《概率論與數(shù)理統(tǒng)計》期末復(fù)習題

題目類型：選擇題，填空題，計算題。提醒注意以下幾點：1、概率論局部中的古典概率計算只要求常見類型如抽球問題和分球入盒問題2、要求熟知事件關(guān)系及其運算，各種概率計算公式等；3、常用分布的概率計算以及性質(zhì)，數(shù)學期望與方差；4、一維、二維隨機變量的分布函數(shù)密度函數(shù)之間的關(guān)系以及運算,隨機變量的獨立性與相關(guān)性的關(guān)系以及判別；5、隨機變量數(shù)學期望與方差以及協(xié)方差與相關(guān)系數(shù)的性質(zhì)與計算；6、掌握正態(tài)分布隨機變量的有關(guān)計算以及利用中心極限定理的計算；7、數(shù)理統(tǒng)計的根本概念，常用的抽樣分布以及各分布表分位點的性質(zhì)；8、掌握參數(shù)估計中的矩估計與極大似然估計、估計量的無偏性和有效性；9、區(qū)間估計與假設(shè)檢驗，只考單個正態(tài)總體的兩個參數(shù)的區(qū)間估計和假設(shè)檢驗，對于假設(shè)檢驗，要求會區(qū)分并進行單側(cè)或雙側(cè)檢驗。精選課件?概率論與數(shù)理統(tǒng)計?復(fù)習一、填空題

1.設(shè)A、B、C為三事件，則事件“A發(fā)生B與C都不發(fā)生”可表示為_________;

事件“A、B、C不都發(fā)生”可表示為_____________

事件“A、B、C都不發(fā)生”可表示為______________。2.100件產(chǎn)品中有10件次品，任取5件恰有3件次品的概率為_______〔只寫算式〕。3.已知隨機變量X的分布函數(shù)為

，那么P(X=1)=_0.4，P(X=2.5)=0_

4.設(shè)則X的函數(shù)Y=

~N(0,1)。精選課件5.設(shè)二維隨機變量（X,Y)的聯(lián)合分布律為

則__1/3__

6.已知，則7.在假設(shè)檢驗中假設(shè)原假設(shè)H0實際為真時卻拒絕H0，稱這類錯誤為棄真〔第一類)錯誤

8.設(shè)隨機變量

則9.假設(shè)X～2(10)，那么E(X)=10，D(X)=2010.P(2(11)>s)=0.05,那么精選課件13.A,B為兩事件，14.A，B為兩事件，15.設(shè)隨機變量XN(0,1)，YU(0,1)，ZB(5,0.5),且X，Y，Z獨立，那么E{(2X+3Y)(4Z-1)}=27/216.假設(shè)X與Y相互獨立，那么必有X與Y不相關(guān)精選課件二、解答題

1.將兩信息分別編碼為A和B傳送出去，接收站收到時，A被誤收作B的概率為0.02，而B被誤收作A的概率為0.01.信息A與信息B傳送的頻率程度為2:1。(1)假設(shè)接受站收到一信息，是A的概率是多少？〔2〕假設(shè)接受站收到的信息是A，問原發(fā)信息是A的概率是多少？解：設(shè)

分別表示發(fā)出A,B.

分別表示收到A,B精選課件事件獨立性的應(yīng)用舉例1、加法公式的簡化：假設(shè)事件A1，A2，…，An相互獨立,那么2、乘法公式的簡化：假設(shè)事件A1，A2，…，An相互獨立,那么精選課件2.甲、乙兩射手獨立地射擊同一目標，他們擊中目標的概率分別為0.9與0.8，求在一次射擊中(每人各射一次)目標被擊中的概率。解設(shè)A，B分別表示甲、乙射中目標的事件，C表示目標被擊中的事件，那么P(A)=0.9，P(B)=0.8P(C)=P(A∪B)=P(A)+P(B)-P(AB)=0.9+0.8-0.9×0.8=0.98另解精選課件3.甲、乙、丙三人獨立破譯一份密碼。甲、乙、丙三人能譯出的概率分別為1/5，1/3，1/4?！?〕求密碼能破譯的概率；〔2〕求甲、乙、丙中恰有一人破譯密碼的概率。解設(shè)A，B，C分別表示甲、乙、丙譯出的事件，D表示密碼被破譯的事件，E表示恰有一人譯出的事件，那么精選課件4.設(shè)X是連續(xù)型隨機變量，已知X的密度函數(shù)為試求(1)常數(shù)A(2)X的分布函數(shù)F(x)

解：

精選課件5.已知隨機變量X的密度函數(shù)為求(1)常數(shù)a(2)分布函數(shù)

（4）求E(X),D(X)

解：

得a=1精選課件6.

