力學(xué)競賽之拉格朗日方程

第一章

分析力學(xué)基礎(chǔ)18世紀(jì)提出了處理多個約束的剛體系統(tǒng)動力學(xué)問題。利用矢量力學(xué)分析出現(xiàn)以下問題：對于復(fù)雜約束系統(tǒng)約束力的性質(zhì)和分布是未知的；表述形式復(fù)雜。如球坐標(biāo)系下的運(yùn)動方程。質(zhì)點(diǎn)系問題為大量方程的微分方程組。1788年拉格朗日發(fā)表了《分析力學(xué)》一書，提出了解決動力學(xué)問題的新觀點(diǎn)和新方法：采用功和能量來描述物體的運(yùn)動和相互作用力之間的關(guān)系。與矢量力學(xué)相比，分析力學(xué)的特點(diǎn)：（3）追求一般理論和一般模型，對于具體問題，只要代入和展開的工作，處理問題規(guī)范化。（1）把約束看成對系統(tǒng)位置（速度）的限定，而不是看成一種力。（2）使用廣義坐標(biāo)、功、能等標(biāo)量研究系統(tǒng)運(yùn)動，大量使用數(shù)學(xué)分析方法，得到標(biāo)量方程。（4）不僅研究獲得運(yùn)動微分方程的方法，也研究其求解的一般方法。在完整約束的條件下，確定質(zhì)點(diǎn)系位置的獨(dú)立參數(shù)的數(shù)目，稱為質(zhì)點(diǎn)系的自由度數(shù)，簡稱自由度?！?－1自由度和廣義坐標(biāo)例：確定一個質(zhì)點(diǎn)在空間的位置需3個獨(dú)立的參量自由質(zhì)點(diǎn)為3個自由度。例：質(zhì)點(diǎn)M被限定只能在球面的上半部分運(yùn)動由此解出這樣該質(zhì)點(diǎn)在空間中的位置就由x,y這兩個獨(dú)立參數(shù)所確定它的自由度數(shù)為2。n個質(zhì)點(diǎn)組成的質(zhì)點(diǎn)系，若受到s個完整約束作用自由度數(shù)為

N=3n-s描述質(zhì)點(diǎn)系在空間中的位置的獨(dú)立參數(shù)稱為廣義坐標(biāo)。對于完整約束廣義坐標(biāo)的數(shù)目＝系統(tǒng)的自由度數(shù)思考：非完整約束，廣義坐標(biāo)數(shù)目和系統(tǒng)的自由度數(shù)目的關(guān)系？拉格朗日廣義坐標(biāo)約束方程為系統(tǒng)N個獨(dú)立的坐標(biāo)參量表示為系統(tǒng)的n個坐標(biāo)參量

設(shè)由n個質(zhì)點(diǎn)組成的系統(tǒng)受s個完整雙側(cè)約束

其中為廣義坐標(biāo)的變分稱為廣義虛位移。例：一單擺在空間擺動，擺長為l。約束方程為自由度數(shù)為2。x，y為獨(dú)立變量

（單擺在xy面上的投影與x軸夾角）為獨(dú)立變量。

思考：導(dǎo)彈在追蹤飛機(jī)的情況下，廣義坐標(biāo)的數(shù)目和自由度數(shù)目的關(guān)系如何？描述導(dǎo)彈的位置：質(zhì)心的位置導(dǎo)彈的縱軸和x軸的夾角獨(dú)立的廣義坐標(biāo)數(shù)目為3約束方程導(dǎo)彈的速度方向要對準(zhǔn)飛機(jī)的質(zhì)心－－非完整約束獨(dú)立的虛位移數(shù)目＝自由度數(shù)目＝2設(shè)作用在第i個質(zhì)點(diǎn)上的主動力的合力

在三個坐標(biāo)軸上的投影分別為

虛功方程§1－2以廣義坐標(biāo)表示的質(zhì)點(diǎn)系平衡條件1.以廣義坐標(biāo)表示的質(zhì)點(diǎn)系平衡條件稱為與廣義坐標(biāo)相對應(yīng)的廣義力。由于廣義坐標(biāo)的獨(dú)立性可以為任一值如令質(zhì)點(diǎn)系的平衡條件是系統(tǒng)所有的廣義力都等于零?！脧V義坐標(biāo)表示的質(zhì)點(diǎn)系的平衡條件求廣義力的兩種方法1.直接計算法（解析法）2.幾何法令某一個不等于零

