計量經(jīng)濟學(xué)21方程計量經(jīng)濟學(xué)模型

單方程計量經(jīng)濟學(xué)模型

理論與方法TheoryandMethodologyofSingle-EquationEconometricModel第二章經(jīng)典單方程計量經(jīng)濟學(xué)模型：

一元線性回歸模型

回歸分析概述一元線性回歸模型的參數(shù)估計一元線性回歸模型檢驗一元線性回歸模型預(yù)測實例§2.1回歸分析概述一、變量間的關(guān)系及回歸分析的基本概念二、總體回歸函數(shù)三、隨機擾動項四、樣本回歸函數(shù)（SRF）§2.1回歸分析概述（1）確定性關(guān)系或函數(shù)關(guān)系：研究的是確定現(xiàn)象非隨機變量間的關(guān)系。（2）統(tǒng)計依賴或相關(guān)關(guān)系：研究的是非確定現(xiàn)象隨機變量(RandomVariable)間的關(guān)系。一、變量間的關(guān)系及回歸分析的基本概念

1、變量間的關(guān)系經(jīng)濟變量之間的關(guān)系，大體可分為兩類：對變量間統(tǒng)計依賴關(guān)系的考察主要是通過相關(guān)分析(correlationanalysis,includinglinearrelationshipandnon-linearrelationship

)或回歸分析(regressionanalysis)來完成的：例如：

函數(shù)關(guān)系：統(tǒng)計依賴關(guān)系/統(tǒng)計相關(guān)關(guān)系：線性相關(guān)的兩變量的相關(guān)系數(shù)如果給定X和Y一組樣本的觀察值則相關(guān)系數(shù)為isthe(sample)covarianceofthevariablesdividedbytheir(sample)standarddeviations

①不線性相關(guān)并不意味著不相關(guān)；

②有相關(guān)關(guān)系并不意味著一定有因果關(guān)系；

③回歸分析/相關(guān)分析研究一個變量對另一個（些）變量的統(tǒng)計依賴關(guān)系，但它們并不意味著一定有因果關(guān)系。

④相關(guān)分析對稱地對待任何（兩個）變量，兩個變量都被看作是隨機的。回歸分析對變量的處理方法存在不對稱性，即區(qū)分應(yīng)變量（被解釋變量）和自變量（解釋變量）：前者是隨機變量，后者不是?！⒁猓?/p>

回歸分析(regressionanalysis)是研究一個變量關(guān)于另一個（些）變量的具體依賴關(guān)系的計算方法和理論。

其用意：在于通過后者的已知或設(shè)定值，去估計和（或）預(yù)測前者的（總體）均值。這里：前一個變量被稱為被解釋變量（ExplainedVariable）或應(yīng)變量（DependentVariable），后一個（些）變量被稱為解釋變量（ExplanatoryVariable）或自變量（IndependentVariable）。2、回歸分析的基本概念

回歸分析構(gòu)成計量經(jīng)濟學(xué)的方法論基礎(chǔ)，其主要內(nèi)容包括：

（1）根據(jù)樣本觀察值對經(jīng)濟計量模型參數(shù)進行估計，求得回歸方程；（2）對回歸方程、參數(shù)估計值進行顯著性檢驗；（3）利用回歸方程進行分析、評價及預(yù)測。

由于變量間關(guān)系的隨機性，回歸分析關(guān)心的是根據(jù)解釋變量的已知或給定值，考察被解釋變量的總體均值，即當解釋變量取某個確定值時，與之統(tǒng)計相關(guān)的被解釋變量所有可能出現(xiàn)的對應(yīng)值的平均值。例2.1：一個假想的社區(qū)有100戶家庭組成，要研究該社區(qū)每月家庭消費支出Y與每月家庭可支配收入X的關(guān)系。即如果知道了家庭的月收入，能否預(yù)測該社區(qū)家庭的平均月消費支出水平。二、總體回歸函數(shù)

為達到此目的，將該100戶家庭劃分為組內(nèi)收入差不多的10組，以分析每一收入組的家庭消費支出。（1）由于不確定因素的影響，對同一收入水平X，不同家庭的消費支出不完全相同；（2）但由于調(diào)查的完備性，給定收入水平X的消費支出Y的分布是確定的，即以X的給定值為條件的Y的條件分布（Conditionaldistribution）是已知的，如：P(Y=561|X=800）=1/4。因此，給定收入X的值Xi，可得消費支出Y的條件均值（conditionalmean）或條件期望（conditionalexpectation）：

