專題3.15 勾股定理（全章復(fù)習(xí)與鞏固）（分層練習(xí)）（提升篇）-2023-2024學(xué)年八年級數(shù)學(xué)上冊基礎(chǔ)知識專項突破講與練（蘇科版）

專題3.15勾股定理（全章復(fù)習(xí)與鞏固）（分層練習(xí)）（提升篇）一、單選題1．下列各組數(shù)為勾股數(shù)的是(

)A． B． C． D．2．直角三角形兩直角邊長度為5，12，則斜邊上的高為（

）A．6 B．8 C．13 D．3．在中，，是延長線上一點，，是上一點，連接交于點，若，，則ED的長為（

）A．2.5 B．4.5 C．8.5 D．104．如圖，長方形中，，，將此長方形折疊，使點D與點B重合，折痕為．則的長為（

）A．13 B．12 C．10 D．85．如圖，在中，，，以點A為圓心，長為半徑畫弧，交線段于點D；以B為圓心，長為半徑畫弧，交線段于點E．若，則的長為（

）A． B． C． D．6．在中，，，．以A為圓心，的長為半徑作弧，分別交于點M、N，再分別以M、N為圓心，適當(dāng)長度為半徑畫弧，兩弧交于點P．連接，并延長交于D．過D作于點E，垂足為E，則的長度為（）A． B． C．2 D．17．如圖，在直線m上依次擺放著七個正方形，已知斜放置的三個正方形的面積分別是3，6，9，正放置的四個正方形的面積依次是，，，，則＝（

）A．6 B．6.5 C．7 D．88．如圖，在△ABC中，AC＝3cm，BC＝4cm，AB＝5cm，D，E，F(xiàn)分別是AB，BC，CA的中點，則△DEF的面積等于（

）A．1 B．1.5 C．2 D．39．如圖，長為的橡皮筋放置在數(shù)軸上，固定兩端A和B，然后把中點C垂直向上拉升到D點，則橡皮筋被拉長了（

）A． B． C． D．10．我國古代數(shù)學(xué)專著《九章算術(shù)》里記載了這樣一個問題“今有垣高一丈．倚木于垣，上與垣齊，引木卻行一尺，其木至地．問木長幾何？”其內(nèi)容可以表述為：“有一面墻，高1丈，將一根木桿斜靠在墻上，使木桿的上端與墻的上端對齊，下端落在地面上．如果使木桿下端從此時的位置向遠(yuǎn)離墻的方向移動1尺，則木桿上端恰好沿著墻滑落到地面上，問木桿長多少尺？”（說明：1丈尺），此木桿的長度為（

