2024版創(chuàng)新設(shè)計(jì)高考總復(fù)習(xí) 數(shù)學(xué) 人教A版第5節(jié) 空間向量及其應(yīng)用

第5節(jié)空間向量及其應(yīng)用

考試要求1.了解空間向量的概念、空間向量的基本定理及其意義，掌握空間向

量的正交分解及其坐標(biāo)表示.2.掌握空間向量的線(xiàn)性運(yùn)算及其坐標(biāo)表示.3.掌握空

間向量的數(shù)量積及其坐標(biāo)表示，能用向量的數(shù)量積判斷向量的共線(xiàn)和垂直.4.理

解直線(xiàn)的方向向量及平面的法向量.5.能用向量語(yǔ)言表述線(xiàn)線(xiàn)、線(xiàn)面、面面的平

行和垂直關(guān)系.6.能用向量方法證明立體幾何中有關(guān)線(xiàn)面位置關(guān)系的一些簡(jiǎn)單定

理.

知識(shí)診斷?基礎(chǔ)夯實(shí)

【知識(shí)梳理】

1.空間向量的有關(guān)概念

名稱(chēng)定義

空間向量在空間中，具有大小和方向的量

相等向量方向相同且模相等的向量

相反向量方向相反且模相等的向量

共線(xiàn)向量表示空間向量的有向線(xiàn)段所在的直線(xiàn)互相壬紅或重合

(或平行向量)的向量

共面向量平行于同一個(gè)平面的向量

2.空間向量的有關(guān)定理

(1)共線(xiàn)向量定理：對(duì)任意兩個(gè)空間向量a,ASWO),a//b的充要條件是存在實(shí)

數(shù)九使得?=">.

(2)共面向量定理：如果兩個(gè)向量a,8不共線(xiàn)，那么向量p與向量a,8共面的充

要條件是存在唯二的有序?qū)崝?shù)對(duì)(x,y),使。=獨(dú)上他.

(3)空間向量基本定理：如果三個(gè)向量a,b,c不共面，那么對(duì)任意一個(gè)空間向量

P，存在唯一的有序?qū)崝?shù)組｛x,y,z｝,使得p=xa+\b+zc,其中，｛a,b,c｝叫

做空間的一個(gè)基底.

3.空間向量的數(shù)量積

(1)兩向量的夾角：已知兩個(gè)非零向量a,b,在空間任取一點(diǎn)0,作蘇=a,OB

=b,則/AOB叫做向量a與方的夾角，記作〈a,b),其范圍是10,兀1,若Q,

b)=今則稱(chēng)a與b互相垂直,記作aL.

(2)兩向量的數(shù)量積：已知兩個(gè)非零向量a,b,則|a||》|cos(a,b)叫做a,萬(wàn)的數(shù)

量積，記作ab,即a-Z>=|a||Z>|cos〈a,b).

⑶空間向量數(shù)量積的運(yùn)算律

①結(jié)合律：(4a>b=2(a山)；

②交換律：ab=ba,

③分配律：a?S+c)=a協(xié)+ac

4.空間向量的坐標(biāo)表示及其應(yīng)用

設(shè)a=(ai,ai,。3),b=(b\,bi,b4.

向量表示坐標(biāo)表示

數(shù)量積a*b。協(xié)1+〃2歷+々3〃3

共線(xiàn)Q=〃>SW0,AGR)0=261,干2=462,43=>匕3

垂直a力=0(aW0,斤0)+。282+。3匕3=0

摸l?l+滋+*

夾角{a,b}(aWO,8#0)cos(a,b)迎+.+質(zhì)樂(lè)+慶+房

5.直線(xiàn)的方向向量和平面的法向量

(1)直線(xiàn)的方向向量：如果表示非零向量a的有向線(xiàn)段所在直線(xiàn)與直線(xiàn)/平行或重

合，則稱(chēng)此向量a為直線(xiàn)I的方向向量.

(2)平面的法向量：直線(xiàn)取直線(xiàn)/的方向向量a,則向量。叫做平面a的法

向量.

