專(zhuān)題2.17因式分解的應(yīng)用及材料分析大題培優(yōu)專(zhuān)練（50題）-2023-2024學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期復(fù)習(xí)備考高分秘籍【人教版】（原卷版）

2023-2024學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期復(fù)習(xí)備考高分秘籍【人教版】專(zhuān)題2.17因式分解的應(yīng)用及材料分析大題培優(yōu)專(zhuān)練（50題）班級(jí)：_____________姓名：_____________得分：_____________一、解答題1．（2023上·山西晉城·八年級(jí)統(tǒng)考期中）在現(xiàn)今“互聯(lián)網(wǎng)+”的時(shí)代：密碼與我們的生活已經(jīng)密不可分．而諸如“000000”“666666”“生日”等簡(jiǎn)單密碼又容易被破解，因此利用簡(jiǎn)單方法產(chǎn)生一組容易記憶的密碼就很有必要了．有一種用“因式分解”法產(chǎn)生的密碼，方便記憶，其原理是將一個(gè)多項(xiàng)式分解因式．如多項(xiàng)式：xx2-y2-2yx2-y2分解因式的結(jié)果為x-yx+yx-2y，當(dāng)x=16，y=2時(shí)，x-y=14，x+y=18，x-2y=12，此時(shí)可以得到6個(gè)6(1)根據(jù)上述方法，當(dāng)x=25，y=2時(shí)，對(duì)于多項(xiàng)式x3(2)小敏同學(xué)設(shè)計(jì)的多項(xiàng)式a4-8a2b2+162．（2023上·福建泉州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）綜合與實(shí)踐某數(shù)學(xué)興趣小組開(kāi)展綜合實(shí)踐活動(dòng)發(fā)現(xiàn)：特值法是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的一種常用方法，即通過(guò)取題中某個(gè)未知量為特殊值，從而通過(guò)簡(jiǎn)單的運(yùn)算，得出最終答案的一種方法．例如，已知多項(xiàng)式2x3-2x2小安的求解過(guò)程如下：解：由題意設(shè)2x3-2由于上式為恒等式，為了方便計(jì)算，取x=-2，則2×(-2)解得：m=①________．(1)補(bǔ)全小安求解過(guò)程中①所缺的內(nèi)容；(2)若(x-2)3=ax(3)若多項(xiàng)式x4+mx3+nx-4有因式(x+1)和(x-2)3．（2023上·北京東城·八年級(jí)匯文中學(xué)?？计谥校┤绻粋€(gè)正整數(shù)滿足各數(shù)位上的數(shù)字都相同，我們稱(chēng)這樣的正整數(shù)為“穩(wěn)定數(shù)”，比如：2，55，888，1111．對(duì)任意一個(gè)三位數(shù)n，如果n滿足各數(shù)位上的數(shù)字互不相同，且都不為零，那么稱(chēng)這個(gè)數(shù)n為“變動(dòng)數(shù)”．將一個(gè)“變動(dòng)數(shù)”任意兩個(gè)數(shù)位上的數(shù)字對(duì)調(diào)后可以得到三個(gè)不同的新三位數(shù)，把這三個(gè)新三位數(shù)的和記為M(n)．例如n=123，對(duì)調(diào)百位與十位上的數(shù)字得到213，對(duì)調(diào)百位與個(gè)位上的數(shù)字得到321，對(duì)調(diào)十位與個(gè)位上的數(shù)字得到132，這三個(gè)新三位數(shù)的和M(123)=213+321+132=666，是一個(gè)“穩(wěn)定數(shù)”．(1)計(jì)算：M(531)，M(426)，并判斷它們是否為“穩(wěn)定數(shù)”(2)若“變動(dòng)數(shù)”n=100a+10b+3（其中a，b都是正整數(shù)，1≤a≤9，1≤b≤9），且M(n)為最大的三位“穩(wěn)定數(shù)”，求n的值．4．（2023上·北京西城·八年級(jí)北京四中?？计谥校╅喿x下列材料：對(duì)于多項(xiàng)式x2+x-2，如果我們把x=1代入此多項(xiàng)式，發(fā)現(xiàn)x2+x-2的值為0，這時(shí)可以確定多項(xiàng)式中有因式x-1；同理，可以確定多項(xiàng)式中有另一個(gè)因式又如：對(duì)于多項(xiàng)式2x2-3x-2，發(fā)現(xiàn)當(dāng)x=2時(shí)，2則多項(xiàng)式2x2-3x-2我們可以設(shè)2x2-3x-2=x-2mx+n于是我們可以得到：2x請(qǐng)你根據(jù)以上材料，解答以下問(wèn)題：(1)當(dāng)x=______時(shí)，多項(xiàng)式6x2-x-5的值為0，所以多項(xiàng)式6x2-x-5(2)以上這種因式分解的方法叫“試根法”，常用來(lái)分解一些比較復(fù)雜的多項(xiàng)式，請(qǐng)你嘗試用試根法分解多項(xiàng)式：x35．（2023上·北京西城·八年級(jí)北京十五中?？计谥校╅喿x下列材料，回答問(wèn)題：“我們把多項(xiàng)式a2+2ab+b2及a2-2ab+b2叫做完全平方式”．如果一個(gè)多項(xiàng)式不是完全平方式，我們常做如下變形：先添加一個(gè)適當(dāng)?shù)捻?xiàng)，使式子中出現(xiàn)完全平方式，再減去這個(gè)項(xiàng)，使整個(gè)式子的值不變，這種方法叫做配方法．配方法是一種重要的解決問(wèn)題的數(shù)學(xué)方法，不僅可以將一個(gè)看似不能分解的多項(xiàng)式分解因式，還能解決一些與非負(fù)數(shù)有關(guān)的問(wèn)題或求代數(shù)式最大值、最小值等，例如：分解因式x2+2x-3，我們可以進(jìn)行以下操作：x2+2x-3=x根據(jù)閱讀材料，用配方法解決下列問(wèn)題：(1)若多項(xiàng)式x2-4x+k是一個(gè)完全平方式，則常數(shù)k=(2)分解因式：x2-4x-12=______，代數(shù)式2x6．（2022上·廣西南寧·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）【材料閱讀】若m2-2mn+2n解：∵∴∴∵∴∴m=4,n=4．【嘗試探究】根據(jù)你的觀察，探究下面的問(wèn)題：(1)a2-4a+4+b2=0，則a=(2)已知a、b、c是7．（2023上·吉林長(zhǎng)春·八年級(jí)統(tǒng)考期中）在分解因式時(shí)，小彬和小穎對(duì)同一道題產(chǎn)生了分歧，下面是他們的解答過(guò)程，請(qǐng)認(rèn)真閱讀并完成相應(yīng)的任務(wù)．題目：將2x+y2小彬的解法：2x+y=4x2+4xy+=3x2-3=3(x+y)(x-y)第3步小穎的解法：2x+y=2x+y+x+2y2x+y-x+2y第1=(3x+3y)(x+3y)第2步=3(x+y)(x-y)第3步任務(wù)：(1)經(jīng)過(guò)討論，他們發(fā)現(xiàn)兩人中只有一人的解答正確，你認(rèn)為解答正確的同學(xué)是______；而另一位同學(xué)的解答是從第______步開(kāi)始出錯(cuò)的，你認(rèn)為這位同學(xué)解答過(guò)程錯(cuò)誤的原因是______．(2)按照做錯(cuò)同學(xué)的思路，寫(xiě)出正確的解答過(guò)程；8．（2022上·河南新鄉(xiāng)·八年級(jí)校考期中）綜合與實(shí)踐

