專題06 線段的垂直平分線與角平分線綜合問題之五大考點(diǎn)（解析版）

專題06線段的垂直平分線與角平分線綜合問題之五大考點(diǎn)【考點(diǎn)導(dǎo)航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點(diǎn)一利用線段垂直平分線的性質(zhì)求解】 1【考點(diǎn)二線段垂直平分線的判定】 4【考點(diǎn)三利用角平分線的性質(zhì)求解】 8【考點(diǎn)四角平分線的判定】 11【考點(diǎn)五線段的垂直平分線與角平分線的綜合問題】 14【過(guò)關(guān)檢測(cè)】 20【典型例題】【考點(diǎn)一利用線段垂直平分線的性質(zhì)求解】例題：（2023秋·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，P在內(nèi)，點(diǎn)C、D分別是點(diǎn)P關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)．如果的周長(zhǎng)為12，則的長(zhǎng)為（

）

A．6 B．12 C．15 D．18【答案】B【分析】根據(jù)軸對(duì)稱的性質(zhì)可知，結(jié)合的周長(zhǎng)為12，利用等量代換可知．【詳解】解：∵點(diǎn)C是點(diǎn)P關(guān)于的對(duì)稱點(diǎn)，∴垂直平分，∴．同理．∵，∴，∵的周長(zhǎng)為12，∴．故選：B．【點(diǎn)睛】此題考查軸對(duì)稱的基本性質(zhì)．注意：對(duì)稱軸垂直平分對(duì)應(yīng)點(diǎn)的連線，對(duì)應(yīng)角相等，對(duì)應(yīng)邊相等．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·山東棗莊·七年級(jí)校聯(lián)考階段練習(xí)）到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離都相等的點(diǎn)是這個(gè)三角形的（

）A．三條高的交點(diǎn) B．三條角平分線的交點(diǎn)C．三條中線的交點(diǎn) D．三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)【答案】D【分析】根據(jù)三角形邊垂直平分線的性質(zhì)求解即可．線段垂直平分線的性質(zhì)，線段垂直平分線上任意一點(diǎn)，到線段兩端點(diǎn)的距離相等【詳解】∵線段垂直平分線上任意一點(diǎn)，到線段兩端點(diǎn)的距離相等，∴到三角形三個(gè)頂點(diǎn)的距離都相等的點(diǎn)是這個(gè)三角形的三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)．故選：D．【點(diǎn)睛】此題主要考查了三角形邊的垂直平分線，解決問題的關(guān)鍵是熟練掌握三角形邊的垂直平分線的性質(zhì)．2．（2023春·山東青島·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，的角平分線與的垂直平分線交于點(diǎn)O，連接．若，則．

【答案】/72度【分析】由線段垂直平分線的性質(zhì)可得，由角平分線的定義可得，再利用三角形的內(nèi)角和定理可求得的度數(shù)，進(jìn)而可求解．【詳解】解：垂直平分，，，平分，，，，，，，．故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查線段垂直平分線的性質(zhì)，角平分線的定義，三角形的內(nèi)角和定理，利用三角形的內(nèi)角和定理求解的度數(shù)是解題的關(guān)鍵．3．（2023秋·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在中，，分別垂直平分邊和邊，交邊于，兩點(diǎn)，與相交于點(diǎn)．(1)若，則的周長(zhǎng)為______；(2)若，求的度數(shù)．【答案】(1)；(2)．【分析】（1）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到，，再根據(jù)三角形的周長(zhǎng)公式計(jì)算即可；（2）根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求出，根據(jù)對(duì)頂角相等求出，根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)即可得到答案.【詳解】（1）∵，分別垂直平分邊和邊，∴，，∴的周長(zhǎng)，∴的周長(zhǎng)，故答案為：；（2）∵，∴，∴，∴，∵，，∴，，∴．【點(diǎn)睛】此題考查了線段的垂直平分線的性質(zhì)，掌握線段的垂直平分線上的點(diǎn)到線段的兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等是解題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)二線段垂直平分線的判定】例題：（2023春·陜西西安·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）如圖，為三角形的角平分線，于點(diǎn)E，于點(diǎn)F，連接交于點(diǎn)O．