6.空間位置關(guān)系的向量表示

位置關(guān)系向量表示

直線(xiàn)1\,/2的方向向量分別l\//hU\//〃2=〃1=AW2

為Ul,U2/山2U1_L〃2=〃1?整2=0

直線(xiàn)/的方向向量為“，平1//a

面a的法向量為n/_La〃〃〃=〃=%〃

平面a,4的法向量分別為a///3n\//〃2=〃i—Xm

〃1,〃2a.L/3n\_L〃2=m?"2=0

［常用結(jié)論］

1.在平面中A,B,C三點(diǎn)共線(xiàn)的充要條件是：蘇=x^+y花(其中x+y=l),0

為平面內(nèi)任意一點(diǎn).

2.在空間中P,A,B,C四點(diǎn)共面的充要條件是：次=x/+y西+z比(其中x

+y+z=l),。為空間任意一點(diǎn).

3.向量的數(shù)量積滿(mǎn)足交換律、分配律，即ab=ba,a(b+c)=ab+ac成立，但

不滿(mǎn)足結(jié)合律，即(05>C=0(b?C)不一定成立.

4.在利用而V=l+)恁證明MN〃平面ABC時(shí)，必須說(shuō)明M點(diǎn)或N點(diǎn)不在平面

ABC內(nèi).

【診斷自測(cè)】

1.思考辨析(在括號(hào)內(nèi)打“J”或“X”)

(1)直線(xiàn)的方向向量是唯一確定的.()

⑵若直線(xiàn)。的方向向量和平面a的法向量平行，則。〃a.()

(3)若｛a,b,c｝是空間的一個(gè)基底，則a,b,c中至多有一個(gè)零向量.()

⑷若。力<0,則〈@,b>是鈍角.()

(5)若兩平面的法向量平行，則不重合的兩平面平行.()

答案(1)X(2)X(3)X(4)X(5)V

解析(1)直線(xiàn)的方向向量不是唯一的，有無(wú)數(shù)多個(gè).(2)a_La.(3)若a,b,c中有一

個(gè)是0,則a,b,c共面，不能構(gòu)成空間一個(gè)基底.(4)若〈a,b)=n,則a7><0,

故(4)不正確.

2.(選修一P12例1改編)如圖，M是四面體。ABC的棱8C的中點(diǎn)，點(diǎn)N在線(xiàn)段

。用上，點(diǎn)P在線(xiàn)段AN上，且MN=］ON,AP=^AN,則罰=(用向量

OA,OB,成:表示）.

o

答案^OA+^OB+^OC

解析OF,=OA+AP=OA+^AN

333

=OA+^(0N-OA)=OA+^ON~^OA

=vOA+2[OOB+O(9C]=TOA+TOB+7(9C.

?TI/I一f一十

3.(選修一P22T2改編)已知a=(2,-1,3),6=(—4,2,x),且alb,則x=

答案f

解析因?yàn)閍_LZ>,所以。力=—8—2+3x=0,

10

解傳x=丁.

4.正四面體ABCD的棱長(zhǎng)為2,E,F分別為BC,AD的中點(diǎn)，則EF的長(zhǎng)為

答案V2

解析因?yàn)閨肆|2=肆2=（比+?+而）2=比2+前2+赤2+2（比.⑦+反?.俞

+0）-DF）=12+22+12+2（1X2XCOS120°+0+2X1XCOS120°）=2,

所以|函=啦，所以ER的長(zhǎng)為啦.

考點(diǎn)突破?題型剖析

考點(diǎn)一空間向量的線(xiàn)性運(yùn)算及共線(xiàn)、共面定理

例1（1）（多選）已知平行六面體ABCO—4夕CO,則下列四式中正確的有（）

\.AB-CB=ACB.AC'=AB+B^C'+CC'

C.AA'=CC'D.AB+BB'+BC+CC=AC'

答案ABC

解析如圖，作出平行六面體ABCD-A'B'C'D',可得卷一無(wú)=箱+冊(cè)=/,

則A正確；

AB+Br'+CC'=AB+BC+CC'=AC',則B正確；C顯然正確；

AB+BB'+BC+CC=AB+BC=AC,則D不正確.