學(xué)習(xí)整式乘法時(shí)，老師拿出三種型號(hào)的卡片，如圖1，A型卡片是邊長(zhǎng)為a的正方形，B型卡片是邊長(zhǎng)為b的正方形，C型卡片是長(zhǎng)和寬分別為a,b的長(zhǎng)方形．(1)選取1張A型卡片，2張C型卡片，1張B型卡片，在紙上按照?qǐng)D2的方式拼成一個(gè)邊長(zhǎng)為a+b的大正方形，通過(guò)用不同方式表示大正方形的面積，可得到乘法公式_______．(2)圖3是由若干張A,B,C三種卡片拼成的一個(gè)長(zhǎng)方形，觀察圖形，可將多項(xiàng)式a2+5ab+6b(3)選取1張A型卡片，4張C型卡片按圖4的方式不重疊地放在長(zhǎng)方形MNPQ框架內(nèi)，已知NP的長(zhǎng)度固定不變，MN的長(zhǎng)度可以變化，圖中兩陰影部分（長(zhǎng)方形）的面積分別表示為S1,S2，若Q=S1-9．（2023上·山東東營(yíng)·八年級(jí)東營(yíng)市東營(yíng)區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）先閱讀下面的材料，再分解因式．如果把一個(gè)多項(xiàng)式各個(gè)項(xiàng)分組并提出公因式后，它們的另一個(gè)因式正好相同，那么這個(gè)多項(xiàng)式就可以利用分組分解法來(lái)因式分解，例am+an+bm+bn=am+n請(qǐng)用上面材料中提供的方法因式分解：(1)m2(2)x2(3)若△ABC三邊分別為a，b，c且滿足a2-ab+ac-bc=0試判斷10．（2023上·山東泰安·八年級(jí)東平縣實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考階段練習(xí)）我們已經(jīng)學(xué)過(guò)將一個(gè)多項(xiàng)式分解因式的方法有提公因式法和運(yùn)用公式法，其實(shí)分解因式的方法還有分組分解法、拆項(xiàng)法等等．①分組分解法：例如：x2②拆項(xiàng)法：例如：x2(1)仿照以上方法，按照要求分解因式：①（分組分解法）4x②（拆項(xiàng)法）x2(2)當(dāng)a,b,c分別為△ABC的三邊時(shí)，且滿足a2+b11．（2023上·黑龍江哈爾濱·八年級(jí)哈爾濱市蕭紅中學(xué)?？计谥校┬偼瑢W(xué)動(dòng)手剪了如圖①所示的正方形與長(zhǎng)方形紙片若干張．(1)他用1張1號(hào)、1張2號(hào)和2張3號(hào)紙片拼出一個(gè)新的圖形（如圖②）．根據(jù)這個(gè)圖形的面積關(guān)系寫(xiě)出一個(gè)你所熟悉的乘法公式，這個(gè)乘法公式是________．(2)如果要拼成一個(gè)長(zhǎng)為a+2b，寬為a+b的大長(zhǎng)方形，則需要2號(hào)紙片________張，3號(hào)紙片________張；(3)當(dāng)他拼成如圖③所示的長(zhǎng)方形，根據(jù)6張小紙片的面積和等于大紙片（長(zhǎng)方形）的面積，可以把多項(xiàng)式a2+3ab+2b(4)動(dòng)手操作，請(qǐng)你依照小剛的方法，利用拼圖分解因式a2+5ab+612．（2023上·吉林長(zhǎng)春·八年級(jí)統(tǒng)考期末）【數(shù)學(xué)問(wèn)題】試證明：兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)的平方差一定是8的倍數(shù)．【解法討論】小彤說(shuō)：“連續(xù)奇數(shù)的差是2，我們可以設(shè)其中較小的數(shù)為x，則較大的數(shù)為x+2．然后再利用平方差公式來(lái)推理．”小園說(shuō)：“贊同你的想法，不過(guò)有一個(gè)漏洞，你這種設(shè)法不能表明這兩個(gè)數(shù)一定是奇數(shù)．”小彤說(shuō)：“嗯，你說(shuō)的有道理，那么設(shè)較小的數(shù)為2x+1可以嗎？”【問(wèn)題解決】請(qǐng)你按照小彤和小園討論的思路，完成問(wèn)題的證明過(guò)程．【遷移運(yùn)用】探究：兩個(gè)連續(xù)偶數(shù)的平方差也一定是8的倍數(shù)嗎？請(qǐng)證明你的結(jié)論．13．（2022上·廣西南寧·八年級(jí)?？计谥校├猛耆椒焦剑瑢⒍囗?xiàng)式x2+bx+c變形為例如：x2(1)填空：將多項(xiàng)式x2-2x+3變形為x+m2+n的形式，并判斷x2所以x2-2x+3______0（項(xiàng)“>”、“<”、“=(2)將x2+10x-2變形為x+m2(3)如圖①所示的長(zhǎng)方形邊長(zhǎng)分別是2a+5、3a+2，面積為S1，如圖②所示的長(zhǎng)方形邊長(zhǎng)分別是5a、a+5面積為S

