2021年代數(shù)常考點總結

"代數(shù)?？键c總結,助你穩(wěn)拿高分

代數(shù)部分

第一章：實數(shù)

基礎知識點：

一、實數(shù)的分類：

，［.正整數(shù)〕

整數(shù)〈零

有理數(shù)II負整數(shù)卜有限小數(shù)或無限循環(huán)小數(shù)

實蜘I(M［?負分數(shù)j

無理數(shù)IF無??!無限不循環(huán)小數(shù)

［［負無理數(shù)

￡

1、有理數(shù)：任何一個有理數(shù)總可以寫成］的形式，其中P、

q是互質的整數(shù)，這是有理數(shù)的重要特征。

2、無理數(shù)：初中遇到的無理數(shù)有三種：開不盡的方根，如O、

?V4;特定結構的不限環(huán)無限小數(shù)，如

1.101001000100001……；特定意義的數(shù),如TT、Sin45。等。

3、判斷一個實數(shù)的數(shù)性不能僅憑表面上的感覺，往往要經(jīng)過

整理化簡后才下結論。

二、實數(shù)中的幾個概念

1、相反數(shù)：只有符號不同的兩個數(shù)叫做互為相反數(shù)。

(1)實數(shù)a的相反數(shù)是-a;(2)a和b互為相反數(shù)。a+b=0

2、倒數(shù):

1

(1度數(shù)a(awO的倒數(shù)是￡(2月和b互為倒數(shù)。ab=\；

(3)注意0沒有倒數(shù)

3、絕對值:

(1)一個數(shù)a的絕對值有以下三種情況：

Q,4A0

同=<0,Q=0

QY0

(2)實數(shù)的絕對值是一個非負數(shù)，從數(shù)軸上看，一個實數(shù)的

絕對值，就是數(shù)軸上表示這個數(shù)的點到原點的距離。

(3)去掉絕對值符號(化簡)必須要對絕對值符號里面的實

數(shù)進行數(shù)性(正、負)確認，再去掉絕對值符號。

4、n次方根

(1)平方根，算術平方根：設a20,稱土布叫a的平方根,

④叫a的算術平方根。

(2)正數(shù)的平方根有兩個，它們互為相反數(shù)；0的平方根是

0;負數(shù)沒有平方根。

(3)立方根：叫實數(shù)a的立方根。

(4)一個正數(shù)有一個正的立方根；0的立方根是0;一個負

數(shù)有一個負的立方根。

三、實數(shù)與數(shù)軸

1、數(shù)軸：規(guī)定了原點、正方向、單位長度的直線稱為數(shù)軸。

原點、正方向、單位長度是數(shù)軸的三要素。

2、數(shù)軸上的點和實數(shù)的對應關系：數(shù)軸上的每一個點都表示

一個實數(shù)，而每一個實數(shù)都可以用數(shù)軸上的唯一的點來表示。

實數(shù)和數(shù)軸上的點是一一對應的關系。

四、實數(shù)大小的比較

1、在數(shù)軸上表示兩個數(shù)，右邊的數(shù)總比左邊的數(shù)大。

2、正數(shù)大于0;負數(shù)小于0；正數(shù)大于一切負數(shù)；兩個負數(shù)

絕對值大的反而小。

五、實數(shù)的運算

1、加法：

(1)同號兩數(shù)相加，取原來的符號，并把它們的絕對值相加；

(2)異號兩數(shù)相加，取絕對值大的加數(shù)的符號，并用較大的

絕對值減去較小的絕對值?？墒褂眉臃ń粨Q律、結合律。

2、減法:

減去一個數(shù)等于加上這個數(shù)的相反數(shù)。

3、乘法：

(1)兩數(shù)相乘，同號取正，異號取負，并把絕對值相乘。

(2)n個實數(shù)相乘，有一個因數(shù)為0,積就為0；若n個非0

的實數(shù)相乘，積的符號由負因數(shù)的個數(shù)決定，當負因數(shù)有偶數(shù)