（2）（多選）下列說(shuō)法中正確的是（）

A.|a|一步|=|a+例是a,6共線(xiàn)的充要條件

B.若協(xié)，金共線(xiàn)，則A8〃CD

C.A,B,C三點(diǎn)不共線(xiàn)，對(duì)空間任意一點(diǎn)0,若罰西+石井，則P,

4oo

A,B,。四點(diǎn)共面

D.若P,A,B,C為空間四點(diǎn)，且有或=2而+〃無(wú)（而，的不共線(xiàn)），則％+〃=

1是A,B,。三點(diǎn)共線(xiàn)的充要條件

答案CD

解析由同一|例=|Q+",可得向量a,b的方向相反，此時(shí)向量a,b共線(xiàn)，反

之，當(dāng)向量”，力同向時(shí)，不能得到|。|一|加=|a+b|,所以A不正確；

若循，⑦共線(xiàn)，則AB〃C。或A,B,C,。四點(diǎn)共線(xiàn)，所以B不正確；

由A,B,C三點(diǎn)不共線(xiàn)，對(duì)空間任意一點(diǎn)。，若次=彳宓赤+不定，因?yàn)?

4-004

+|+|=1,可得P,A,B,。四點(diǎn)共面，所以C正確；

若P,A,B,C為空間四點(diǎn)，且有或=2而+〃西而，無(wú)不共線(xiàn)），當(dāng)％+〃=1

時(shí)，即〃=1一九可得或一無(wú)=，而+0），即44=2麗，所以A,B,C三點(diǎn)共

線(xiàn)，反之也成立，即2+〃=1是A,B,。三點(diǎn)共線(xiàn)的充要條件，所以D正確.

感悟提升1.（1）選定空間不共面的三個(gè)向量作基向量，并用它們表示出指定的向

量，是用向量解決立體幾何問(wèn)題的基本要求.

⑵解題時(shí)應(yīng)結(jié)合已知和所求觀察圖形，正確理解向量加法、減法與數(shù)乘運(yùn)算的

幾何意義，靈活運(yùn)用三角形法則及平行四邊形法則，就近表示所需向量.

2.(1)對(duì)空間任一點(diǎn)O,0P=x0A+y0B,若x+y=l,則點(diǎn)P,A,8共線(xiàn).

⑵證明空間四點(diǎn)P,M,A,B共面的方法.

?MP=xMA+yMB.

②對(duì)空間任一點(diǎn)。，舁=m+x必布或罰=x(^+yEl+z為(x+y+z=l)

即可.

訓(xùn)練1已知A,B,C三點(diǎn)不共線(xiàn)，對(duì)平面A8C外的任一點(diǎn)0,若點(diǎn)M滿(mǎn)足而=

^(OA+OB+OC).

(1)判斷麻，MB,慶三個(gè)向量是否共面；

(2)判斷點(diǎn)M是否在平面ABC內(nèi).

解⑴由已知為+為+氏：=3而，

：.dA-dM=(dM-0B)+(dM-0C).

即麻=麻+屈=一麻一慶，

：.MA,MB,沅共面.

(2)法一由(1)知麻，MB,麻共面且過(guò)同一點(diǎn)M.

四點(diǎn)M,A,B,C共面，從而點(diǎn)M在平面ABC內(nèi).

法二因?yàn)檎f(shuō)為+沆1)=；蘇+；(丸+g(文，

又因?yàn)間+g+;=l,

所以M,A,B,。四點(diǎn)共面，

從而M在平面ABC內(nèi).

考點(diǎn)二空間向量的數(shù)量積及應(yīng)用

例2如圖，正四面體ABC。(所有棱長(zhǎng)均相等)的棱長(zhǎng)為1,E,F,G,"分別是正

四面體4BC。中各棱的中點(diǎn)，設(shè)屈=a,AC=b,AD=c,試采用向量法解決下

列問(wèn)題:

A

(1)求肆的模長(zhǎng)；

(2)求摩，麗的夾角.

解(1)因?yàn)檎拿骟wABC。的棱長(zhǎng)為1,E,F,G,"分別是正四面體ABC。中

各棱的中點(diǎn)，AB=a,AC=b,AD=c,

所以就'=^?反7=：(?！?=3(。_4),

所以E/uEB+BA+Abu—一a)—a+；c=；(c—a—b),

所以|EF|2=：(c—〃一))2=；(。2+°2+/2—2℃+2a?5-2Zrc)

=1(1+1+1-2X1XIXcos60°+2X1X1Xcos600-2XIX1Xcos60。)=；,

故防=坐

(2)在正四面體ABC。中，EF=^(c-a-b),\EF]=^.

