專題3.19 用勾股定理解決面積問(wèn)題（分層練習(xí)）-2023-2024學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)基礎(chǔ)知識(shí)專項(xiàng)突破講與練（蘇科版）

專題3.19用勾股定理解決面積問(wèn)題（分層練習(xí)）1．如圖，在中，，，，以AB為一條邊向三角形外部作正方形，則正方形的面積是（

）A．13 B．12 C．6 D．32．如圖，以一個(gè)直角三角形的三邊為直徑作3個(gè)半圓，若半圓B、C的面積分別是4、5，則半圓A的面積是（

）A．1 B．3 C． D．93．中國(guó)是發(fā)現(xiàn)和研究勾股定理最古老的國(guó)家之一，中國(guó)古代稱直角三角形為勾股形，較短的直角邊稱為勾，另一直角邊稱為股，斜邊稱為弦，其中勾長(zhǎng)、股長(zhǎng)的平方和等于弦長(zhǎng)的平方，即為“勾股定理”，勾股定理是幾何學(xué)中一顆光彩奪目的明珠，在幾何問(wèn)題中有著廣泛的應(yīng)用．如圖，在直線l上依次擺放著五個(gè)正方形．已知斜放置的兩個(gè)正方形的面積分別是2、3，正放置的三個(gè)正方形的面積依次是，則（）A．4 B．5 C．6 D．74．如圖“趙爽弦圖”是由四個(gè)全等的直角三角形拼成的圖形，若大正方形的面積41，小正方形的面積是1，設(shè)直角三角形較長(zhǎng)的直角邊為b，較短的直角邊為a，則的值是（

）A．9 B．8 C．7 D．65．如圖，，正方形和正方形的面積分別是289和225，則以為直徑的半圓的面積是（）A． B． C． D．6．如圖，以直角三角形的三邊為直徑向外作三個(gè)半圓，若較小的兩個(gè)半圓面積、分別為5和11，則較大的半圓面積為（

）A．6 B．11 C．16 D．187．三國(guó)時(shí)期的趙爽利用圖1證明了勾股定理，后來(lái)日本的數(shù)學(xué)家關(guān)孝和在“趙爽弦圖”的啟發(fā)下利用圖2也證明了勾股定理．在圖2中，E，B，F(xiàn)在同一條直線上，四邊形，，都是正方形，若正方形的面積等于100，面積等于，且已知，則的面積等于（）A． B．39 C． D．528．如圖，正方形的邊長(zhǎng)為2，其面積標(biāo)記為，以為斜邊作等腰直角三角形，以該等腰直角三角形的一條直角邊為邊向外作正方形，其面積標(biāo)記為……按照此規(guī)律繼續(xù)下去，則的值為（

）A． B． C． D．9．已知中，，，，為斜邊上的中點(diǎn)，是直角邊上的一點(diǎn)，連接，將沿折疊至，交于點(diǎn)，若的面積是面積的一半，則為（

）A． B． C． D．填空題10．如圖，在，，以的三邊為邊向外作正方形，正方形，正方形，P是上一點(diǎn)，記正方形和正方形的面積分別為，，若，，則四邊形的面積等于________．11．在中，，，，則這個(gè)直角三角形的面積是____．12．請(qǐng)你仔細(xì)觀察下面一組圖形，依據(jù)其變化規(guī)律推斷第（5）個(gè)圖形中所有正方形面積之和為_(kāi)___________（其中圖中出現(xiàn)的三角形均是直角三角形，四邊形均是正方形）．13．如圖1是伸縮式雨棚的實(shí)物圖，由骨架與傘面兩部分組成，可抽象成矩形ABCD（如圖2），其中實(shí)線部分表示雨棚的骨架，矩形ABCD為雨棚的傘面，CD固定不動(dòng)，當(dāng)橫桿AB自由伸縮時(shí)，骨架與傘面也跟著伸縮，伸縮過(guò)程中傘面ABCD始終是矩形．若點(diǎn)D，G，E在一條直線上時(shí)，雨棚傘面面積最大．現(xiàn)測(cè)得AB＝5m，DG＝CH＝2m，GE＝HF＝1.5m，AE＝BF＝0.5m．