南京市南京民辦實(shí)驗(yàn)學(xué)校2023-2024學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試題（原卷版）

第38頁(yè)/共38頁(yè)江蘇省南京市南京民辦實(shí)驗(yàn)學(xué)校2023~2024學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試卷一．選擇題（本大題共6小題，每小題2分，共12分）1.三角形的內(nèi)心是三角形的（）A.三條角平分線的交點(diǎn) B.三條中線的交點(diǎn)C.三條高的交點(diǎn) D.三邊垂直平分線的交點(diǎn)2.小明不慎把家里的圓形鏡子打碎了，其中三塊碎片如圖所示，三塊碎片中最有可能配到與原來(lái)一樣大小的圓形鏡子的碎片是（）A.① B.② C.③ D.均不可能3.如圖，正五邊形ABCDE內(nèi)接于，點(diǎn)F為上一點(diǎn)，則∠EFC的度數(shù)為（）A.36° B.45° C.60° D.72°4.如圖，矩形紙片中，，把它分割成正方形紙片和矩形紙片后，分別裁出扇形和半徑最大的圓，恰好能作為同一個(gè)圓錐的側(cè)面和底面，則的長(zhǎng)為（）A B. C. D.5.如圖，已知BC是⊙O的直徑，半徑OA⊥BC，點(diǎn)D在劣弧AC上（不與點(diǎn)A，點(diǎn)C重合），BD與OA交于點(diǎn)E．設(shè)∠AED＝α，∠AOD＝β，則（）A.3α+β＝180° B.2α+β＝180° C.3α﹣β＝90° D.2α﹣β＝90°6.把一張圓形紙片按如圖所示方式折疊兩次后展開(kāi)，圖中的虛線表示折痕，則的度數(shù)是（）A.120° B.135° C.150° D.165°二．填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）7.已知的半徑是一元二次方程的一個(gè)根，圓心O到直線l的距離．則直線l與的位置關(guān)系是___________．8.在綜合實(shí)踐活動(dòng)課上，小明同學(xué)用紙板制作了一個(gè)圓錐形漏斗模型．如圖所示，它的底面半徑OB＝6cm，高OC＝8cm．則這個(gè)圓錐漏斗的側(cè)面積是_____．9.如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，BE是⊙O的直徑，連接AE．若∠BCD＝2∠BAD，則∠DAE的度數(shù)是______．10.如圖，切線、分別與相切于點(diǎn)A、，切線與相切于點(diǎn)，且分別交、于點(diǎn)、，若的周長(zhǎng)為12，則線段的長(zhǎng)為_(kāi)____．11.如圖是一個(gè)古代車(chē)輪碎片，形狀為圓環(huán)的一部分，為求其外圓半徑，連接外圓上的兩點(diǎn)，并使與車(chē)輪內(nèi)圓相切于點(diǎn)，作交外圓于點(diǎn)，測(cè)得則這個(gè)外圓半徑為_(kāi)__________．12.若O為△ABC的外心，且∠BOC=60°，則∠BAC=___.13.如圖，半徑為10的扇形中，，為弧上一點(diǎn)，，，垂足分別為，．若，則圖中陰影部分的面積為_(kāi)____（結(jié)果保留．14.如圖，與的兩邊分別相切于點(diǎn)D、E，點(diǎn)F為上一點(diǎn)（不與點(diǎn)D、E重合），若，則______．15.如圖，在矩形中，已知，，以為直徑作，將矩形繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，使所得矩形的邊與相切，切點(diǎn)為，邊與相交于點(diǎn)，則的長(zhǎng)為_(kāi)_____．16.如圖，是直徑，，在上，，是上一動(dòng)點(diǎn)，是的中點(diǎn)，連接，則的最小值為_(kāi)_____．三．解答題（共9小題）17.如圖，已知直角坐標(biāo)系中一條圓弧經(jīng)過(guò)正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)、、．（1）用直尺畫(huà)出該圓弧所在圓的圓心的位置，點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)_____；（2）求圓半徑的長(zhǎng)度；（3）若點(diǎn)的坐標(biāo)為，請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明點(diǎn)與圓的位置關(guān)系．