同理，GH=^b+c-d),\GH\=^.

而CT-J2(。―a-力)>2(8+c-〃)]

所以cos(EF,GH}=-------=----------/=7==5](c-—〃2]

\EF\\GH\*x當(dāng)2

=1(c2+a2-2c-a-Z>2)=|(l+1—2X1X1Xcos60。-1)=0,

所以辟與麗的夾角為90。.

感悟提升由向量數(shù)量積的定義知，要求a與。的數(shù)量積，需已知同，向和Q,

b),a與8的夾角與方向有關(guān)，一定要根據(jù)方向正確判定夾角的大小，才能使a。

計(jì)算準(zhǔn)確.

訓(xùn)練2如圖所示，四棱柱48。。一4|5。1。1中，底面為平行四邊形，以頂點(diǎn)A為

端點(diǎn)的三條棱長(zhǎng)都為1,且兩兩夾角為60。.

(1)求AG的長(zhǎng)；

(2)求BD\與AC夾角的余弦值.

解⑴記油=a,AD=b,AA\=c,

則|Q|=|例=|c|=l,〈a,b)={b,c)=〈c,a)=60°,

.,,1

??Q?b=b?c=ca=/.

|/4Ci|2=(a+ft+c)2=:a2+Z>2+c2+2(<z-Z>+Z>-c+c-a)=1+1+1+2X(5+2+])=6,

.,.|ACi|=V6,即AC的長(zhǎng)為黃.

(2)VBDi=/>+c-a,AC=a+b,

：.\BDi\=y[2,|AC|=V3,

BD\'AC=(b~\~c—a)\a~\~b)=b2—(r-\-ac-\-bc—1,

./x5Z)i，AC

..cos,BD1,AC)=__=6?

\BDi\\AC\

：.AC與BDi夾角的余弦值為小.

考點(diǎn)三利用空間向量證明(判斷)平行與垂直

例3如圖，在四棱錐P—A8CO中，PAJ_底面ABC。，ADLAB,AB//DC,AD

=DC=AP=2,A8=l,點(diǎn)E為棱PC的中點(diǎn).證明:

(I)BEIDC；

(2)BE〃平面PAD；

(3)平面PC。，平面PAD.

證明依題意，以點(diǎn)A為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系(如圖),

可得8(1,0,0),C(2,2,0),D(0,2,0),P(0,0,2).

由E為棱PC的中點(diǎn)，得E(l,1,1).

(1)向量旗=(0,1,1),DC=(2,0,0),

故牖前=0,所以BELDC.

(2)因?yàn)锳BLA。，

又PA_L平面ABC。，A8u平面A3CO,

所以AB_LPA,PAQAD=A,PA,AOu平面PAO,

所以AB_L平面PAD,

所以向量磊=(1,0,0)為平面PAD的一個(gè)法向量，而麗?筋=(0,1,1)-(1,

0,0)=0,

所以BELAB,

又BEQ平面PAD,所以BE〃平面PAD.

(3)由(2)知平面PAD的法向量為屈=(1,0,0),向量彷=(0,2,-2),DC=

(2,0,0),

設(shè)平面PCD的一個(gè)法向量為〃=(x,y,z),

n-PD=Q,2y—2z=0,

則即＜

,2x=0,

n-DC=0,

不妨令y=l,可得〃=(0,1,1)為平面PCD的一個(gè)法向量.

且〃益=(0,1,1).(1,0,0)=0,

所以n±AB.

所以平面PQ9,平面PAD.

感悟提升1.利用向量法證明(判斷)平行、垂直關(guān)系，關(guān)鍵是建立恰當(dāng)?shù)淖鴺?biāo)系

(盡可能利用垂直條件，準(zhǔn)確寫(xiě)出相關(guān)點(diǎn)的坐標(biāo)，進(jìn)而用向量表示涉及到直線(xiàn)、

平面的要素).

