么E(X)=10，D(X)=2010.P(2(11)>s)=0.05,那么精選課件13.A,B為兩事件，14.A，B為兩事件，15.設(shè)隨機(jī)變量XN(0,1)，YU(0,1)，ZB(5,0.5),且X，Y，Z獨(dú)立，那么E{(2X+3Y)(4Z-1)}=27/216.假設(shè)X與Y相互獨(dú)立，那么必有X與Y不相關(guān)精選課件二、解答題

1.將兩信息分別編碼為A和B傳送出去，接收站收到時(shí)，A被誤收作B的概率為0.02，而B(niǎo)被誤收作A的概率為0.01.信息A與信息B傳送的頻率程度為2:1。(1)假設(shè)接受站收到一信息，是A的概率是多少？〔2〕假設(shè)接受站收到的信息是A，問(wèn)原發(fā)信息是A的概率是多少？解：設(shè)

分別表示發(fā)出A,B.

分別表示收到A,B精選課件事件獨(dú)立性的應(yīng)用舉例1、加法公式的簡(jiǎn)化：假設(shè)事件A1，A2，…，An相互獨(dú)立,那么2、乘法公式的簡(jiǎn)化：假設(shè)事件A1，A2，…，An相互獨(dú)立,那么精選課件2.甲、乙兩射手獨(dú)立地射擊同一目標(biāo)，他們擊中目標(biāo)的概率分別為0.9與0.8，求在一次射擊中(每人各射一次)目標(biāo)被擊中的概率。解設(shè)A，B分別表示甲、乙射中目標(biāo)的事件，C表示目標(biāo)被擊中的事件，那么P(A)=0.9，P(B)=0.8P(C)=P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.9+0.8-0.9×0.8=0.98另解精選課件3.甲、乙、丙三人獨(dú)立破譯一份密碼。甲、乙、丙三人能譯出的概率分別為1/5，1/3，1/4。〔1〕求密碼能破譯的概率；〔2〕求甲、乙、丙中恰有一人破譯密碼的概率。解設(shè)A，B，C分別表示甲、乙、丙譯出的事件，D表示密碼被破譯的事件，E表示恰有一人譯出的事件，那么精選課件4.設(shè)X是連續(xù)型隨機(jī)變量，已知X的密度函數(shù)為試求(1)常數(shù)A(2)X的分布函數(shù)F(x)

解：

精選課件5.已知隨機(jī)變量X的密度函數(shù)為求(1)常數(shù)a(2)分布函數(shù)

（4）求E(X),D(X)

解：

得a=1精選課件6.

設(shè)一汽車(chē)在開(kāi)往目的地的道路上需經(jīng)過(guò)3盞信號(hào)燈。每盞信號(hào)燈以概率1/2允許汽車(chē)通過(guò)或禁止汽車(chē)通過(guò)。以X表示汽車(chē)首次停下時(shí)，它已通過(guò)的信號(hào)燈的盞數(shù)(各信號(hào)燈工作相互獨(dú)立)。求X的分布律、分布函數(shù)以及概率解設(shè)p為每盞信號(hào)燈禁止汽車(chē)通過(guò)的概率，那么P(X=k)=p(1-p)k，k=0,1,2；P(X=3)=(1-p)3，故X的分布律為：X0123P1/21/41/81/8X的分布函數(shù)：精選課件7.離散型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為求a,b及X的分布律,E(X),D(X)。解因P(X=2)=a+b-(2/3-a)=1/2，a+b=1

于是a=1/6,b=5/6

X的分布律為X-112p1/61/31/2精選課件8.設(shè)連續(xù)型隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為求〔1〕常數(shù)A，B的值；〔2〕P〔-1<X<1〕；〔3〕求X的密度函數(shù)。