設(shè)一汽車在開往目的地的道路上需經(jīng)過3盞信號燈。每盞信號燈以概率1/2允許汽車通過或禁止汽車通過。以X表示汽車首次停下時，它已通過的信號燈的盞數(shù)(各信號燈工作相互獨立)。求X的分布律、分布函數(shù)以及概率解設(shè)p為每盞信號燈禁止汽車通過的概率，那么P(X=k)=p(1-p)k，k=0,1,2；P(X=3)=(1-p)3，故X的分布律為：X0123P1/21/41/81/8X的分布函數(shù)：精選課件7.離散型隨機變量X的分布函數(shù)為求a,b及X的分布律,E(X),D(X)。解因P(X=2)=a+b-(2/3-a)=1/2，a+b=1

于是a=1/6,b=5/6

X的分布律為X-112p1/61/31/2精選課件8.設(shè)連續(xù)型隨機變量X的分布函數(shù)為求〔1〕常數(shù)A，B的值；〔2〕P〔-1<X<1〕；〔3〕求X的密度函數(shù)。

精選課件精選課件10.二維隨機變量（X,Y)的聯(lián)合密度函數(shù)為(1)試確定常數(shù)A；(2)求關(guān)于X和Y的邊緣密度函數(shù)；(3)判斷X和Y是否相互獨立。解：(1)所以X與Y不獨立精選課件11.二維隨機變量（X,Y）的聯(lián)合密度函數(shù)為

（1）確定常數(shù)A

〔2〕試問X與Y是否相互獨立？解：〔1〕當0<x<1當0<y<1.所以X與Y不獨立

精選課件(1)求常數(shù)K；(2)求聯(lián)合分布函數(shù)F(x,y)；(3)求概率P(X+2Y

1)。

12.解(1)K=6Oxyx+2y=1(2)(3)精選課件13.設(shè)二維隨機變量(X,Y)具有概率密度函數(shù)(1)求X,Y的邊緣概率密度；(2)問X與Y是否相互獨立？O

xy解由于f(x,y)=fX(x)fY(y)，因此X與Y相互獨立。精選課件14.設(shè)二維隨機變量(X,Y)的聯(lián)合分布律為YX010q010p其中p+q=1，求相關(guān)系數(shù)ρXY，判斷X,Y相關(guān)性和獨立性。解由題意可得X,Y的邊緣分布律為X01PqpY01Pqp均為0—1分布，E(X)，D(X)=pq，E(Y)=p，D(Y)=pq，所以Cov(X,Y)=E(XY)

E(X)E(Y)=0×0×q+0×1×0+1×0×0+1×1×p

p×p=p

p2=pq因此〔1〕X,Y正相關(guān)〔2)X,Y不獨立精選課件解15.設(shè)(X,Y)服從區(qū)域D:0<x<1,0<y<x上的均勻分布,求X與Y的相關(guān)系數(shù)。精選課件16.(X,Y)的聯(lián)合分布律如下：試求(1)X,Y的邊緣分布律。解YX1234pi?11/40001/421/81/8001/431/121/121/1201/441/161/161/161/161/4p?j25/4813/487/483/48(1)X和Y的邊緣分布律分別為X1234P1/41/41/41/4Y1234P25/4813/487/483/48精選課件17.某校抽樣調(diào)查結(jié)果表明，考生的概率論與數(shù)理統(tǒng)計成績X近似地服從正態(tài)分布,平均成績72分，96分以上的占考生總數(shù)的2.3％，求考生的概率統(tǒng)計成績在60分至84分之間的概率。精選課件18.某車間有200臺車床，每臺車床有60%的時間在開動，每臺車床開動期間的耗電量為1千瓦，問至少應(yīng)供給給此車間多少電量才能以99.9%的概率保證此車間不因供電缺乏而影響生產(chǎn)？解：設(shè)至少需供給nE千瓦電量,X為同時開動的車床數(shù)，那么精選課件為總體的一個樣本，總體X的概率密度函數(shù)為