（1）當(dāng)雨棚傘面面積最大時(shí)，AD＝______m；（2）當(dāng)∠DGE＝90°時(shí)，雨棚傘面的面積等于______．14．勾股定理揭示了直角三角形三邊之間的關(guān)系，其中蘊(yùn)含著豐富的科學(xué)知識(shí)和人文價(jià)值．如圖所示，是一棵由正方形和含角的直角三角形按一定規(guī)律長(zhǎng)成的勾股樹(shù)，樹(shù)的主干自下而上第一個(gè)正方形和第一個(gè)直角三角形的面積之和為，第二個(gè)正方形和第二個(gè)直角三角形的面積之和為，…，第個(gè)正方形和第個(gè)直角三角形的面積之和為．設(shè)第一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為1．請(qǐng)解答下列問(wèn)題：（1）______．（2）通過(guò)探究，用含的代數(shù)式表示，則______．15．如圖，在中，，點(diǎn)是邊上一動(dòng)點(diǎn)，交于點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，的面積恰好等于的面積，連接，則此時(shí)＝_______16．如圖，將放在每個(gè)小正方形的邊長(zhǎng)為1的網(wǎng)格中，點(diǎn)均落在格點(diǎn)上．（1）的面積等于________．（2）請(qǐng)?jiān)谌鐖D所示的網(wǎng)格中，用無(wú)刻度的直尺，過(guò)點(diǎn)畫(huà)一條直線，交于點(diǎn)，使的面積等于面積的3倍，并簡(jiǎn)要說(shuō)明畫(huà)圖的方法__________．（不要求證明）17．如圖，圖1中是第七屆國(guó)際數(shù)學(xué)教育大會(huì)（ICME－7）會(huì)徽?qǐng)D案、它是由一串有公共頂點(diǎn)O的直角三角形（如圖2）演化而成的．如果圖2中的，若代表的面積，代表的面積，以此類推，代表的面則的值為_(kāi)_______．18．如圖所示，四邊形ADEF為正方形，ABC為等腰直角三角形，D在BC邊上，△ABC的面積等于98，BD：DC＝2：5，則正方形ADEF的面積等于______．解答題19．如圖，在中，，根據(jù)圖中所標(biāo)數(shù)據(jù)求陰影部分（長(zhǎng)方形）的面積．

20．如圖，已知在△ABC中，AB＝AC＝13，D是AB上一點(diǎn)，且CD＝12，BD＝8．（1）求△ADC的面積．（2）求BC的長(zhǎng)．21．對(duì)于一個(gè)圖形，通過(guò)兩種不同的方法計(jì)算它的面積，可以得到一個(gè)數(shù)學(xué)等式．(1)如圖1所示的大正方形，是由兩個(gè)正方形和兩個(gè)形狀大小完全相同的長(zhǎng)方形拼成的．用兩種不同的方法計(jì)算圖中陰影部分的面積，可以得到的數(shù)學(xué)等式是；(2)如圖2所示的大正方形，是由四個(gè)三邊長(zhǎng)分別為a、b、c的全等的直角三角形（a、b為直角邊）和一個(gè)正方形拼成，試通過(guò)兩種不同的方法計(jì)算中間正方形的面積，并探究a、b、c之間滿足怎樣的等量關(guān)系．22．已知中，，，，，是邊上的兩個(gè)動(dòng)點(diǎn)，其中點(diǎn)從點(diǎn)開(kāi)始沿方向運(yùn)動(dòng)且速度為每秒，點(diǎn)從點(diǎn)開(kāi)始沿方向運(yùn)動(dòng)，在邊上的運(yùn)動(dòng)速度是每秒，在邊上的運(yùn)動(dòng)速度是每秒，它們同時(shí)出發(fā)，當(dāng)其中一個(gè)點(diǎn)到達(dá)終點(diǎn)時(shí)，另一個(gè)點(diǎn)也隨之停止，設(shè)運(yùn)動(dòng)時(shí)間為秒．