專題3.27 用勾股定理求最值常用方法專題（分層練習(xí)）（提升練）-2023-2024學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上冊(cè)基礎(chǔ)知識(shí)專項(xiàng)突破講與練（蘇科版）

專題3.27用勾股定理求最值常用方法專題（分層練習(xí)）（提升練）一、單選題1．如圖，，內(nèi)有一點(diǎn)P，，M是上一動(dòng)點(diǎn)，N是上一動(dòng)點(diǎn)，則周長(zhǎng)的最小值為（

）A．6 B．3 C． D．2．如圖，在中，，，，將邊沿翻折，點(diǎn)落在點(diǎn)處，連接交于點(diǎn)，則的最大值為（

）A． B． C． D．3．如圖，中，，，，點(diǎn)D在上，將沿折疊，點(diǎn)A落在點(diǎn)處，與相交于點(diǎn)E，則的最大值為（）A． B． C． D．4．如圖，在中，，的平分線交于點(diǎn)D，點(diǎn)E，F(xiàn)分別是上的動(dòng)點(diǎn)，則AE+EF的最小值為（）A．4 B．4.8 C．5 D．65．如圖，在△ABC中，BC＝6，AC＝8，AB＝10，點(diǎn)M在AB上運(yùn)動(dòng)，MP⊥BC，MN⊥AC，Q為PN的中點(diǎn)，則CQ的最小值為（

）A． B． C． D．6．如圖，長(zhǎng)方體中，，，，一螞蟻從點(diǎn)出發(fā)，沿長(zhǎng)方體表面爬到點(diǎn)處受食，則螞蟻所行路程的最小值為（

）A． B． C． D．7．如圖，在中，，，．點(diǎn)D在邊上，將沿直線翻折，點(diǎn)B恰好落在邊上的點(diǎn)E處，若點(diǎn)P是直線上的動(dòng)點(diǎn)，連接，，則的周長(zhǎng)的最小值為（）A． B． C． D．8．如圖，地面上有一個(gè)長(zhǎng)方體盒子，一只螞蟻在這個(gè)長(zhǎng)方體盒子的頂點(diǎn)A處，盒子的頂點(diǎn)處有一小塊糖粒，螞蟻要沿著這個(gè)盒子的表面A處爬到處吃這塊糖粒，已知盒子的長(zhǎng)和寬為均為，高為，則螞蟻爬行的最短距離為（

）．

A．10 B．50 C．10 D．709．如圖，一大樓的外墻面與地面垂直，點(diǎn)P在墻面上，若米，點(diǎn)P到的距離是8米，有一只螞蟻要從點(diǎn)P爬到點(diǎn)B，它的最短行程是（

）米．A． B． C． D．10．固定在地面上的一個(gè)正方體木塊（如圖①），其棱長(zhǎng)為，沿其相鄰三個(gè)面的對(duì)角線（圖中虛線）去掉一角，得到如圖②所示的幾何體木塊，一只螞蟻沿著該木塊的表面從點(diǎn)A爬行到點(diǎn)B的最短路程為（