）A．49尺 B．49.5尺 C．50尺 D．50.5尺二、填空題11．已知△ABC中，AB＝6cm，BC＝8cm，AC＝10cm，則△ABC的面積是______cm2．12．如圖，在方格中，小正方形的邊長均為1，則圖中陰影正方形的邊長是_____．13．如圖，三角形中，，，，P為直線上一動點，連接，則線段的最小值是_____．14．如圖，在中，，，，D為BC邊上一點將沿AD折疊，若點B恰好落在線段AC的延長線上點E處，則CD的長為______．15．如圖，四個全等的直角三角形圍成一個大正方形，中間陰影部分是一個小正方形，這樣就組成一個“趙爽弦圖”．若，則正方形的面積為____．16．如圖，圓柱形無蓋玻璃容器，高18cm，底面周長為60cm，在外側(cè)距下底1cm的點C處有一蜘蛛，與蜘蛛相對的圓柱形容器的上口外側(cè)距開口1cm的F處有一蒼蠅，則急于捕獲蒼蠅充饑的蜘蛛所走的最短路線的長度為__________cm（容器壁厚度忽略不計）．17．如圖，長方形中，，E為邊上的動點，F(xiàn)為的中點，連接，則的最小值為________18．如圖，在直角三角形紙片中，，，，沿將紙片折疊，使點落在邊上的點處，再折疊紙片，使點與點重合，折痕分別與，交于點，，連接，則的長為______．三、解答題19．如圖，在筆直的公路旁有一座山，為方便運輸貨物現(xiàn)要從公路上的D處開鑿隧道通一條公路到C處，已知點C與公路上的停靠站A的距離為，與公路上另一?？空綛的距離為，且，．(1)求修建的公路的長；(2)若公路建成后，一輛貨車由C處途經(jīng)D處到達(dá)B處的總路程是多少？20．（1）大家知道（3，4，5）（5，12，13）（8，15，17）都是勾股數(shù)組，有人說它們中好像一定有一個是偶數(shù)，你認(rèn)為這種觀點正確嗎？說明你的理由．（2）除此之外，你還能發(fā)現(xiàn)勾股數(shù)具有哪些規(guī)律?與同伴進(jìn)行交流．21．如圖，已知BE⊥AE，∠A＝∠EBC＝60°，AB＝4，BC2＝12，CD2＝3，DE＝3．求證：(1)△BEC為等邊三角形；(2)ED⊥CD．22．做8個全等的直角三角形，設(shè)它們的兩條直線邊分別為a，b，斜邊為c，再做3個邊長分別為a，b，c的正方形，把它們按下圖所示的方式拼成兩個正方形．利用兩個正方形的面積相等來證明勾股定理：a2＋b2＝c223．【證明體驗】如圖1，在中，為邊上的中線，延長至，使，連接．求證：．【遷移應(yīng)用】如圖2，在中，，，為的中點，．求面積．【拓展延伸】如圖3，在中，，是延長線上一點，，是上一點，連接交于點，若，，求的長．24．在矩形ABCD中，AB=6，BC=8，點E是射線BC上一個動點，連接AE并延長交射線DC于點F，將△ABE沿直線AE翻折到△AB'E，延長AB'與直線CD交于點M．(1)求證：AM=MF；(2)當(dāng)點E是邊BC的中點時，求CM的長；(3)當(dāng)CF=4時，求CM的長．參考答案：1．B【分析】根據(jù)勾股數(shù)的定義：滿足的三個正整數(shù)，稱為勾股數(shù)判定則可．解：A．，不能構(gòu)成直角三角形，故不是勾股數(shù)；B．，能構(gòu)成直角三角形，是正整數(shù)，故是勾股數(shù)；C．，不能構(gòu)成直角三角形，故不是勾股數(shù)；D．，不能構(gòu)成直角三角形，故不是勾股數(shù)．故選：B．【點撥】本題考查了勾股數(shù)的定義，注意：一組勾股數(shù)必須同時滿足兩個條件：①三個數(shù)都是正整數(shù)；②兩個較小數(shù)的平方和等于最大數(shù)的平方．2．D【分析】利用勾股定理和等積法進(jìn)行求解即可．解：由題意得：直角三角形的斜邊長為：，設(shè)斜邊上的高為：，由直角三角形的面積相等可得：，解得：；故選D．【點撥】本題考查的勾股定理的應(yīng)用，求直角三角形斜邊上的高．熟練掌握等積法是解題的關(guān)鍵．3．B【分析】延長到，使得，連接．證明，得到，，結(jié)合已知證明，設(shè)，則，，在中，根據(jù)，構(gòu)建方程即可解決問題．解：延長到，使得，連接．在和中，，∴，，，，，，，，設(shè)，則，，在中，，，，．【點撥】本題屬考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會添加常用輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題．4．A【分析】設(shè)為x，則為，在由勾股定理有，即可求得．解：由折疊的性質(zhì)可知，設(shè)為x，則為，∵四邊形為長方形∴，∴在中由勾股定理有即化簡得解得，故選：A．【點撥】本題考查了折疊問題求折痕或其他邊長，主要可根據(jù)折疊前后兩圖形的全等條件，把某個直角三角形的三邊都用同一未知量表示出來，并根據(jù)勾股定理建立方程，進(jìn)而可以求解．5．A【分析】設(shè)根據(jù)，在中，由勾股定理列出方程即可求解．解：設(shè)，∵，，∴，在中，，∴為直角三角形，在中，由勾股定理得：，解得：，即故選：A．