(1)出發(fā)2秒后，求的長(zhǎng)；(2)當(dāng)點(diǎn)在邊上運(yùn)動(dòng)時(shí)，為何值時(shí)，的面積是的面積的．23．我國(guó)南宋時(shí)期數(shù)學(xué)家秦九韶，曾經(jīng)提出用三角形的三邊求面積的秦九韶公式．他的方法大致如下：如圖，給定一個(gè)三角形，三邊分別為，，，過(guò)點(diǎn)作于，為，的公共邊，則可以利用這個(gè)等量關(guān)系，運(yùn)用勾股定理建立方程，求出，再求出高，從而求出三角形的面積．請(qǐng)你用這一方法，解決下列問(wèn)題：已知，，，，求的面積．24．閱讀材料：如圖1，如果直角三角形兩直角邊長(zhǎng)分別為a，b，斜邊長(zhǎng)為c，那么．即直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方．(1)若直角三角形兩直角邊長(zhǎng)分別為3和4，則斜邊長(zhǎng)為；(2)如圖2，中，，設(shè)AC長(zhǎng)為x，BC長(zhǎng)為y，，中，，．①請(qǐng)用含有x，y的代數(shù)式表示的面積；②四邊形CADB的面積是否為定值，若是，請(qǐng)求出這個(gè)定值；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．25．我們發(fā)現(xiàn)，用不同的方式表示同一圖形的面積可以解決線段長(zhǎng)度之間關(guān)系的有關(guān)問(wèn)題，這種方法稱為等面積法，這是一種重要的數(shù)學(xué)方法，請(qǐng)你用等面積法來(lái)探究下列兩個(gè)問(wèn)題：(1)如圖是著名的“趙爽弦圖”，由四個(gè)全等的直角三角形拼成，請(qǐng)用它驗(yàn)證勾股定理(2)如圖，在中，，是邊上的高，，，求的長(zhǎng)度(3)如圖①，若大正方形的面積是，小正方形的面積是，求的值．26．在△ABC中，已知三角形的三邊長(zhǎng)，求這個(gè)三角形的面積．(1)如圖1，已知AC＝5，BC＝12，AB＝13，則△ABC的面積是______；(2)如圖2，已知BC＝10，AB＝AC＝13，求△ABC的面積；(3)如圖3，已知AC＝8，BC＝10，AB＝12，求△ABC的面積．27．如圖是由邊長(zhǎng)為1的小正方形組成的正方形網(wǎng)格，的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)（正方形的頂點(diǎn)）上．(1)的面積是____；(2)的形狀是______；(3)若的面積與的面積相等，則網(wǎng)格中滿足條件的格點(diǎn)D（不與C重合）共有______個(gè)．28．（1）如圖1，點(diǎn)在的邊上，，，，，求的面積；（2）如圖2，中，，，，求的面積．（3）如圖3，在中，，，，求的面積．29．如圖，CE⊥AB于點(diǎn)E，BD⊥AC于點(diǎn)D，AB＝AC．(1)求證：△ABD≌△ACE．(2)連接BC，若AD＝6，CD＝4，求△ABC的面積．30．在直線l上擺放著三個(gè)正方形(1)如圖1，已知水平放置的兩個(gè)正方形的邊長(zhǎng)依次是a，b斜著放置的正方形的面積S＝，兩個(gè)直角三角形的面積和為；(均用a，b表示)(2)如圖2，小正方形面積S1＝1，斜著放置的正方形的面積S＝4，求圖中兩個(gè)鈍角三角形的面積m1和m2，并給出圖中四個(gè)三角形的面積關(guān)系；(3)圖3是由五個(gè)正方形所搭成的平面圖，T與S分別表示所在的三角形與正方形的面積，試寫(xiě)出T與S的關(guān)系式，并利用(1)和(2)的結(jié)論說(shuō)明理由．參考答案1．