E(Y|X=Xi)該例中：E(Y|X=800)=605分析：描出散點圖發(fā)現(xiàn)：隨著收入的增加，消費“平均地說”也在增加，且Y的條件均值均落在一根正斜率的直線上。這條直線稱為總體回歸線。05001000150020002500300035005001000150020002500300035004000每月可支配收入X（元）每月消費支出Y（元）

概念：

在給定解釋變量Xi條件下被解釋變量Yi的期望軌跡稱為總體回歸線（populationregressionline），或更一般地稱為總體回歸曲線（populationregressioncurve）。稱為（雙變量）總體回歸函數(shù)（populationregressionfunction,PRF）。

相應(yīng)的函數(shù)：

回歸函數(shù)（PRF）說明被解釋變量Y的平均狀態(tài)（總體條件期望）隨解釋變量X變化的規(guī)律。含義：

函數(shù)形式：可以是線性或非線性的。例2.1中，將居民消費支出看成是其可支配收入的線性函數(shù)時:

為一線性函數(shù)。其中，

0，

1是未知參數(shù)，稱為回歸系數(shù)（regressioncoefficients）。

。

三、隨機擾動項總體回歸函數(shù)說明在給定的收入水平Xi下，該社區(qū)家庭平均的消費支出水平。但對某一個別的家庭，其消費支出可能與該平均水平有偏差。稱

i為觀察值Yi圍繞它的期望值E(Y|Xi)的離差（deviation），是一個不可觀測的隨機變量，又稱為隨機干擾項（stochasticdisturbance）或隨機誤差項（stochasticerror）。記例2.1中，個別家庭的消費支出為：

（*）式稱為總體回歸函數(shù)（方程）PRF的隨機設(shè)定形式。表明被解釋變量除了受解釋變量的系統(tǒng)性影響外，還受其他因素的隨機性影響。（1）該收入水平下所有家庭的平均消費支出E(Y|Xi)，稱為系統(tǒng)性（systematic）或確定性（deterministic)部分。（2）其他隨機或非確定性（nonsystematic)部分

i。即，給定收入水平Xi,個別家庭的支出可表示為兩部分之和:(*)由于方程中引入了隨機項，成為計量經(jīng)濟學(xué)模型，因此也稱為總體回歸模型。隨機誤差項主要包括下列因素的影響：1）未知的影響因素；2）殘缺數(shù)據(jù)3）眾多細小影響因素4）變量觀測值的觀測誤差的影響；5）模型關(guān)系的設(shè)定誤差的影響；6）變量的內(nèi)在隨機性。產(chǎn)生并設(shè)計隨機誤差項的主要原因：1）理論的含糊性；2）數(shù)據(jù)的欠缺；3）節(jié)省原則。

四、樣本回歸函數(shù)（SRF）

問題：能從一次抽樣中獲得總體的近似的信息嗎？如果可以，如何從抽樣中獲得總體的近似信息？問：能否從該樣本估計總體回歸函數(shù)PRF？回答：能例2.2：在例2.1的總體中有如下一個樣本，

總體的信息往往無法掌握，現(xiàn)實的情況只能是在一次觀測中得到總體的一個樣本。核樣本的散點圖（scatterdiagram)：

樣本散點圖近似于一條直線，畫一條直線以盡好地擬合該散點圖，由于樣本取自總體，可以該線近似地代表總體回歸線。該線稱為樣本回歸線（sampleregressionlines）。記樣本回歸線的函數(shù)形式為：稱為樣本回歸函數(shù)（sampleregressionfunction，SRF）。

這里將樣本回歸線看成總體回歸線的近似替代則

注意：

樣本回歸函數(shù)的隨機形式/樣本回歸模型：同樣地，樣本回歸函數(shù)也有如下的隨機形式：

由于方程中引入了隨機項，成為計量經(jīng)濟模型，因此也稱為樣本回歸模型（sampleregressionmodel）。

▼回歸分析的主要目的：根據(jù)樣本回歸函數(shù)SRF，估計總體回歸函數(shù)PRF。注意：這里PRF可能永遠無法知道。即，根據(jù)