而其他N-1個廣義虛位移都等于零

利用廣義虛位移的任意性，例1－1已知：桿OA和AB以鉸鏈相連，

O端懸掛于圓柱鉸鏈上，桿長OA=aAB=b，桿重和鉸鏈的摩擦都忽略不計。今在點(diǎn)A和B分別作用向下的鉛錘力和又在點(diǎn)B作用一水平力試求：平衡時

與，，之間的關(guān)系。

系統(tǒng)有兩個自由度。現(xiàn)選擇和為系統(tǒng)的兩個廣義坐標(biāo)

計算其對應(yīng)的廣義力和用第一種方法計算廣義力：解：故系統(tǒng)平衡時應(yīng)有用第二種方法計算：保持不變，

只有

時則對應(yīng)于的廣義力為

可得一組虛位移保持不變，只有時可得另一組虛位移對應(yīng)于的廣義力例1－2已知：重物A和B分別連接在細(xì)繩兩端，重物A放置在粗糙的水平面上。重物B繞過定滑輪E鉛直懸掛。在動滑輪H的軸心上掛一重物C。設(shè)重物A重量為重物B重量為，不計動滑輪H的重量。試求：平衡時重物C的重量

；以及重物A與水平面間的靜滑動摩擦因數(shù)。

系統(tǒng)具有兩個自由度。廣義坐標(biāo)：首先令向右，主動力所做虛功的和為對應(yīng)廣義坐標(biāo)的廣義力為

解：因為系統(tǒng)平衡時應(yīng)有因此平衡時,要求物塊與臺面間靜摩擦因數(shù)再令向下，

2.以廣義坐標(biāo)表示的保守系統(tǒng)的平衡條件及系統(tǒng)的穩(wěn)定性如果作用在質(zhì)點(diǎn)系上的主動力都是有勢力，勢能為各力的投影為虛功為虛位移原理的表達(dá)式成為

在勢力場中，具有理想約束的質(zhì)點(diǎn)系的平衡條件為質(zhì)點(diǎn)系的勢能在平衡位置處一階變分為零。如果用廣義坐標(biāo)表示質(zhì)點(diǎn)系的位置。則質(zhì)點(diǎn)系的勢能可以寫成廣義坐標(biāo)的函數(shù)由廣義坐標(biāo)表示的平衡條件可寫成如下形式

在勢力場中具有理想約束的質(zhì)點(diǎn)系的平衡條件是勢能對于每個廣義坐標(biāo)的偏導(dǎo)數(shù)分別等于零。不穩(wěn)定平衡：在平衡位置上系統(tǒng)勢能具有極大值。隨遇平衡：系統(tǒng)在某位置附近其勢能是不變的。穩(wěn)定平衡：在平衡位置處系統(tǒng)勢能具有極小值。對于一個自由度系統(tǒng)，系統(tǒng)具有一個廣義坐標(biāo)q，因此系統(tǒng)勢能可以表示為q的一元函數(shù)即當(dāng)系統(tǒng)平衡時，在平衡位置處有如果系統(tǒng)處于穩(wěn)定平衡狀態(tài)，則在平衡位置處系統(tǒng)勢能具有極小值。即系統(tǒng)勢能對廣義坐標(biāo)的二階導(dǎo)數(shù)大于零——一個自由度系統(tǒng)平衡的穩(wěn)定性判據(jù)例1－3已知：如圖所示一倒置的擺，擺錘重量為，擺桿長度為l，在擺桿上的點(diǎn)A連有一剛度為k的水平彈簧，擺在鉛直位置時彈簧未變形。設(shè)OA=a擺桿重量不計。試求：擺桿的平衡位置及穩(wěn)定平衡時所應(yīng)滿足的條件。解：該系統(tǒng)是一個自由度系統(tǒng)，選擇擺角為廣義坐標(biāo)。擺的鉛直位置為擺錘重力勢能和彈簧彈性勢能的零點(diǎn)。系統(tǒng)的總勢能為由有由得到系統(tǒng)的平衡位置為對于穩(wěn)定平衡要求即§1－3動力學(xué)普遍方程n個質(zhì)點(diǎn)組成的系統(tǒng)第i個質(zhì)點(diǎn),，，，。慣性力為理想約束作用在理想約束的條件下，質(zhì)點(diǎn)系在任一瞬時所受的主動力系和虛加的慣性力系在虛位移上所作的功的和等于零。

