無錫金橋?qū)嶒瀸W校2022-2023學年九年級上學期10月月考數(shù)學試題（解析版）

第35頁/共35頁江蘇省無錫市金橋?qū)嶒瀸W校2022—2023學年上學期九年級10月月考數(shù)學試題一、選擇題（本大題共10小題，每小題3分，共30分．在每小題所給出的四個選項中，只有一項是正確的，請用2B鉛筆把答題卡上相應的選項標號涂黑．）1.下列關于x的方程是一元二次方程的是（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)一元二次方程的定義與一般形式判斷選項即可．【詳解】A、當時才是一元二次方程，故此選項不符合題意；B、是分式，故此選項不符合題意；C、此選項符合題意；D、有兩個未知數(shù)，故此選項不符合題意．故選：C．【點睛】本題考查了一元二次方程的定義，解題的關鍵是熟練掌握一元二次方程的定義，一元二次方程的定義：只含有一個未知數(shù)，且未知數(shù)的最高次數(shù)為2的整式方程，一般形式為：．2.在△ABC中，∠A和∠C都是銳角，且，，則△ABC的形狀是()A.直角三角形 B.鈍角三角形 C.等邊三角形 D.不能確定【答案】C【解析】【分析】利用特殊角的三角函數(shù)值得出∠A及∠C的度數(shù)，繼而可判斷△ABC的形狀．【詳解】解：由題意得，，，故∠A=60°，∠C=60°，故可得∠B=60°，故△ABC是等邊三角形．故選：C．【點睛】此題考查了特殊角的三角函數(shù)值，解答本題的關鍵是熟練記憶一些特殊角的三角函數(shù)值，難度一般．3.若△ABC∽△DEF，其面積的比為4：9，則△ABC與△DEF的周長比為（）A.2：3 B.16：81 C.3：2 D.4：9【答案】A【解析】【分析】根據(jù)相似三角形的性質(zhì)求出相似比，即可求出周長之比．【詳解】解：∵△ABC∽△DEF，△ABC與△DEF的面積的比為4：9，∴△ABC和△DEF的相似比為2：3，∴△ABC與△DEF周長的比為2：3，故選：A．【點睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)的應用，能熟記相似三角形的性質(zhì)是解此題的關鍵，注意：相似三角形的面積之比等于相似比的平方，相似三角形的周長之比等于相似比．4.一個等腰三角形的兩條邊長分別是方程x2﹣9x+18＝0的兩根，則該等腰三角形的周長是（）A.12 B.9 C.15 D.12或15【答案】C【解析】【分析】利用因式分解法求出x的值，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)分情況討論求解【詳解】解：∵x2﹣9x+18＝0，∴（x﹣3）（x﹣6）＝0，則x﹣3＝0或x﹣6＝0，解得x＝3或x＝6，當3是腰時，三角形的三邊分別為3、3、6，不能組成三角形；當6是腰時，三角形的三邊分別為3、6、6，能組成三角形，周長為3+6+6＝15．故選：C．【點睛】本題考查了因式分解法解一元二次方程，三角形的三邊關系，等腰三角形的性質(zhì)，要注意分情況討論．5.若關于x的方程（m﹣1）x2+2x+1＝0有實數(shù)解，則m的取值范圍是()A.m≤2 B.m≤ C.m≤2且m≠1 D.m＜2【答案】A【解析】【分析】分為兩種情況，①方程為一元一次方程，②方程為一元二次方程，再求出即可．【詳解】解：有兩種情況：①當m-1=0，即m=1時，方程為一元一次方程2x+1=0，此時方程有解，解為x=-；

②當m-1≠0時，方程為一元二次方程，此時當△=22-4（m-1）×1≥0時，方程有實數(shù)根，

解得：m≤2且m≠1，

綜合上述：當m≤2時，關于x的方程（m-1）x2+2x+1=0有實數(shù)解，