）A． B． C． D．二、填空題11．如圖，折疊矩形紙片，使點(diǎn)落在上一點(diǎn)處，折痕的兩端點(diǎn)分別在上(含端點(diǎn))，且．則的最大值是_____，最小值是_______．12．如圖，在三角形紙片ABC中，已知∠ABC＝90°，AB＝6，BC＝8.過(guò)點(diǎn)A作直線平行于BC，折疊三角形紙片ABC，使直角頂點(diǎn)B落在直線上的點(diǎn)T處，折痕為MN，當(dāng)點(diǎn)T在直線上移動(dòng)時(shí)，折痕的端點(diǎn)M，N也隨之移動(dòng)．若限定端點(diǎn)M，N分別在AB，BC邊上移動(dòng)（點(diǎn)M可以與點(diǎn)A重合，點(diǎn)N可以與點(diǎn)C重合），則線段AT長(zhǎng)度的最大值與最小值的和為_____（計(jì)算結(jié)果不取近似值）．13．如圖，中，，，，射線與邊交于點(diǎn)，、分別為、中點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)、到射線的距離分別為、，則的最大值為________．14．如圖，中，，，，點(diǎn)在上，將沿折疊，點(diǎn)落在點(diǎn)處，與相交于點(diǎn)，則的最大值為________．15．如圖，在中，，，，點(diǎn)D是上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（點(diǎn)D與點(diǎn)B不重合）），連接，作點(diǎn)B關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)E，當(dāng)點(diǎn)E在的下方時(shí)，連接、，則面積的最大值為______．16．如圖，A、B兩點(diǎn)在直線外的同側(cè)，A到的距離，B到的距離，點(diǎn)P在直線上運(yùn)動(dòng)，則的最大值等于___________．17．如圖，中，，，，射線與邊交于點(diǎn)，、分別為、中點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)、到射線的距離分別為、，則的最大值為______．18．如圖，一副三角板和拼合在一起，邊與重合，，，，．當(dāng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿向下滑動(dòng)時(shí)，點(diǎn)同時(shí)從點(diǎn)出發(fā)沿射線向右滑動(dòng)．當(dāng)點(diǎn)從點(diǎn)滑動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，連接，則的面積最大值為_______．19．如圖，一圓柱體的底面周長(zhǎng)為，高為，是直徑，一只螞蟻從點(diǎn)出發(fā)沿著圓柱的表面爬行到點(diǎn)的最短路程為______．20．如圖是一個(gè)三級(jí)臺(tái)階，它的每一級(jí)的長(zhǎng)、寬、高分別為7寸、5寸和3寸，A和B是這個(gè)臺(tái)階的兩個(gè)相對(duì)端點(diǎn)，A點(diǎn)上有一只螞蟻想到B點(diǎn)去吃可口的食物，則它所走的最短路線長(zhǎng)度是__________寸．21．如圖所示的長(zhǎng)方體，，，點(diǎn)F是DE的中點(diǎn)，一只螞蟻從點(diǎn)A出發(fā)，沿長(zhǎng)方體表面爬到點(diǎn)F，則螞蟻爬行的最短距離為_____．22．如圖，在中，，，點(diǎn)E的邊上，，點(diǎn)P是線段AC上一動(dòng)點(diǎn)，點(diǎn)F是線段上一動(dòng)點(diǎn)，___________．當(dāng)?shù)闹底钚r(shí)，___________23．如圖．長(zhǎng)方體的底面是邊長(zhǎng)2cm的正方形，高為6cm．如果從點(diǎn)A開始經(jīng)過(guò)4個(gè)側(cè)面纏繞2圈到達(dá)B，那么所用細(xì)線最短需要___cm．三、解答題24．在△ABC中，AB=13，BC=14．（1）如圖1，AD⊥BC于點(diǎn)D，且BD=5，則△ABC的面積為；（2）在（1）的條件下，如圖2，點(diǎn)H是線段AC上任意一點(diǎn)，分別過(guò)點(diǎn)A，C作直線BH的垂線，垂足為E，F(xiàn)，設(shè)BH=x，AE=m，CF=n，請(qǐng)用含x的代數(shù)式表示m+n，并求m+n的最大值和最小值．25．(1)如圖，河道上A，B兩點(diǎn)（看作直線上的兩點(diǎn)）相距200米，C，D為兩個(gè)菜園（看作兩個(gè)點(diǎn)），，，垂足分別為A，B，米，米，現(xiàn)在菜農(nóng)要在上確定一個(gè)抽水點(diǎn)P，使得抽水點(diǎn)P到兩個(gè)菜園C，D的距離和最短．請(qǐng)?jiān)趫D中作出點(diǎn)P，保留作圖痕跡，并求出的最小值．(2)借助上面的思考過(guò)程，請(qǐng)直接寫出當(dāng)時(shí)，代數(shù)式的最小值＝．26．（1）問題探究①如圖1，在直角△ABC中，∠BAC＝90°，BC＝13，AB＝5，若P是BC邊上一動(dòng)點(diǎn)，連接AP，求AP的最小值．