2022-2023學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第一章空間向量與立體幾何單元綜合測(cè)試卷新人教A版選擇性必修第一冊(cè)

第一章空間向量與立體幾何單元綜合測(cè)試卷

一、單選題

ULXA

1.兩個(gè)不同平面a,4的法向量分別為非零向量由，兩條不同直線。，b的方向向量

分別為非零向量工，則下列敘述不正確的是（）

A.a_L￡的充要條件為多=0

B.0J,6的充要條件為匕?埼=0

C.a〃〃的充要條件為存在實(shí)數(shù)2使得加=癡;

D.a〃a的充要條件為W=0

【答案】D

【解析】

【分析】

依據(jù)面面垂直的定義及向量數(shù)量積的幾何意義判斷選項(xiàng)A；依據(jù)線線垂直的定義及向量數(shù)量

積的幾何意義判斷選項(xiàng)B；依據(jù)面面平行的定義及數(shù)乘向量的幾何意義判斷選項(xiàng)C；依據(jù)線

面平行的定義及向量數(shù)量積的幾何意義判斷選項(xiàng)I）.

【詳解】

選項(xiàng)Aa_L夕Oa_L〃2O"i=°,判斷正確;

選項(xiàng)B：a%1.馬=匕=°?判斷正確；

選項(xiàng)C：a〃?=?|//?2<=>存在實(shí)數(shù)兀使得多=力?2.判斷正確：

選項(xiàng)D：若?！╝,則有V|?〃]=0；若匕?〃1=0,則有?！╝或aua,

則?！╝是限1=0的充分不必要條件.判斷錯(cuò)誤.

故選：D

2.以下四組向量在同一平面的是（）

A.（1,1,0）、（0,1,1）,（1,0,1）B.（3,0,0）、（1,1,2）、（2,2,4）

C.（1,2,3）、（1,3,2）、（2,3,1）D.（1,0,0）、（0,0,2）、（0,3,0）

【答案】B

【解析】

【分析】

利用共面向量的基本定理逐項(xiàng)判斷可得出合適的選項(xiàng).

【詳解】

1

n=1

對(duì)于A選項(xiàng),設(shè)(1,1,0)=陽(yáng)(0,1,1)+”(1,0,1),所以，，加=1,無(wú)解;

m+n=Q

對(duì)于B選項(xiàng),因?yàn)?2,2,4)=0?(3,0,0)+2(1,1,2),故B選項(xiàng)中的三個(gè)向量共面;

x+2y=\

對(duì)于C選項(xiàng),設(shè)(l,2,3)=x(l,3,2)+y(2,3,l),所以，＜3x+3尸2,無(wú)解;

2x+y=3

0=1

對(duì)于D選項(xiàng),設(shè)(l,O,O)=〃(O,O,2)+b(O,3,O),所以，弘=0,矛盾.

2a=0

故選：B.

3.若63,中構(gòu)成空間的一個(gè)基底，則下列向量不共面的是()

A.a+c,a,a-cB.a+b,a+b+c,c

C.a-b,a+b,cD.a-b,b+c,a+c

【答案】C

【解析】

【分析】

根據(jù)向量共面定理即可求解.

【詳解】

解：對(duì)A：(a+c)+(a-c)=2a,故A選項(xiàng)中向量共而:

對(duì)B：(〃+今+c=〃+B+c,故B選項(xiàng)中向量共面:

對(duì)D：(Z+3一僅+3=二幾故D選項(xiàng)中向量共面;

假設(shè)a+坂，a-b>c共面，則存在實(shí)數(shù)X，丁使得c=x(a+初+y(a-g)=(x+y)a+(x-y

則￡31共面，與已知矛盾，故C選項(xiàng)中向量不共面;

故選：C.

4.在四面體O/BC中，OA=a>OB=b>反="，點(diǎn)M在0/上，且OM=2M4,N是BC

的中點(diǎn)，則麗=()

A./-芍+左2r1r

B.—a+—b——c

232332

C.匕+U-丈2-11-

D.——a+—D7+—C

222322

【答案】D

【解析】

【分析】

2

利用空間向量的線性運(yùn)算可得出而關(guān)于坂、工的表達(dá)式，再利用麗=而-兩可一求得結(jié)

果.