個時，積為正；當負因數(shù)為奇數(shù)個時，積為負。

(3)乘法可使用乘法交換律、乘法結合律、乘法分配律。

4、除法：

(1)兩數(shù)相除，同號得正，異號得負，并把絕對值相除。

(2)除以一個數(shù)等于乘以這個數(shù)的倒數(shù)。

(3)0除以任何數(shù)都等于0,0不能做被除數(shù)。

5、乘方與開方：乘方與開方互為逆運算。

6、實數(shù)的運算順序：乘方、開方為三級運算，乘、除為二級

運算，力口、減是一級運算，如果沒有括號，在同一級運算中要

從左到右依次運算,不同級的運算，先算高級的運算再算低級

的運算，有括號的先算括號里的運算。無論何種運算，都要注

意先定符號后運算。

六、有效數(shù)字和科學記數(shù)法

1、科學記數(shù)法：設N>0,則N=ax10"(其中l(wèi)wa<10,

n為整數(shù))。

2、有效數(shù)字：一個近似數(shù)，從左邊第一個不是0的數(shù)，到精

確到的數(shù)位為止，所有的數(shù)字，叫做這個數(shù)的有效數(shù)字。精確

度的形式有兩種：(1)精確到那一位；(2)保留幾個有效

數(shù)字。

例題：

例1、已知實數(shù)a、b在數(shù)軸上的對應點的位置如圖所示，且

a>b

o

化簡：同一心+目一。一4

分析：從數(shù)軸上a、b兩點的位置可以看到：a<0,b>0且

a>\b\

所以可得：

解：原式=一。+。+6-力+a=。

例2、若"（?）"，-（%c=，比較a、b、c

的大小。

分析："t]yta=-停）-i且人。；c>o；所以容易

得出：

a<b<co

解：略

例3、若1。-2|與|"2|互為相反數(shù)，求a+b的值

分析：由絕對值非負特性，可知I"Z20,b+2|20,又

由題意可知：|八2|+卜+2|=0

所以只能是：a-2=0,b+2=0所a=2,b=-2，所以a+b=0

解：略

例4、已知a與b互為相反數(shù)，c與d互為倒數(shù)，m的絕對

a+b,

值是1,求一^-一〃+加2的值。

解：原式=。-1+1=。

例5、計算：(1)8.>0.125師4(2)亍一下

\7\

解：(1)原式=(8x0.125產(chǎn)=y=1

11、

e+—e-

-------1-------

222~2

(2)原式二

代數(shù)部分

第二章：代數(shù)式

基礎知識點：

一、代數(shù)式

1、代數(shù)式：用運算符號把數(shù)或表示數(shù)的字母連結而成的

式子，叫代數(shù)式。單獨一個數(shù)或者一個字母也是代數(shù)式。

2、代數(shù)式的值：用數(shù)值代替代數(shù)里的字母，計算后得到

的結果叫做代數(shù)式的值。

3、代數(shù)式的分類：

［般-J單項式

代痂比)有理式整式］多項式

代數(shù)式《I1

［分式

［無理式

二、整式的有關概念及運算

1、概念

(1)單項式：像X、7、2/歹，這種數(shù)與字母的積叫做

單項式。單獨一個數(shù)或字母也是單項式。

單項式的次數(shù)：一個單項式中，所有字母的指數(shù)叫做這個

單項式的次數(shù)。

單項式的系數(shù)：單項式中的數(shù)字因數(shù)叫單項式的系數(shù)。

（2）多項式：幾個單項式的和叫做多項式。

多項式的項：多項式中每一個單項式都叫多項式的項。-

個多項式含有幾項,就叫幾項式。

多項式的次數(shù)：多項式里，次數(shù)最高的項的次數(shù)，就是這

個多項式的次數(shù)。不含字母的項叫常數(shù)項。

升（降）幕排列：把一個多項式按某一個字母的指數(shù)從小

（大）到大（小）的順序排列起來，叫做把多項式按這個字母

升（降）幕排列。

（3）同類項：所含字母相同，并且相同字母的指數(shù)也分

別相同的項叫做同類項。

2、運算

（1）整式的加減：

合并同類項：把同類項的系數(shù)相加，所得結果作為系數(shù),

字母及字母的指數(shù)不變。

去括號法則：括號前面是"+”號，把括號和它前面的

號去掉，括號里各項都不變；括號前面是"號，把括號和

它前面的"-"號去掉，括號里的各項都變號。

添括號法則：括號前面是號，括到括號里的各項都

不變；括號前面是號，括到括號里的各項都變號。

整式的加減實際上就是合并同類項，在運算時，如果遇到

括號，先去括號，再合并同類項。

（2）整式的乘除：

靠的運算法則：其中m、n都是正整數(shù)

同底數(shù)鬲相乘:優(yōu)"?=am+n；

同底數(shù)幕相除：am^an=a'n-n；

鬲的乘方：（優(yōu)"）"=於"

積的乘方：（aby=anb\

單項式乘以單項式：用它們系數(shù)的積作為積的系數(shù)，對于

相同的字母，用它們的指數(shù)的和作為這個字母的指數(shù)；對于只

在一個單項式里含有的字母，則連同它的指數(shù)作為積的一個因

式。

單項式乘以多項式：就是用單項式去乘多項式的每一項,

再把所得的積相加。

多項式乘以多項式:先用一個多項式的每一項乘以另一個

多項式的每一項，再把所得的積相加。

單項除單項式：把系數(shù)，同底數(shù)幕分別相除，作為商的因

式，對于只在被除式里含有字母，則連同它的指數(shù)作為商的一

個因式。

多項式除以單項式：把這個多項式的每一項除以這個單

項，再把所得的商相加。

乘法公式：

平方差公式：5+力)(。-6)=。2-/；

完全平方公式:(a+b)2=a2+2ab+b2,

(a-b)2=a2-2ab+b2

三、因式分解

1、因式分解概念：把一個多項式化成幾個整式的積的形

式，叫因式分解。

2、常用的因式分解方法：

(1)提取公因式法：+mb+me=m(a+b+c)

(2)運用公式法：

平方差公式：a2-b，=(a+b)(a-b)；

完全平方公式：a-±2ab+h2=(a±b)2

(3)十字相乘法：x2+(a+b)x+ah=(x+a)(x+h)