②如圖2，在等腰直角△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝a，求邊AB的長(zhǎng)度（用含a的代數(shù)式表示）．（2）問題解決如圖3，在等腰直角△ABC中，∠ABC＝90°，AC＝4，D是邊BC的中點(diǎn)，若P是AB邊上一動(dòng)點(diǎn)，E是AC邊上一動(dòng)點(diǎn)，請(qǐng)直接寫出PD＋PE的最小值．參考答案1．C【分析】作點(diǎn)P關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)D，E，連接，如圖，利用軸對(duì)稱的性質(zhì)證明，，的周長(zhǎng)，即可解決問題.解：作點(diǎn)P關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)D，E，連接，如圖，則垂直平分，垂直平分，∴，∴，，∴，∴的周長(zhǎng)（當(dāng)D、M、N、E四點(diǎn)共線時(shí)取等號(hào)），∴的周長(zhǎng)的最小值即為的長(zhǎng)，∵，∴的周長(zhǎng)的最小值是；故選：C.【點(diǎn)撥】本題考查了對(duì)稱軸的性質(zhì)、勾股定理等知識(shí)，正確添加輔助線、得出的周長(zhǎng)的最小值即為的長(zhǎng)是解題的關(guān)鍵.2．D【分析】根據(jù)可得最小時(shí)，最大，當(dāng)時(shí)，最大，根據(jù)折疊的性質(zhì)可得，根據(jù)等面積法求得，進(jìn)而即可求解．解：∵，，，∴，將邊沿翻折，∴，∵，∴當(dāng)時(shí)，最小，此時(shí)最大，則，∴，∴的最大值為，故選：D．【點(diǎn)撥】本題考查了折疊的性質(zhì)，勾股定理，垂線段最短，等面積法求得的最小值是解題的關(guān)鍵．3．C【分析】首先利用勾股定理求出，然后確定取最大值時(shí)最小，然后利用垂線段最短解決問題．解：∵中，，，，∴，∵，，∴當(dāng)最小時(shí)，最大，當(dāng)時(shí)最小，而，∴的最小值為，∴的最大值為．故選：C．【點(diǎn)撥】本題考查了翻折變換，靈活運(yùn)用勾股定理及翻折不變性是解題關(guān)鍵．4．B【分析】過(guò)點(diǎn)A作于H，在BC上截取，則的最小值是的長(zhǎng)．解：過(guò)A作于H，在BC上截取，∵的平分線交于點(diǎn)D，∴，在和中，，∴，∴∴，∵，∴的最小值是的長(zhǎng)．∵，∴，∴，∴，∴．∴AE+EF的最小值為4.8．故選：B．【點(diǎn)撥】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理，以及角平分線的定義，正確作出輔助線是解題關(guān)鍵．5．C【分析】求CQ的最小值就是求CM的最小值，故當(dāng)CM⊥AB時(shí)，CM最小，利用等積法求出CM的長(zhǎng)度即可解：∵BC=6，AC=8，AB=10∴∴△ABC為直角三角形∴∠C=90°又∵M(jìn)P⊥BC，MN⊥AC∴四邊形PCNM為矩形∵Q為PN的中點(diǎn)，∴CQ=CM∴當(dāng)CM⊥AB時(shí)，CM最小，即CQ最小∵∴∴CM=4.8∴CQ=2.4故答案：C【點(diǎn)撥】本題主要考查了矩形的判定和性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，等積法的應(yīng)用，知道CM⊥AB時(shí)最小是解決本題的關(guān)鍵．6．B【分析】要求長(zhǎng)方體中兩點(diǎn)之間的最短路徑，最直接的作法，就是將長(zhǎng)方體展開，然后利用兩點(diǎn)之間線段最短解答．注意不同的展法，答案不同，需要分別分析．解：如圖將長(zhǎng)方體展開，根據(jù)“兩點(diǎn)之間，線段最短”知，線段即為最短路線．①如圖1，∵AB=3，BC=2，=1，∴在中，AC=AB+BC=5，，∴；②如圖2，∵AB=3，BC=2，，∴，∴，∴．∵，∴螞蟻所行路程的最小值為．故選：B．【點(diǎn)撥】此題考查了最短路徑問題．解決本題的關(guān)鍵是熟練掌握用勾股定理的應(yīng)用，要注意數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．7．B【分析】根據(jù)在翻折及已知條件求得，，再根據(jù)的周長(zhǎng)的最小時(shí)，P、D點(diǎn)重合即可求得周長(zhǎng).解：∵在中，，且沿直線翻折，點(diǎn)B落在邊上的點(diǎn)E處，∴，，∵，，∴，∴,∵的周長(zhǎng)的最小時(shí)，P、D點(diǎn)重合，∴，故選B.【點(diǎn)撥】該題主要考查了翻折變換的性質(zhì)及其應(yīng)用問題；解題的關(guān)鍵是根據(jù)翻折變換的性質(zhì)找出圖形中隱含的等量關(guān)系，大膽猜測(cè)，合情推理科學(xué)論證8．B【分析】根據(jù)圖形可知長(zhǎng)方體的四個(gè)側(cè)面都相等，所以分兩種情況進(jìn)行解答即可．解：分兩種情況：（其它情況與之重復(fù)）①當(dāng)螞蟻從前面和右面爬過(guò)去時(shí)，如圖1，連接，