【詳解】

由己知ON=OB+8N=OB+-8C=OB+-(OC-OB)=-b+-c,

22、>22

所以，MN=ON-OM=-(b+c]--a=--a+-b+-c,

3322

故選：D.

5.已知A,B,C三點(diǎn)不共線，O為平面Z8C外一點(diǎn)，下列條件中能確定P,A,B,C

四點(diǎn)共面的是（

A.OP=OA+OB+OCB.OP=2OA-OB-OC

C.OP=-OA+-OB+-OCD.OP=-OA+-OB+-OC

532333

【答案】D

【解析】

【分析】

根據(jù)點(diǎn)尸與點(diǎn)4民C共面，可得x+y+z=l,驗(yàn)證選項(xiàng)，即可得到答案.

【詳解】

umuuiuumuum

設(shè)OP=xOA+yOB+zOC，

若點(diǎn)P與點(diǎn)C共面，

貝！jx+y+z=1,

對(duì)于選項(xiàng)A：x+y+z=l+l+l=3*I,不滿足題意；

對(duì)于選項(xiàng)B：x+y+z=2-l-l=0xl,不滿足題意；

對(duì)于選項(xiàng)C：x+y+z=!+!+:=j^l,不滿足題意；

53230

對(duì)于選項(xiàng)D：x+y+z=—+—+—=1,滿足題意.

故選：D.

6.如圖，在平行六面體NBCD-48CR中，底面是邊長(zhǎng)為1的正方形，若

幺為8=4,/。=60°,且工4=3,則NC；的長(zhǎng)為（）

3

【答案】D

【解析】

【分析】

由向量線性運(yùn)算得存=方+而+9，利用數(shù)量積的定義和運(yùn)算律可求得屬,由此可求

得函

【詳解】

由題意得：網(wǎng)=刖卜1,陽(yáng)卜3,Fl".4）=0，

又前.麴=|祠?畫(huà)cos60。=',而.麗=|畫(huà).陽(yáng)cos60°=1,

4cl=AB+AD+AA{,

2

:.ACt=（荏+而+河2=|可+|砌H詞?+2而?而+2而?羽+2彷麴

=1+1+9+3+3=17,西卜VT7.

故選:D.

7.如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，下列結(jié)論不正確的是（）

A.異面直線/C與3a所成的角為60"

B.二面角4-4C-5的正切值為近

C.直線物與平面N8CQ所成的角為45"

D.四面體A-NBC的外接球體積為更兀

2

4

【答案】C

【解析】

【分析】

建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解異面直線的夾角，二面角及線面角，判斷ABC選項(xiàng),

D選項(xiàng)，四面體R-ZqC的外接球即為正方體的外接球，從而求出外接球半徑和體積.

【詳解】

以〃為坐標(biāo)原點(diǎn)，DA,DC,。。所在直線分別為x軸，y軸，z軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則^(1,0,0),C(0,1,0),5(1,1,O),C,(0,1,1),5,(1,1,1),^(0,0,1),

A選項(xiàng)，設(shè)異面直線NC與8G所成的角為。，

則cos匹卜osX,西卜KT/，"'。'，=_L,

故異面直線/C與8c所成的角為60。，A正確；

B選項(xiàng)，設(shè)平面力B。的法向量為加=(xj,z),

in?AB,=v+z=0A.

—八，令y=l得：X=l,z=-1,

{比?4C=-x+y=0

則加=(1,1,一1),

平面叫。的法向量為3=(0,1,0),

/\m-n1yJ3

COS(W,77)=iI=—r==—

\/WHT63

設(shè)二面角A-B^C-B的大小為a，顯然a為銳角，則cosa=cos電斤，

3

所以sina=逅，tana=返，故二面角力-々C-8的正切值為&,B正確；

3

C選項(xiàng),設(shè)平面45cB的法向量為,=a，%zj,

則收臂必=0=],則日，

々?ACl=-X]+弘+4=0

所以勺=(1,0,1),

設(shè)直線4用與平面所成的角為外

則sin/?=|cos寓,可=K。啜啜1=1,

則夕=30。，C錯(cuò)誤;

D選項(xiàng)，四面體的外接球即為正方體力的外接球,

5

設(shè)外接球半徑為R,則R=g,則外接球體積為且兀，D正確.