精選課件精選課件10.二維隨機(jī)變量（X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)為(1)試確定常數(shù)A；(2)求關(guān)于X和Y的邊緣密度函數(shù)；(3)判斷X和Y是否相互獨(dú)立。解：(1)所以X與Y不獨(dú)立精選課件11.二維隨機(jī)變量（X,Y）的聯(lián)合密度函數(shù)為

（1）確定常數(shù)A

〔2〕試問(wèn)X與Y是否相互獨(dú)立？解：〔1〕當(dāng)0<x<1當(dāng)0<y<1.所以X與Y不獨(dú)立

精選課件(1)求常數(shù)K；(2)求聯(lián)合分布函數(shù)F(x,y)；(3)求概率P(X+2Y

1)。

12.解(1)K=6Oxyx+2y=1(2)(3)精選課件13.設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)具有概率密度函數(shù)(1)求X,Y的邊緣概率密度；(2)問(wèn)X與Y是否相互獨(dú)立？O

xy解由于f(x,y)=fX(x)fY(y)，因此X與Y相互獨(dú)立。精選課件14.設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的聯(lián)合分布律為YX010q010p其中p+q=1，求相關(guān)系數(shù)ρXY，判斷X,Y相關(guān)性和獨(dú)立性。解由題意可得X,Y的邊緣分布律為X01PqpY01Pqp均為0—1分布，E(X)，D(X)=pq，E(Y)=p，D(Y)=pq，所以Cov(X,Y)=E(XY)

E(X)E(Y)=0×0×q+0×1×0+1×0×0+1×1×p

p×p=p

p2=pq因此〔1〕X,Y正相關(guān)〔2)X,Y不獨(dú)立精選課件解15.設(shè)(X,Y)服從區(qū)域D:0<x<1,0<y<x上的均勻分布,求X與Y的相關(guān)系數(shù)。精選課件16.(X,Y)的聯(lián)合分布律如下：試求(1)X,Y的邊緣分布律。解YX1234pi?11/40001/421/81/8001/431/121/121/1201/441/161/161/161/161/4p?j25/4813/487/483/48(1)X和Y的邊緣分布律分別為X1234P1/41/41/41/4Y1234P25/4813/487/483/48精選課件17.某校抽樣調(diào)查結(jié)果表明，考生的概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)成績(jī)X近似地服從正態(tài)分布,平均成績(jī)72分，96分以上的占考生總數(shù)的2.3％，求考生的概率統(tǒng)計(jì)成績(jī)?cè)?0分至84分之間的概率。精選課件18.某車(chē)間有200臺(tái)車(chē)床，每臺(tái)車(chē)床有60%的時(shí)間在開(kāi)動(dòng)，每臺(tái)車(chē)床開(kāi)動(dòng)期間的耗電量為1千瓦，問(wèn)至少應(yīng)供給給此車(chē)間多少電量才能以99.9%的概率保證此車(chē)間不因供電缺乏而影響生產(chǎn)？解：設(shè)至少需供給nE千瓦電量,X為同時(shí)開(kāi)動(dòng)的車(chē)床數(shù)，那么精選課件為總體的一個(gè)樣本，總體X的概率密度函數(shù)為

其中

為未知參數(shù)。求：（1）

的矩估計(jì)量

（2）

的極大似然估計(jì)量。

解：(1)

解得矩估計(jì)量為：

精選課件(2)似然函數(shù)為

解得極大似然估計(jì)為：

精選課件20.為了解燈泡使用時(shí)數(shù)的均值

及標(biāo)準(zhǔn)差

，測(cè)量10個(gè)燈泡，得如果已知燈泡的使用時(shí)數(shù)服從正態(tài)分布，求的95%的置信區(qū)間．解:(1)這是一個(gè)總體方差未知求

的置信度為0.95的置信區(qū)間的問(wèn)題

(2)這是一個(gè)求

的置信度為0.95的置信區(qū)間的問(wèn)題．精選課件21.某校進(jìn)行教學(xué)改革，一學(xué)科學(xué)生成績(jī)X服從正態(tài)分布，