估計§2.2一元線性回歸模型的基本假設(shè)

由于回歸分析的主要目的是要通過樣本回歸函數(shù)（模型）SRF盡可能準確地估計總體回歸函數(shù)（模型）PRF。即通過

采用普通最小二乘或者普通最大似然方法估計。為了保證參數(shù)估計量具有良好的性質(zhì)，需要回歸模型滿足一些基本條件。主要內(nèi)容一、關(guān)于模型設(shè)定的假設(shè)二、關(guān)于解釋變量的假設(shè)三、關(guān)于隨機項的假設(shè)1、關(guān)于模型關(guān)系的假設(shè)模型設(shè)定正確假設(shè)。Theregressionmodeliscorrectlyspecified.線性回歸假設(shè)。Theregressionmodelislinearintheparameters。注意：“l(fā)inearintheparameters”的含義是什么？2、關(guān)于解釋變量的假設(shè)確定性假設(shè)。Xvaluesarefixedinrepeatedsampling.Moretechnically,Xisassumedtobenonstochastic.

注意：“inrepeatedsampling”的含義是什么？與隨機項不相關(guān)假設(shè)。ThecovariancesbetweenXiandμiarezero.由確定性假設(shè)可以推斷。觀測值變化假設(shè)。Xvaluesinagivensamplemustnotallbethesame.無完全共線性假設(shè)。Thereisnoperfectmulticollinearityamongtheexplanatoryvariables.

適用于多元線性回歸模型。樣本方差假設(shè)。隨著樣本容量的無限增加，解釋變量X的樣本方差趨于一有限常數(shù)。時間序列數(shù)據(jù)作樣本時間適用3、關(guān)于隨機項的假設(shè)0均值假設(shè)。Theconditionalmeanvalueofμiiszero.同方差假設(shè)。Theconditionalvariancesofμiareidentical.(Homoscedasticity)由模型設(shè)定正確假設(shè)推斷。是否滿足需要檢驗。序列不相關(guān)假設(shè)。Thecorrelationbetweenanytwoμiandμjiszero.是否滿足需要檢驗。

正態(tài)性假設(shè)。Theμ’sfollowthenormaldistribution在采用OLS進行參數(shù)估計時，不需要正態(tài)性假設(shè)。在利用參數(shù)估計量進行統(tǒng)計推斷時，需要假設(shè)隨機項的概率分布。推論：被解釋變量Y的分布為

4、CLRM和CNLRM以上假設(shè)（正態(tài)性假設(shè)除外）也稱為線性回歸模型的經(jīng)典假設(shè)或高斯（Gauss）假設(shè)，滿足該假設(shè)的線性回歸模型，也稱為經(jīng)典線性回歸模型（ClassicalLinearRegressionModel,CLRM）。同時滿足正態(tài)性假設(shè)的線性回歸模型，稱為經(jīng)典正態(tài)線性回歸模型（ClassicalNormalLinearRegressionModel,CNLRM）。幾乎沒有哪個實際問題能夠同時滿足所有基本假設(shè)；通過模型理論方法的發(fā)展，可以克服違背基本假設(shè)帶來的問題（除正態(tài)假設(shè)外）；違背基本假設(shè)問題的處理構(gòu)成了單方程線性計量經(jīng)濟學(xué)理論方法的主要內(nèi)容：

異方差問題（違背同方差假設(shè)）序列相關(guān)問題（違背序列不相關(guān)假設(shè)）共線性問題（違背解釋變量不相關(guān)假設(shè)）隨機解釋變量（違背解釋變量確定性假設(shè)）重要提示§2.3一元線性回歸模型的參數(shù)估計

(EstimationofSimpleLinearRegressionModel)

零、預(yù)備知識一、參數(shù)的普通最小二乘估計（OLS）二、參數(shù)估計的最大或然法(ML)三、參數(shù)估計的矩法（MM）四、最小二乘估計量的性質(zhì)五、參數(shù)估計量的概率分布及隨機干擾項方差的估計