14．（2023上·江西宜春·八年級(jí)江西省豐城中學(xué)?？茧A段練習(xí)）閱讀材料：若m2-2mn+2n2-8n+16=0解：∵m2-2mn+2n∴(m-n)2+(n-4)2=0，∴(m-n)2=0，根據(jù)你的觀察，探究下面的問(wèn)題：(1)已知x2-2xy+2y(2)已知△ABC的三邊長(zhǎng)a、b、c都是正整數(shù)，且滿足a2+b2-10a-12b+61=0(3)已知a-b=8，ab+c2-16c+80=015．（2023上·福建福州·八年級(jí)福建省福州第十九中學(xué)?？计谥校╅喿x下列材料：在因式分解中，把多項(xiàng)式中某些部分看作一個(gè)整體，用一個(gè)新的字母代替（即換元），不僅可以簡(jiǎn)化要分解的多項(xiàng)式的結(jié)構(gòu)，而且能使式子的特點(diǎn)更加明顯，便于觀察如何進(jìn)行因式分解，我們把這種因式分解的方法稱(chēng)為“換元法”．下面是小胡同學(xué)用換元法對(duì)多項(xiàng)式x2解：設(shè)x2原式=y-1y+3=y2=y+12=x2請(qǐng)根據(jù)上述材料回答下列問(wèn)題：(1)小胡同學(xué)的解法中，第二步到第三步運(yùn)用了因式分解的______；A．提取公因式法