A【分析】由勾股定理求出AB2，再由正方形的面積公式即可得到答案．解：在△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，BC＝2，∴AB2＝AC2+BC2＝32+22＝13，∴正方形的面積＝AB2＝13，故選：A．【點(diǎn)撥】本題考查了勾股定理、正方形的面積計(jì)算等知識(shí)，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．2．A【分析】根據(jù)半圓的面積計(jì)算公式即可計(jì)算S與直徑的關(guān)系，根據(jù)直角三角形中勾股定理的應(yīng)用可以計(jì)算直角△ABC中三邊關(guān)系，根據(jù)這兩個(gè)關(guān)系式即可解題．解：如圖，半圓B、C、A的面積分用S2、S1、S3表示；S1＝π，S2＝π，S3＝π，∵在直角△ABC中，AB2＝AC2+BC2，∴S2+S3＝S1，半圓A的面積是5-4=1；故選：A．【點(diǎn)撥】本題考查了勾股定理在直角三角形中的靈活運(yùn)用，考查了半圓的面積計(jì)算公式，本題中正確的根據(jù)勾股定理求出AB，AC，BC的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．3．B【分析】結(jié)合正方形的性質(zhì)證明△ABC≌△BDE，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)推出，同理，，據(jù)此求解即可．解：如圖，∵圖中的四邊形均為正方形，∴，，，∴∠ABC+∠DBE＝90°，∠ABC+∠CAB＝90°，∴∠CAB＝∠DBE，在△ABC和△BDE中，，∴△ABC≌△BDE（AAS），∴AC＝BE，∵，∴，∵，∴，同理，，∴，故選：B．【點(diǎn)撥】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，結(jié)合正方形的性質(zhì)證明△ABC≌△BDE是解題的關(guān)鍵．4．A【分析】先求出小三角形的面積，然后根據(jù)勾股定理分析即可．解：因?yàn)榇笳叫蔚拿娣e是41，小正方形的面積是1，所以一個(gè)小三角形的面積是，三角形的斜邊為，所以，，所以，所以（負(fù)值已舍）．故選：A．【點(diǎn)撥】本題考查了勾股定理，熟練掌握勾股定理的相關(guān)知識(shí)是解題的關(guān)鍵．5．B【分析】利用勾股定理求出，再求半圓的面積即可．解：∵正方形和正方形的面積分別是289和225，∴，∵，∴，∴以為直徑的半圓的面積為：；故選B．【點(diǎn)撥】本題考查勾股定理．熟練掌握勾股定理，是解題的關(guān)鍵．6．C【分析】利用直角三角形的邊長(zhǎng)就可以表示出、、的大小，三角形的邊滿足勾股定理，即可得出、、的等量關(guān)系，代值可求解．解：設(shè)直角三角形的兩直角邊為a、b，斜邊為c，則∵∴，∴∵，∴∴C選項(xiàng)正確．故選：C【點(diǎn)撥】本題考查了勾股定理，關(guān)鍵是對(duì)勾股定理進(jìn)行的證明，難度程度適中．7．A【分析】設(shè)，則，由勾股定理得出，解得，則，由勾股定理求出，證明，由全等三角形的性質(zhì)得出，則可得出答案．解：∵四邊形和四邊形是正方形，正方形的面積等于100，∴，，設(shè)，則，∵，∴，解得舍去，∴，∵面積等于，∴，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∴的面積．故選：A．【點(diǎn)撥】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，正方形的性質(zhì)，熟練掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．