八年級數(shù)學解答題訓練 (八)（含答案解析）

八年級數(shù)學解答題專題訓練(8)

1.平行四邊形ABC。中，對角線AC、8。相交于點0,若E、F是線段AC上的兩動點，分別從A、

C兩點以1cm/s的速度向C、A運動，若BD=12cm,AC=16cm.

(1)四邊形OEB尸是平行四邊形嗎？請說明理由；

(2)當運動時間f為多少時，四邊形力EB尸是矩形，直接寫出答案。

2.如圖，菱形4BCC,乙4=60。，AB=6,E是40的中點，尸是邊A8上一個動點，以砂為直

角邊作Rt^EFG,/-FEG=90°,乙EFG=60。.連接BD,設B力與尸G交于點M.

(1)①當4F=1時，求△BFM的面積；②當△BFM和△EFG相似時，求的值.

(2)連接GO,則GE+G。的最小值是；

3.如圖，已知四邊形A8c。是平行四邊形，點C和。在x軸上，且。為坐標原點，點4(一3,3),

和點8(-12,3),連接。并延長交y軸于點D

(1)求直線4c的解析式：

(2)若點尸從C出發(fā)以2個單位/秒的速度沿x軸向右運動，同時點。從。出發(fā)，以I個單位/秒

的速度沿x軸向左運動，過點P,Q分別作x軸的垂線交射線CQ和射線0A分別于點E,F,請

猜想四邊形EPQF的形狀，(點P,。重合除外)，并證明你的結論.

(3)在(2)的條件下，直接寫出當點尸運動多少秒時，四邊形EPQF是正方形?

4.如圖1,點M(-3,m)是一次函數(shù)y=x+1與反比例函數(shù)y=。0)的圖像的一個交點.點P

是x軸正半軸上的一個動點，過點尸作垂直于x軸的垂線，分別交一次函數(shù)、反比例函數(shù)的圖

像于點A、B,過OP的中點Q作x軸的垂線，交反比例函數(shù)的圖像于點C.

圖1

(1)求反比例函數(shù)解析式;

7

(2)當?shù)拿娣e為狎j,求點尸的坐標;

第2頁，共42頁

(3)在(2)的條件下，連結CO,過點B作BD〃x軸交OC于點D(如圖2).若點E是直線8。上一

個動點，連結EC,EO,問是否存在點E,使得以E,C,。為頂點的三角形是直角三角形？若

存在，請直接寫出E點坐標，若不存在，請說明理由.

5.如圖，在平面直角坐標系中，菱形ABC。的頂點C與原點0重合，點8在y軸的正半軸上，點

A在反比例函數(shù)y=￡(k>0,x>0)的圖像上，點D的坐標為(2,|),設AB所在直線解析式為y=

ax+b(aW0),

(1)求k的值，并根據(jù)圖像直接寫出不等式ax+b>5的解集；

(2)若將菱形ABC。沿x軸正方向平移機個單位，若反比例函數(shù)圖像與菱形的邊A。始終有交點,

則m的取值范圍是_____________________;

(3)直線AB與X軸交于點P,在)，軸上有一點Q,若S44PQ=S菱礴BCO，求點。的坐標.

6.如圖①，點0是菱形ABC。對角線的交點，己知菱形的邊長為6,2.ABC=60°.

圖①

(1)求8。的長；

(2)如圖②，點E是菱形邊上的動點，連結E。并延長交對邊于點G,將射線OE繞點。逆時針

旋轉30。交菱形于點F,延長FO交對邊于點H.

圖②

①求證：四邊形EFG”是平行四邊形.

②若動點E從點B出發(fā)，以每秒1個單位長度沿8c方向向點C運動，設點E運動時間為r,

當，為何值時，四邊形EFG”為矩形.

7.如圖1,在矩形ABCZ)中，E為邊上一點，連接Z)E,0為線段OE上一點，連接。3,且/OBE=

Z-CDE=a.

第4頁，共42頁

(1)求4B0E的大小(用含a的式子表示);

(2)如圖2,。為OE的中點，延長B。交C。于點巳連接A。，作點C關于力E的對稱點C',作

C'G1AO,EH1B0,求證：C'G=EH；

(3)在(2)的條件下，若EC=5,C'G=2同,求C。的長.

8.如圖1,已知直線AB：y=x+8與x軸，y軸分別交于A,B兩點，點C與點A關于)，軸對稱,

連接BC.

(1)判斷AABC的形狀，并證明；

(2)已知點F(2,0)，點P是線段AB上一點，過點P作PD1x軸于點Q,作PE〃x軸交BC于點E,

交y軸于點G,當PD+PE=13時，在)，軸上找一點Q,連接尸Q,FQ,求|PQ-尸Q|的最大值

和此時點。的坐標；

(3)如圖2,在(2)的結論下，將APBG繞點B逆時針旋轉45。至△P'BG',將△P'BG'沿射線BC方

向平移，設平移后的△P'BG'為連接8"。，P"0,當△OB"P"是以。夕'為腰的等腰三角

形時，求△P'BG'的平移距離d.