B．平方差公式法

C．完全平方公式法(2)老師說(shuō)，小胡同學(xué)因式分解的結(jié)果不徹底，請(qǐng)你寫(xiě)出該因式分解的最后結(jié)果；(3)請(qǐng)你用換元法對(duì)多項(xiàng)式x216．（2022上·湖南長(zhǎng)沙·八年級(jí)長(zhǎng)沙市開(kāi)福區(qū)青竹湖湘一外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？计谥校╅喿x理解并填空：(1)為了求代數(shù)式x2+2x+3的值，我們必須知道若x=1，則這個(gè)代數(shù)式的值為_(kāi)_______﹔若x=2，則這個(gè)代數(shù)式的值為_(kāi)______；……可見(jiàn)，這個(gè)代數(shù)式的值因x的取值不同而變化，盡管如此，我們還是有辦法來(lái)考慮這個(gè)代數(shù)式的值的范圍．(2)把一個(gè)多項(xiàng)式進(jìn)行部分因式分解可以解決求代數(shù)式的最大（或最小）值問(wèn)題．例如：x2+2x+3=x2+2x+1+2=x+12+2，因?yàn)?3)求代數(shù)式-x2-6x+12(4)試探究關(guān)于x、y的代數(shù)式5x2-4xy+y217．（2023上·山東淄博·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，有足夠多的正方形（A型和B型）和長(zhǎng)方形（C型）卡片，利用這些卡片可以進(jìn)行因式分解，如對(duì)多項(xiàng)式a2

(1)要拼成面積為a2+3ab+2b2的圖形需A卡張，B卡張，C卡張，利用這些卡片可以拼成一個(gè)長(zhǎng)方形（不重疊無(wú)縫隙），由于同一長(zhǎng)方形面積的有不同表示形式：各卡片的面積和為a2(2)請(qǐng)參考照（1）中的因式分解過(guò)程，畫(huà)出草圖對(duì)2a18．（2023下·山東棗莊·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）有足夠多的長(zhǎng)方形和正方形的卡片，如圖①．

(1)如果選取1號(hào)，2號(hào)，3號(hào)卡片分別為1張，2張，3張（如圖②），可拼成一個(gè)長(zhǎng)方形（不重疊無(wú)縫隙）．請(qǐng)畫(huà)出這個(gè)長(zhǎng)方形的草圖，并運(yùn)用拼圖前后面積之間的關(guān)系將多項(xiàng)式a2(2)小明想用類(lèi)似的方法將多項(xiàng)式2a2+7ab+3b2分解因式，那么需要1號(hào)卡片___________張，2號(hào)卡片___________張，319．（2023上·山東淄博·八年級(jí)淄博市張店區(qū)實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）閱讀與思考：整式乘法與因式分解是方向相反的變形．由x+px+q=x利用這個(gè)式子可以將某些二次項(xiàng)系數(shù)是1的二次三項(xiàng)式分解因式，例如：將式子x2分析：這個(gè)式子的常數(shù)項(xiàng)2=1×2，一次項(xiàng)系數(shù)3=1+2，所以x2解：x請(qǐng)仿照上面的方法，解答下列問(wèn)題：(1)分解因式：x2(2)分解因式：(x(3)填空：若x2+px-8可分解為兩個(gè)一次因式的積，則整數(shù)20．（2023上·山西臨汾·八年級(jí)統(tǒng)考階段練習(xí)）我們知道，對(duì)于一個(gè)圖形，通過(guò)兩種不同的方法計(jì)算它的面積，可以得到一個(gè)數(shù)學(xué)等式．例如由圖1可以得到a+2a+b

(1)寫(xiě)出圖2中所表示的數(shù)學(xué)等式：___________．(2)利用（1）中所得的結(jié)論，解決下列問(wèn)題：已知a+b+c=11，ab+bc+ac=38，求a2(3)圖3中給出了若干個(gè)邊長(zhǎng)為a和邊長(zhǎng)為b的小正方形紙片及若干個(gè)長(zhǎng)為b、寬為a的長(zhǎng)方形紙片．請(qǐng)按要求利用所給的紙片拼出一個(gè)幾何圖形，并畫(huà)在所給的方框內(nèi)，要求所拼的幾何圖形的面積為2a21．（2022下·河北石家莊·七年級(jí)?？计谀?duì)于二次三項(xiàng)式x2+2ax+a2可以直接用公式法分解為x+a2的形式，但對(duì)于二次三項(xiàng)式x2+2ax-3a=x2+2ax+(1)請(qǐng)用上述方法把x2(2)多項(xiàng)式x2+10x+28有最小值嗎？如果有，求出最小值是多少？此時(shí)22．（2021上·江西宜春·八年級(jí)校考階段練習(xí)）如圖1所示，邊長(zhǎng)為a的正方形中有一個(gè)邊長(zhǎng)為b的小正方形，圖2是由圖1中陰影部分拼成的一個(gè)長(zhǎng)方形，設(shè)圖1中陰影部分面積為S1，圖2中陰影部分面積為S