18.證明：垂直于弦的直徑平分弦以及弦所對(duì)的兩條?。阎喝鐖D，是的直徑，是的弦，___________．求證：___________．證明：___________19.用兩種方法證明命題“在圓的內(nèi)接四邊形中，如果一組對(duì)邊相等，那么另一組對(duì)邊平行”．已知：如圖，四邊形是的內(nèi)接四邊形，．求證：．證法1：_______，．______．即，，四邊形是的內(nèi)接四邊形，______．，．請(qǐng)把證1補(bǔ)充完整，并用不同的方法完成證法2．20.如圖，是的內(nèi)心，的延長(zhǎng)線交的外接圓于點(diǎn)．（1）求證：；（2）求證：．21.如圖，AB為⊙O直徑，C為⊙O上一點(diǎn)，點(diǎn)D是的中點(diǎn)，DE⊥AC于E，DF⊥AB于F．（1）判斷DE與⊙O的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（2）若OF=4，求AC的長(zhǎng)度．22.如圖，在的內(nèi)接四邊形中，，是四邊形的一個(gè)外角．（1）若，則______；（2）過(guò)點(diǎn)作于，判斷、、之間的數(shù)量關(guān)系并證明．23.如圖①，在中，，是外接圓上一點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，交于點(diǎn)．（1）求證：四邊形是平行四邊形；（2）如圖②，若為直徑，，，求的長(zhǎng)．24.如圖，點(diǎn)是直線兩側(cè)點(diǎn)，用無(wú)刻度直尺和圓規(guī)在直線上作點(diǎn)，使得，要求：（1）用兩種不同的方法；（2）寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明．25.定義：同一個(gè)圓中，互相垂直且相等的兩條弦叫做等垂弦，等垂弦所在直線的交點(diǎn)叫做等垂點(diǎn)．（1）如圖1，是的等垂弦，，垂足分別為D，E．求證：四邊形是正方形；（2）如圖2，是的弦，作，分別交于D，C兩點(diǎn)，連接．求證：，是的等垂弦；（3）已知半徑為10，，是的等垂弦，P為等垂點(diǎn)．若，求的長(zhǎng)．26.（1）如圖所示，等邊三角形內(nèi)接于圓，點(diǎn)是劣弧上任意一點(diǎn)（不與重合），連接、、，求證：．（2）[初步探索]小明同學(xué)思考如下：將繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到，使點(diǎn)與點(diǎn)重合，可得、、三點(diǎn)在同一直線上，進(jìn)而可以證明為等邊三角形，根據(jù)提示，解答下列問(wèn)題：根據(jù)小明的思路，請(qǐng)你完成證明．若圓的半徑為，則的最大值為_(kāi)_____．（3）類(lèi)比遷移：如圖所示，等腰內(nèi)接于圓，，點(diǎn)是弧上任一點(diǎn)（不與、重合），連接、、，若圓的半徑為，試求周長(zhǎng)的最大值．（4）拓展延伸：如圖所示，等腰，點(diǎn)A、在圓上，，圓的半徑為連接，試求的最小值．

江蘇省南京市南京民辦實(shí)驗(yàn)學(xué)校2023~2024學(xué)年九年級(jí)上學(xué)期10月月考數(shù)學(xué)試卷一．選擇題（本大題共6小題，每小題2分，共12分）1.三角形的內(nèi)心是三角形的（）A.三條角平分線的交點(diǎn) B.三條中線的交點(diǎn)C.三條高的交點(diǎn) D.三邊垂直平分線的交點(diǎn)【答案】A【解析】【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)心的概念進(jìn)行判斷即可．【詳解】根據(jù)定義得：三角形的內(nèi)心就是三角形三個(gè)內(nèi)角角平分線的交點(diǎn)．故選：．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)切圓與內(nèi)心，與三角形各邊都相切的圓叫三角形的內(nèi)切圓，三角形的內(nèi)切圓的圓心叫做三角形的內(nèi)心，三角形的內(nèi)心就是三角形三個(gè)內(nèi)角角平分線的交點(diǎn)．記住三角形的內(nèi)心到三角形三邊的距離相等，三角形的內(nèi)心與三角形頂點(diǎn)的連線平分這個(gè)內(nèi)角是解題的關(guān)鍵．2.小明不慎把家里的圓形鏡子打碎了，其中三塊碎片如圖所示，三塊碎片中最有可能配到與原來(lái)一樣大小的圓形鏡子的碎片是（）A.① B.② C.