在中，，，根據(jù)勾股定理得：；②當(dāng)螞蟻從前面和上面爬過(guò)去時(shí)，如圖2，連接，

在中，，，根據(jù)勾股定理得：；螞蟻爬行的最短距離為50．故選：B．【點(diǎn)撥】本題考查了勾股定理的實(shí)際應(yīng)用－求最短距離，讀懂題意，熟悉立體圖形的側(cè)面展開圖是解本題的關(guān)鍵．9．D【分析】可將教室的墻面與地面展開，連接，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，利用勾股定理求解即可．解：如圖，過(guò)P作于G，連接，（米），（米），（米），（米），（米）這只螞蟻的最短行程應(yīng)該是米，故選：D．【點(diǎn)撥】本題主要考查了平面展開-最短路徑問題，解題關(guān)鍵是立體圖形中的最短距離，通常要轉(zhuǎn)換為平面圖形的兩點(diǎn)間的線段長(zhǎng)來(lái)進(jìn)行解決．10．A【分析】根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，將圖②展開，利用勾股定理進(jìn)行求解即可．解：如圖，正方體上表面的對(duì)角線為，將圖②展開，連接交于點(diǎn)，線段的長(zhǎng)度即為螞蟻爬行的最短路程，由題意可知：為等邊三角形，為等腰直角三角形，∵，∴，∴，∴，∵正方體的棱長(zhǎng)為，∴，，在中，，在中，，∴；故選A.【點(diǎn)撥】本題考查勾股定理的應(yīng)用．解題的關(guān)鍵，是將立體圖像展開，根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短，確定最短路徑．11．6；2．【分析】點(diǎn)G在AB邊上，點(diǎn)F在BC邊上．分別利用當(dāng)點(diǎn)F與點(diǎn)C重合時(shí)，以及當(dāng)點(diǎn)G與點(diǎn)A重合時(shí)，求出AE的極值進(jìn)而得出答案：解：如圖，設(shè)的長(zhǎng)度為當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，根據(jù)翻折對(duì)稱性可得在中，即，解得即如圖，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，根據(jù)翻折對(duì)稱性可得即；所以的最大值是最小值為故答案是：．【點(diǎn)撥】本題考查了翻折變換的性質(zhì)，勾股定理的應(yīng)用，難點(diǎn)在于判斷出折痕最大和最小的情況并利用勾股定理列出方程求解，作出圖形更形象直觀．12．14﹣2【分析】首先確定AT取得最大及最小時(shí)，點(diǎn)M、N的位置，然后分別求出每種情況下AT的值，繼而可得線段AT長(zhǎng)度的最大值與最小值的和．解：當(dāng)點(diǎn)M與點(diǎn)A重合時(shí)，AT取得最大值，由軸對(duì)稱可知，AT＝AB＝6；當(dāng)點(diǎn)N與點(diǎn)C重合時(shí)，AT取得最小值，過(guò)點(diǎn)C作CD⊥于點(diǎn)D，連結(jié)CT，則四邊形ABCD為矩形，∴CD＝AB＝6，由軸對(duì)稱可知，CT＝BC＝8，在Rt△CDT中，CD＝6，CT＝8，則DT＝＝＝2，∴AT＝AD﹣DT＝8﹣2，綜上可得：線段AT長(zhǎng)度的最大值與最小值的和為14﹣2．故答案為：14﹣2．【點(diǎn)撥】本題考查了勾股定理折疊變換的知識(shí)，解題關(guān)鍵是找到.AT最大值和最小值的兩個(gè)極值點(diǎn)，注意翻折前后對(duì)應(yīng)邊相等．13．5【分析】連接，，根據(jù)面積關(guān)系可以求得，當(dāng)最小為邊上高時(shí)，即可求出的最大值．解：如圖，連接，，過(guò)E作垂線，垂足為M點(diǎn)，過(guò)F作垂線，垂足為N點(diǎn)，即，，則，，∵E，F(xiàn)分別為，中點(diǎn)，∴，，∴，∵，∵∴，∴，∵，，，∴，設(shè)上的高為，∴，∴，當(dāng)最小時(shí)，即，此時(shí)時(shí)，最大，∴，∴最大值為，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查與三角形中線有關(guān)的面積的計(jì)算，勾股定理的應(yīng)用，等面積法的應(yīng)用，熟練掌握三角形的中線的含義是解題的關(guān)鍵．