(1)請(qǐng)直接用含a和b的代數(shù)式表示S1=________，S2=(2)應(yīng)用公式計(jì)算：1-(3)應(yīng)用公式計(jì)算：2+123．（2022上·福建泉州·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）常用的分解因式的方法有提公因式法、公式法等，對(duì)項(xiàng)數(shù)較多的多項(xiàng)式（例：ma+mb+na+nb）就無(wú)法直接進(jìn)行因式分解時(shí)，我們可以將該多項(xiàng)式分為若干組，再利用提公因式法、公式法達(dá)到因式分解的目的，這就是因式分解的分組分解法．分組分解法在代數(shù)式的化簡(jiǎn)、求值及方程、函數(shù)等學(xué)習(xí)中起著重要的作用．過(guò)程如下：ma+mb+na+nb=ma+b(1)分解因式：ab+a+b+1(2)若等腰三角形的兩條邊長(zhǎng)分別a和b，a、b都是正整數(shù)a>b且滿足ab-a-b-4=0．求這個(gè)等腰三角形的周長(zhǎng)．(3)黑板上有2022個(gè)數(shù)，分別是1，12，13，…，12022，每次操作，選兩個(gè)數(shù)a和b，計(jì)算得到ab+a+b，再把a(bǔ)和b24．（2022上·湖南衡陽(yáng)·八年級(jí)?？计谥校┤粢粋€(gè)整數(shù)能表示成a2+b2（a、b是整數(shù)）的形式，則稱(chēng)這個(gè)數(shù)為“完美數(shù)”，例如，5是“完美數(shù)再如，M=5==(x+2y)2+(2x-y)2（x、y是整數(shù)），所以M(1)請(qǐng)你再寫(xiě)出一個(gè)小于20的“完美數(shù)”；(2)判斷9x2+1+4y2-12xy（x，25．（2022上·湖南衡陽(yáng)·八年級(jí)校考期中）（閱讀材料）把代數(shù)式通過(guò)配湊等手段，得到局部完全平方式，再進(jìn)行有關(guān)運(yùn)算和解題，這種解題方法叫做配方法．配方法在代數(shù)式求值、解方程、最值問(wèn)題中都有著廣泛的應(yīng)用．例如：①用配方法因式分解：a2解：原式====a+2②求x2解：原式==x+3由于x+32≥0，所以即x2+6x+11的最小值為請(qǐng)根據(jù)上述材料解決下列問(wèn)題：(1)填空①在橫線上添上一個(gè)常數(shù)項(xiàng)使之成為完全平方式：a2+4a+②用配方法因式分解：a2-12a+35=③當(dāng)x=______時(shí)，代數(shù)式x2+8x+7的最小值為(2)已知a、b、c是△ABC的三邊，且滿足a2(3)若M=23x2+3x+1，N=4x26．（2023上·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）對(duì)于形如x2+2ax+a2這樣的二次三項(xiàng)式，可以用公式法將它分解成x+a2的形式．但對(duì)于二次三項(xiàng)式x2+2ax-8a2x2像這樣，先添一適當(dāng)項(xiàng)，使式子中出現(xiàn)完全平方式，再減去這個(gè)項(xiàng)，使整個(gè)式子的值不變的方法稱(chēng)為“配方法”．閱讀以上材料，解決下列問(wèn)題．(1)分解因式：a2(2)當(dāng)a為何值時(shí)，二次三項(xiàng)式a227．（2022下·河南鄭州·八年級(jí)河南省實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？计谥校┫乳喿x下面的內(nèi)容，再解決問(wèn)題：對(duì)于形如x2+2xa+a2這樣的二次三項(xiàng)式，可以用公式法將它分解成x+a2的形式．但對(duì)于二次三項(xiàng)式x2+2xa-3a2，就不能直接運(yùn)用公式了．此時(shí)，我們可以在二次三項(xiàng)式x2x====像這樣，先添一適當(dāng)項(xiàng)，使式中出現(xiàn)完全平方式，再減去這個(gè)項(xiàng)，使整個(gè)式子的值不變的方法稱(chēng)為“配方法”．利用“配方法”，解決下列問(wèn)題：(1)分解因式：a2(2)若a2+b2-14a-8b+65=0，并且△ABC的三邊長(zhǎng)是a，b，c28．（2023上·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）小剛同學(xué)動(dòng)手剪了如圖所示的正方形和長(zhǎng)方形紙片若干張．