故選A．【點睛】本題考查了一元一次方程的定義、一元二次方程的定義、根的判別式等知識點，能夠進行分類討論是解此題的關鍵．6.如圖，的頂點A在y軸上，B，C兩點都在x軸上，將邊向右平移，平移后點A的對應點為D，點B的對應點為O，線段交AC于點，若，則點D的坐標為（）A.（3，3） B.（4，4） C. D.（3，4）【答案】D【解析】【分析】作，垂足為F，，垂足為G，根據(jù)相似三角形判定與性質(zhì)得，根據(jù)平移性質(zhì)和勾股定理得，的長，由此可得答案．【詳解】解：如圖，分別作，垂足為F，，垂足為G，，，，和有公共角，，，根據(jù)平移的性質(zhì)可知，設，則x，在中：，即，或（舍去），，．故D點的坐標為（3，4）．故選：D．【點睛】此題考查的是相似三角形的判定與性質(zhì)，坐標與圖形變化——平移，掌握相似三角形的性質(zhì)定理是解決此題關鍵．7.如圖是簡化的冬奧會跳臺滑雪的雪道示意圖，AB為助滑道，BC為著陸坡，著陸坡傾角為，A點與B點的高度差為h，A點與C點的高度差為120m，著陸坡BC長度為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】過點B作BF⊥DC，交DC的延長線于點F，求出BF=120-h，再根據(jù)正弦的定義可得結論．【詳解】解：過點B作BF⊥DC，交DC的延長線于點F，如圖，∵A點與C點的高度差為120m，且A點與B點的高度差為h，∴BF=120-h又∴故選：A【點睛】本題主要考查了銳角三角函數(shù)，掌握正弦的含義是解答本題的關鍵．8.如圖，在中，，，記，，，則下列關于，，的關系式正確的是（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】設，，與間的距離為h，根據(jù)相似三角形的面積比等于相似比的平方即可求出，，的關系．【詳解】解：設，，與間的距離為h，，，四邊形是平行四邊形，，，，，，，，，，，，．故選：B．【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，解決本題的關鍵是掌握相似三角形的面積比等于相似比的平方．9.如圖，在△ABC中，點O是角平分線AD、BE的交點，若AB＝AC＝10，BC＝12，則tan∠OBD的值是（）A. B.2 C. D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)，可得AD⊥BC，BD=BC=6，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)及三角的面積公式得，進而即可求解．【詳解】解：AB＝AC＝10，BC＝12，AD平分∠BAC，∴AD⊥BC，BD=BC=6，∴AD=，過點O作OF⊥AB，∵BE平分∠ABC，∴OF=OD，∵∴，即：，解得：OD=3，∴tan∠OBD=，故選A．【點睛】本題主要考查等腰三角形的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)的定義，推出，是解題的關鍵．10.如圖，A（，1），B（，4），C（，4），點P是邊上一動點，連接，以為斜邊在的右上方作等腰直角，當點P在邊且運動一周時，點Q的軌跡形成的封閉圖形面積為（）A.2 B.3 C.4 D.6【答案】B【解析】【分析】如圖，由題意，點P在的三條邊上運動一周時，點Q運動的軌跡是．利用相似三角形的性質(zhì)求出，，，利用勾股定理的逆定理，證明是直角三角形，即可解決問題．【詳解】解：如圖，由題意，點P在的三條邊上運動一周時，點Q運動的軌跡是．A（，1），B（，4），C（，4），，，，，，，，，同法可得，，，，點Q的軌跡形成的封閉圖形面積．故選：B．【點睛】本題考查軌跡，相似三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識，解題的關鍵是正確尋找點Q的運動軌跡，屬于中考選擇題中的壓軸題．二、填空題（本大題共8小題，每空3分，共27分，不需寫出解答過程，請把答案直接填寫在答題卡相應的位置上．）11.若關于x的一元二次方程是一元二次方程，則m=________．【答案】2【解析】【分析】一元二次方程的一般形式是：ax2+bx+c=0（a，b，c是常數(shù)且a≠0）,特別要注意a≠0的條件．【詳解】解：因為是關于x的一元二次方程，這個方程一定有一個二次項，則|一定是二次項．