14．【分析】首先利用勾股定理求出，然后確定取最大值時(shí)最小，然后利用垂線段最短解決問題．解：在中，，，，，，，當(dāng)最小時(shí)，最大，當(dāng)時(shí)最小，又，解得，的最小值為，的最大值為，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了翻折變換，涉及點(diǎn)到直線最短距離、勾股定理求線段長(zhǎng)、等面積法求線段長(zhǎng)等知識(shí)，靈活運(yùn)用勾股定理及翻折不變性是解題的關(guān)鍵．15．【分析】連接交于，利用對(duì)稱性質(zhì)可得，根據(jù)垂線段最短，當(dāng)時(shí)，最小，則最大，即點(diǎn)到的距離最大，此時(shí)面積最大，利用三角形的面積求解即可．解：∵在中，，，，∴，∴，連接交于，如圖，∵點(diǎn)B關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)是E，∴，當(dāng)時(shí)，最小，則最大，即點(diǎn)到的距離最大，此時(shí)面積最大，由得，∴，∴面積的最大值為．故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查軸對(duì)稱性質(zhì)、垂線段最短、三角形的面積、勾股定理等知識(shí)，能得出當(dāng)時(shí)面積最大是解答的關(guān)鍵．16．10【分析】延長(zhǎng)交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B作，由題意可知，即說(shuō)明當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，最大，即為的長(zhǎng)．最后根據(jù)勾股定理求出的長(zhǎng)即可．解：如圖，延長(zhǎng)交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)B作，∵，∴當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，最大，即為的長(zhǎng)．∵，∴，∴，∴的最大值等于10．故答案為：10．【點(diǎn)撥】本題考查三角形三邊關(guān)系的應(yīng)用，勾股定理．正確作出輔助線，并理解當(dāng)點(diǎn)P運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)時(shí)，最大，即為的長(zhǎng)是解題關(guān)鍵．17．【分析】連接CE，CF，根據(jù)面積關(guān)系可以求得S△ABC=，當(dāng)CD最小為AB邊上高時(shí)，即可求出m+n的最大值．解：如圖，連接CE，CF，過(guò)E作CD垂線交于M點(diǎn)，過(guò)F作CD垂線交于N點(diǎn)，即EM=m，EN=n，則S△CDF=，S△CDE=，∵E，F(xiàn)分別為AD，BD中點(diǎn)，∴S△CDE=S△CDA，S△CDF=S△CDB，∴S△CEF=S△CDE+S△CDF=(S△CDA+S△CDB)=S△ABC，∵S△CEF=S△CDF+S△CDE=，∵S△ABC=∴S△ABC==3，∴=6，當(dāng)CD最小時(shí)，即CD=時(shí)，m+n最大，∴最大值為2.5，故答案為：2.5．【點(diǎn)撥】本題考查與三角形中線有關(guān)的面積的計(jì)算，熟練掌握三角形的中線定理是解題的關(guān)鍵．18．【分析】根據(jù)勾股定理分別求出BC和FD的長(zhǎng)度，再根據(jù)題意得出點(diǎn)D到BC的最大距離為DF，計(jì)算即可得出答案．解：在Rt△ABC中，∠BAC=30°，∠ACB=90°，AC=6cm可設(shè)CB=xcm，AB=2xcm根據(jù)勾股定理可得∴BC=2cm在Rt△EDF中，∠EDF=90°，∠DEF=45°，EF=AC=6cm可設(shè)ED=FD=ycm可得∴DF=ED=3cm在點(diǎn)F從點(diǎn)C出發(fā)沿射線BC向右滑動(dòng)的過(guò)程中，當(dāng)DF⊥BC時(shí)，點(diǎn)D到BC的距離最大最大值為DF，此時(shí)，故答案為．