22

故選：C

8.已知四面體N8C。的所有棱長(zhǎng)均為后，/,"分別為棱/。,8(7的中點(diǎn)，F(xiàn)為棱AB上異

于48的動(dòng)點(diǎn).有下列結(jié)論:

①線段的長(zhǎng)度為1；②點(diǎn)

C到面M/W的距離范圍為

③.FMN周長(zhǎng)的最小值為血+1；④NMEN的余弦值的取值

范圍為0,

其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為()

A.1B.2C.3D.4

【答案】D

【解析】

【分析】

作8,平面N8C,垂足為O,取/。中點(diǎn)G,利用長(zhǎng)度關(guān)系可求得“G,NG,利用勾股定

2

理可知①正確；在48上取點(diǎn)7,使得=以。為坐標(biāo)原點(diǎn)可建立空間直角坐標(biāo)系,

爭(zhēng)一坐,0,利用點(diǎn)到平面距離

設(shè)尸(x,y,z),AF=A,AB(O<A<1),可表示出

6

也

1—J,9

令￥=f>0,可得，由此確定②正

確；將等邊三角形/8C與480沿48展開(kāi)，可知MF+NFWMN,由此可知③正確；設(shè)。為

48中點(diǎn)，若點(diǎn)尸在線段8。上，設(shè)BF=&x,利用余弦定理表示出

2

cos/MFN=當(dāng)0<x<也時(shí),

可知當(dāng)x=0時(shí)，cosZA/HV=0

2

]_______

cosZ.MFN=

n―1―n―-,結(jié)合二次函數(shù)最值的求法可求得cosNMFN的范圍，知④

?-----r+-----+1

4x42%27

正確.

【詳解】

\,四面體Z3CD所有棱長(zhǎng)均為后,四面體4co為正四面體;

對(duì)于①，作ODJ?平面/8C,垂足為。，

2

；四面體/3CD為正四面體，0為A/BC的中心，Oe/N且4O=-/N；

3

取/。中點(diǎn)G,連接"G,則MG//0O,A/G=1。。HMGJ.平面/BC：

2

vAN：,AO=GN=-AN=—^.\MG=-DO=

332

=1,①正確;

2

對(duì)于②，在上取點(diǎn)T,使得=則OT//BC,;.ANLOT,

則以。為坐標(biāo)原點(diǎn)，的，而，而正方向?yàn)閤，%z軸，可建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系,

7

貝I]”,-半,0,B6在點(diǎn)

,0,D0,0,,C

、77

,:.CN=,叫。卓

設(shè)尸（x,y,z）,JF=AA8（0<2<1）,

：.X=包工，y=近九一顯,

???AF-,AB=z=0,

223

、>R4

,76.76\

2,:.NF=X,—Z--,0,

”,。1,22

7/

設(shè)平面MVF的法向量〃=(a,b,c),

MNH=^-b-=0

33

則,令b=1,解得：c->/2?a=------------

訴一收】[瓜）瓜、2

NFn=----Aa+-----Z--------b=0

222

'空區(qū)1小、,

n=

y/61-2

???點(diǎn)C到平面MFN的距離d=—

H

令一』，則,弓…°,；.公房

+.?.()"<￥，即用C到平面MFN的距離的取值范圍為0,

,②正確;

對(duì)于③，將等邊三角形45c與NBO沿Z3展開(kāi)，可得展開(kāi)圖如卜圖所示,

8

則MF+NFNMN（當(dāng)且僅當(dāng)尸為AB中點(diǎn)時(shí)取等號(hào)）,

???四邊形/C5O為菱形，M,N分別為AD,BC中煎，；.MN=6,

:.MF+NF>42>

則在四面體48co中，AFMN周長(zhǎng)的最小值為0+1，③正確；

對(duì)于④，設(shè)。為Z8中點(diǎn)，若點(diǎn)尸在線段8。上，設(shè)BF=a_x，則”=也+「其中

22

0&x<旦,

2

,7T（近1141（41、）正1

NF?7=BF2+BN??-2BF,BNcos-=---x+―——---x=x2-—x+-;