9.如圖1,已知直線AC：y=-當x+瓦和直線A8：y=kx+/?2交于x軸上一點A,且分別交y

(1)求上的值；

(2)如圖1,點。是直線AB上一點，且在x軸上方，當SMCD=9次時，在線段AC上取一點F,

使得CF=g凡4,點"，N分別為x軸、軸上的動點，連接NF,將△CN尸沿NF翻折至△CWF,

求MO+MC'的最小值；

(3)如圖2,H,P分別為射線AC,AO上的動點，連接PH,PC是否存在這樣的點尸，使得△PCH

為等腰三角形，AP/M為直角三角形同時成立.請直接寫出滿足條件的點P坐標.

10.如圖，在△ABC中，4ABe=30。，以AC為邊作等邊A4C0,連接8D

(2)如圖2,若乙4cB<90。，點E為8。中點，連接AE、CE,且4E1CE,延長BC至點尸，連

接A凡使得NF=30°,求證：AF=CE+V3AE.

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11.四邊形ABC。是邊長為8的正方形，點E在邊4。所在直線上，連接CE,以CE為邊,作正方

形CEFG(點。，點尸在直線CE的同側)，連接

(1)如圖1,當點E與點A重合時，請直接寫出BF的長;

(2)如圖2,當點E在線段AD上時，AE=2；

①求點F到的距離；

②求B尸的長；

12.己知：如圖，在正方形ABC。中，E是對角線4c上一點，且與A、C不重合，連BE、DE.

(1)求證：△CDESACBE-,

(2)在線段BC上取凡使EF=E8,

求證：①OEJLEF；

②CD+CF=V2CE;

(3)若在BC的延長線上取F,使EF=EB,試探究C￡＞、CF、CE之間的數(shù)量關系.

13.如圖，在正方形ABCD中，E,尸分別為CO,AO上的點，且DF=EC,AE與BF交于點、P.

。C0EC

AB

圖1圖2

(1)如圖1,求證：AAPB為直角三角形.

(2)如圖2,。為對角線的交點，80、AC分別與AE、8F交于點G、H,求證：△04G三△0BH.

(3)在(2)的條件下，連接0P,若4P=4,0P=VL求Q4的長.

14.在平行四邊形A8C。中，點。是對角線2。的中點，點E在邊2c上，E。的延長線與邊AQ交

于點F,連接BF、DE,如圖1.

AFDAFD

BECBEC

圖1圖2

(1)求證：四邊形BE。/7是平行四邊形;

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(2)在(1)中，若DE=DC,4CBD=45°,過點C作OE的垂線，與DE、BD、BF分別交于點G、

H、R,如圖2.

①當CD=6,CE=4時，求BE的長；

②探究8H與AF的數(shù)量關系，并給予證明.

15.如圖，已知團ABC中，=90°,AB=16cm,BC=12cm,P、。是團ABC邊上的兩個動點,

其中點P從點A開始沿4tB方向運動，且速度為每秒1cm,點。從點B開始沿BrC->4方

向運動，且速度為每秒2cm,它們同時出發(fā)，設出發(fā)的時間為f秒.

Bp<-----ABp<------A

?用那

(1)出發(fā)2秒后，求P。的長；

(2)當點。在邊8c上運動時，出發(fā)幾秒鐘后，I2PQB能形成等腰三角形?

(3)當點。在邊C4上運動時，直接寫出能使回BCQ成為等腰三角形的運動時間.

16.某商場欲購進果汁飲料和碳酸飲料共50箱，果汁飲料每箱進價為55元，售價為63元；碳酸飲

料每箱進價為36元，售價為42元；設購進果汁飲料x箱。為正整數(shù))，且所購進的兩種飲料能

全部賣出，獲得的總利潤為W元(注：總利潤=總售價-總進價)，

(1)設商場購進碳酸飲料y箱，直接寫出y與x的函數(shù)關系式；

(2)求總利潤W關于尤的函數(shù)關系式;

(3)如果購進兩種飲料的總費用不超過2000元，那么該商場如何進貨才能獲利最多?并求出最大

利潤.

17.在平面直角坐標系中，O為坐標原點,B在x軸上，四邊形OACB為平行四邊形，且N40B=60。,

反比例函數(shù)y=三*>0)在第一象限內(nèi)過點A,且與BC交于點F.

(1)若。4=10,求反比例函數(shù)的解析式；

(2)若F為3c的中點，且SA40F=24g，求OA長及點C坐標；

(3)在(2)的條件下，過點尸作EF〃OB交OA于點E(如圖2),若點P是直線E尸上一個動點，連

結，PA,PO,問是否存在點P,使得以P,A,O三點構成的三角形是直角三角形？若存在，

請指出這樣的尸點有幾個，并直接寫出其中二個P點坐標；若不存在，請說明理由.