(4)分組分解法：將多項式的項適當分組后能提公因式

或運用公式分解。

(5)運用求根公式法：若一+云+c=0(“w0)的兩個根

是Xi、x2，貝有：+bx+c=a(x-)(x-)

3、因式分解的一般步驟：

(1)如果多項式的各項有公因式，那么先提公因式；

(2)提出公因式或無公因式可提，再考慮可否運用公式

或十字相乘法;

(3)對二次三項式，應先嘗試用十字相乘法分解，不行

的再用求根公式法。

(4)最后考慮用分組分解法。

四、分式

A

1、分式定義：形如萬的式子叫分式，其中A、B是整式,

且B中含有字母。

(1)分式無意義：B=0時，分式無意義；B/0時，分

式有意義。

分式的值為時，分式的值等于

(2)0:A=0,B/00o

(3)分式的約分：把一個分式的分子與分母的公因式約

去叫做分式的約分。方法是把分子、分母因式分解，再約去公

因式。

(4)最簡分式：一個分式的分子與分母沒有公因式時，

叫做最簡分式。分式運算的最終結果若是分式，一定要化為最

簡分式。

(5)通分：把幾個異分母的分式分別化成與原來分式相

等的同分母分式的過程，叫做分式的通分。

(6)最簡公分母：各分式的分母所有因式的最高次鬲的

積。

(7)有理式：整式和分式統(tǒng)稱有理式。

2、分式的基本性質：

AA.

(1)/譚(M是wO的整式)；

(2)(=;二C(M是w0的整式)

(3)分式的變號法則：分式的分子，分母與分式本身的

符號，改變其中任何兩個，分式的值不變。

3、分式的運算：

(1)力口、減：同分母的分式相加減，分母不變，分子相

加減；異分母的分式相加減，先把它們通分成同分母的分式再

相加減。

(2)乘：先對各分式的分子、分母因式分解，約分后再

分子乘以分子，分母乘以分母。

(3)除：除以一個分式等于乘上它的倒數(shù)式。

(4)乘方：分式的乘方就是把分子、分母分別乘方。

五、二次根式

1、二次根式的概念：式子\2(。N0)叫做二次根式。

(1)最簡二次根式：被開方數(shù)的因數(shù)是整數(shù)，因式是整

式，被開方數(shù)中不含能開得盡方的因式的二次根式叫最簡二次

根式。

(2)同類二次根式：化為最簡二次根式之后，被開方數(shù)

相同的二次根式，叫做同類二次根式。

(3)分母有理化：把分母中的根號化去叫做分母有理化。

(4)有理化因式：把兩個含有二次根式的代數(shù)式相乘，

如果它們的積不含有二次根式，我們就說這兩個代數(shù)式互為有

理化因式(常用的有理化因式有:G與4a;aa+cC與

a4b-c4d)

2、二次根式的性質：

(1)(//=0(67>0);

rr?I］。(。之o)

(2)Ja=|a|=3("0);

(3)4ab=4a-4b(a>0,b>0)；

(4)得親心。,60)

3、運算:

(1)二次根式的加減：將各二次根式化為最簡二次根式

后，合并同類二次根式。

(2)二次根式的乘法：/a-4b=4ab(a>0,b>0)0

(3)二次根式的除法:*氐2°，，-0)

二次根式運算的最終結果如果是根式，要化成最簡二次根

式。

代數(shù)部分

第三章：方程和方程蛆

基礎知識點:

一、方程有關概念

1、方程：含有未知數(shù)的等式叫做方程。

2、方程的解：使方程左右兩邊的值相等的未知數(shù)的值叫

方程的解，含有一個未知數(shù)的方程的解也叫做方程的根。

3、解方程：求方程的解或方判斷方程無解的過程叫做解

方程。

4、方程的增根：在方程變形時，產(chǎn)生的不適合原方程的

根叫做原方程的增根。

二、一元方程

1、一元一次方程

(1)一元一次方程的標準形式：ax+b=O(其中x是未

知數(shù)，a、b是已知數(shù)，awO)

(2)一玩一次方程的最簡形式：ax=b(其中x是未知數(shù),

a、b是已知數(shù)，awO)

(3)解一元一次方程的一般步驟：去分母、去括號、移

項、合并同類項和系數(shù)化為L

(4)一元一次方程有唯一的一個解。

2、一元二次方程

(1)一元二次方程的一般形式：十次+c=0(其

中x是未知數(shù)，a、b、c是已知數(shù)，awO)

(2)一元二次方程的解法：直接開平方法、配方法、

公式法、因式分解法

(3)一元二次方程解法的選擇順序是：先特殊后一般，

如果沒有要求，一般不用配方法。

(4)一元二次方程的根的判別式：△=〃-4*

當A>0時0方程有兩個不相等的實數(shù)根；

當A=0時=方程有兩個相等的實數(shù)根；

當A<0時0方程沒有實數(shù)根，無解；

當A20時=方程有兩個實數(shù)根

(5)一元二次方程根與系數(shù)的關系：

若毛，￡是一元二次方程a?+法+c=0的兩個根那么:

bc

Xj+=----Xy,X2——

af