(1)他用1張1號(hào)、1張2號(hào)和2張3號(hào)紙片拼出一個(gè)新的圖形（如圖2）．根據(jù)這個(gè)圖形的面積關(guān)系寫(xiě)出一個(gè)你所熟悉的乘法公式，這個(gè)乘法公式是__________；(2)當(dāng)他拼成如圖3所示的長(zhǎng)方形時(shí)，根據(jù)6張小紙片的面積和等于大紙片（長(zhǎng)方形）的面積，可以把多項(xiàng)式a2+3ab+2b(3)請(qǐng)你依照小剛的方法，動(dòng)手操作，利用拼圖分解因式：a2+5ab+629．（2023上·吉林長(zhǎng)春·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）閱讀理解題：定義：如果一個(gè)數(shù)的平方等于－1，記為i2=-1，這個(gè)數(shù)i叫做虛數(shù)單位．那么形如a+bi（a，b為實(shí)數(shù)）的數(shù)就叫做復(fù)數(shù)，a叫這個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部，例如計(jì)算：2+i+i3(1+i)(2+3i)=1×2+1?3i+i?2+i?3i=2+3i+2i+3?i(1)填空：i5=______，2(2)計(jì)算：①2+i2-i；②2+i(3)若兩個(gè)復(fù)數(shù)相等，則它們的實(shí)部和虛部必須分別相等，完成下列問(wèn)題：已知：x+3y+3i=1-x-yi，（x，y為實(shí)數(shù)），求(4)試一試：請(qǐng)你參照i2=-1這一知識(shí)點(diǎn)，將m230．（2020上·福建福州·八年級(jí)福州黎明中學(xué)?？计谥校┌汛鷶?shù)式通過(guò)配湊等手段，得到局部完全平方式，再進(jìn)行有關(guān)運(yùn)算和解題，這種解題方法叫做配方法．如，①用配方法分解因式：a2解：原式=a②M=a2-2ab+2解：a2∵(a-b)2≥0，∴當(dāng)a=b=1時(shí)，M有最小值1．請(qǐng)根據(jù)上述材料解決下列問(wèn)題：(1)在橫線上添加一個(gè)常數(shù)，使之成為完全平方式：x2-2(2)用配方法因式分解（不按要求不給分）：x2(3)若M=14x31．（2023上·重慶大渡口·八年級(jí)重慶市第三十七中學(xué)校校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）閱讀材料：材料1：將一個(gè)三位數(shù)或三位以上的整數(shù)分成左中右三個(gè)數(shù)，如果滿足：中間數(shù)=左邊數(shù)的平方+右邊數(shù)的平方，那么我們稱(chēng)該整數(shù)是平方和數(shù)，比如，對(duì)于整數(shù)251，它的中間數(shù)是5，左邊數(shù)是2，右邊數(shù)是1，因?yàn)?2+12=5，所以251是平方和數(shù)；再比如，對(duì)于整數(shù)3254，因?yàn)?2+4材料2：將一個(gè)三位數(shù)或者三位以上的整數(shù)分成左中右三個(gè)數(shù)，如果滿足：中間數(shù)=2×左邊數(shù)×右邊數(shù)，那么我們稱(chēng)該整數(shù)是雙倍積數(shù)；比如：對(duì)于整數(shù)163，它的中間數(shù)是6，左邊數(shù)是1，右邊數(shù)是3，因?yàn)?×1×3=6，所以163是雙倍積數(shù)；再比如，對(duì)于整數(shù)3305，因?yàn)?×3×5=30，所以3305是一個(gè)雙倍積數(shù)，顯然，361，5303這兩個(gè)數(shù)也肯定是雙倍積數(shù)．請(qǐng)根據(jù)上述定義完成下面問(wèn)題：(1)如果一個(gè)三位整數(shù)既是平方和數(shù)，又是雙倍積數(shù)，則該三位整數(shù)是_____．（直接寫(xiě)出結(jié)果）(2)如果我們用字母a表示一個(gè)整數(shù)分出來(lái)的左邊數(shù)，用字母b表示一個(gè)整數(shù)分出來(lái)的右邊數(shù)，則a585b為一個(gè)平方和數(shù)，a504b為一個(gè)雙倍積數(shù)，求a232．（2023下·遼寧撫順·八年級(jí)?？计谥校╅喿x理解并解答：(1)我們把多項(xiàng)式a2＋2ab例如：①x2∵x+12≥0，∴則代數(shù)式x2＋2x＋6的最小值為_(kāi)_____，此時(shí)，相應(yīng)的x的值為_(kāi)_____②3x=3x∵x-22≥0，∴∴代數(shù)式3x2-12x+3的最小值為_(kāi)_____，此時(shí)，相應(yīng)的x(2)仿照上述方法，代數(shù)式-x2-8x＋7有最______（“大”或“33．（2023上·重慶巫溪·八年級(jí)統(tǒng)考期末）已知m為任意的兩位數(shù)，若m的各位數(shù)字不同且均不為0，這樣的兩位數(shù)稱(chēng)為“互斥數(shù)”，把一個(gè)“互斥數(shù)”的十位數(shù)字和個(gè)位數(shù)字交換位置，得到一個(gè)新的兩位數(shù)，把這兩個(gè)兩位數(shù)相加的和除以11的商記為N(m)．例如m=43，對(duì)調(diào)后的兩位數(shù)為34，這兩個(gè)兩位數(shù)的和為77，77÷11=7，所以N(43)=7．(1)計(jì)算：N(24)=；N(79)=；(2)若a，b都是“互斥數(shù)”，其中a=10x+24，b=51+y(1≤x≤9，1≤y≤9，x，y均為整數(shù))，當(dāng)N(a)+N(b)=1934．（2023下·四川成都·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）小福同學(xué)在課后探究學(xué)習(xí)中遇到題目：分解因式：x(x+1)(x+2)(x+3)+1．小福同學(xué)經(jīng)過(guò)幾次嘗試后發(fā)現(xiàn)如下做法：因式分解：x(x+1)(x+2)(x+3)+1解：原式==設(shè)x∴原式=M(M+2)+1===小福和組內(nèi)同學(xué)分享學(xué)習(xí)心得時(shí)總結(jié)：當(dāng)有四個(gè)一次式連續(xù)相乘時(shí)，我選擇了每?jī)蓚€(gè)一次式分別乘積；經(jīng)過(guò)我多次嘗試，我發(fā)現(xiàn)選擇哪兩個(gè)一次式相乘也很重要，我最后選擇了“常數(shù)之和相等”的分組相乘方式，之后在乘積中有整體出現(xiàn)，選擇了換元完成分解．另外，我發(fā)現(xiàn)在劃?rùn)M線那個(gè)步驟時(shí)，有時(shí)也會(huì)選擇“常數(shù)乘積相等”的分組相乘方式．小福同學(xué)分享了解題方法和學(xué)習(xí)心得之后很多同學(xué)有了自己的思考和理解，紛紛躍躍欲試請(qǐng)你結(jié)合自己的思考和理解完成下列變式訓(xùn)練：(1)分解因式：(x-1)(x+1)(x+2)(x+4)+9；(2)分解因式：x-6x-235．（2023下·安徽池州·八年級(jí)統(tǒng)考期中）【閱讀材料】把代數(shù)式通過(guò)配湊等手段，得到局部完全平方式，再進(jìn)行有關(guān)運(yùn)算和解題，這種解題方法叫做配方法．配方法在因式分解、最值問(wèn)題中都有著廣泛的應(yīng)用．例如：①用配方法因式分解：a2+6a+8．