18.如圖，在。A5CC中，對角線AC,8。相交于點O,AB1AC,AB=3cm,8。=551.點/>從人

點出發(fā)沿A￡>方向勻速運動，速度為lcm/s,連接P。并延長交BC于點Q.設運動時間為t(s)(0<

t<5)

(1)當f為何值時，四邊形A8QP是平行四邊形？

(2)當t=3時四邊形OQC。的面積為多少？

(3)是否存在r的值，使A4QP為等腰三角形？若存在，請直接寫出f的值；若不存在，請說明

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理由.

19.如圖，直線小y=-3x+3交y軸于C,與x軸交于點。，直線。經(jīng)過點4(4,0),且直線5"交

于點E(2,m).

(1)求m的值和直線，2的函數(shù)表達式；

(2)直線已在第一象限內(nèi)的部分上有一點E，且AADE的面積是△力DB面積的一半，求出點E的

坐標，并在x軸上找一點P,使得CP+PE的值最小，求出這個最小值；

(3)若點Q為)，軸上一點，且ABOQ為等腰三角形，請直接寫出點。的坐標；

20.等腰直角三角形OAB中，40AB=90。，。4=4B,點。為0A中點，DC10B,垂足為C,連

接點M為線段BD中點，連接AM、CM,如圖①.

D,DC

圖①圖②

(1)求證：AM=CM；

(2)將圖①中的AOC。繞點。逆時針旋轉90。，連接BO,點M為線段8。中點，連接AM、CM、

OM,如圖②.

①求證：AM=CM,AM1CM；

②若4B=4,求AAOM的面積.

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答案與解析

1.答案：解：(1)設運動時間為r,

由題意得：AE=CF=t.

???四邊形ABCD是平行四邊形，

???A0—CO,BO=DO,

???EO=FO,

???四邊形OE8尸是平行四邊形；

(2)???AO=CO=-AC=8cm,BO=DO=-BD=6cm,

v722

.??當OE=OB時，即4。-AE=B。時，8-t=6,

此時t=2,或如圖2當。F=OB時，即t-8=6,此時t=14.

.?.當t=2s或14s時，四邊形OE8F是矩形.

解析：本題考查了平行四邊形的判定與性質以及矩形的判定.矩形是對角線相等的平行四邊形.

(1)由平行四邊形ABCQ的對角線互相平分得到AO=C。，BO=Z)0：由點E、F的運動速度、時間

都相等可以得到4E=CF,則E。=F0,屬于對角線互相平分的四邊形EBFD是平行四邊形；

(2)矩形的對角線相等，由此可以得到EF=BD,所以易求，的值.

2.答案：解：(1)①???四邊形4BCD是菱形，44=60。，AB=6,

是等邊三角形，

???Z-A—Z,ABD=60°,

-AB=6,AF=1,E是4。的中點，

???BF=5,AE=DE=-AD=3

2

v(EFB=Z.EFG+乙BFM=ZJ1+ZJ1EF,

???Z.AEF=乙BFM,

???△AEF^LBFM,

,A.E~~一3

??BF-5’

...必空="Y=2,

S^BFM\BF)25

過點產(chǎn)作FG1AD于G,

vZ.A=60°,AF=1,

FG-AF-sinA=―,

2

???ShAEF=\AE.FG=￥，

c_37325_250

'^ABFM=_XV=~YT'

②當△EFG相似，

又MAEFfBFM,

△AEF^i^FGE相似，

當△力EF—FGE時，Z.AEF=Z.FGB=30°,

13

AF=-AE=-,

22

39

???BF=6—々=二

22

19

???BM=-BF=

當△4EF?△FEG時，Z-AEF=Z-FEG=90°,此時產(chǎn)和8重合，4BF"不存在.

故此情況不成立.

綜上所述當△BFAOSEFG相似時，BM的值為

4

(2)377.

解析：【分析】

本題考查菱形的性質，等邊三角形的判定和性質，相似三角形的判定和性質，含30。的直角三角形的

性質，圓周角定理，分類討論的數(shù)學思想，軸對稱-最短路線問題，勾股定理.掌握相似三角形的判

定和性質以及已知定邊定對角的角的頂點一定以定邊為弦的圓上時關鍵.

(1)①先根據(jù)菱形的性質和NA=60。得^ABD是等邊三角形，再根據(jù)三角形外角的性質證明乙4EF=

4BFM,得△AEFSABFM,再求SZBFM，最后根據(jù)相似三角形面積的比等于相似比的平方即可解答；

②分兩種情況討論：根據(jù)含30。的直角三角形的性質即可解答；

(2)連接CE,以FG為直徑作圓O,,先根據(jù)等邊三角形的性質得乙1BE=NOBE=30。，

再由NEGF=30。得點B在圓。上，根據(jù)圓周角定理得NFBG=90。得點G在CO在垂直平分線上,

點C和點。關于直線8G對稱，當E、G、C在一條直線上時，GE+GC最小，最小值是是線段CE

的長，過E作EH1DC交CD的延長線于H,根據(jù)含30。的直角三角形的性質和勾股定理求得DH、

EH和CE的長即可解答.

