高三數(shù)學第三次月考試卷試題

高三數(shù)學第三次月考試卷試題命題：周家忠校對：周家忠第I卷一.選擇題:本大題共10小題，每小題5分，共50分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題意要求的．1、從裝有2個紅球和2個白球的口袋內(nèi)任取2個球,那么互斥而不對立的兩個事件是（）A.恰有1個白球;恰有2個白球B.至少有1個白球;至少有1個紅球C.至少有1個白球;都是白球D.至少有1個白球;都是紅球2、若函數(shù)y=f(x+1)的定義域是［－2,3］,則y=f(2x－1)的定義域為（）A.［0,］ B.［－1,4］ C.［－5,5］ D.［－3,7］3.若三點、、不共線,則“存在唯一一對實數(shù)、,使”是“點在直線上”的（）.充分不必要條件.必要不充分條件.充要條件.既不充分也不必要條件4．已知函數(shù)，則函數(shù)的圖像可能是()5.給出下列四個命題：①有兩個面平行，其余各面都是平行四邊形的幾何體是棱柱；②有兩側(cè)面與底面垂直的棱柱是直棱柱；③過斜棱柱的側(cè)棱作棱柱的截面，所得圖形不可能是矩形；④所有側(cè)面都是全等的矩形的四棱柱一定是正四棱柱。其中正確的命題的個數(shù)為（）個A、0B、1C、2D、36．函數(shù)f(x)為奇函數(shù)且f(3x+1)的周期為3，f(－1)=－1，則f(2008)等于（）A．0B．1C．一1D．27、如圖2，一圓形紙片的圓心為O,F是圓內(nèi)一定點，M是圓周上一動點，把紙片折疊使M與F重合，然后抹平紙片，折痕為CD,設CD與OM交于P,則點P的軌跡是（）A.橢圓B.雙曲線C.拋物線D.圓8、如圖所示是2008年北京奧運會的會徽，其中的“中國印”由四個色塊構(gòu)成，可以用線段在不穿越其他色塊的條件下將其中任意兩個色塊連接起來(如同架橋)，如果用三條線段將這四個色塊連接起來，不同的連接方法共有()A.8種B.12種C.16種D.20種9、已知三個正實數(shù)、、滿足，，則的取值范圍是（）....10.甲、乙兩工廠2007年元月份的產(chǎn)值相等,甲廠的產(chǎn)值逐月增加,且每月增加的產(chǎn)值相同;乙廠產(chǎn)值也逐月增加,且每月增長的百分率相同,若2008年元月份兩廠的產(chǎn)值又相等,則2007年7月份產(chǎn)值一定是（）A.甲廠>乙廠B.乙廠>甲廠C.相等D.不能確定第Ⅱ卷二.填空題:本大題共6小題，每小題5分，共30分.11、命題：“已知，若”的逆否命題是：12．已知函數(shù)，則其導函數(shù)展開式中含的項的系數(shù)為（第14題圖）ABCPDEF（第14題圖）ABCPDEF14.如圖，半徑為2的半球內(nèi)有一內(nèi)接正六棱錐，則此正六棱錐的側(cè)面積是________．15、已知雙曲線的離心率為，若它的一條準線與拋物線的準線重合。設雙曲線與拋物線的一個交點為,拋物線的焦點為，則16.定義:設有限集合,,則叫做集合的模,記作.若集合,集合的含有三個元素的全體子集分別為,則=__________(用數(shù)字作答).三.解答題:本大題共5小題，共70分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17.(本小題滿分12分)已知向量，，其中．記．（1）若的最小正周期為，求函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若函數(shù)圖象的一條對稱軸的方程為，求的值．18.(本小題滿分14分)已知直線與雙曲線有A、B兩個不同的交點.（1）如果以AB為直徑的圓恰好過原點O，試求k的值；（2）是否存在k，使得兩個不同的交點A、B關于直線對稱？試述理由.19.(本小題滿分14分)在正方體ABCD—A1B1C1D1中，E是棱CC1的中點.(1)判定AC與平面B1DE的位置關系，并證明;(2)求證：平面B1DE⊥平面B1BD;(3)求二面角B—B1E—D的大小.20．（本小題滿分14分）已知點集，其中，又知點列，為與軸的的交點．等差數(shù)列的公差為1，．（Ⅰ）求；（Ⅱ）若，求出的值；（Ⅲ）對于數(shù)列，設是其前項和，是否存在一個與無關的常數(shù)，使，若存在，求出此常數(shù)，若不存在，請說明理由．21.(本小題滿分16分)若定義在區(qū)間D上的函數(shù)y＝f（x）對于區(qū)間D上的任意兩個值x1、x2總有以下不等式eq\f(f（x1）＋f（x2）,2)≤f（eq\f(x1＋x2,2)）成立，則稱函數(shù)y＝f（x）為區(qū)間D上的凸函數(shù)．