所以得到，解得m=2．故答案為2．【點睛】本題考查一元二次方程的定義，要判斷一個方程是否為一元二次方程，先看它是否為整式方程，若是，再對它進行整理．如果能整理為ax2+bx+c=0（a≠0）的形式，則這個方程就為一元二次方程．要特別注意二次項系數(shù)a≠0這一條件，本題容易出現(xiàn)的錯誤是忽視m+2≠0這一條件．12.將一元二次方程化成（a，b為常數(shù)）的形式，則的值是___________．【答案】17【解析】【分析】方程利用配方法整理后判斷即可求出a與b的值．【詳解】解：方程，變形得：，配方得：，即，則，故，故答案為：17．【點睛】此題考查了解一元二次方程-配方法，熟練掌握完全平方公式是解本題的關鍵．13.已知，則的值是________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)設x=2k，y=3k，z=4k，把x=2k，y=3k，z=4k代入，即可求出答案．【詳解】解：設x=2k，y=3k，z=4k，所以，故答案為：．【點睛】本題考查了比例的性質(zhì)和求分式的值，能選擇適當?shù)姆椒ㄇ蠼馐墙獯祟}的關鍵．14.如圖，將△ABC放在每個小正方形邊長為1的網(wǎng)格中，點A，B，C均在格點上，則tanA的值是__________．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，作BD⊥AC于點D，可以求得BD、AD的長，從而可以求出tanA的值．【詳解】作BD⊥AC于點D，∵BC=2，AC=,點A到BC的距離為3，AB=,∴,即，解得：，∴AD=，故答案是：.【點睛】本題考查銳角三角函數(shù)的定義及運用：在直角三角形中，銳角的正弦為對邊比斜邊，余弦為鄰邊比斜邊，正切為對邊比鄰邊，構造直角三角形是本題的關鍵．15.在中，，則的面積等于___________．【答案】【解析】【分析】過點B作于點H，易得為等腰直角三角形，根據(jù)勾股定理可得，再進行分情況討論即可求解．【詳解】解：∵，過點B作于點H，

∴為等腰直角三角形，∴，，∵，代入可解得，∵，，即，如圖所示，點C有兩種情況，中，當時，，當時，綜上所述，的面積為．故答案為：．【點睛】本題主要考查了勾股定理的應用，解題的關鍵是構造直角三角形，并且注意分情況討論．16.如圖，矩形中，點E在BC上，，點F為AE延長線上一點，滿足，連接DF交BC于點G．若，，則______．【答案】【解析】【分析】首先根據(jù)等角的余角相等得到，然后可證，接著由相似三角形的性質(zhì)得到對應邊成比例可求，再由等腰三角形的性質(zhì)和平行線的性質(zhì)可證，最后利用勾股定理建立方程可求解．【詳解】解：∵在矩形中，，，，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∴，∵，，∴垂直平分，∴，∴，又∵，∴，∴，∴，∴，即：，∴，解得：．故答案為：．【點睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，等腰三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識．利用勾股定理建立方程是解決本題的關鍵．17.如圖，a//b//c，直線a與直線b之間的距離為，直線c與直線b之間的距離為，等邊的三個頂點分別在直線a、直線b、直線c上，則等邊三角形的邊長是______．【答案】【解析】【分析】如圖所示，過點A作AD⊥直線c于D，過點B作EF⊥直線b分別交直線a、c于F、E，先證明四邊形ADEF是矩形，得到AF=DE，AD=EF，再由直線a與直線b之間的距離為，直線c與直線b之間的距離為，得到，，則，可設AB=AC=BC=x，由勾股定理得：，，，再由，即可得到，由此求解即可．