②求解：原式=a2+6a+9-1=(a+3)2-1=a+3-1a+3+1

=a+2a+4

即x2+6+11的最小值為請(qǐng)根據(jù)上述材料解決下列問(wèn)題：(1)在橫線上添上一個(gè)常數(shù)項(xiàng)使之成為完全平方式：a2+4a+(2)因式分解：a2(3)求4x36．（2023上·安徽·八年級(jí)校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）閱讀下列材料：因式分解的常用方法有提取公因式法和公式法，但有的多項(xiàng)式僅用上述方法無(wú)法分解．如m2解題過(guò)程如下：m2這種因式分解的方法叫分組分解法．利用這種分組分解的思想方法解決下列問(wèn)題：(1)因式分解：x2(2)因式分解：x2(3)若a，b為非零實(shí)數(shù)，c=-12023，且1437．（2023下·重慶忠縣·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）若一個(gè)正整數(shù)，它的各位數(shù)字是左右對(duì)稱(chēng)的，則稱(chēng)這個(gè)數(shù)是謀略數(shù)，如22，797，12321都是謀略數(shù)．最小的謀略數(shù)是11，沒(méi)有最大的謀略數(shù)，因?yàn)閿?shù)位是無(wú)窮的．有一種產(chǎn)生謀略數(shù)的方式是：將某些自然數(shù)與它的逆序數(shù)相加，得出的和再與和的逆序數(shù)相加，連續(xù)進(jìn)行下去，便可得到一個(gè)謀略數(shù)．如：16的逆序數(shù)為61，16＋61=77，77是一個(gè)謀略數(shù)；37的逆序數(shù)為73，37＋73=110，110的逆序數(shù)為11，(1)請(qǐng)你根據(jù)以上材料，直接寫(xiě)出57產(chǎn)生的第一個(gè)謀略數(shù)；(2)若將任意一個(gè)四位謀略數(shù)分解為前兩位數(shù)所表示的數(shù)，和后兩位數(shù)所表示的數(shù)，請(qǐng)你證明這兩個(gè)數(shù)的差一定能被9整除；(3)若將一個(gè)三位謀略數(shù)減去其各位數(shù)字之和，所得的結(jié)果能被11整除，則滿足條件的三位謀略數(shù)共有多少個(gè)？38．（2023下·四川達(dá)州·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，有足夠多的邊長(zhǎng)為a的小正方形（A類(lèi)），寬為a、長(zhǎng)為b的長(zhǎng)方形（B類(lèi)）以及邊長(zhǎng)為b的大正方形（C類(lèi)），發(fā)現(xiàn)利用圖1中的三類(lèi)圖形可以拼出一些長(zhǎng)方形來(lái)解釋某些等式．