③ D.均不可能【答案】A【解析】【詳解】解：第①塊出現(xiàn)兩條完整的弦，作出這兩條弦的垂直平分線，兩條垂直平分線的交點(diǎn)就是圓心，進(jìn)而可得到半徑的長(zhǎng)．故選A．3.如圖，正五邊形ABCDE內(nèi)接于，點(diǎn)F為上一點(diǎn)，則∠EFC的度數(shù)為（）A.36° B.45° C.60° D.72°【答案】D【解析】【分析】連接EC，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)定理可知，再利用五邊形ABCDE是正五邊形，求解即可．【詳解】解：如圖所示，連接EC，∵CDEF是圓內(nèi)接四邊形，∴，∵五邊形ABCDE是正五邊形，∴，∴，故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓內(nèi)接四邊形性質(zhì)定理，正多邊形的內(nèi)角和，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握相關(guān)知識(shí)進(jìn)行求解．4.如圖，矩形紙片中，，把它分割成正方形紙片和矩形紙片后，分別裁出扇形和半徑最大的圓，恰好能作為同一個(gè)圓錐的側(cè)面和底面，則的長(zhǎng)為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】當(dāng)圓與相切時(shí)，半徑最大，設(shè)，根據(jù)扇形的弧長(zhǎng)等于底面圓的周長(zhǎng)，進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】解：由題意，得：當(dāng)圓與相切時(shí)，半徑最大，設(shè)，則：圓的直徑為：，∵扇形和半徑最大的圓，恰好能作為同一個(gè)圓錐的側(cè)面和底面，∴，解得：；∴的長(zhǎng)為；故選C．【點(diǎn)睛】本題考查求圓錐的母線長(zhǎng)．熟練掌握扇形的弧長(zhǎng)等于圓錐的底面周長(zhǎng)，是解題的關(guān)鍵．5.如圖，已知BC是⊙O的直徑，半徑OA⊥BC，點(diǎn)D在劣弧AC上（不與點(diǎn)A，點(diǎn)C重合），BD與OA交于點(diǎn)E．設(shè)∠AED＝α，∠AOD＝β，則（）A.3α+β＝180° B.2α+β＝180° C.3α﹣β＝90° D.2α﹣β＝90°【答案】D【解析】【分析】根據(jù)直角三角形兩銳角互余性質(zhì)，用α表示∠CBD，進(jìn)而由圓心角與圓周角關(guān)系，用α表示∠COD，最后由角的和差關(guān)系得結(jié)果．【詳解】解：∵OA⊥BC，∴∠AOB＝∠AOC＝90°，∴∠DBC＝90°﹣∠BEO＝90°﹣∠AED＝90°﹣α，∴∠COD＝2∠DBC＝180°﹣2α，∵∠AOD+∠COD＝90°，∴β+180°﹣2α＝90°，∴2α﹣β＝90°，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了圓周角定理以及直角三角形的兩個(gè)銳角互余的關(guān)系，熟練掌握?qǐng)A周角定理是解決本題的關(guān)鍵．6.把一張圓形紙片按如圖所示方式折疊兩次后展開(kāi)，圖中的虛線表示折痕，則的度數(shù)是（）A.120° B.135° C.150° D.165°【答案】C【解析】【分析】直接利用翻折變換的性質(zhì)結(jié)合銳角三角函數(shù)關(guān)系得出∠BOD=30°，再利用弧度與圓心角的關(guān)系得出答案．【詳解】如圖所示：連接BO，過(guò)點(diǎn)O作OE⊥AB于點(diǎn)E，由題意可得：EO=BO，AB∥DC，可得∠EBO=30°，故∠BOD=30°，則∠BOC=150°，故的度數(shù)是150°．二．填空題（本大題共10小題，每小題2分，共20分）7.已知的半徑是一元二次方程的一個(gè)根，圓心O到直線l的距離．則直線l與的位置關(guān)系是___________．【答案】相離【解析】【分析】先求方程的根，可得r的值，由直線與圓的位置關(guān)系的判斷方法可求解．【詳解】解：∵，∴，∵的半徑為一元二次方程的根，∴，∵，∴直線l與的位置關(guān)系是相離，故答案為：相離．【點(diǎn)睛】本題考查的是直線與圓的位置關(guān)系，解一元二次方程，解決此類(lèi)問(wèn)題可通過(guò)比較圓心到直線距離d與圓半徑大小關(guān)系完成判定．8.在綜合實(shí)踐活動(dòng)課上，小明同學(xué)用紙板制作了一個(gè)圓錐形漏斗模型．