【詳解】解：如圖所示，過點A作AD⊥直線c于D，過點B作EF⊥直線b分別交直線a、c于F、E，∵a∥b∥c，∴AD⊥直線a，EF⊥直線a，EF⊥直線c，∴四邊形ADEF是矩形，∴AF=DE，AD=EF，∵直線a與直線b之間的距離為，直線c與直線b之間的距離為，∴，，∴，∵△ABC是等邊三角形，∴可設AB=AC=BC=x，由勾股定理得：，，，又∵，∴，∴，∴，∴∴，∴，∴，解得（不符合題意的值已經(jīng)舍去），∴△ABC的邊長為．故答案為：．

【點睛】本題主要考查了等邊三角形的性質(zhì)，矩形的性質(zhì)與判定，勾股定理，平行線的間距，解題的關鍵在于熟練掌握相關知識．18.如圖，在平行四邊形中，與交于點O，，，．點P從B點出發(fā)沿著方向運動，到達點O停止運動．連接，點B關于直線的對稱點為Q．當點Q落在上時，則=___________，在運動過程中，點Q到直線的距離的最大值為___________．【答案】①.②.2【解析】【分析】①過點O作，垂足為H，根據(jù)題意可得，利用平行四邊形的性質(zhì)可得，然后在中，用銳角三角函數(shù)的定義求出、的長，在中，用銳角三角函數(shù)的定義求出、的長，從而求出、的長，進行計算即可求出的長；②根據(jù)題意可得點Q的軌跡為：以點A為圓心，長為半徑的圓弧上，當點P運動到點O，則點Q在圓弧終點的位置，連接，過點Q作，垂足為G，連接OQ，根據(jù)軸對稱的性質(zhì)可得，，，從而可得，，進而求出，然后利用等腰三角形的性質(zhì)以及三角形的外角性質(zhì)可得，最后設，則，，再在中，利用勾股定理進行計算即可解答．【詳解】解：①過點O作，垂足為H，由題意得：，∵四邊形ABCD是平行四邊形，∴，在中，，∴，，在中，，∴，，∴，∴，∴當點Q落在上時，則，②∵，∴點Q的軌跡為：以點A為圓心，長為半徑的圓弧上，當點P運動到點O，則點Q在圓弧終點的位置，連接，過點Q作，垂足為G，連接，∵點B關于直線AP的對稱點為Q，∴，，，∴，，∵，∴，∵，∴，∴，設，則，∴，∴，在中，，∴，∴或（舍去），∴，∴在運動過程中，點Q到直線的距離的最大值為2．故答案為：；2【點睛】本題考查了平行四邊形的性質(zhì)，解直角三角形，勾股定理，軸對稱的性質(zhì)，根據(jù)題目的已知條件并結合圖形添加適當?shù)妮o助線是解題的關鍵．三、解答題（本大題共10小題，共93分，請在答題卡指定區(qū)域內(nèi)作答，解答時應寫出文字說明、證明過程或演算步驟等．）19.解方程（1）（2）【答案】（1），（2），【解析】【分析】（1）利用公式法即可求解此一元二次方程；（2）移項后提公因式求解一元二次方程．【小問1詳解】解：，，故方程有兩個不等實數(shù)根，，【小問2詳解】解：，，，，，或，【點睛】本題考查了解一元二次方程—因式分解法，公式法，熟練掌握解一元二次方程的方法是解題的關鍵．20計算：（1）（2）【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）用特殊角的三角函數(shù)值代入計算；（2）用特殊角的三角函數(shù)值、冪的運算、二次根式運算法則代入．【小問1詳解】【小問2詳解】【點睛】本題考查特殊角的三角函數(shù)值，冪的運算，二次根式的運算，屬于基礎計算題．21.已知關于x的一元二次方程x2-5x+m=0．（1）若方程有實數(shù)根，求實數(shù)m的取值范圍；（2）若方程兩實數(shù)根為x1，x2，且滿足3x1-2x2=5，求實數(shù)m的值．【答案】（1）；（2）6【解析】【分析】（1）根據(jù)一元二次方程根的判別式列出不等式計算即可；（2）根據(jù)根與系數(shù)的關系求出，，即可求出m的值．