【解答】

解：(1)見答案；

(2)連接CE,以FG為直徑作圓O,

ABD^\LCBD是等邊三角形，

E是A。的中點，

/.ABE=乙DBE=30°,

???乙FEG=90°,乙EFG=60°,

???Z.EGF=30°=4EBF,

.??點8在圓。上，

???4FBG=90°,

.?.點G在C。在垂直平分線上，

???點C和點。關于BP對稱，

第14頁，共42頁

.??當E、G、C在一條直線上時，GE+GD最小，最小值是是線段CE的長,

過E作￡771DC交CD的延長線于H,

?：DE=3,AA=4ADH=60°,

???哈,EH書回

在RtACEH中，由勾股定理得：CE='EH?+CH?=J(6++(甯=3/

即GE+G。的最/］、值是3位.

故答案為3位.

3.答案：解：(1)設直線AC的解析式為y=/cx+b(k70),

???四邊形ABCO是平行四邊形，且點4(一3,3),和點B(—12,3),

???C(-9,0)

.(-3k+b=3

"l-9k+b=0'

???直線AC的解析式為y=|x+|；

???點A的坐標為(一3,3)

二直線OA的解析式為y=-x,

???點Q從點O出發(fā)以1個單位/秒沿x軸向左運動,

???OQ=-3

?0?F(—￡,t),

???FQ=t,

???點P從點C出發(fā)以2個單位/秒沿x軸向右運動,

???CP=2tf

???op=_9+23

由(1)知，直線AC的解析式為y=：x+￡

:.E(—9+2t,t),

???PE=t,

:.PE=FQ,

vFQ1%軸，PE1X軸，

/./LPQF=90°,FQ//PE,

?.?PE=FQ,

??.四邊形PMQ是平行四邊形，

v乙PQF=90°,

???平行四邊形PEF。是矩形；

(3)由(2)知，PC=23OQ=t,PE=t,

PQ=OC-OQ-CP=9-t-2t=9-3t,或PQ=OQ+CP-OC=3t-9,

???四邊形PEF。是正方形，

???PQ=PE,

???9—3t=(■或3t—9=3

二t=;或t=￡即：點P運動：秒或g秒時，四邊形EPQF是正方形.

解析：(1)利用待定系數(shù)法即可求出直線AC的解析式；

(2)先利用待定系數(shù)法求出直線OA的解析式，進而求出點E,尸坐標，即可得出PE=FQ,即可得

出結論；

(3)先分兩種情況(點。在點P左側或右側)求出PQ,利用PE=PQ建立方程即可求出時間.

此題是一次函數(shù)綜合題，主要考查了待定系數(shù)法，平行四邊形的性質和矩形，正方形的性質，解(2)

的關鍵是求出點E,尸的坐標，解(3)的關鍵是用方程的思想解決問題，是一道中等難度的題目.

4.答案：解：(1)；點時(一3,6)是一次函數(shù)、=%+1上的點

.?.點”(-3,—2)

代入反比例函數(shù)y=：(kH0),得：k=6

.??所求反比例函數(shù)解析式y(tǒng)=:

圖1

第16頁，共42頁

(2)設點尸的坐標為(弭0),則點8的坐標(九，2，點A的坐標為(幾九+1),點C的坐標為(去年)

16n7

???54XBC=-(n+l--)x(n--)=-

解得叼舍去)

=4,n2=-5(

???點P的坐標為(4,0)

(3)

^(1+^713，1),

E2(l-iVT3,|),

邑(/|)，

173

解析：本題考查一次函數(shù)與反比例函數(shù)的綜合應用，分類討論思想.

(1)把點M(-3,m)代入一次函數(shù)y=x+l,求得相的值，再代入反比例函數(shù)y=:得反比例函數(shù)解析

式；

(2)設點尸的坐標為(珥0),則點8的坐標(n,9,點A的坐標為(n,n+l),點C的坐標為(會勺，

利用三角形面積公式列方程，求得〃的值即可；

(3)先確定直線。。解析式，由BD〃x軸交。。于點。知E,D,B縱坐標相同，由(2)知點B(4,|),

設。代入直線解析式求得。點坐標，設當。=。時，有〃22

(x,|),0CE(a,|),NCE900=CE+0E,

列出關于x的方程，求解即可得到點E的坐標；當NCOE=90。時，WfC2=OC2+OE2,列出關于

x的方程，求解即可得到點E的坐標；當NEC。=90。時，^OE2=OC2+CE2,列出關于x的方程，

求解即可得到點E的坐標即可.