2.向量證明的核心是利用向量的數(shù)量積或數(shù)乘向量，但向量證明仍然離不開(kāi)立體

幾何的有關(guān)定理.

訓(xùn)練3(2021?浙江卷)如圖，已知正方體ABCO-AiBiGDi,M,N分別是AiO,

。山的中點(diǎn)，則()

A.直線(xiàn)4。與直線(xiàn)。山垂直，直線(xiàn)MN〃平面A3CO

B.直線(xiàn)4。與直線(xiàn)平行，直線(xiàn)MALL平面8。。由1

C.直線(xiàn)A\D與直線(xiàn)DiB相交，直線(xiàn)MN〃平面ABC。

D.直線(xiàn)A\D與直線(xiàn)D\B異面，直線(xiàn)MML平面BDD\B\

答案A

解析法一以點(diǎn)。為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA,DC,OU所在直線(xiàn)分別為x軸，y軸，z

軸建立空間直角坐標(biāo)系(圖略)，

設(shè)AB=2,則4(2,0,2),0(0,0,0),￡>1(0,0,2),BQ,2,0),

所以M(l,0,1),N(l，1,1),

所以?力=(—2,0,-2),/B=(2,2,-2),

W=(0,1,0),

所以4OQi8=—4+0+4=0,

所以4。，。通

又直線(xiàn)4。與是異面直線(xiàn)，

所以直線(xiàn)4。與異面且垂直，故B,C不正確；

因?yàn)槠矫鍭8C。的一個(gè)法向量為〃=(0,0,1),

所以雨?〃=0X0+0Xl+lX0=0,Win,

所以MN〃平面ABC。，故A正確；

設(shè)直線(xiàn)MN與平面所成的角為仇

因?yàn)槠矫鍮DD181的一個(gè)法向量為a=(—1,1,0),

在”a?\?I加“I1也

所以sin9=|cos{MN,a)|=---------7==^-,

\MN\-\a\z

所以直線(xiàn)MN與平面BBIDIO不垂直，故D不正確.故選A.

法二連接451(圖略)，則易得點(diǎn)M在ADi上，且M為AOi的中點(diǎn)，ADilAiD.

因?yàn)锳B_L平面AAi。。，AQu平面AAiDi。，所以

又A3nAOi=A,AB,AOiu平面ABDi,

所以40,平面A8Di,又BDiU平面ABA,顯然Ai。與BOi異面，所以Ai。與

BD\異面且垂直.

在△AB。中，由中位線(xiàn)定理可得MN〃AB,

又MNQ平面ABCD,ABCD,

所以MN〃平面ABCD.

易知直線(xiàn)AB與平面BB\D\D成45。角，

所以MN與平面BB\D\D不垂直.

所以選項(xiàng)A正確.

分層精練?鞏固提升

【A級(jí)基礎(chǔ)鞏固】

1.已知a=(2,1,-3),6=(0,-3,2),c=(—2,1,2),則0(Z>+c)等于()

A.18B.-18

C.36D.—3啦

答案B

解析因?yàn)?+c=(—2,-2,4),

所以aQ+c)=-4—2—12=—18.

2.已知空間向量。=(1,0,1),6=(1,1,〃)，且。0=3,則向量a與》的夾角為

()

▲兀c兀

A-6B3

-2兀-5兀

CTD.不

答案A

解析由題意，ab=l+0+n=3,解得〃=2,

又悶=、12+()2+]2=表,網(wǎng)=「1+1+4=,,

所以cos〈a，b'=箭=號(hào)乖=坐’

又〈a,b)引0,兀],

jr

所以a與8的夾角為石.

3.在正方體ABCD-A\B\C\D\中，=AE=xAAi+y(AB+AD),則

()

A.x=l,y=；B.x=l,

C.x=；,y=lD.x=l,y="

答案D

解析AE=AAi+A?E=AAi+^AiCi=AA\+^AC=AAi+^AB+AD),

由AE"=xAAi+y(A8+A￡)),

對(duì)照可知x=l,y=\.

4.已知a=(2,1,—3),b=(-l,2,3),c=(7,6,2),若a,b,c三向量共

面，則2=()

A.9B.-9

C.-3D.3

答案B

解析由題意知c=xa+yb,

即(7,6,?=尤(2,1,-3)+y(—1,2,3),

(2x—y=1,

x+2y=6,解得/l=-9.