【點(diǎn)撥】本題考查了勾股定理的應(yīng)用等知識(shí)，確定當(dāng)DF⊥BC時(shí)，點(diǎn)D到BC的距離最大最大值為DF是解決本題的關(guān)鍵．19．13【分析】先將圓柱的側(cè)面展開，得到一個(gè)長(zhǎng)方形，再根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短和勾股定理解答即可．解：如圖所示：由于圓柱體的底面周長(zhǎng)為，，，，故答案為：13．【點(diǎn)撥】本題考查了勾股定理的應(yīng)用-最短路徑問題，解題的關(guān)鍵是會(huì)將圓柱的側(cè)面展開，并利用勾股定理解答．20．25【分析】把立體幾何圖展開得到平面幾何圖，如圖，然后利用勾股定理計(jì)算，則根據(jù)兩點(diǎn)之間線段最短得到螞蟻所走的最短路線長(zhǎng)度．解：將臺(tái)階展開矩形，線段恰好是直角三角形的斜邊，兩直角邊長(zhǎng)分別為24寸，7寸，由勾股定理得寸．【點(diǎn)撥】本題考查了勾股定理的應(yīng)用，把立體幾何圖中的問題轉(zhuǎn)化為平面幾何圖中的問題是解題的關(guān)鍵．21．【分析】按照不同的展開圖計(jì)算，比較確定答案即可．解：如圖，得到如下展開圖：取的中點(diǎn)M，連接，則四邊形是矩形，此時(shí)，所以；取的中點(diǎn)N，連接，則四邊形是矩形，此時(shí)，所以；因?yàn)?，所以最短距離為．故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了幾何體展開圖上的最短距離計(jì)算，正確把握展開圖是解題的關(guān)鍵．22．10/【分析】根據(jù)勾股定理即可求出；作點(diǎn)E關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)F，交于點(diǎn)P，通過(guò)證明得出，，進(jìn)而得出，根據(jù)勾股定理列出方程求解即可．解：在中，由勾股定理可得：，作點(diǎn)E關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)F，交于點(diǎn)P．∵，，∴，∴，在和中，，∴，∴，，∴，在和中，，∴，∴，設(shè)，則，在中，由勾股定理可得：，即，解得：．故答案為：10，．【點(diǎn)撥】本題主要考查了勾股定理，三角形全等的判定和性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握勾股定理，根據(jù)題意做出輔助線構(gòu)建全等三角形，根據(jù)勾股定理列出方程求解．23．【分析】如果從點(diǎn)如果從點(diǎn)開始經(jīng)過(guò)4個(gè)側(cè)面纏繞2圈到達(dá)點(diǎn)，相當(dāng)于直角三角形的兩條直角邊分別是8和3，再根據(jù)勾股定理求出斜邊長(zhǎng)即可．解：將長(zhǎng)方體的側(cè)面沿展開，取的中點(diǎn)，取的中點(diǎn)，連接，，則為所求的最短細(xì)線長(zhǎng)，，，，，，∴所用細(xì)線最短長(zhǎng)度是，故答案為：．【點(diǎn)撥】本題考查了平面展開最短路線問題和勾股定理的應(yīng)用，能正確畫出圖形是解此題的關(guān)鍵，用了數(shù)形結(jié)合思想．24．（1）84;（2）m+n的最大值為15，最小值為12．【分析】（1）先由勾股定理求得AD=12，然后利用三角形的面積公式求解即可；（2）依據(jù)S△ABC=S△ABH+S△BHC可知BH?AE+BH?CF=84，然后將BH=x，AE=m，CF=n代入整理即可．解：（1）在Rt△ABD中，AB=13，BD=5，∴AD===12．∵BC=14，∴==84．故答案為84．（2）∵S△ABC=S△ABH+S△BHC，∴．∴xm+xn=168．∴m+n=∵AD=12，DC=14﹣5=9，∴AC==15．∵m+n與x成反比，∴當(dāng)BH⊥AC時(shí)，m+n有最大值．∴（m+n）BH=AC?BH．∴m+n=AC=15．∵m+n與x成反比，∴當(dāng)BH值最大時(shí)，m+n有最小值．∴當(dāng)點(diǎn)H與點(diǎn)C重合時(shí)m+n有最小值．∴m+n=，∴m+n=12．