3222222

\/\7

在A/MF中，同理可得：MF2=x2

MF2+NF1-MN-

，cosZ.MFN=

2MF-NF

當(dāng)x=0時(shí)，cosNMFN=Q；

9

J?,1cosZ.MFN-71

當(dāng)o<x<——時(shí)，—>2,fiiii"

2x七Kb+I

1111,也

???丁一^+丁=+t1>3，/.0<cosZMFN<——;

4x42x23

.?.cosNA/FN的取值范圍為

同理可得：當(dāng)尸在線段力。上時(shí)，cos/MFN的取值范圍為

綜上所述：/"FN的余弦值的取值范圍為,④正確.

故選：I）.

二、多選題

9.給定下列命題，其中正確的命題是（)

ULm

A.若％分別是平面4，尸的法向量,則々〃叼=a〃4

11LUI

B.若內(nèi)分別是平面白，尸的法向量，則a//<x>?n2=0

c.若；;是平面a的法向量，且向量￡是平面a內(nèi)的直線/的方向向量，則￡G=0

D.若兩個(gè)平面的法向量不垂直，則這兩個(gè)平面一定不垂直

【答案】ACD

【解析】

【分析】

根據(jù)平面的法向量與平面的關(guān)系依次判斷即可得出答案.

【詳解】

U.LU一一

對(duì)A,若%,%分別是平面a,尸的法向量，則”]〃〃2=a〃￡，故A正確B錯(cuò)誤；

對(duì)C,若3是平面a的法向量，貝喘與平面a的任意直線的方向向量均垂直，所以〉7=0,

故C正確；

對(duì)I），若兩個(gè)平面垂直時(shí)，它們的法向量垂直是真命題，所以它的逆否命題“若兩個(gè)平面的

法向量不垂直，則這兩個(gè)平面一定不垂直”也是真命題，故D正確.

故選：ACD.

10.如圖，已知四邊形/比》是邊長(zhǎng)為1的正方形，切，平面四切，ABI平面且就9

=A5=1,￡為欣7的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）

10

N

DC

A.平面比五1平面ABNB.MCVAN

C.平面。雙1,平面41邠D.平面8宏〃平面4府

【答案】ABD

【解析】

【分析】

在A中，推導(dǎo)出8C_L/8,BCLNB,從而8c，平面Z8N,進(jìn)而平面BCE_L平面Z8N；

在B中，以B為原點(diǎn)，54為x軸，BC為V軸，BN為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向

量法能求出MCL/N；在C中，求出平面XMN的法向量和平面CMN的法向量，利用向量

法推導(dǎo)出平面CMV與平面4MM不垂直；在D中，求出平面的法向量，利用向量法能

推導(dǎo)出平面BDE〃平面AMN.

【詳解】

解：在A中，,??四邊形/8CZ)是邊長(zhǎng)為1的正方形，

1■?NB1ABCD,SCc￥iEABCD,BCLNB,

?:ABnNB=B,力8,N8u平面N8N,,.?.8CJ_平面N8N,

?.,8Cu平面BCE,.,.平面8?！?_1_平面/18%,故A正確；

在B中，以8為原點(diǎn)，山為x軸，8c為V軸，8N為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

”(1,1,1),C(0,1,0),A(l,0,0),N(0,0,1),

MC=(-l,0,-1),而=(-l,0,1),

MC-AN=0<■-MCLAN,故B正確；

在C中，W=(l,1,0),M4=(l,0,-1),而=(0,1,-1),

設(shè)平面ZMN的法向量加=(x,y,z),

m-NM=x+y=0

,取x=1,得而=(1,1),

in-NA=x-z=0

設(shè)平面CMV的法向量為=區(qū)，凹，zj,

則『吧"+"°,取e，得i，t,一1),

萬(wàn)?NC=M-4=0

W?=1+1-1=1^O,

「?平面CMV與平面4MV不垂直，故C錯(cuò)誤；

在D中，麗=(1,1,0),而Qi'),

11

設(shè)平面BDE的法向量萬(wàn)=(。，b,c),

p-BD=a+b=0

則,一一11，取〃=1,得萬(wàn)=。，一1,1),

p?BE=—a+b+—c=0

I22

???平面4MV的法向量而=(1,-1,1),所以周〃萬(wàn)，

???平面8OE//平面/MN,故D正確.