【點撥】本題主要考查了勾股定理，解題的關(guān)鍵是根據(jù)題意得出，進(jìn)而表示出的長．6．A【分析】直接利用基本作圖方法得出：，再利用全等三角形的判定與性質(zhì)得出，結(jié)合勾股定理得出答案．解：如圖所示：由題意可得：，在和中，設(shè)，則，故，解得∶．故選：A．【點撥】此題主要考查了基本作圖以及全等三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理等知識，正確應(yīng)用勾股定理是解題關(guān)鍵．7．A【分析】運用勾股定理可知，每兩個相鄰的正方形面積和都等于中間斜放的正方形面積，據(jù)此即可解答．解：如圖，觀察發(fā)現(xiàn)，∵，∴，，∴，在與中，，∴（AAS），∴，∵，∴，即，同理，，則，則．故選：A．【點撥】此題考查了全等三角形的判定以及性質(zhì)、勾股定理．解決本題的關(guān)鍵是得到．8．B【分析】由三角形中位線的性質(zhì)易得△DEF的三邊長，再由勾股定理的逆定理證出△DEF是直角三角形，然后由三角形面積公式求解即可．解：∵D，E，F(xiàn)分別是AB，BC，CA的中點∴EF，DE，DF都是△ABC的中位線，∴EF=AB，DE=AC，DF=BC，又∵AB=5cm，BC=4cm，AC=3cm，∴EF=2.5（cm），DE=2（cm），DF=1.5（cm），∵1.52+22=2.52，∴DE2+DF2=EF2，∴△EDF為直角三角形，∴S△EDF=DE?DF=×1.5×2=1.5（cm2），故選：B．【點撥】本題考查了三角形中位線定理、勾股定理的逆定理等知識；熟練掌握三角形中位線定理，由勾股定理的逆定理證出△DEF為直角三角形是解題的關(guān)鍵．9．A【分析】根據(jù)勾股定理，可求出AD長，再證明△ADC≌△BDC（SAS），可得AD=BD=5cm,求出AD+BD-AB即為橡皮筋拉長的距離．解：點C為線段AB的中點，∴AC=AB=4cm，Rt△ACD中，CD=3cm；根據(jù)勾股定理，得：AD==5(cm)；∵CD⊥AB，∴∠DCA=∠DCB=90°，在△ADC和△BDC中，，∴△ADC≌△BDC（SAS），∴AD=BD=5cm,∴AD+BD-AB=2AD-AB=10-8=2cm；∴橡皮筋被拉長了2cm．故選：A．【點撥】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，三角形全等判定與性質(zhì)，線段中點定義，解題的關(guān)鍵是勾股定理的應(yīng)用，三角形全等判定與性質(zhì)，線段中點定義，靈活運用所學(xué)知識解決問題．10．D【分析】當(dāng)木桿的上端與墻頭平齊時，木桿與墻、地面構(gòu)成直角三角形，設(shè)木桿長為尺，則木桿底端離墻有尺，根據(jù)勾股定理可列出方程，解方程即可解：如圖，設(shè)木桿長為尺，則木桿底端B離墻的距離即的長有尺，在中，∵，∴，解得：故選：D．【點撥】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是由實際問題抽象出直角三角形，從而運用勾股定理解題．11．24【分析】由勾股定理的逆定理得出△ABC是直角三角形，∠B＝90°，△ABC的面職為即可得出結(jié)果．解：∵AB＝6cm，BC＝8cm，AC＝10cm，∴AB2+CB2＝100＝AC2，∴△ABC是直角三角形，且∠B＝90°，∴△ABC的面積是＝＝24（cm2），故答案為：24．【點撥】本題考查了勾股定理的逆定理，直角三角形面積的計算方法，熟練掌握勾股定理的逆定理，并能進(jìn)行推理論證與計算是解決問題的關(guān)鍵．12．5【分析】根據(jù)網(wǎng)格構(gòu)造直角三角形，由勾股定理可得答案．解：如圖，在中，，，，故答案為：5．【點撥】本題考查了勾股定理，根據(jù)網(wǎng)格構(gòu)造直角三角形是解決問題的關(guān)鍵．13．【分析】當(dāng)時，的值最小，利用等面積法求解即可．解：在中，，，，∴，∵點到直線，垂線段最短，∴當(dāng)時，的值最小，此時：，即：，∴，故答案為．【點撥】本題考查垂線段最短．熟練掌握點到直線，垂線段最短，利用等積法求斜邊上的高，是解題的關(guān)鍵．14．3【分析】根據(jù)勾股定理可以得到AC的長，然后根據(jù)翻折的性質(zhì)和勾股定理，即可求得CD的長．解：∵∠ACB=90°，AB=10，BC=8，∵將△ABD沿AD折疊，點B恰好落在線段AC的延長線上點E處，∴AE=AB=10，BD=ED，∴CE=AE-AC=10-6=4，設(shè)CD=x，則BD=8-x，∵∠DCE=90°，∴CD2+CE2=ED2，即，解得x=3，∴CD=3，故答案為：3．【點撥】本題考查了勾股定理與折疊問題，掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．15．4【分析】利用勾股定理求得直角邊的較短邊，進(jìn)一步根據(jù)正方形EFGH的面積=大正方形面積-4個直角三角形面積即可求得正方形EFGH的面積．