【詳解】（1）∵一元二次方程有實數(shù)根，∴，∴，解得；（2）∵方程兩實數(shù)根為x1，x2，∴，∴，∵3x1-2x2=5，∴，解得，∴，∵，∴m=6．【點睛】此題考查一元二次方程根的判別式，一元二次方程根與系數(shù)的關系，熟記根的判別式的三種情況及根與系數(shù)的兩個關系式是解題的關鍵．22.如圖，點C、D在線段AB上，是等腰三角形，，，且．（1）求的度數(shù)；（2）若，，BD=9，求的周長．【答案】（1）（2）17【解析】【分析】（1）根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得出，進而得到，即可解決問題；（2）結合（1）知，列出比例式即可解決問題．【小問1詳解】解：∵，，∴，∴，∵，∴，∴，∴；【小問2詳解】解：∵，∴，∵，∴∴，∵，∴，∴，∴，∴的周長為17．【點睛】本題考查了相似三角形的判定及其性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，解題的關鍵是得到以及熟練掌握相似三角形對應角相等，對應邊成比例．23.如圖是由小正方形組成的網(wǎng)格，每個小正方形的頂點叫做格點，矩形的四個頂點都是格點．僅用無刻度的直尺在給定網(wǎng)格中完成畫圖，畫圖過程用虛線表示．（1）在圖（1）中，先在邊上畫點，使，再過點畫直線，使平分矩形的面積；（2）在圖（2）中，先畫的高，再在邊上畫點，使．【答案】（1）見解析；（2）見解析【解析】【分析】（1）過點沿方向取一點，使得利用得線段比，即可找到點,再連接矩形的對角線交點即可；（2）利用三角形全等找到所需點，并進行簡單證明．【詳解】（1）畫圖如圖（1）過點沿方向取一點，使得，得找到點,再連接矩形的對角線交點即可．（2）中，畫圖如圖（2）畫的高，步驟如下：如圖，連接M，N(M，N都是格點上的點)交網(wǎng)格線于I，則，中，在中，，即在邊上畫點，使，步驟如下：如圖，方法同上，找可得：，，為的中點，所以，即FY為BD的垂直平分線，F(xiàn)Y交邊于，即為所求點．【點睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)，僅用無刻度的直尺作圖是本題的難點，正確的計算和作圖是解題的關鍵．24.某文具店去年8月底購進了一批文具1160件，預計在9月份進行試銷．購進價格為每件10元．若售價為12元/件，則可全部售出．若每漲價0.1元．銷售量就減少2件．（1）求該文具店在9月份銷售量不低于1100件，則售價應不高于多少元？（2）由于銷量好，10月份該文具進價比8月底的進價每件增加20%，該店主增加了進貨量，并加強了宣傳力度，結果10月份的銷售量比9月份在（1）的條件下的最低銷售量增加了m%，但售價比9月份在（1）的條件下的最高售價減少m%．結果10月份利潤達到3388元，求m的值（m＞10）．【答案】（1）售價應不高于15元．（2）m的值為40．【解析】【詳解】試題分析：（1）設售價應為x元，根據(jù)不等關系：該文具店在9月份銷售量不低于1100件，列出不等式求解即可；（2）先求出10月份的進價，再根據(jù)等量關系：10月份利潤達到3388元，列出方程求解即可．試題解析：（1）設售價應為x元，依題意有1160-≥1100，解得x≤15．答：售價應不高于15元．（2）10月份的進價：10（1+20%）=12（元），由題意得：1100（1+m%）[15（1-m%）-12]=3388，設m%=t，化簡得50t2-25t+2=0，解得：t1=，t2=，所以m1=40，m2=10，因為m＞10，所以m=40．答：m的值為40．考點：一元一次不等式的應用，一元二次方程的應用25.如圖，是放在水平桌面上的臺燈的幾何圖，已知臺燈底座高度為2cm，固定支點O到水平桌面的距離為7.5cm，當支架OA、AB拉直時所形成的線段與點M共線且與底座垂直，此時測得B到底座的距離為31.64cm（線段，，的和），經(jīng)調(diào)試發(fā)現(xiàn)，當，時，臺燈所投射的光線最適合寫作業(yè)，測量得A到B的水平距離（線段AC）為10cm．