【解答】

解：(1)見答案；

(2)見答案;

(3)???P(4,0),。點為OP的中點，CQ1x軸，

??.C點橫坐標為2,

???C點在反比例函數(shù)y=:的圖象上，

???C點縱坐標為y=3,

即C(2,3),

直線OC的解析式為y=gx,

???BD11x軸交。C于點。，

-.E,D,8縱坐標相同，

???點B(4,|),

???設D(W),貝嶺=尹，

解得％=1,

3

設E(a,|),當乙CEO=90。時，有OC?=CE2+OE2,

則“22+32『=J

(2-a)2+(3一|

4a2-8a-9=0.

解得a=l±￡g,

???邑(：；

1+g,|),F2(l-iV13,|)

當/COE=90。時,WCE2=OC2+OE2,

則J(2-a)2+(3-1)2_________2

—(V22+32)+

解得Q=_：,

4

??/J沸；

第18頁，共42頁

當4EC0=90°時，WOF2=OC2+CE2,

I----------------212

J(2_a)2+(3-|)+(日工可丁，

-4a+17=0,

解得a=g

173

?/(")，

綜上,E點坐標為Ei(l+gg,|),F2(l-iV13,|),%(一?)'EW，》

5.答案：解：(1)延長4。交x軸于尸，由題意得軸，

???點。的坐標為(2,|),

3

.??OF=2,DF=

2

OD=OB=

2

5

.?*AD=-

2

.??點A坐標為(2,4),點B坐標為(0,|),

二k=xy=2x4=8,

由圖象得解集：%>2

(2)0<m<~

(3)如圖：

???點A坐標為(2,4),點B坐標為(0,|),

???AB所在直線解析式為：y=|x+|,

?.?直線AB與x軸交于點P,

???點尸的坐標為(一三,0),

設點Q的坐標為：(0,q),

VS

^APQ~S菱形ABCD，

施Tx譚+2)=2x￡

???點Q的坐標為(0,金)或(0,》.

OO

解析：【分析】

本題考查了反比例函數(shù)的綜合應用，菱形的性質，坐標與圖形的變化-平移，三角形面積等知識，

掌握相關知識并能靈活運用知識點進行計算是解此題的關鍵.

(1)根據(jù)菱形的性質和。的坐標即可求出A的坐標，代入求出即可；

(2)根據(jù)反比例函數(shù)圖像與菱形的邊AO始終有交點，可知A和?？赡苈湓诜幢壤瘮?shù)的圖象上，根

據(jù)平移求出即可；

(3)根據(jù)菱形的頂點A、8的坐標可求出直線AB的解析式，進而確定P點的坐標，再根據(jù)SZ4PQ=

S菱形ABCD，即可求出。點的坐標?

【解答】

解：(1)見答案；

(2)將菱形A8CQ沿x軸正方向平移m個單位，使得點。落在函數(shù)y=^(x>0)的圖象D'點處，

第20頁，共42頁

.??點。'的坐標為(2+zn,|),

???點。'在y=:的圖象上，

38

???-=--,

22+X

解得：m=^,

???0<m<y;

(3)見答案.

6.答案：解：(1)?.?菱形ABCO中，AABC=60°；

圖①

AC}.BD,N4B0=30°,

在RtzMB。中，^ABO=30°,

AO--AB=3,BO=y/3AO=3>/3?

BD=2BO=6V3;

(2)①???。是菱形A8CD對角線的交點，菱形是中心對稱圖形,

OE=OG,OF=OH,

四邊形EFG”是平行四邊形；

②的當點尸在邊8c上時，如圖所示，易得。E=OF,

過點。作OM1CB于點M,過點E作EN1BD于點、N,

v乙EOF=30°,

???Z.EOM=Z.FOM=15°,

vZ.ONB=90°,

4MOB=90°,乙NOE=45°,

EN1BD

ONE是等腰Rr三角形，△BNE是有一個角為30。的直角三角形

設ON=NE=x,則BN=V3x，

BO=BN+NO=y[3x+x=(V3+l)x=3痘,

解得：x=

:.BE=2x=9—3-/3?t=9—3>/3;

回)當點尸在邊CD上時，如圖所示，止匕時NEOC=NFOC=15。，

乙EOB=75°,

v乙OBE=30°,

乙OEB=75°,

.?.△OBE是等腰三角形，

???BE=BO=3我，t=3>/3.

綜上所述，t=9-3v5或1=3聒.

解析：本題考查四邊形綜合題、菱形的性質、矩形的性質、平行四邊形的判定、等腰三角形的判定

和性質等知識，解題的關鍵是學會用分類討論的思想思考問題，屬于中考壓軸題.