8．D【分析】根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得出，根據(jù)數(shù)的變化找出變化規(guī)律“”，依此規(guī)律即可得出結(jié)論．解：∵正方形的邊長(zhǎng)為，為等腰直角三角形，∴，，∴．觀察，發(fā)現(xiàn)規(guī)律：，，，，，∴，當(dāng)時(shí)，，故選：D．【點(diǎn)撥】本題考查了等腰直角三角形的性質(zhì)、勾股定理以及規(guī)律型中數(shù)的變化規(guī)律，解決該題型題目時(shí)，寫(xiě)出部分Sn的值，根據(jù)數(shù)值的變化找出變化規(guī)律“”是關(guān)鍵．9．C【分析】連接BE，過(guò)D作DG⊥AC于G，先判定（SAS），即可得出，再根據(jù)勾股定理求得CE的長(zhǎng)，進(jìn)而得出EG和DG的長(zhǎng)，再根據(jù)勾股定理即可得到DE的長(zhǎng)．解：如圖所示，連接，過(guò)作于，∵，，，∴由勾股定理得，由折疊可得，與全等，∵的面積是面積的一半，∴的面積是面積的一半，且，∴是的中點(diǎn)，又∵是的中點(diǎn)，∴，即是的中點(diǎn)，又∵，∴≌，∴，又∵，∴中，，∵，是的中點(diǎn)，∴是的中點(diǎn)，即，∴，，∴中，，故選：．【點(diǎn)撥】本題主要考查了折疊問(wèn)題以及勾股定理的運(yùn)用，折疊是一種對(duì)稱變換，它屬于軸對(duì)稱，折疊前后圖形的形狀和大小不變，位置變化，對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角相等．10．18.5【分析】先求出的邊長(zhǎng)，再利用進(jìn)四邊形的面積解題即可得到答案．解：正方形和正方形的面積分別為，，且，，正方形的面積,四邊形的面積故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了勾股定理，正確掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．11．54【分析】先根據(jù)已知比例式設(shè)，則，再利用勾股定理求出的值，然后利用直角三角形的面積公式即可得．解：設(shè)，則由勾股定理得，即解得則的面積為故答案為：54．【點(diǎn)撥】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，掌握勾股定理是解題關(guān)鍵．12．5【分析】根據(jù)勾股定理，第（2）個(gè)圖形中兩個(gè)小正方形的面積和等于第一個(gè)正方形的面積，圖形（2）中所有正方形的積和等于2；依此類推，可發(fā)現(xiàn)第（n）個(gè)圖形中所有正方形的面積和等于第一個(gè)正方形的面積的n倍，進(jìn)而得問(wèn)題答案．解：設(shè)第（2）個(gè)圖形中直角三角形的是三條邊分別是a，b，c，根據(jù)勾股定理，得a2+b2=c2，即S2+S3=S1=1；∴第（2）個(gè)圖形中所有正方形的面積之和為S1+S2+S3=2，同理可得：第（3）個(gè)圖形中所有正方形的面積之和為3，可得規(guī)律：第（n）個(gè)圖形中所有正方形的面積之和為n，∴第（5）個(gè)圖形中所有正方形的面積之和為5，故答案為：5．【點(diǎn)撥】此題考查了正方形的性質(zhì)，以及勾股定理，其中能夠根據(jù)勾股定理發(fā)現(xiàn)每一次得到的新的正方形的面積和與原正方形的面積之間的關(guān)系是解本題的關(guān)鍵．13．