如圖所示，它的底面半徑OB＝6cm，高OC＝8cm．則這個(gè)圓錐漏斗的側(cè)面積是_____．【答案】60πcm2．【解析】【分析】利用勾股定理可求得圓錐的母線長(zhǎng)，那么圓錐的側(cè)面積＝πrl．【詳解】解：∵它的底面半徑OB＝6cm，高OC＝8cm．∴BC＝10，∴這個(gè)圓錐漏斗的側(cè)面積是：πrl＝π×6×10＝60πcm2．故答案為60πcm2．【點(diǎn)睛】本題考查了圓錐的側(cè)面積計(jì)算的知識(shí)，解答這類(lèi)題往往因?yàn)槊娣e公式記不準(zhǔn)確而出錯(cuò)．9.如圖，四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，BE是⊙O的直徑，連接AE．若∠BCD＝2∠BAD，則∠DAE的度數(shù)是______．【答案】30°##30度【解析】【分析】根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)求出∠BAD＝60°，根據(jù)圓周角定理得到∠BAE＝90°，結(jié)合圖形計(jì)算，得到答案．【詳解】解：∵四邊形ABCD是⊙O的內(nèi)接四邊形，∴∠BCD＋∠BAD＝180°，∵∠BCD＝2∠BAD，∴∠BCD＝120°，∠BAD＝60°，∵BE是⊙O的直徑，∴∠BAE＝90°，∴∠DAE＝90°?∠BAD＝90°?60°＝30°，故答案為：30°．【點(diǎn)睛】本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、圓周角定理的應(yīng)用，掌握?qǐng)A內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)是解題的關(guān)鍵．10.如圖，切線、分別與相切于點(diǎn)A、，切線與相切于點(diǎn)，且分別交、于點(diǎn)、，若的周長(zhǎng)為12，則線段的長(zhǎng)為_(kāi)____．【答案】6【解析】【分析】可通過(guò)切線長(zhǎng)定理將相等的線段進(jìn)行轉(zhuǎn)換，得出三角形的周長(zhǎng)等于，又因?yàn)?，所以可求出的長(zhǎng)．【詳解】解：，都是圓的切線，，同理，，的周長(zhǎng)，；故答案為：6．【點(diǎn)睛】本題考查的是切線長(zhǎng)定理，解此題的關(guān)鍵是得出的周長(zhǎng)．11.如圖是一個(gè)古代車(chē)輪的碎片，形狀為圓環(huán)的一部分，為求其外圓半徑，連接外圓上的兩點(diǎn)，并使與車(chē)輪內(nèi)圓相切于點(diǎn)，作交外圓于點(diǎn)，測(cè)得則這個(gè)外圓半徑為_(kāi)__________．【答案】40【解析】【分析】根據(jù)切線的性質(zhì)及垂徑定理求得，然后根據(jù)勾股定理即可求得半徑．【詳解】解：如圖，設(shè)點(diǎn)O為外圓的圓心，連接和，∵，∵與車(chē)輪內(nèi)圓相切于點(diǎn)D，∴,∵，∴O,D,C三點(diǎn)共線，且，∴，∴設(shè)半徑為r，則，根據(jù)題意可知：,解得：∴這個(gè)車(chē)輪的外圓半徑為，故答案為：40【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理的應(yīng)用以及勾股定理的應(yīng)用，作出輔助線構(gòu)建直角三角形是本題的關(guān)鍵．12.若O為△ABC的外心，且∠BOC=60°，則∠BAC=___.【答案】30°或150°【解析】【分析】分兩種情況考慮，在根據(jù)圓周角定理可知或.【詳解】解：O為△ABC的外心，∠BOC是所對(duì)的圓心角，∠BAC是所對(duì)的圓周角，所以有兩種情況：①如圖1，①∠BAC=∠BOC=30°；②如圖2，②∠BAC=（360°-∠BOC）=150°．故答案為30°或150°【點(diǎn)睛】本題考查了同一弧線所對(duì)的圓心角和圓周角的關(guān)系．本題關(guān)鍵要想到圓周中同一弧線所對(duì)應(yīng)的圓周角是圓心角的一半．13.如圖，半徑為10的扇形中，，為弧上一點(diǎn)，，，垂足分別為，．若，則圖中陰影部分的面積為_(kāi)____（結(jié)果保留．【答案】【解析】【分析】連接，易證得四邊形是矩形，則，得到，圖中陰影部分的面積扇形的面積，利用扇形的面積公式即可求得．【詳解】如圖，連接，，，，四邊形是矩形，，，，，，在和中，，，，圖中陰影部分的面積扇形的面積，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了扇形面積的計(jì)算，矩形的判定與性質(zhì)，利用扇形的面積等于陰影的面積是解題的關(guān)鍵．