故選：ABD.

11.下列四個(gè)命題中，正確命題的有()

A.若一向量方在基底｛工瓦外下的坐標(biāo)為(1,-2,3),則向量,在基底｛￡+“-端｝下的坐標(biāo)

為|，4，3；

B.若向量￡=(2,-1,2),A=(T,2,町且￡與否的夾角為鈍角，則實(shí)數(shù)加的取值范圍為“<5；

C.己知直線/的方向向量為0=(1,0,1),點(diǎn)/(L2,T)在/上，則點(diǎn)P(2,1,1)至腳的距離為手;

D.若兩個(gè)不同平面%尸的法向量分別是；，5,且￡=(1,2,-2),v=(-2,-4,4),貝口〃夕.

【答案】CD

【解析】

【分析】

根據(jù)題意，逐項(xiàng)分析，結(jié)合相關(guān)公式和概念即可求解.

【詳解】

對(duì)于A,因?yàn)橄蛄咳f(wàn)在基底但石研下的坐標(biāo)為(1,-2,3),則萬(wàn)=1-2月+33,

設(shè)向量下在基底｛a+3,a-5,c｝下的坐標(biāo)為(x,y,z,),

12

則p=x(a+Z>)+y(a-b)+zc=(x+y)a+(x-y)b+zc，

x+y=1

i3

所以,工-歹=-2,解得x=gz=3,

z=3

所以向量,在基底?+友”砌，下的坐標(biāo)為故選項(xiàng)A不正確：

對(duì)于B,?.?向量￡=(2,-1,2),b^(-4,2,m),且萬(wàn)與B的夾角為鈍角，

2-12.

5-h=-8-2+<0,且一—,解得/?<5,且胴W―4,,故選項(xiàng)B不正確;

-42m

對(duì)于C,直線/的方向向量為々=(1,0,1),點(diǎn)在/上，

則點(diǎn)尸(2,1,1)到/的距離為:

"=-(8$(力尸,@)="+1+4.,故選項(xiàng)C正確;

對(duì)于D,兩個(gè)不同平面a,p的法向量分別是正，v，且及=(1,2,-2),v=(-2,-4,4)，因?yàn)閂=-2正,

所以E〃i7,則a〃夕，故選項(xiàng)D正確.

故選：CD.

12.如圖，在平行六面體工88-48?2中,

NDAB=ND44=ZBAA,=60。，AB=AD=AA,,點(diǎn)M,N分別是棱〃G,G用的中點(diǎn)，則下

列說(shuō)法中正確的有(

A.MN1AQ

_UUUlULUUUU

B.向量/M,8c共面

UUUlULUUUU.UUUU

C.JC,=/l?-ClC+5lCl

D.若AB=L則該平行六面體的高為逅

3

13

【答案】ACD

【解析】

【分析】

選定空間的一個(gè)基底{方，亞,羽},表示出相關(guān)向量，計(jì)算數(shù)量積判斷A；利用共面向量定

理判斷B；求出正四面體力第8。的高判斷D作答.

【詳解】

在平行六面體中，令方=2,而=5,您=5,不妨令|；|=|笳=|：|=1,

rrrrrri_________

依題意，a-b=b-c=C'a=-fAC、=a+b+c,CA{=-a-b+cf

____1___1_

因點(diǎn)加、分別是棱。G，G4的中點(diǎn)，則柄=5。3=]（"6）,

麗?布=g伍一5）?伍+B+?=；（12-廬+晨^-Bo）=o,則有〃N_L/G，A正確；

uuuruuiruuir]uurr?rrUUULuumuuu

AM=AA]+AD+—AB=c+—a+b,若向量NM,6c,8片共面，

則存在唯一實(shí)數(shù)對(duì)心〃使得AM=25C+〃西,

rIrrrr…,i

即b++c=+而凡"c不共面，則有5=0,顯然不成立，B不正確；

，，，-,.ULUUULIUUUULULUULUUUULUUUUUULUULU

由81cl=BC,則/B-GC+BC=H8+BC-GC=XC+CG=%G，故C正確.