嘗試解決：(1)用圖1中的若干個(gè)圖形（三類(lèi)圖形都要用到）拼成一個(gè)正方形，使其面積為a+b2，畫(huà)出圖形，并根據(jù)圖形回答a+b2(2)圖2是由圖1中的三類(lèi)圖形拼出的一個(gè)長(zhǎng)方形，根據(jù)圖2可以得到并解釋等式：_________．(3)用圖1中的若干個(gè)圖形（三類(lèi)圖形都要用到）拼成一個(gè)長(zhǎng)方形，使其面積為3a2+7ab+239．（2023下·甘肅隴南·八年級(jí)統(tǒng)考期末）閱讀與思考請(qǐng)仔細(xì)閱讀并完成相應(yīng)任務(wù)．生活中我們經(jīng)常用到密碼，例如用支付寶或微信支付時(shí)．有一種用“因式分解”法產(chǎn)生的密碼，方便記憶，其原理是：將一個(gè)多項(xiàng)式分解因式，如多項(xiàng)式：x3+2x2-x-2可以因式分解為x-1x+1x+2，當(dāng)x=29時(shí)，x-1=28任務(wù)：(1)根據(jù)上述方法，當(dāng)x=15，y=5時(shí)，對(duì)于多項(xiàng)式x3(2)已知一個(gè)直角三角形的周長(zhǎng)是24，斜邊長(zhǎng)為11，其中兩條直角邊分別為x，y，求出一個(gè)由多項(xiàng)式x340．（2023下·遼寧沈陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期中）若干張正方形和長(zhǎng)方形卡片如圖1所示，其中甲型、乙型卡片分別是邊長(zhǎng)為a，ba>b的正方形，丙型卡片是長(zhǎng)為a、寬為b的長(zhǎng)方形．選取2塊甲型卡片，2塊乙型卡片，5塊丙型卡片，拼成如圖2

(1)觀察圖2，寫(xiě)出一個(gè)多項(xiàng)式的因式分解為_(kāi)_____；(2)若圖2中甲型、乙型卡片的面積和為136，大長(zhǎng)方形卡片的周長(zhǎng)為60，求大長(zhǎng)方形卡片的面積．41．（2023下·安徽宿州·八年級(jí)?？计谀┩趵蠋熢诤诎迳蠈?xiě)了三個(gè)等式．第1個(gè)等式：32第2個(gè)等式：52第3個(gè)等式：72?請(qǐng)你結(jié)合以上等式的規(guī)律，解答問(wèn)題：(1)請(qǐng)你寫(xiě)出第5個(gè)等式：________；(2)設(shè)兩個(gè)連續(xù)奇數(shù)分別為2n+1，2n-1（n為正整數(shù)），試說(shuō)明其平方差是8的倍數(shù)．42．（2023下·陜西漢中·八年級(jí)校考階段練習(xí)）閱讀以下材料：材料：因式分解：x+y2解：將“x+y”看成整體，x+y=A，則原式=A再將“A”還原，得原式=x+y+1上述解題用到的是“整體思想”，“整體思想”是數(shù)學(xué)解題中常用的一種思想方法，請(qǐng)你解答下列問(wèn)題：(1)因式分解：a2(2)求證：無(wú)論n為何值，式子n2-2n-3n43．（2022上·重慶梁平·八年級(jí)統(tǒng)考期末）我們知道，任意一個(gè)正整數(shù)k都可以進(jìn)行這樣的分解：k=m×n（m，n是正整數(shù)，且m≤n），在k的所有這種分解中，如果m，n兩因數(shù)之差的絕對(duì)值最小，我們就稱(chēng)m×n是k的最佳分解，并規(guī)定：fk=mn．例如：18可以分解成1×18，2×9或3×6，因?yàn)?8-1>9-2>6-3，所以3×6是(1)f20=__________；f(2)若fx2+2x=202144．（2023下·江西九江·八年級(jí)?？计谥校┠承！皵?shù)學(xué)社團(tuán)”活動(dòng)中，研究發(fā)現(xiàn)常用的分解因式的方法有提取公因式法、公式法，但還有很多的多項(xiàng)式只用上述方法無(wú)法分解，如：“m2-mn+2m-2nm==m=m-n“社團(tuán)”將此種因式分解的方法叫做“分組分解法”，請(qǐng)?jiān)谶@種方法的啟發(fā)下，解決以下問(wèn)題：(1)分解因式：a3(2)分解因式：x2(3)△ABC的三邊a，b，c滿足a2+ab+c45．（2023下·陜西寶雞·八年級(jí)統(tǒng)考期末）有足夠多的長(zhǎng)方形和正方形卡片（如圖1），分別記為1號(hào)，2號(hào)，3號(hào)卡片．

(1)如果選取4張3號(hào)卡片，拼成如圖2所示的一個(gè)正方形，請(qǐng)用2種不同的方法表示陰影部分的面積（用含m，n的式子表示）．方法1：__________________________________________________．方法2：_________________________