其中

為未知參數(shù)。求：（1）

的矩估計量

（2）

的極大似然估計量。

解：(1)

解得矩估計量為：

精選課件(2)似然函數(shù)為

解得極大似然估計為：

精選課件20.為了解燈泡使用時數(shù)的均值

及標準差

，測量10個燈泡，得如果已知燈泡的使用時數(shù)服從正態(tài)分布，求的95%的置信區(qū)間．解:(1)這是一個總體方差未知求

的置信度為0.95的置信區(qū)間的問題

(2)這是一個求

的置信度為0.95的置信區(qū)間的問題．精選課件21.某校進行教學改革，一學科學生成績X服從正態(tài)分布，

均未知。現(xiàn)抽測19人的成績?nèi)缦拢?0806786619692876251819976869379816247問是否有理由認為該科的平均成績大于對照組的平均成績70？

解：檢驗

選取統(tǒng)計量：

由題意條件得：

故拒絕

H0即認為該科的平均成績大于對照組的平均成績70。拒絕域假設(shè)檢驗九種類型！精選課件22.(X1,X2,…X6)為X的一個樣本求常數(shù)C使得CY服從

2分布。解因為(X1,X2…X6)為X的一個樣本,Xi~N(0,1)，i=1,2…6那么所以，取常數(shù)C=1/3使得CY服從

2分布精選課件23..設(shè)總體X服從N(0,1)，樣本X1,X2…Xn來自總體X，試求常數(shù)c使統(tǒng)計量服從t-分布.精選課件24.(X1,X2,…,X5)為取自正態(tài)總體X~N(0,σ2)的樣本，求統(tǒng)計量的分布解精選課件25.設(shè)離散型隨機變量X有如下分布律，試求隨機變量Y=(X-3)2+1的分布律X1357P0.50.10.150.25解Y的所有可能取值為1，5，17故，Y的分布律為Y1517P0.10.650.25精選課件設(shè)(X1,X2,…,Xn)是正態(tài)總體N(μ,σ2)的樣本，那么(1)(2)(3)與S2獨立(4)精選課件26.設(shè)X1，X2…，X25是取自N〔21，4)的樣本,求〔1〕樣本均值的數(shù)學期望和方差；解：精選課件27.設(shè)X1，…，X10是取自N〔2，16)的樣本,求a。解：精選課件28.設(shè)X1，X2,…

，X8是取自N(1,9)的樣本,求樣本方差S2的期望與方差。解：精選課件29.設(shè)X1，X2,…

，X9是取自N(0,9)的樣本,求解：精選課件30.設(shè)總體X的k階矩存在，那么不管X的分布如何，樣本k階原點矩是總體k階矩的無偏估計。證明設(shè)X的k階矩μk=E(Xk)，k≥1(X1,X2,…,Xn)是來自正態(tài)總體X的一個樣本，那么所以Ak是μk的無偏估計.精選課件31.設(shè)X~N(0,σ2)，證明是σ2無偏估計?！?〕求(X1,X2,…,Xn)是來自總體X的一個樣本是σ2無偏估計。精選課件32.設(shè)(X1,X2,…,Xn)是總體X的一個樣本，精選課件33.設(shè)(X,Y)服從N(1,0,9,16,-0.5)分布，Z=X/3+Y/21)求Z的概率密度，2)求X與Z的相關(guān)系數(shù)，3)X與Z是否相互獨立？解：〔１〕∵X～N(1,9),Y～N(0,16),XY=-0.5 注：(X,Y)～N(1,2,12,22,)，X與Y相互獨立X與Y不相關(guān)。其中=cov(X,Y)?！?〕cov(X,Z)=cov(X,X/3+Y/2)=cov(X,X/3)+cov(X,Y/2)=(1/3)cov(X,X)+(1/2)cov(X,Y)=(1/3)D(X)+(1/2)(-6)=0(3)X與Z相互獨立

Z～N(1/3,3),精選課件34.設(shè)隨機變量X～B(12,0.5),Y～N(0,1),COV(X,Y)=-1,求V=4X+3Y+1與W=-2X+4Y的方差與協(xié)方差。解：∵X～B(12,0.5),Y～N(0,1)∴