(1)首先根據(jù)菱形的性質證得4C1BD,4480=30。，然后根據(jù)含30。得直角三角形的性質求出AO

的長，再根據(jù)勾股定理求出OB的長，最后通過BC=28。即可求出8。的長；

(2)①根據(jù)菱形是中心對稱圖形，證得OE=OG,OH=OF,即可證明四邊形EFGH是平行四邊形；

②分兩種情形畫出圖形，當點尸在邊BC上時，四邊形EFGH是矩形，過點。作0MJ.C8于點

M,過點E作EN1BD于點N,構造等腰直角三角形ONE和含30。得直角三角形8NE,并設ON=NE=

x,銳角三角函數(shù)的定義求出BN=百無，然后列出關于x的方程，解方程求出NE的長，最后根據(jù)30。

角所對的邊等于斜邊的一半即可求出BE的長，即f的值；團〉當點F在邊8上時，四邊形EFGH

是矩形，首先根據(jù)旋轉地性質求出4EOB=75。，然后根據(jù)三角形的內(nèi)角和定理求出40E8=75。，

即可證得△OBE是等腰三角形，進而證得BE=B。=38，即可求出f的值.

7.答案：解；(1)在矩形ABCZ)中，ZC=/.ADC=/.BCD=90°,AD=BC,

4CDE+/.DEC=90°,

???乙DEC=Z-OBE+(BOE,乙OBE=Z.CDE=a,

???a+a+乙BOE=90°,

:.乙BOE=90°—2a；

(2)連接OC,CC,CC'交DE于點M,

第22頁，共42頁

VC,C'關于。E對稱，

NOMC=NOMC'=90°,

。是。E的中點，

???OC=-DE=OD=OE,

2

???Z-ODC=(OCD,

???Z.ADC=(BCD=90°,

:.Z-ADO=Z-BCO,

?:AD=BC,/-ADO=Z.BCO,OD=OC,

:.AO=BO,Z-DAO=(OBE,

v乙OBE=Z-CDE,

:.Z-DAO=乙CDE,

???￡.DAO+2-ADO=Z.CDE+Z.ADO=Z.ADC=90°,

???Z.BOC=Z.AOD=90°,

???Z,AOE=90°,

???四邊形C'MOG是矩形，

:?C'G=OM,

-EHA.BO,

?.EH//OC,

???Z.OEH=乙COM,

???乙OHE=ZCMO=90°,OE=OC,

??.△OEH=^C0M(44S),

???EH=OM,

???C'G=EH；

(3)設EM=x,則0C=0E=%+2VIU,

可得：(%+2仙)2—(271^)2=0"2=52一%2,

則尤=叵，負值舍去，

2

OD=OC=OE=x+2V10=蜉，

???DE=2OE=5V10，

CD=>JDE2-EC2=15.

解析：本題主要考查矩形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，等腰三角形的判定和性質，勾

股定理等知識.

(1)由矩形性質可得NCDE+/DEC=90。，再由三角形外角的知識，即可得出結論；

(2)連接OC,CC',CC'交DE于點M,先證△ADO^LBCO,可得4。=BO,/.DAO=KOBE=乙CDE,

再證四邊形C'MOG是矩形，得出C'G=OM,再證△OEHm^COM,即可解答；

(3)設EM=x,則OC=OE=x+2VIU，根據(jù)勾股定理求出x值，即可求出。E,CD.

8.答案：解：(1)△力BC是等腰直角三角形，

??,直線4B：丫=刀+8與*軸，y軸分別交于4,3兩點，

.?.點4(-8,0),點8(0,8),

???點C與點A關于y軸對稱，

???點C(8,0)且點4(-8,0),點B(0,8),

???OA=OB=OC=8,且B。1AC,

：.Z.OAB=/.OBA=45°=4OBC=/.OCB,

：.AB=BC,/.ABC=90°,

??.△ABC是等腰直角三角形

(2)設點P(a,a+8),

:*PD=a+8,PG=-a,

???△ABC是等腰直角三角形，BOLAC,

???△ABO^ACBO關于BO對稱，

:.PG=GE=-a,

???PD+PE=13,

???a+8+(—a-a)=13

a=-5,

.?.點P(-5,3),點E(5,3)

如圖，連接EF,并延長E尸交y軸于點Q,

圖1

???點P與點E關于8。對稱，

\PQ-FQ\=\EQ-FQ\<EF

.??當點。在EF的延長線時，|PQ—FQ|有最大值，

???點E(5,3),點F(2,0),

???直線￡尸的解析式為：y=x-2,

當x—0時，y=-2,

???點Q(0,-2)

???點E(5,3),點F(2,0),

EF=J(5-2尸+32=3V2

(3)???點(7(8,0),點8(0,8),

.??直線BC的解析式為：y=-x+8,

???點P(-5,3),點8(0,8)

???PG=5,BG=5,PB=5V2.