1一3x+3y=2,

5.已知向量a,b,c兩兩之間的夾角都為60。，其模都為1,則|a—)+2c|=()

A.小B.5

C.6D水

答案A

解析（。一力+2。）2=。2+辦2+4。2—2a.〃+4a?c—46c=1+1+4—2cos600=5,

所以|a—〃+2c尸小.

6.如圖，在大小為45。的二面角A—七廠一。中，四邊形43在，CDEP都是邊長(zhǎng)為

1的正方形，則B,。兩點(diǎn)間的距離是（）

A.小B.啦

C.lD、3一巾

答案D

解析,：BD=BF+FE+Eb,

，|兩2=|兩2+?兩+1￡￡>|2_|_2BF，PE+2FEEb+2BF-ED=l+l+l-V2=3-

嫄，

故|衲=、3_也

7.如圖，正方形A3CO與矩形ACE77所在平面互相垂直，AB=巾,AF=1,M在

EF上，且AM〃平面BDE.^\M點(diǎn)的坐標(biāo)為（）

坐

也

L!\B

AC.111,/3

由

/應(yīng)

0D

‘4

\2

答案C

解析設(shè)AC與BD相交于。點(diǎn)，連接0E,由AM〃平面BDE,且AMu平面

ACEF,平面ACEFA平面BDE=0E,

：.AM//EO.

又。是正方形ABC。對(duì)角線(xiàn)交點(diǎn)，

???”為線(xiàn)段E/的中點(diǎn).

在空間直角坐標(biāo)系中，E(0,0,1),F4,正，1),

由中點(diǎn)坐標(biāo)公式，知點(diǎn)M的坐標(biāo)(乎，乎，1)

8.若空間中三點(diǎn)A(l,5,-2),BQ,4,1),C(p,3,q)共線(xiàn)，則p+q=

答案7

解析因?yàn)榭臻g中三點(diǎn)A(l,5,-2),8(2,4,1),C(p,3,g)共線(xiàn)，所以油

//AC,

所以檢=(1,-1,3),AC=(p-l,-2,q+2),

所以『='=專(zhuān)，解得〃=3,q=4,

所以p+g=7.

jr

9.如圖所示，已知空間四邊形O48C,OB=OC,^.ZAOB=ZAOC=y則cos

(OA,BC)的值為.

答案0

解析設(shè)dX=a,OB=b,OC=c,

jr

由已知條件得〈a,b〉=〈a,c)=y且創(chuàng)=|c|,

QA8C=a.(c—b)=a-c—a力=*||c|一引0g|=0,

所以所，比，所以cos<0A,BC）=0.

10.如圖所示，在正方體ABCD-AiBGDi中，O是底面正方形ABCO的中心，M

是。I。的中點(diǎn)，N是48的中點(diǎn)，則直線(xiàn)ON,AM的位置關(guān)系是.

答案垂直

解析以A為原點(diǎn)，分別以加，AD,筋?所在直線(xiàn)為x,y,z軸，建立空間直角

坐標(biāo)系（圖略），設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1,

,ON

則A(0,0,0),“01,AM=0,1,

=(0,—2,1J,

\"AM-dN=\0,1,

，ON與AM垂直.

11.如圖所示，已知斜三棱柱ABC—ABC,點(diǎn)M,N分別在AG和8C上，旦滿(mǎn)

^AM=kAC\,麗=々反：（0?右1）.判斷向量加是否與向量箱，筋洪面.

A：。

解'：AM=kAC\,BN=kBC,

：.MN=MA+AB+BN=kGA+AB+kBC=k(ctA+BC)+AB=k(ctA+B^Ci)+AB

=kB^A+AB=AB-kAB\=AB-KAA\+AB}=(\-k)AB-kAA\,

，由共面向量定理知向量疝V與向量彷，眉1共面.

12.如圖，在底面為直角梯形的四棱錐P-ABCD中，AD//BC,ZABC=90°,

平面ABC。，AD=\,AB=小,BC=4.

(1)求證：BDLPC-,

(2)設(shè)點(diǎn)E在棱PC上，PE=APC,若OE〃平面PAB,求2的值.