連接4民4。，依題意，A.B=A,D=BD=AA,=AB=AD,即四面體力第8。是正四面體，

因此，平行六面體的高等于點(diǎn)4到平面48。的距離，即正四面體4/8。的高4

由平?藕=（商一己＞（@+5+6）=及2一己2+力石一小]=0知14B,

由選項(xiàng)A知ABcBD=B,

UUUL__________

則ACJ平面48。，力G是平面48。的一個(gè)法向量，ABAC}=a^a+b+c）=2,

14

iUUUT|hrrr、2甲rj1211rrrr

\AC\=A\a+h+c\=ya+h+c+2〃?6+2b?c+2c?〃=，6,

umuuui

則人=皿劍=之=理，所以平行六面體的高為如，D正確.

|AC,|V633

故選：ACD

三、填空題

13.已知向量￡,加滿足￡=（1,1,五），忖=2,且.++百口-閘.則3+B在￡上的投影向

量的坐標(biāo)為.

【答案】’32逑、

222

【解析】

【分析】

對(duì)BN=回￡-閘兩邊平方后得到7B=2，代入投影向量的公式進(jìn)行求解即可.

【詳解】

卜+耳=6卜-神兩邊平方化簡(jiǎn)得：222-8展5+2盧=0，①

|大|為〃=（1,1,8）,所以同=J1+1+2=2,

又問(wèn)=2，代入①得：8-8限5+8=0，解得：75=2，

所以"+3在Z上的投影向量坐標(biāo)為

2

（a+b\ana+a-b似匈4+2似應(yīng)）＞333夜］

同同2222\2,22）

故答案為：（|,|,哈

\z/

14.已知空間四邊形的每條邊和對(duì)角線的長(zhǎng)都等于1,點(diǎn)E,尸分別是8C,的

中點(diǎn)，則荏.3的值為^

【答案】—##-0.5

2

【解析】

【分析】

如圖，在正三棱錐中，以及，而，而為基底，AE=^BC-BA,CF=^BA+^BD-BC,利

用向量數(shù)量積性質(zhì)進(jìn)行計(jì)算即可得解.

【詳解】

15

B

根據(jù)題意Z8CO為正四面體，

京?，否萬(wàn)，血兩兩成60"角，

所以施=8云一月7=L的，雨,

2

CF=BF-BC=-BA+-BD-BC,

22

所以施存=(g死一勵(lì).(g成+；麗一麗

1111111111

=-X—+—X-----------X—+—=——.

4242222222

故答案為：-1

2

15.已知向量5=(1,》2,2),B=(0,1,2),d=(1,0,0),若，石*共面，則》=.

【答案】±1

【解析】

【分析】

利用共面向量定理直接求解

【詳解】

因?yàn)橄蛄?=(1,/,2),B=(0,1,2),1=(1,0,0)共面，

所以存在實(shí)數(shù)"八"，使得石=茄+〃乙"wo,"W0,即(1/2,2)=(〃,加,2機(jī))，

1=n

所以,工2=加，解得/=加=1,所以產(chǎn)±1.

2=2m

故答案為：士1.

16.在棱長(zhǎng)為1的正方體坊G3中，點(diǎn)尸是對(duì)角線4G的動(dòng)點(diǎn)(點(diǎn)尸與4G不重

合)，則下列結(jié)論正確的有.

16

①存在點(diǎn)P,使得平面A.DP//平面5.CP,；

②存在點(diǎn)只使得平面ZQP;

③工,邑分別是△4。。在平面/￡GA，平面88CC上的正投影圖形的面積，對(duì)任意的點(diǎn)。

都有sk&；

④對(duì)任意的點(diǎn)P,A4QP的面積都不等于也.