【分析】（1）當(dāng)D，G，E在一條直線上時(shí)，雨棚傘面面積最大，根據(jù)勾股定理可以得到AD的長(zhǎng)；（2）根據(jù)勾股定理可以得到DE的長(zhǎng)，然后再根據(jù)∠DAE=90°，AE=0.5m，即可求得AD的長(zhǎng)，然后即可計(jì)算出當(dāng)∠DGE=90°時(shí)，雨棚傘面的面積．解：當(dāng)D，G，E在一條直線上時(shí)，雨棚傘面面積最大，此時(shí)AD=（m）．故答案為：2；（2）連接DE，如圖2所示，∵DG=2m，GE=1.5m，∠DGE=90°，∴DE==2.5（m），∵∠DAE=90°，AE=0.5m，∴AD=（m），∵AB=5m，∴雨棚傘面的面積是：AB?AD=5×=5（m2），故答案為：5．【點(diǎn)撥】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，求出矩形的寬．14．（為整數(shù)）【分析】根據(jù)正方形的面積公式求出面積，再根據(jù)直角三角形三條邊的關(guān)系運(yùn)用勾股定理求出三角形的直角邊，求出S1，然后利用正方形與三角形面積擴(kuò)大與縮小的規(guī)律推導(dǎo)出公式．解：（1）∵第一個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為1，∴正方形的面積為1，又∵直角三角形一個(gè)角為30°，∴三角形的一條直角邊為，另一條直角邊就是，∴三角形的面積為，∴S1=；（2）∵第二個(gè)正方形的邊長(zhǎng)為，它的面積就是，也就是第一個(gè)正方形面積的，同理，第二個(gè)三角形的面積也是第一個(gè)三角形的面積的，∴S2=（）?，依此類推，S3=（）??，即S3=（）?，Sn=（n為整數(shù)）．故答案為：（1）；（2）（為整數(shù)）【點(diǎn)撥】本題考查勾股定理的運(yùn)用，正方形的性質(zhì)以及含30°角的直角三角形的性質(zhì)．能夠發(fā)現(xiàn)每一次得到的新的正方形和直角三角形的面積與原正方形和直角三角形的面積之間的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．15．【分析】延長(zhǎng)，過(guò)點(diǎn)作的垂線，垂足為點(diǎn)，根據(jù)和的面積相等可知線段AD是中線，，根據(jù)直角三角形的勾股定理可得的長(zhǎng)度．解：延長(zhǎng)，過(guò)點(diǎn)作的垂線，垂足為點(diǎn)，如圖所示∵和的面積相等∴∵∴∵根據(jù)三角形中線的性質(zhì)可知∴∵∴∴在中可得在中可得∴∴在中可得故答案為：【點(diǎn)撥】本題考查了三角形的中線和面積的關(guān)系以及勾股定理等知識(shí)點(diǎn)，靈活運(yùn)用三角形的中線和面積的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．16．2見(jiàn)分析【分析】（1）根據(jù)三角形的面積公式，即可求出答案；（2）根據(jù)題意，在BC上取BD=3CD，即可畫(huà)出圖形.解：（1）；（2）如圖：找BC的四等分點(diǎn)，連接AD為所求．作法：①取線段，在線段取一點(diǎn)，使．②過(guò)所作的平行線，使，交于點(diǎn)．③作直線則直線就是所求作的直線．【點(diǎn)撥】本題考查了復(fù)雜作圖，以及三角形的面積，解題的關(guān)鍵是學(xué)會(huì)利用分割法求三角形面積，巧妙利用格點(diǎn)作四等分點(diǎn)，屬于作圖中比較難的題目．17．7【分析】根據(jù)勾股定理求得，進(jìn)而求得，再求得，即可求解．解：，，……，，……，．故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了勾股定理，掌握勾股定理是解題的關(guān)鍵．