解：直角三角形直角邊的較短邊為=6，正方形EFGH的面積=10×10-8×6÷2×4=100-96=4．故答案為：4．【點撥】此題考查勾股定理的運用，掌握勾股定理的推導(dǎo)過程是解決問題的關(guān)鍵．16．34【分析】首先展開圓柱的側(cè)面，即是矩形，接下來根據(jù)兩點之間線段最短，可知CF的長即為所求；然后結(jié)合已知條件求出DF與CD的長，再利用勾股定理進(jìn)行計算即可.解：如圖為圓柱形玻璃容器的側(cè)面展開圖，線段CF是蜘蛛由C到F的最短路程.根據(jù)題意，可知DF=18-1-1=16（cm），CD（cm），∴（cm），即蜘蛛所走的最短路線的長度是34cm.故答案為34.【點撥】此題是有關(guān)最短路徑的問題，關(guān)鍵在于把立體圖形展開成平面圖形，找出最短路徑；17．15【分析】作F關(guān)于的對稱點，連接，交于點E，則，的長即為的最小值．運用勾股定理求即可．解：如圖：作F關(guān)于的對稱點，連接，交于點E，則，的長即為的最小值．長方形中，，F(xiàn)為的中點，∴，∴，∴，即的最小值為15．故答案為：15．【點撥】本題主要考查軸對稱的性質(zhì)及運用，能夠熟練掌握并運用將軍飲馬模型是解題關(guān)鍵．18．【分析】根據(jù)沿過點A的直線將紙片折疊，使點B落在邊上的點處，得，，又再折疊紙片，使點與點重合，得，，即可得，，設(shè)，則，可得，即可解得．解：沿將紙片折疊，使點B落在邊上的點處，，，折疊紙片，使點與點重合，，，，，，，，設(shè)，則，，解得，，故答案為：．【點撥】本題考查了直角三角形中的翻折變換，勾股定理，一元一次方程解法，完全平方公式，解題的關(guān)鍵是掌握翻折的性質(zhì)，熟練利用勾股定理列方程．19．(1)修建的公路CD的長為；(2)總路程為【分析】（1）根據(jù)題意可得：，，，利用勾股定理可得，再由三角形的等面積法計算即可得出；（2）由垂直的性質(zhì)及（1）中結(jié)論，再利用勾股定理可得出長度，然后求長即可．（1）解：∵，∴，根據(jù)題意可得：，，∴，，∴，∴，∴修建的公路CD的長為；（2）解：∵，∴，根據(jù)題意可得：，，∴，∴，∴總路程為．【點撥】本題主要考查勾股定理的應(yīng)用，理解題意，熟練應(yīng)用勾股定理是解題關(guān)鍵．20．（1）正確，見分析；（2）見分析【分析】（1）根據(jù)奇數(shù)的平方是奇數(shù)，偶數(shù)的平方是偶數(shù)，奇數(shù)加奇數(shù)為偶數(shù)即可判斷；（2）發(fā)現(xiàn)當(dāng)勾股數(shù)組中較大的兩個數(shù)為連續(xù)整數(shù)時，最小數(shù)的平方為奇數(shù)．解：（1）勾股數(shù)中一定有一個是偶數(shù)，如果全部為奇數(shù)，為偶數(shù)，而為奇數(shù)，兩者不可能相等，即一定存在一個偶數(shù)．（2）勾股數(shù)組中較大的兩個數(shù)為連續(xù)整數(shù)時，最小數(shù)的平方為奇數(shù)，理由如下：不妨令最大整數(shù)為，跟它連續(xù)的整數(shù)為，根據(jù)勾股定理有，，即最小數(shù)的平方為奇數(shù)．【點撥】本題考查了勾股定理，解題的關(guān)鍵是掌握偶數(shù)的平方是偶數(shù)，奇數(shù)的平方是奇數(shù)，奇數(shù)加奇數(shù)是偶數(shù)．21．(1)見分析；(2)見分析【分析】（1）在Rt△ABE中，求得AE＝2，BE2＝12，從而有BE＝BC，即可得出△BEC為等邊三角形；（2）求得DE2+CD2＝12＝EC2，所以△CDE為直角三角形，且∠D＝90°，即可解決問題．解：（1）證明：根據(jù)題意可得：在Rt△ABE中，∵∠A＝60°，∠AEB＝90°，∴∠ABE＝30°．∵AB＝4，∴AE＝AB＝2，BE2＝AB2﹣AE2＝12．又∵BC2＝12，∴BE＝BC．又∵∠CBE＝60°，∴△BEC為等邊三角形．（2）∵△BEC為等邊三角形，∴EC2＝BC2＝12．又∵DE2＝9，CD2＝3，∴DE2+CD2＝12＝EC2，∴△CDE為直角三角形，且∠D＝90°，∴ED⊥CD．【點撥】本題主要考查了等邊三角形的判定與性質(zhì)、勾股定理和其逆定理，熟練運用勾股定理的逆定理是解題的關(guān)鍵．22．證明見分析【分析】根據(jù)不同圖形拼成的兩個正方形面積相等即可證明解：證明：①左圖大正方形的邊長為：a+b，則面積為（a+b）2，分成了四個直角邊為a，b，斜邊為c的全等的直角三角形和一個邊長為c的小正方形，；②右圖大正方形的邊長為：a+b，則面積為（a+b）2，分成了邊長為a的一個正方形，邊長為b的一個正方形，還有四個直角邊為a，b，斜邊為c的全等的直角三角形，；綜上所述：，即．【點撥】本題考查利用圖形面積的關(guān)系證明勾股定理，解題關(guān)鍵是利用三角形和正方形邊長的關(guān)系進(jìn)行組合圖形．23．(1)見分析；(2)；(3)的長為【分析】（1）