?.,將△P8G繞點8逆時針旋轉45。至4P'BG',

第24頁，共42頁

BP'=BP=5企，BG=BG'=5,PG=P'G'=5,

過點G'作G'H1B。于H,

圖2

設點B”(4一b+8)

?.?平移后的△PBG'為4P"B"G",

：.B"P"=BP'=5&,

若OB"=B"P"時,

墳+(-b+8)2=50,

.1.b=1(不合題意)，b=7,

d=7V2-5

若OB"=OP"時,

2(-b+8)=5V2

5V2

?,?/?=8-----

L5&L

Ad=V2(8--)-5=8V2-10

解析：⑴由題意可求點A,點B坐標，由對稱性可求點C坐標，可求。4=OB=OC,即可判斷A4BC

的形狀；

(2)設點P(a,a+8),可得PD=a+8,PG=-a,由等腰直角三角形的對稱性可求GE=PG=—a,

由PC+PE=13,可求。的值，當點。在E尸的延長線時，|PQ-FQ|有最大值，即可求解；

(3)分兩種情況，由等腰三角形的性質，可求點B”的坐標，即可求AP'BG’的平移距離讓

本題是一次函數(shù)的綜合題，考查了等腰直角三角形的判定，旋轉的性質，平移的性質，待定系數(shù)法

求解析式等知識，利用分類討論思想解決問題是本題的關鍵.

9.答案：解：(l)OB=20C=4V5，則點8、C的坐標分別為：(0,-4b)、(0,2百)，

將點C的坐標代入AC：y=-4》+瓦并解得：

AC的表達式為：y=—^-x+2V3>

令y=o,則x=6,故點4(6,0),

(Q—6k+b，k—d

將點2、A的坐標代入y=kx+b2得：L,廣，解得：3，

⑸=-4遮心=-4V3

故直線的的表達式為：y=^_4后即卜=零

(2)由點8、C的坐標得，BC=6同

S^ACD-S?BCD-S&BCA=IXFCx(xD-xA)=ix6百(x。-6)=9V3,

解得：xD=9,

當x=9時，y=gx-4痘=2顯,故點。(9,26);

CF=^FA,即CF=：］(2百)2+36=6，

過點F作FH_Ly軸于點H,

由直線AC的表達式知，AOCA=60°,

則HF=CFsin60°=V3Xy=|,CH=故點尸(|,當)，

作點。關于x軸的對稱點。(9,一2遮)，連接C'。'，當。'、C'、F三點共線時，MO+MC'最小,

MD+MC，最小值為。F-F'C=D'F-CF=(9--)2+(―+2A/3)2一遮=V93-V3；

(3)由直線AC的表達式知，Z.CAO=30。，4C=^J62+(2>/3)2=4>/3!

@^PHA=90%當點”在線段AC上時，

則△2//(:為等腰直角三角形，

設HP=CH=a,

則4P=2HP,HA=y/PA2-PH2=國a，

AC—CH+HA=a+V3a_45/3,解得：a—6-2-\/3>

AP=2a=12-4V3-則4P=6-(12-473)=473-6，

故點P(4迎一6,0).

當點〃在AC的延長線時時，可得4CPZ=15。，此時OP=-6-46，可得「(一6-46,0).

(2)ACPH=90°,當點H在線段AC上時，

則CPH為等腰三角形，則HP=CP,

設HP=CP=a,貝IJ在Rt△PH4中，HA=2HP=2a,

???乙CPH=90°,

HPHOC,

PA=y/AH2-PH2=V3a=4，

故點P(2,0).

當點，在AC的延長線上時，同理可得P(—6,0).

第26頁，共42頁

綜上，點P的坐標為：（2,0）或（46一6,0）或（一6-46,0）或（一6,0）.

解析：（1）。8=2OC=46，則點8、C的坐標分別為：（0,-4M）、（0,273）,將點C的坐標代入

AC：y=—gx+瓦并解得：AC的表達式為：y=—4刀+2B；令y=0,則x=6,故點4（6,0）,

將點8、A的坐標代入y=kx+即可求解；

（2）作點。關于x軸的對稱點。（9,一2遮），連接C'D',當D'、C'、尸三點共線時，MD+MC'最小，即

可求解；

（3）①當NP/M=90。時，則APHC為等腰直角三角形，則從4=ga，AC=CH+HA=a+^3a=

4V3,解得：a=6-28，即可求解；②當"PH=90。時，則CP”為等腰三角形，則HP=CP,

則會=今即親=+解得：a=逋，即可求解.

OCAC2V33a3

本題考查的是一次函數(shù)綜合運用，涉及到點的對稱性、等腰三角形的性質、平行線分線段成比例、

三角形面積的計算等，其中（3）,要注意分類求解，避免遺漏.