14.如圖，與的兩邊分別相切于點(diǎn)D、E，點(diǎn)F為上一點(diǎn)（不與點(diǎn)D、E重合），若，則______．【答案】或【解析】【分析】連接、，根據(jù)切線的性質(zhì)得到，，進(jìn)而得到，分點(diǎn)在優(yōu)弧上，點(diǎn)在劣弧上兩種情況，根據(jù)圓周角定理解答即可．【詳解】解：連接、，∵與的兩邊分別相切于點(diǎn)、，∴，，∵，∴，當(dāng)點(diǎn)在優(yōu)弧上時(shí)，，當(dāng)點(diǎn)在劣弧上時(shí)，，綜上所述，的度數(shù)為或，故答案為：或．【點(diǎn)睛】本題考查的是切線的性質(zhì)、圓周角定理，圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)，掌握?qǐng)A的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑是解題的關(guān)鍵．15.如圖，在矩形中，已知，，以為直徑作，將矩形繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，使所得矩形的邊與相切，切點(diǎn)為，邊與相交于點(diǎn)，則的長(zhǎng)為_(kāi)_____．【答案】【解析】【分析】連接，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，作，由旋轉(zhuǎn)性質(zhì)知、，，從而得出四邊形和四邊形都是矩形且，繼而求得，根據(jù)垂徑定理可得的長(zhǎng)．【詳解】解：連接，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，作于點(diǎn)，

，則，矩形繞點(diǎn)旋轉(zhuǎn)所得矩形，，，，四邊形和四邊形都是矩形，，，，，四邊形是矩形，，即，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查圓切線的性質(zhì)，矩形的判定與性質(zhì)，垂徑定理，解題的關(guān)鍵是掌握矩形的判定與性質(zhì)、旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)、切線的性質(zhì)、垂徑定理等知識(shí)點(diǎn)．16.如圖，是的直徑，，在上，，是上一動(dòng)點(diǎn)，是的中點(diǎn)，連接，則的最小值為_(kāi)_____．【答案】【解析】【分析】如圖，取中點(diǎn)，連接，，，，過(guò)點(diǎn)作于，根據(jù)勾股定理求出，根據(jù)中位線定理求出，根據(jù)，可得結(jié)論．【詳解】解：如圖，取中點(diǎn)，連接，，，，過(guò)點(diǎn)作于，，，是等邊三角形，，，，，，，在中，，，，，，的最小值為．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查等邊三角形的判定和性質(zhì)，三角形的中位線定理和圓等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)添加常用輔助線，構(gòu)造直角三角形解決問(wèn)題，屬于中考?？碱}型．三．解答題（共9小題）17.如圖，已知直角坐標(biāo)系中一條圓弧經(jīng)過(guò)正方形網(wǎng)格的格點(diǎn)、、．（1）用直尺畫(huà)出該圓弧所在圓的圓心的位置，點(diǎn)坐標(biāo)為_(kāi)_____；（2）求圓半徑的長(zhǎng)度；（3）若點(diǎn)的坐標(biāo)為，請(qǐng)通過(guò)計(jì)算說(shuō)明點(diǎn)與圓的位置關(guān)系．【答案】（1）作圖見(jiàn)解析，（2）（3）點(diǎn)在圓外【解析】【分析】（1）根據(jù)垂徑定理，連接，，作的垂直平分線，作的垂直平分線，直線與直線的交點(diǎn)即為點(diǎn)；（2）由（1）可得，設(shè)直線與線段的交點(diǎn)為，連接，在中，運(yùn)用勾股定理即可求得圓半徑的長(zhǎng)度；（3）根據(jù)，，求得，由圓半徑的長(zhǎng)度為，可得點(diǎn)在圓外．【小問(wèn)1詳解】解：如圖1，連接，，作的垂直平分線，作的垂直平分線，直線與直線的交點(diǎn)即為點(diǎn)，則．