18．116【分析】過(guò)點(diǎn)A作，交BC于點(diǎn)H，根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)可得：，利用三角形面積公式可得：，然后根據(jù)勾股定理得出：，根據(jù)題意BD：DC＝2：5，結(jié)合，可得，，在中，利用勾股定理可得正方形的邊長(zhǎng)，根據(jù)正方形面積公式即可求出面積．解：過(guò)點(diǎn)A作，交BC于點(diǎn)H，∴，∵等腰直角的面積等于98，∴，∴，又∵BD：DC＝2：5，∴，，在中，，∴正方形ABCD的面積：．故本題答案為：116．【點(diǎn)撥】題目主要考查等腰直角三角形的性質(zhì)、線段比及勾股定理，作出輔助線應(yīng)用勾股定理是解題關(guān)鍵．19．【分析】先利用勾股定理計(jì)算的長(zhǎng)，再利用長(zhǎng)方形的面積公式進(jìn)行計(jì)算即可．解：∵，∴．∴陰影部分的面積為．【點(diǎn)撥】本題考查的是勾股定理的應(yīng)用，熟記勾股定理并靈活運(yùn)用是解本題的關(guān)鍵．20．（1）30；（2）4．【分析】（1）根據(jù)勾股定理的逆定理得到∠ADC＝90°，根據(jù)三角形的面積公式計(jì)算即可；（2）根據(jù)勾股定理計(jì)算，得到答案．解：（1）∵AB＝13，BD＝8，∴AD＝AB﹣BD＝5，∴AC＝13，CD＝12，∴AD2+CD2＝AC2，∴∠ADC＝90°，即△ADC是直角三角形，∴△ADC的面積＝×AD×CD＝×5×12＝30；（2）在Rt△BDC中，∠BDC＝180°﹣90°＝90°，由勾股定理得：BC＝＝4，即BC的長(zhǎng)是4．【點(diǎn)撥】此題主要考查勾股定理的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟知直角三角形的性質(zhì)及勾股定理的應(yīng)用.21．(1)a2+b2=(a+b)2-2ab；(2)．【分析】（1）分別用兩種不同的方法表示陰影部分面積即可得等式．（2）先直接用c表示中間正方形的面積，再用大正方形的面積減去4個(gè)小三角形的面積表示中間正方形的面積，從而可得結(jié)論．解：（1）解∶如圖1，∵S陰影=a2+b2，S陰影=(a+b)2-2ab．∴a2+b2=(a+b)2-2ab，故答案為∶a2+b2=(a+b)2-2ab；（2）解：如圖2，∵S中間正方形=c2，S中間正方形=(a+b)2-4×ab，∴，∴．【點(diǎn)撥】本題考查完全平方公式及勾股定理的幾何背景，用兩種方法表示同一個(gè)圖形的面積是求解本題的關(guān)鍵．22．(1)；(2)【分析】（1）求出，利用勾股定理求出的長(zhǎng)；（2）先求出，根據(jù)的面積是面積的得，計(jì)算即可；（1）解：當(dāng)出發(fā)2秒后，，∴，∵，∴（2）解：∵，∴，∴，得．【點(diǎn)撥】此題考查了勾股定理，三角形與動(dòng)點(diǎn)問(wèn)題，實(shí)際問(wèn)題與一元一次方程，列比例求解，解題中運(yùn)用分類思想，正確掌握勾股定理的計(jì)算公式是解題的關(guān)鍵．23．的面積為84【分析】根據(jù)題意和題目中的數(shù)據(jù)，利用勾股定理可以列出相應(yīng)的方程，然后求出BD的長(zhǎng)，再求出AD的長(zhǎng)，即可計(jì)算出△ABC的面積．解：設(shè)BD的長(zhǎng)為x，則CD的長(zhǎng)為14-x，∵AD⊥BC，∴∠ADB=∠ADC=90°∴AD2=AB2-BD2AD2=AC2-CD2．∴AB2-BD2=AC2-CD2，∵AB=13，AC=15，∴132-x2=152-(14-x)2，解得x=5，∴BD=5，CD=14-x=9，∴AD2=132-52，解得AD=12，∴S△ABC=即△ABC的面積是84．