6

【答案】①②④

【解析】

【分析】

當(dāng)P為直線4G與平面4m的交點(diǎn)時(shí)，根據(jù)面面平行的判定定理即可判斷①正確；當(dāng)戶為

直線4G與平面4班＞的交點(diǎn)時(shí)，根據(jù)線面垂直的判定定理即可判斷②；計(jì)算出工=邑的條

件即可判斷③：求出△4。尸的面積的最小值即可判斷④.

【詳解】

對(duì)于①，如圖，因?yàn)閝R//8。，B.CHA.D,SlDinSlC=Sl,BD[\AXD=D,

所以平面48。〃平面BCR,

當(dāng)直線ZG交平面于點(diǎn)P時(shí)，有平面4Q尸〃平面4c故①正確；

對(duì)于②，如圖，設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為2,則42,2,0),0(0,2,0),4(2,2,2),C,(0,0,2),5(2,0,0),

17

則ACt=(-2,-2,2)，4O=(-2,0,-2),50=(-2,2,0),

有苑?麗=0,AC,BD=Q,所以布_L而，離，麗，

又8?？?。=。，BD、NQu平面48。，所以平面/田。，

當(dāng)直線4G交平面4助于點(diǎn)尸時(shí)，有NG_L平面4DP,故②正確;

對(duì)于③，因?yàn)樵O(shè)/P=x/G(其中0<x<l)，

1x

則^ADP在平面4ACQ的正投影面積為s,=-4pxxAtBt=-,

XAADP在平面88￡C匕的正投影圖形的面積與在平面41冷。的正投影圖形面積相等,

所以》_14"=卜_3，

X11

若岳=邑，貝匹=X-],解得X=1或X=；,

因?yàn)?<x<l,所以x=g,故存在點(diǎn)P,使得5=邑：故③錯(cuò)誤：

對(duì)于④，由于4。固定不變，只要找/G上的點(diǎn)到4。的距離最短即可，

取4。中點(diǎn)O,連接OP、OA,

由②的分析可證得ACXV平面&BD,由。尸U平面&BD得4G，。尸；

又平面/CQ,。尸匚平面力^^，所以4D_L0P,

18

所以。尸為直線ZG與4。的公垂線，此時(shí)△AXDP的面積最小;

因?yàn)樵谡襟w中，易知/2=■/￡=且，

又AO，g=①,所以O(shè)P=J/O,—月P，=迎,

2126

因此，山四=；46”=等＞(；

所以對(duì)任意點(diǎn)P,△4DP的面積都不等于立，故④正確.

6

故答案為：①②④

四、解答題

17.如圖，四棱錐尸-/8CQ中，AD=PD=2,底面4靦是正方形.且平面尸CD_L平面

ABCD,ZPDC=\20°.

—?2———?1—?

(1)若PE=：PC,AM^-AP,尸為四的中點(diǎn)，小,為園的中點(diǎn)，證明四邊形為梯形;

33

(2)若點(diǎn)￡1為民的中點(diǎn)，試判斷在線段H6上是否存在一點(diǎn)心使得二面角C-OE-尸平面

角為g.若存在，求出招的值.若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.

【答案】(1)證明見(jiàn)解析

⑵存在,/AF\=§2

【解析】

【分析】

(1)首先連接A/E，EN,NF,FM,AC,根據(jù)題意得到/W〃ME且ENH,即可

證明四邊形為梯形.

(2)首先在平面PCD中，過(guò)點(diǎn)。作QH_LOC,交PC于H,根據(jù)面面垂直的性質(zhì)得到DH1

平面A8CD.以。為原點(diǎn)，D4所在直線為x軸，0c所在直線為y軸，3H所在直線為z軸,

19

建立空間直角坐標(biāo)系，再利用空間向量法求解即可.

(1)

連接ME,EN,NF,FM,AC,如圖所示：

―-2—?——1—

因?yàn)镻E=±PC,AM=-AP,

33

--------2—-.2—■1PMi陽(yáng)2

所以尸加=1尸/1,又因?yàn)镻E=—PC,即△R4C中J77T"=L==:

2

所以M￡〃/C且M￡=-/C,

3

中，尸為Z8的中點(diǎn)，N為8c的中點(diǎn)

所以1N〃/C且=

2

所以FN〃ME且FN豐ME,

即證：四邊形為梯形.