如果線性方程組的系數(shù)行列式D不等于零，則方程組有唯一解（1）CRAMMER法則解CRAMMER法則應(yīng)用所以1、Crammer法則只能用于求解方程個數(shù)與未知數(shù)個數(shù)相等的線性方程組；2、Crammer法則只能求得系數(shù)行列式不為零時的線性方程組的唯一解；即如果方程個數(shù)與未知數(shù)個數(shù)不相等，或系數(shù)行列式等于零，則Crammer法則失效。3、計算量大，要計算n+1個n階行列式的值。

CRAMMER法則應(yīng)用局限一、參數(shù)的普通最小二乘估計（OLS）

給定一組樣本觀測值（Xi,Yi）（i=1,2,…n）要求樣本回歸函數(shù)盡可能好地擬合這組值.

普通最小二乘法（Ordinaryleastsquares,OLS）給出的判斷標準是：二者之差的平方和最小。方程組（*）稱為正規(guī)方程組（normalequations）。

記上述參數(shù)估計量可以寫成：

稱為OLS估計量的離差形式（deviationform）。由于參數(shù)的估計結(jié)果是通過最小二乘法得到的，故稱為普通最小二乘估計量（ordinaryleastsquaresestimators）。

順便指出，記則有

可得

（**）式也稱為樣本回歸函數(shù)的離差形式。（**）注意：

在計量經(jīng)濟學(xué)中，往往以小寫字母表示對均值的離差。

“估計量”（estimator）和“估計值”

(estimate)的區(qū)別

如果給出的參數(shù)估計結(jié)果是由一個具體樣本資料計算出來的，它是一個“估計值”，或者“點估計”，是參數(shù)估計量的一個具體數(shù)值；如果把上式看成參數(shù)估計的一個表達式，那么，則是Yi的函數(shù)，而Yi是隨機變量，所以參數(shù)估計也是隨機變量，在這個角度上，稱之為“估計量”。

二、參數(shù)估計的最大或然法(ML)

最大或然法(MaximumLikelihood,簡稱ML)，也稱最大似然法，是不同于最小二乘法的另一種參數(shù)估計方法，是從最大或然原理出發(fā)發(fā)展起來的其它估計方法的基礎(chǔ)。

基本原理：對于最大或然法，當從模型總體隨機抽取n組樣本觀測值后，最合理的參數(shù)估計量應(yīng)該使得從模型中抽取該n組樣本觀測值的概率最大。在滿足基本假設(shè)條件下，對一元線性回歸模型：

隨機抽取n組樣本觀測值（Xi,Yi）（i=1,2,…n）。

那么，Yi服從如下的正態(tài)分布：于是，Y的概率函數(shù)為（i=1,2,…n）

假如模型的參數(shù)估計量已經(jīng)求得，為因為Yi是相互獨立的，所以的所有樣本觀測值的聯(lián)合概率，也即或然函數(shù)(likelihoodfunction)為：

將該或然函數(shù)極大化，即可求得到模型參數(shù)的極大或然估計量。

由于或然函數(shù)的極大化與或然函數(shù)的對數(shù)的極大化是等價的，所以，取對數(shù)或然函數(shù)如下：解得模型的參數(shù)估計量為：

可見，在滿足一系列基本假設(shè)的情況下，模型結(jié)構(gòu)參數(shù)的最大或然估計量與普通最小二乘估計量是相同的。三、參數(shù)估計的矩法MM由2.2已知，有兩個總體矩條件相應(yīng)的樣本矩條件為例2.2.1：在上述家庭可支配收入-消費支出例中，對于所抽出的一組樣本數(shù)，參數(shù)估計的計算可通過下面的表2.2.1進行。

因此，由該樣本估計的回歸方程為：

四、最小二乘估計量的性質(zhì)

當模型參數(shù)估計出后，需考慮參數(shù)估計值的精度，即是否能代表總體參數(shù)的真值，或者說需考察參數(shù)估計量的統(tǒng)計性質(zhì)。

一個用于考察總體的估計量，可從如下幾個方面考察其優(yōu)劣性：

（1）線性性，即它是否是另一隨機變量的線性函數(shù)；（2）無偏性，即它的均值或期望值是否等于總體的真實值；（3）有效性，即它是否在所有線性無偏估計量中具有最小方差。（4）漸近無偏性，即樣本容量趨于無窮大時，是否它的均