10.答案：解：（1）如圖1,過點。作DH_LBC,交3c延長線于點H,

v/.ABC=30°,Z.ACB=90°,AB=4,

???AC=^AB=2,BC=V3AC=2百，

?.?△4CD是等邊三角形，

AC=CD=AD=2,乙4CO=60°,

乙DCH=180°-4ACB-Z.ACD=30°,

-??DC=2,DH1CH,Z.DCH=30°,

DH=1,

???△BCD的面積=；XBCXDH=|x2V3x1=V3；

(2)如圖2,延長BA至"，^AH=AB,連接QH,過點C作CNLA尸于N,

圖2

V^.ABC=30°,Z-F=30°,

/.Z.ABC=Z.F,Z,BAF=120°,

：-AB=AF,/,HAF=60°,

???△ac。是等邊三角形，

:.AD=AC,Z-CAD=60°=乙HAF,

???乙HAD=乙CAF,

又???AF=AB=AH,AD=AC,

???△DAH三七CAF(SAS)

/.DH=CF,zH=zF=30°,

???AB=AH.BE=DE,

：?AE=”H,AE//DH,

???CF=2AE,Z.BAE=Z,H=30°,

???LEAF=90°,

???Z-AEC=90°=Z-EAFf

：.AF//EC,

/.LACE=Z.CAN,且AC=AC,^ANC=Z.AEC=90°,

AEC^^CNA^AAS)

???AN=EC,

???CNlAFf乙F=30°,

:.NF=WCN，CF=2CN,

???AE=CN,

???NF=WAE,

???AF=AN+NF=EC-[■取AE.

解析：（1）過點。作?！惫C,交8c延長線于點H,由直角三角形的性質可求4c=^48=2,BC

754c=275，DH=1,由三角形面積公式可求解；

（2）延長BA至H,使4H=AB,連接DH,過點。作QV14F于N,由“SAS”可證△DAH"CAFf

可得DH=CF,Z,H=Z.F=30°,由三角形中位線定理可證4E=抄H,AE//DH.CF=2AE,Z.BAE

乙”=30。，由“A4S”可證△力EC三△CM4,由直角三角形的性質可得NF=南七，即可得結論.

本題是三角形綜合題，考查了全等三角形的判定和性質，直角三角形的性質，等邊三角形的性質,

添加恰當輔助線構造全等三角形是本題的關鍵.

11.答案：解：（1）解：（1）作尸H_L8力交BA的延長線于H,如圖1所示：

第28頁，共42頁

則"HE=90°,

???四邊形A8CD和四邊形CEFG是正方形，

:.AD=CD=8,EF=CE,乙ADC=Z-DAH=乙BAD=Z-CEF=90°,

???乙FEH=Z.CED,

Z.FHE=Z-EDC=90°

在△EFH和△ECO中，Z.FEH=MED,

EF=CE

???△EFHzZkECD(44S),

FH=CD=8,AH=AD=8,

???BH=AB+AH=16,

ABF=7BH2+FH?="62+82=875;

(2)過F作尸HJ.AD交A。的延長線于點”，作FMJ.BA交84的延長線于M,如圖2所示:

則FM=ZH,AM=FHf

①vAD=8,AE=2,

:.DE=6,

同(1)得：AEFH三ACEDHS),

???FH=DE=6,EH=CD=8,

即點尸到AD的距離為6；

@BM=AB+AM=8+6=14,

FMAE+EH=10,

BF=y/BM2+FM2=V142+102=2g.

解析：本題是四邊形綜合題目，考查了正方形的性質、全等三角形的判定與性質、勾股定理等知識，

本題綜合性強，有一定難度，證明三角形全等是解決問題的關鍵.

(1)作FH_LB4交BA的延長線于“，由證明△EFH三△ECO,得出FH=CO=8,AH=AD=8,求

出BH=4B+4H=16,由勾股定理即可得出答案；

(2)作圖得FM=AH,AM=FH,①同(1)得：△EFH三△CED,得出FH=DE=6,EH=CD=8即

可；

②求出BM=4B+4M=14,FM=AE+EH=10,由勾股定理即可得出答案.

12.答案：(1)證明：???四邊形ABC。是正方形，

???BC=CD,AACB=Z.ACD=45°,

vCE=CE,

CDE三二CBE；

(2)①證明：CDEmACBE,

???乙EBC=乙EDC,

又???EF=EB,

，乙EBC=乙EFB,

???Z,EFB=乙EDC,

???乙EFB+乙EFC=180°,

:?乙EDC+乙EFC=180°,

又??,四邊形EFCD內(nèi)角和為360。，

:.Z.DCF+Z.DEF=180°,

又???正方形A8CD中，Z.DCB=90°,

???(DEF=90°,

即OE1EF；

②如圖，延長CQ到M,使得DM=CF,連接EM,

則“DE+4EDM=180°,

CBE=^CDE,

???BE=DE9

vEF=BE,

.??DE=EF,

由①可得：ZCDE4-ZCF￡，=18O°,

???Z.CFE=ZEDM,

在△EFC和△EDM中，

EF=ED

乙EFC=乙EDM,

CF=DM

???△EC尸三△EMD,

???EC=EM,

在正方形ABC。中，4ECD=45。,

???乙M=乙ECD=45°,

:.匕CEM=90°,

.?.△ECM是等腰直角三角形，

???CD+DM=\f2CE,

所以CD+CF=MC=V2CE;

(3)如圖，在線段C。上截取M,使得。M=