(2)

AF2兀

在線段AB存在一點(diǎn)尸滿足—=T＞使得二面角C-DE-F平面角為v.

因?yàn)槠矫鍼C。_L平面/8C。，平面PCDD平面"BCD=DC,

在平面PCD中，過(guò)點(diǎn)。作。“JLOC,交.PC于H.

所以。〃_L平面/8CQ.

如圖所示，以。為原點(diǎn)，所在直線為x軸，0C所在直線為y軸，

。“所在直線為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示：

20

因?yàn)?1。=尸力=2,設(shè)以尸|=機(jī)，四邊形力8CD為正方形，ZPDC=nQo,

所以0（0,0,0）,C（0,2,0）,尸（0,-1,百），￡|0,1,^,尸（以檢0）,,

\>

平面人力的?個(gè)法向量刀=（2,0,0）,

—（1百、__.

所以DE=0,-,—,=（2,^,0）,

k）

設(shè)平面DE尸的一個(gè)法向量〃=（x,y,z）,

nDE=-y+—z=Q令？=2,則尸-26，x=&，熊=（鬲,-272b

n?DF=2x+my=0

因?yàn)槎娼荂-DE-F平面角為；，

兀Im-DA2>/3m1

所以COS—=匚=7=—f==—,

3|而卜?2,3/+12+42

4

解得m所以共1_3_2.

3~ABj~2~3

18.如圖，在四棱錐P-N8CZ）中，H_L底面458,ABHDC,DALAB,AB=AP=2,

2

DA=DC=\E為PC上一點(diǎn)、,且尸E=一尸C.

f3

21

（1）求證：4E_L平面P8C；

（2）求平面AEB與平面AED所成的銳二面角的大小.

【答案】（1）證明見(jiàn)解析

嗚

【解析】

【分析】

（1）根據(jù)空間直角坐標(biāo)系，可得空間向量，進(jìn)而可根據(jù)向量垂直證明線線垂直，進(jìn)而可得

線面垂直.（2）求解兩個(gè)平面的法向量，根據(jù)法向量的夾角與二面角的關(guān)系即可求解.

（1）

證明：：尸41底面488,AB1AD,

故以A為原點(diǎn)，分別為X軸、y軸、z軸

建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則/（0,0,0）、P（0,0,2）、C（1,1,O）、8（2,0,0）、0（0,1,0）,

所以=8c=（-1,1,0）,8尸=（-2,0,2）,

則打?萬(wàn)=0，BPAE=0>即8CJ./E,BPVAE,

又BCCBP=B,所以HEJ.平面R3C.

22

\P

(2)

--*(222、?uum

由⑴知=AB=(2,0,0),43=(0,1,0),

設(shè)平面力度的一個(gè)法向量為〃=(x,%z),則在i=0，五K7=0，

2x=0,

即《衛(wèi)+軍+絲—o，令丁=1，可得〃=(0,1,-1),

,TTT-

設(shè)平面的一個(gè)法向量為〃2=(〃,b,c),則7萬(wàn)萬(wàn)=0，w=0，

%=0_I/一7I浦I11

即停+爭(zhēng)當(dāng)=0,令。=1，可得加=(1AT)，H*卜葡二不雙虧

JT

所以平面AEB與平面銳二面角的大小為§

19.如圖，在直三棱柱/8C-48c中，四邊形Z/CC是邊長(zhǎng)為4的正方形，AB=3,BC=5.

(1)求直線48與直線所成角的余弦值.

(2)若在線段5a上存在一點(diǎn)。，且槳=t,當(dāng)時(shí)，求C的值.

oC)

【答案】(1)述

5

23

【解析】

【分析】

(1)首先由勾股定理逆定理得到4CL8C,再根據(jù)直棱柱的性質(zhì)建立空間直角坐標(biāo)系，利

用空間向量法求出異面直線所成角的余弦值；

(2)依題意可得即=出￡,/e[O,l],求出而、48的坐標(biāo)，依題意可得4。_L48,則

通?葩=0,即可得到方程，解得即可；

(1)

解：在直三棱柱4BC-431G