【點(diǎn)撥】本題考查勾股定理的應(yīng)用，解答本題的關(guān)鍵是求出BD和AD的長(zhǎng)．24．(1)5；(2)①；②四邊形CADB的面積為定值，為16【分析】（1）直接根據(jù)勾股定理，即可求解；（2）①根據(jù)勾股定理可得，，可得，再由，即可求解；②根據(jù)，即可求解．（1）解：根據(jù)勾股定理，得：斜邊長(zhǎng)為；故答案為：5（2）解：①∵，∴，∵∠D=90°，∴，∵AD=BD，∴，∴，∴；故答案為：②四邊形CADB的面積為為定值，理由如下：=16【點(diǎn)撥】本題主要考查了勾股定理的應(yīng)用，完全平方公式的應(yīng)用，明確題意，理解勾股定理是解題的關(guān)鍵．25．(1)見(jiàn)分析；(2)；(3)25【分析】（1）分別用兩種方法求出大正方形的面積，根據(jù)面積相等列等式，即可證明；（2）先根據(jù)勾股定理求出，再根據(jù)等面積法即可求解；（3）根據(jù)（1）的結(jié)果，可得，，即有，則問(wèn)題得解．解：（1）∵，，4個(gè)直角三角形的面積為：，又∵，∴，即；（2）由勾股定理得：，，，∴，∴，∵，又∵，∴，∵，∴；（3）根據(jù)（1）有：，，，又∵，，∴，，∴，∴，即值為25．【點(diǎn)撥】本題考查了勾股定理的驗(yàn)證，勾股定理以及完全平方公式的知識(shí)，理解并靈活運(yùn)用等面積法是解答本題的關(guān)鍵．26．(1)30；(2)60；(3)15【分析】（1）根據(jù)勾股定理的逆定理判斷△ABC是直角三角形，再求面積即可；（2）作AD⊥BC于D，由等腰三角形三線合一的性質(zhì)及勾股定理求出AD的長(zhǎng)度，再根據(jù)面積公式計(jì)算即可；（3）作CD⊥AB于D，先由勾股定理計(jì)算出CD的長(zhǎng)度，再根據(jù)面積公式計(jì)算即可．解：（1）∵AC＝5，BC＝12，AB＝13，∴AC2+BC2＝AB2，∴△ABC是直角三角形，∠C＝90°，∴△ABC的面積＝AC×BC＝×5×12＝30；故答案為：30；（2）作AD⊥BC于D，如圖2所示：∵AB＝AC，∴BD＝CD＝BC＝5，∴AD＝＝＝12，∴△ABC的面積＝BC×AD＝×10×12＝60；（3）作CD⊥AB于D，如圖3所示：由勾股定理得：CD2＝AC2﹣AD2＝BC2﹣BD2，即82﹣AD2＝102﹣（12﹣AD）2，解得：AD＝，∴CD＝＝，∴△ABC的面積＝AB×CD＝×12×＝15．【點(diǎn)撥】本題考查了勾股定理及其逆定理、等腰三角形的性質(zhì)，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．27．(1)；(2)等腰直角三角形；(3)2【分析】（1）利用矩形和三角形的面積公式即可得到結(jié)論；（2）利用網(wǎng)格計(jì)算，，長(zhǎng)度進(jìn)行判斷三角形的形狀；（3）利用同底等高的三角形的面積相等解題即可．（1）解：故答案為：．（2）解：∵，，∴，∴是等腰直角三角形故答案為：等腰直角三角形．（3）過(guò)點(diǎn)C作，則平行線上的點(diǎn)與A、B形成的三角形面積都等于的面積，即網(wǎng)格中滿足條件的格點(diǎn)D共有個(gè)，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查三角形的面積，三角形的形狀，應(yīng)用數(shù)形結(jié)合的思想解決問(wèn)題是解題的關(guān)鍵．28．（1）150；（2）66；（3）84【分析】（1）根據(jù)勾股定理求出，求出，根據(jù)勾股定理的逆定理得出△ADB是直角三角形，根據(jù)勾股定理求出CD，求出BC，再求出△