（1）證明：定義在R上的二次函數(shù)f（x）＝ax2＋bx＋c（a＜0）是凸函數(shù)；（2）設f（x）＝ax2＋x（a∈R，a≠0），并且x∈［0，1］時，f（x）≤1恒成立，求實數(shù)a的取值范圍，并判斷函數(shù)f（x）＝ax2＋x（a∈R，a≠0）能否成為R上的凸函數(shù)；（3）定義在整數(shù)集Z上的函數(shù)f（x）滿足：①對任意的x，y∈Z，f（x＋y）＝f（x）f（y）；②f（0）≠0，f（1）＝2．試求f（x）的解析式；并判斷所求的函數(shù)f（x）是不是R上的凸函數(shù)說明理由．高三數(shù)學第三次月考試卷試題數(shù)學試題參考答案一.選擇題:本大題共10小題，每小題5分，共50分．1、A2、A3、B4、A5、A6、B7、A8、C9、C10、A二.填空題:本大題共6小題，每小題5分，共30分.11、已知，若；12、；13、11；14、6；15、4；16、3600.三.解答題:本大題共5小題，共70分，解答應寫出文字說明，證明過程或演算步驟.17.(本小題滿分12分)解：（1）．∵，∴，∴．由得．故函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間為．（8分）（2）∵直線是函數(shù)圖象的一條對稱軸，∴，，得．又∵，∴令，得．（12分）18.(本小題滿分14分)解：（1）設，則以AB為直徑的圓恰好過原點O的充要條件是，即…① 由消去y得…② 將其代入①得，解得或 當時，方程②為，有兩個不等實根； 當時，方程②為，有兩個不等實根. 故當或時，以AB為直徑的圓恰好過原點O.（8分）（2）若關于直線對稱， 則 將④整理得 因為所以，解之，得這個結(jié)果與③矛盾. 故不存在這樣的k，使兩點A、B關于直線對稱.（14分）19.(本小題滿分14分)(1)證明：延長B1E交BC的延長線于M，∵E為CC1的中點，∴Rt△ECM≌Rt△EC1B1.∴CM=B1C1=AD.又CM∥AD,∴ACMD為平行四邊形.∴AC∥DM.又AC平面B1DE，DM平面B1DE，∴AC∥平面B1DE. （5分）(2)證明：∵BB1⊥平面ABCD，∴BB1⊥AC.又ABCD為正方形，∴BD⊥AC.∴AC⊥平面BDB1.∵DM∥AC,∴DM⊥平面BDB1.又DM平面B1DE,∴平面B1DE⊥平面B1BD.（10分）(3)解：作BH⊥B1D于H，由(2)知BH⊥平面B1DE，作OH⊥B1E于O，連結(jié)BO,則BO⊥B1E，∴∠BOH為二面角B—B1E—D的平面角.在Rt△B1BD中，BH==,連結(jié)BE，則BO是等腰△BB1E的腰B1E上的高，∴BO==.在Rt△BHO中，sin∠BOH==,∴二面角B1—BE—D的大小為arcsin. （14分） 20.(本小題滿分14分)解：（1）由題設有，故L為直線，它與軸的交點為（2分），又數(shù)列是以1為公差的等差數(shù)列，所以，故（5分）（2）（5分）當為奇數(shù)時，；當為偶數(shù)時，．（10分）（3），假設存在與無關的常數(shù)，使即，故存在與無關的常數(shù)，使．（14分）21.(本小題滿分16分)證明：（1）對任意x1，x2∈R，當a＜0，有［f（x1）＋f（x2）］－2f（eq\f(x1＋x2,2)）＝ax12＋bx1＋c＋ax22＋bx2＋c－2［a（eq\f(x1＋x2,2)）2＋b（eq\f(x1＋x2,2)）＋c］＝ax12＋ax22－eq\f(1,2)a（x12＋x22＋2x1x2）＝eq\f(1,2)a（x1－x2）23分∴當a＜0時，f（x1）＋f（x2）≤2f（eq\f(x1＋x2,2)），即eq\f(f（x1）＋f（x2）,2)≤f（eq\f(x1＋x2,2)）當a＜0時，函數(shù)f（x）是凸函數(shù)．5分（2）當x＝0時，對于a∈R，有f（x）≤1恒成立；當x∈（0，1］時，要f（x）≤1恒成立，即ax2≤－x＋1，∴a≤eq\f(1,x2)－eq\f(1,x)＝（eq\f(1,x)－eq\f(1,2)）2－eq\f(1,4)恒成立，∵x∈（0，1］，∴eq\f(1,x)≥1，當eq\f(1,x)＝1時，（eq\f(1,x)－eq\f(1,2)）2－eq\f(1,4)取到最小值為0，∴a≤0，又a≠0，∴a的取值范圍是（－∞，0）．由此可知，滿足條件的實數(shù)a的取值恒為負數(shù)，由（1）可知函數(shù)f（x）是凸函數(shù)11分（3）令x＝y(tǒng)＝0，則f（0）＝［f（0）］2，∵f（0）≠0，∴f（0）＝1，12分令y＝－x，則1＝f（0）＝f（x－x）＝f（x）f（－x），故f（x）＝eq\f(1,f（－x）)；若n∈N*，則f（n）＝f［（n－1）＋1］＝f（n－1）f（1）＝2f（n－1）＝…＝［f（1）］2；14分若n＜0，n∈Z，則－n∈N*，∴f（n）＝eq\f(1,f（－n）)＝eq\f(1,2－n)＝2n；∴x∈Z時，f（x）＝2x．綜上所述，對任意的x∈Z，都有f（x）＝2x；15分∵eq\f(1,2)［20＋21］＝eq