【小問(wèn)2詳解】解：如圖2，由（1）可得，設(shè)直線與線段的交點(diǎn)為，連接，∵，，，∴，∴，故圓半徑的長(zhǎng)度為．【小問(wèn)3詳解】解：∵圓心，，∴，∵圓半徑的長(zhǎng)度，又∵，∴點(diǎn)在圓外．【點(diǎn)睛】本題考查了圓的基本性質(zhì)，勾股定理、點(diǎn)與圓的位置關(guān)系，熟練掌握?qǐng)A的基本概念與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．18.證明：垂直于弦的直徑平分弦以及弦所對(duì)的兩條弧．已知：如圖，是的直徑，是的弦，___________．求證：___________．證明：___________【答案】，垂足為；，，；證明見(jiàn)解析【解析】【分析】根據(jù)命題，補(bǔ)全條件、結(jié)論以及推導(dǎo)過(guò)程即可；【詳解】已知：如圖，AB是⊙O的直徑，CD是⊙O的弦，，垂足為；求證：，，證明：連接;在中，∴，【點(diǎn)睛】本題考查了命題推導(dǎo)的過(guò)程，垂徑定理；以已知的基本事實(shí)、定理為依據(jù)推導(dǎo)出結(jié)論是解題的關(guān)鍵．19.用兩種方法證明命題“在圓的內(nèi)接四邊形中，如果一組對(duì)邊相等，那么另一組對(duì)邊平行”．已知：如圖，四邊形是的內(nèi)接四邊形，．求證：．證法1：_______，．______．即，，四邊形是的內(nèi)接四邊形，______．，．請(qǐng)把證1補(bǔ)充完整，并用不同的方法完成證法2．【答案】見(jiàn)解析【解析】【分析】證法1，根據(jù)圓心角、弧、弦直徑關(guān)系定理得到，根據(jù)圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)得到，得到，根據(jù)平行線的判定定理證明結(jié)論；證法2，連接、、、、，根據(jù)圓心角、弧、弦直徑的關(guān)系定理得到，根據(jù)圓周角定理、根據(jù)平行線的判定定理證明即可．【詳解】證法1，，，，即，，四邊形是的內(nèi)接四邊形，，，，故答案為：，，；證法2，如圖，連接、、、、，，，，，由圓周角定理得，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查的是圓內(nèi)接四邊形的性質(zhì)、圓心角、弧、弦直徑的關(guān)系定理、圓周角定理、平行線的判定定理，掌握?qǐng)A內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)是解題的關(guān)鍵．20.如圖，是的內(nèi)心，的延長(zhǎng)線交的外接圓于點(diǎn)．（1）求證：；（2）求證：．【答案】（1）證明見(jiàn)解析（2）證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）根據(jù)圓周角定理和角平分線的定義即可得到結(jié)論；（2）要證明，只要求得即可．【小問(wèn)1詳解】點(diǎn)是的內(nèi)心，，，；【小問(wèn)2詳解】如圖，連接，點(diǎn)是的內(nèi)心，，，，，，，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的內(nèi)切圓和內(nèi)心，三角形的外接圓和外心，圓周角定理，熟練掌握?qǐng)A周角定理是解此題的關(guān)鍵．21.如圖，AB為⊙O直徑，C為⊙O上一點(diǎn)，點(diǎn)D是的中點(diǎn)，DE⊥AC于E，DF⊥AB于F．（1）判斷DE與⊙O的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（2）若OF=4，求AC的長(zhǎng)度．【答案】（1）DE與⊙O相切,證明見(jiàn)解析；（2）AC=8.【解析】【詳解】(1)解：（1）DE與⊙O相切．證明：連接OD、AD，∵點(diǎn)D是的中點(diǎn)，∴=，∴∠DAO=∠DAC，∵OA=OD，∴∠DAO=∠ODA，∴∠DAC=∠ODA，∴OD∥AE，∵DE⊥AC，∴DE⊥OD，∴DE與⊙O相切．（2）連接BC,根據(jù)△ODF與△ABC相似，求得AC的長(zhǎng)．AC=822.如圖，在的內(nèi)接四邊形中，，是四邊形的一個(gè)外角．（1）若，則______；（2）過(guò)點(diǎn)作于，判斷、、之間數(shù)量關(guān)系并證明．