求：（1）___________°，___________；（2）此時點B到桌面的距離．（參考數(shù)據(jù)：，，，）【答案】（1）45，5.5cm（2）28.78cm【解析】【分析】（1）延長交于點，則，先利用平角定義求出，然后利用直角三角形兩個銳角互余可得，再利用角的和差關系可求出，最后根據(jù)題意利用支點到水平桌面的距離減去臺燈底座高度即可求出的長；（2）先在Rt中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出，的長，從而求出的長，然后在Rt中，利用銳角三角函數(shù)的定義求出的長，進行計算即可解答．【小問1詳解】解：（1）延長交于點D，則，∵，∴，∴，∵，∴，由題意得：（cm），故答案為：45；5.5cm；【小問2詳解】在Rt中，，cm，∴（cm），（cm），由題意得：（cm），在Rt中，，∴（cm），∴（cm），∴此時點B到桌面的距離約為cm．【點睛】本題考查了解直角三角形的應用，根據(jù)題目的已知條件并結合圖形添加適當?shù)妮o助線是解題的關鍵．26.定義：如圖，在△ABC中，∠C＝30°，我們把∠A的對邊與∠C的對邊的比叫做∠A的鄰弦，記作thiA，即thiA＝＝．請解答下列問題：已知：在△ABC中，∠C＝30°．（1）若∠A＝45°，求thiA的值；（2）若thiA＝，則∠A＝°；（3）若∠A是銳角，探究thiA與sinA的數(shù)量關系．【答案】（1）thiA＝；（2）60或120；（3）thiA＝2sinA【解析】【分析】（1）根據(jù)已知找到BC和AB的關系，依據(jù)定義計算出答案即可；（2）過點B向AC所在直線作垂線，根據(jù)thiA＝=，利用正弦首先表示出垂線段的長度，再根據(jù)正弦分兩種情況：當∠A為銳角或鈍角時，可得∠A=60°或120°．（3）根據(jù)題意，由thiA＝，sinA＝，sinC＝＝易得BC＝2BH，進而可得答案．【詳解】（1）如圖，作BH⊥AC，垂足為H．在Rt△BHC中，sinC＝＝，即BC＝2BH．在Rt△BHA中，sinA＝＝，即AB＝BH．∴thiA＝＝．（2）如圖，過點B作BD⊥AC于D，∵thiA＝，∴thiA＝＝=，∴設AB=x，則BC=，∵∠C=30°，∠BDC=90°，∴BD=，在Rt△ABD中，sinA=，∴∠A=60°；如下圖所示時，則∠BAC=120°，故答案為：60或120．（3）在Rt△ABC中，thiA＝．在Rt△BHA中，sinA＝．在Rt△BHC中，sinC＝＝，即BC＝2BH．∴thiA＝2sinA．27.在中，，在中，，請?zhí)剿鹘獯鹣铝袉栴}．【問題發(fā)現(xiàn)】（1）如圖1，若，點D，E分別在上，則與的數(shù)量關系是___________，直線與的夾角為___________；【類比探究】（2）如圖2，若，將繞點A旋轉(zhuǎn)至如圖2所示的位置，則與之間是否滿足（1）中的數(shù)量關系？說明理由．【拓展延伸】（3）在（1）的條件下，若m=2，將繞點A旋轉(zhuǎn)過程中，當B，E，D三點共線．請直接寫出的長．【答案】（1），（2）不滿足，，直線與的夾角為（3）或【解析】【分析】（1）根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)得到，，計算即可；（2）過點C作于H，延長交于點F，根據(jù)直角三角形的性質(zhì)得到，，證明，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)解答即可；（3）分點E在線段上、點D在線段上兩種情況，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)計算即可．【小問1詳解】解：∵，∴，∴，，∴，，∴，∵，∴直線與