寫成解析表達(dá)式——動力學(xué)普遍方程特別適合于求解非自由質(zhì)點(diǎn)系的動力學(xué)問題。例1－4已知：滑輪系統(tǒng)中，動滑輪上懸掛著質(zhì)量為的重物，繩子繞過定滑輪后懸掛著質(zhì)量為的重物。設(shè)滑輪和繩子的重量以及輪軸摩擦都忽略不計。求：質(zhì)量為的物體下降的加速度。解：取整個滑輪系統(tǒng)為研究對象。由動力學(xué)普遍方程例1－5已知：兩相同均質(zhì)圓輪半徑皆為R，質(zhì)量皆為m。求：當(dāng)細(xì)繩直線部分為鉛垂時，輪II中心C的加速度。解：研究整個系統(tǒng)。此系統(tǒng)具有兩個自由度取轉(zhuǎn)角為廣義坐標(biāo)令則點(diǎn)C下降動力學(xué)普遍方程（a）令則代入動力學(xué)普遍方程或（b）運(yùn)動學(xué)關(guān)系（c）聯(lián)立式（a）（b）（c）解出§1－4第二類拉格朗日方程

設(shè)由n質(zhì)點(diǎn)組成的系統(tǒng)受s個完整約束作用，系統(tǒng)具有N=3n-s個自由度。設(shè)為系統(tǒng)的一組廣義坐標(biāo)對于完整約束系統(tǒng)，其廣義坐標(biāo)是相互獨(dú)立的。故是任意的，為使上式恒成立，必須有廣義慣性力上式不便于直接應(yīng)用，為此可作如下變換：（1）證明：注意

和

只是廣義坐標(biāo)和時間的函數(shù)（2）證明：對時間求微分而若函數(shù)的一階和二階偏導(dǎo)數(shù)連續(xù)得到——第二類拉格朗日方程拉格朗日方程方程式的數(shù)目等于質(zhì)點(diǎn)系的自由度數(shù)。如果作用在質(zhì)點(diǎn)系上的主動力都是有勢力（保守力）于是拉格朗日方程可以寫成引入拉格朗日函數(shù)（又稱為動勢）則拉格朗日方程又可以寫成例1－6已知：輪A沿水平面純滾動，輪心以水平彈簧聯(lián)于墻上。A，B兩輪皆為均質(zhì)圓盤，質(zhì)量為的物塊C以細(xì)繩跨過定滑輪B聯(lián)于點(diǎn)A，半徑為R，質(zhì)量為，彈簧剛度為k，質(zhì)量不計。試求：當(dāng)彈簧較軟，在細(xì)繩能始終保持張緊的條件下，此系統(tǒng)的運(yùn)動微分方程。解：此系統(tǒng)具有一個自由度，以物塊平衡位置為原點(diǎn)。取x為廣義坐標(biāo)。以平衡位置為重力零勢能點(diǎn)。取彈簧原長處為彈性力零勢能點(diǎn)。系統(tǒng)在任意位置x處的勢能為其中為平衡位置處彈簧的伸長量此系統(tǒng)的動能為系統(tǒng)的動勢為代入拉格朗日方程得注意到則系統(tǒng)的運(yùn)動微分方程為例1－7試求：此系統(tǒng)的運(yùn)動微分方程。已知：運(yùn)動系統(tǒng)中，，可沿光滑，兩個物體重物的質(zhì)量為擺錘的質(zhì)量為水平面移動。用無重桿連接，桿長為l。解：選和為廣義坐標(biāo)（a）將式（a）兩端對時間求導(dǎo)數(shù)（b）系統(tǒng)的動能則系統(tǒng)的勢能為選質(zhì)點(diǎn)在最低處時的位置為系統(tǒng)的零勢能位置