均未知?，F(xiàn)抽測(cè)19人的成績(jī)?nèi)缦拢?0806786619692876251819976869379816247問(wèn)是否有理由認(rèn)為該科的平均成績(jī)大于對(duì)照組的平均成績(jī)70？

解：檢驗(yàn)

選取統(tǒng)計(jì)量：

由題意條件得：

故拒絕

H0即認(rèn)為該科的平均成績(jī)大于對(duì)照組的平均成績(jī)70。拒絕域假設(shè)檢驗(yàn)九種類(lèi)型！精選課件22.(X1,X2,…X6)為X的一個(gè)樣本求常數(shù)C使得CY服從

2分布。解因?yàn)?X1,X2…X6)為X的一個(gè)樣本,Xi~N(0,1)，i=1,2…6那么所以，取常數(shù)C=1/3使得CY服從

2分布精選課件23..設(shè)總體X服從N(0,1)，樣本X1,X2…Xn來(lái)自總體X，試求常數(shù)c使統(tǒng)計(jì)量服從t-分布.精選課件24.(X1,X2,…,X5)為取自正態(tài)總體X~N(0,σ2)的樣本，求統(tǒng)計(jì)量的分布解精選課件25.設(shè)離散型隨機(jī)變量X有如下分布律，試求隨機(jī)變量Y=(X-3)2+1的分布律X1357P0.50.10.150.25解Y的所有可能取值為1，5，17故，Y的分布律為Y1517P0.10.650.25精選課件設(shè)(X1,X2,…,Xn)是正態(tài)總體N(μ,σ2)的樣本，那么(1)(2)(3)與S2獨(dú)立(4)精選課件26.設(shè)X1，X2…，X25是取自N〔21，4)的樣本,求〔1〕樣本均值的數(shù)學(xué)期望和方差；解：精選課件27.設(shè)X1，…，X10是取自N〔2，16)的樣本,求a。解：精選課件28.設(shè)X1，X2,…

，X8是取自N(1,9)的樣本,求樣本方差S2的期望與方差。解：精選課件29.設(shè)X1，X2,…

，X9是取自N(0,9)的樣本,求解：精選課件30.設(shè)總體X的k階矩存在，那么不管X的分布如何，樣本k階原點(diǎn)矩是總體k階矩的無(wú)偏估計(jì)。證明設(shè)X的k階矩μk=E(Xk)，k≥1(X1,X2,…,Xn)是來(lái)自正態(tài)總體X的一個(gè)樣本，那么所以Ak是μk的無(wú)偏估計(jì).精選課件31.設(shè)X~N(0,σ2)，證明是σ2無(wú)偏估計(jì)?！?〕求(X1,X2,…,Xn)是來(lái)自總體X的一個(gè)樣本是σ2無(wú)偏估計(jì)。精選課件32.設(shè)(X1,X2,…,Xn)是總體X的一個(gè)樣本，精選課件33.設(shè)(X,Y)服從N(1,0,9,16,-0.5)分布，Z=X/3+Y/21)求Z的概率密度，2)求X與Z的相關(guān)系數(shù)，3)X與Z是否相互獨(dú)立？解：〔１〕∵X～N(1,9),Y～N(0,16),XY=-0.5 注：(X,Y)～N(1,2,12,22,)，X與Y相互獨(dú)立X與Y不相關(guān)。其中=cov(X,Y)?！?〕cov(X,Z)=cov(X,X/3+Y/2)=cov(X,X/3)+cov(X,Y/2)=(1/3)cov(X,X)+(1/2)cov(X,Y)=(1/3)D(X)+(1/2)(-6)=0(3)X與Z相互獨(dú)立

Z～N(1/3,3),精選課件34.設(shè)隨機(jī)變量X～B(12,0.5),Y～N(0,1),COV(X,Y)=-1,求V=4X+3Y+1與W=-2X+4Y的方差與協(xié)方差。解：∵X～B(12,0.5),Y～N(0,1)∴