解如圖，在平面ABC。內(nèi)過(guò)點(diǎn)。作直線(xiàn)。尸〃A3,交BC于點(diǎn)、F,以。為坐標(biāo)

原點(diǎn)，DA,DF,汾所在的直線(xiàn)分別為x,y,z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則A(l,0,0),5(1,小，0),0(0,0,0),C(-3,?0).

設(shè)PD=a,則尸(0,0,a),

⑴證明BD=(-1,一小，0),PC=(-3,小，-a),

因?yàn)橘|(zhì)).瓦：=3—3=0,

所以BDA.PC.

(2)由題意知，AB=(0,小，0),D>=(0,0,a),

成=(1,0,—a),無(wú)=(—3,小，-?).

因?yàn)槊?2危，所以而=(一3九小%,一曲，

DE=^>+PE=(0,0,a)+(一3九小九一加)=(一3九小九a-aX).

設(shè)〃=(x,y,z)為平面PA8的法向量，

J瓶〃=0,[y[3y=0,

則々即，

[防〃=0,反一四=0,

令z=l,得x=a,所以〃=(a,0,1).

因?yàn)镺E〃平面PA8,所以無(wú)?〃=(),

所以一3a2+a—aX=0,即a(l—42)=0.

因?yàn)椤癢0,所以

【B級(jí)能力提升】

13.(多選)(2023?濟(jì)南調(diào)考)已知空間中三點(diǎn)A(0,1,0),BQ,2,0),。(一1,3,

1)，則()

A.油與流是共線(xiàn)向量

B.油的單位向量是(1,1,0)

c.油與比夾角的余弦值是一隼

D.平面ABC的一個(gè)法向量是(1,-2,5)

答案CD

解析對(duì)于A,由題意，福=(2,1,0),AC=(-1,2,1),

所以加W2危，則筋與危不是共線(xiàn)向量，不正確；

對(duì)于B,因?yàn)榻?(2,1,0),所以油的單位向量為p當(dāng)，乎，o)或

(一￥，-卓。)，不正確；

對(duì)于C,油=(2,1,0),就=(—3,1,1),

所以cos(AB,BC)=A8南=一辭,C正確；

|AB||BC|

對(duì)于D,設(shè)平面ABC的一個(gè)法向量是〃=(x,y,z),因?yàn)槔?(2,1,0),AC=

(-1,2,1),

n-AB=0,f2x+y=0,

病=0,〔一x+2y+z=0,

令x=l,得y=-2,z=5,

所以平面ABC的一個(gè)法向量為〃=(1,-2,5),D正確.

14.(2022?全國(guó)乙卷)在正方體ABCD-Ai&CQ中,E,F分別為AB,BC的中

點(diǎn)，貝U()

A.平面8iEF_L平面BDD\B.平面81石尸_1_平面AiBD

C.平面BEV〃平面AiACD.平面BiEE〃平面A\C\D

答案A

解析在正方體ABC。一481Goi中，

且。平面A8C0,

又EFu平面ABCD,

所以EFLDDx,

因?yàn)镋,尸分別為AB,8c的中點(diǎn)，

所以E尸〃AC,所以EF，8。，

又BDCDDi=D,BD,。。|(=平面8。。1,

所以EAL平面BDDi,

又￡Fu平面B\EF,

所以平面BE尸，平面故A正確；

如圖，以點(diǎn)。為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系,

設(shè)AB=2,

則0(0,0,0),8(2,2,2),EQ,1,0),F(l,2,0),8(2,2,0),Ai(2,0,

2),A(2,0,0),C(0,2,0),Ci(0,2,2),

則麗=(—1,1,0),麗i=(0,1,2),DB=(2,2,0),屬i=(2,0,2),

后i=(0,0,2),AC=(-2,2,0),AlCi=(-2,2,0).

設(shè)平面BiE/7的一個(gè)法向量為7〃=(xi,yi,zi),

m-EF=—xi+yi=0,

則有j_可取m=(2,2,-1),

,m-EB\=yi+2zi=0,

同理可得平面A\BD的一個(gè)法向量為

“1=(1,—1,—1),

平面4AC的一個(gè)法向量為“2=(1,1,0),

平面4。。