【答案】（1）75（2），證明見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）根據(jù)四邊形外接圓的性質(zhì)，同弧所對(duì)的圓周角相等，可得；（2）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，可證明，，則；【小問(wèn)1詳解】四邊形是圓的內(nèi)接四邊形，，是四邊形的一個(gè)外角，∴，，，所對(duì)的圓周角分別為、，，，，故答案為：75；【小問(wèn)2詳解】過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，，，，，，，，，，又，，，，，即；【點(diǎn)睛】本題考查圓的綜合應(yīng)用，熟練掌握同弧所對(duì)的圓周角相等，四點(diǎn)共圓的性質(zhì)，三角形全等的判定及性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．23.如圖①，在中，，是外接圓上一點(diǎn)，連接，過(guò)點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，交于點(diǎn)．（1）求證：四邊形是平行四邊形；（2）如圖②，若為直徑，，，求的長(zhǎng)．【答案】（1）見(jiàn)解析（2）【解析】【分析】（1）利用平行線的性質(zhì)，等弧對(duì)相等的圓周角，證得即可；（2）連接，，利用平行線的性質(zhì)證得，再利用圓的內(nèi)接四邊形的性質(zhì)證得，得到，再利用圓周角定理得到，最后在中即可求解．【小問(wèn)1詳解】證明：∵，∴，∵，∴∵，∴，∴，∴四邊形是平行四邊形；【小問(wèn)2詳解】連接，，如圖所示，∵，∴，∵四邊形是的內(nèi)接四邊形，∴，∴，∴，∵為直徑，∴，∵，，∴，∴【點(diǎn)睛】本題是一道圓的知識(shí)的綜合題，考查了圓周角定理，平行四邊形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)和判定等，作出適當(dāng)?shù)妮o助線是解題的關(guān)鍵．24.如圖，點(diǎn)是直線兩側(cè)的點(diǎn)，用無(wú)刻度直尺和圓規(guī)在直線上作點(diǎn)，使得，要求：（1）用兩種不同的方法；（2）寫(xiě)出必要的文字說(shuō)明．【答案】見(jiàn)解析【解析】【分析】作法一：作點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，根據(jù)軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)可得；做法二：作的垂直平分線交直線于點(diǎn)，作過(guò)點(diǎn)三點(diǎn)的外接圓，則，根據(jù)等弧所對(duì)的圓周角相等即可得到．【詳解】解：作法一：如圖，作點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交直線于點(diǎn)，則點(diǎn)即為所求；；作法二：如圖：（1）連接，作的垂直平分線交直線于點(diǎn)；（2）作過(guò)點(diǎn)三點(diǎn)的外接圓，交直線于點(diǎn)，則點(diǎn)即為所求；．【點(diǎn)睛】本題主要考查了作圖—復(fù)雜作圖、軸對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)、圓周角定理、垂直平分線的性質(zhì)等知識(shí)，熟練掌握以上知識(shí)點(diǎn)并靈活運(yùn)用是解此題的關(guān)鍵．25.定義：同一個(gè)圓中，互相垂直且相等的兩條弦叫做等垂弦，等垂弦所在直線的交點(diǎn)叫做等垂點(diǎn)．（1）如圖1，是的等垂弦，，垂足分別為D，E．求證：四邊形是正方形；（2）如圖2，是的弦，作，分別交于D，C兩點(diǎn)，連接．求證：，是的等垂弦；（3）已知的半徑為10，，是的等垂弦，P為等垂點(diǎn)．若，求的長(zhǎng)．【答案】（1）見(jiàn)解析（2）見(jiàn)解析（3）或【解析】【分析】（1）根據(jù)垂直的定義及等垂弦定義推出四邊形是矩形，根據(jù)垂徑定理得出，即可判定矩形是正方形；（2）連接，由圓心角、弦的關(guān)系可得，由圓周角定理可得，，可證，可得結(jié)論；（3）分兩種情況討論，過(guò)點(diǎn)O作，作，可證矩形為正方形，利用勾股定理可求解．【小問(wèn)1詳解】證明：∵是的等垂弦，，∴，∴四邊形是矩形，∵是的等垂弦，∴，∵，∴，∴矩形是正方形；【小問(wèn)2詳解】證明：設(shè)交于點(diǎn)E，連接，∵，∴，∴，∴，∵，