(1)若，，求的度數(shù)；(2)寫出與的關(guān)系，并說(shuō)明理由；【答案】(1)(2)，平分【分析】（1）根據(jù)三角形內(nèi)角和可得，再利用內(nèi)角和即可得出；（2）由角平分線的意義及兩個(gè)垂直可證明，從而有，由線段垂直平分線的判定知，，平分．【詳解】（1）解：∵∵∵∵∴（2）解：，平分；理由如下：∵平分，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，∴是線段的垂直平分線，即，平分．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的證明，等腰三角形的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和，角平分線的性質(zhì)．找到和，通過(guò)兩個(gè)三角形全等，找到各量之間的關(guān)系，完成證明是關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·廣西河池·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，邊，的垂直平分線交于點(diǎn)．(1)求證：；(2)求證：點(diǎn)在線段的垂直平分線上．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）根據(jù)垂直平分線的性質(zhì)直接可得到答案；（2）根據(jù)到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上即可得到答案；【詳解】（1）證明：∵邊、的垂直平分線交于點(diǎn)，∴，，∴；（2）證明：∵邊，的垂直平分線交于點(diǎn)，∴，，∴，點(diǎn)在的垂直平分線上．【點(diǎn)睛】本題考查垂直平分線的性質(zhì)及判定，解題的關(guān)鍵是熟練掌握垂直平分線上的點(diǎn)到線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等及到線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)在線段的垂直平分線上．2．（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，點(diǎn)是等邊外一點(diǎn)，，，點(diǎn)，分別在，上，連接、、、．(1)求證：是的垂直平分線；(2)若平分，，求的周長(zhǎng)．【答案】(1)見解析；(2)．【分析】（1）根據(jù)到線段兩端距離相等的點(diǎn)在垂直平分線上即可證明；（2）如圖，過(guò)D作于M，結(jié)合已知易證即，同理可得，易證得，同理可得，然后轉(zhuǎn)換求周長(zhǎng)即可．【詳解】（1）證明：是等邊三角形，，∴A在的垂直平分線上，又，∴D在的垂直平分線上，是的垂直平分線；（2）如圖，過(guò)D作于M，，又是等邊三角形，同理可得平分，平分，在與中同理可得.【點(diǎn)睛】本題考查了垂直平分線的判定，角平分線的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)；解題的關(guān)鍵是通過(guò)相關(guān)性質(zhì)構(gòu)造線段相等、進(jìn)行轉(zhuǎn)換．【考點(diǎn)三利用角平分線的性質(zhì)求解】例題：（2023春·山東威?！て吣昙?jí)統(tǒng)考期末）如圖，是中的平分線，于點(diǎn)E，，則（

）

A．14 B．26 C．56 D．28【答案】D【分析】如圖：作交于點(diǎn)F，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得，再由求解即可．【詳解】解：如圖，作交于點(diǎn)F，

∵平分，，，∴，∴，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)定理、三角形的面積公式等知識(shí)點(diǎn)，根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理得到是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023春·甘肅張掖·八年級(jí)校考期末）一塊三角形的草坪，現(xiàn)要在草坪上建一個(gè)涼亭供大家休息，要使涼亭到草坪三邊的距離相等，涼亭的位置應(yīng)選在（）A．三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn) B．三角形三條角平分線的交點(diǎn)C．三角形三條高所在直線的交點(diǎn) D．三角形三條中線的交點(diǎn)【答案】B【分析】根據(jù)題意，涼亭到草坪三邊的距離相等，涼亭的位置在三角形三條角平分線的交點(diǎn)，據(jù)此即可求解．【詳解】解：∵涼亭到草坪三邊的距離相等，∴涼亭的位置在三角形三條角平分線的交點(diǎn)，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了三角形角平分線的性質(zhì)，熟練掌握角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2023春·山西運(yùn)城·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，BD平分，P是上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作于點(diǎn)Q，，O是上任意一點(diǎn)，連接，則的最小值為．

【答案】5【分析】根據(jù)垂線段最短確定點(diǎn)O的位置，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)即可得到最短距離．【詳解】解：O是上任意一點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，的值最小，又BD平分，P是上一點(diǎn)，，的最小值為5，故答案為：5．【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的性質(zhì)定理，垂線段最短，解題關(guān)鍵是找到最短距離的位置．3．（2023春·陜西榆林·七年級(jí)?？计谀┤鐖D，在四邊形中，，，的平分線與的平分線相交于點(diǎn)，且點(diǎn)在線段上，．

(1)求的度數(shù)；(2)試說(shuō)明．【答案】(1)(2)詳見解析【分析】（1）根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，以及角平分線的定義，即可作答；（2）過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理即可證明．【詳解】（1）∵，∴．∵，∴．∵平分，∴．∵，∴，∴．∵平分，∴．（2）如圖．過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)．

∵平分，，，∴．∵平分，，，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)定理的等知識(shí)，掌握角平分線的性質(zhì)定理，是解答本題的關(guān)鍵．【考點(diǎn)四角平分線的判定】例題：（2023·全國(guó)·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，的平分線與的外角平分線相交于點(diǎn)，連接．求證：是的外角平分線．【答案】證明見解析【分析】作交的延長(zhǎng)線于，于，于，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得到，根據(jù)角平分線的判定定理證明結(jié)論．【詳解】證明：作交的延長(zhǎng)線于，于，于，平分、平分，，，，又，，∴是的外角平分線．【點(diǎn)睛】本題考查的是角平分線的性質(zhì)和判定，掌握角的平分線上的點(diǎn)到角的兩邊的距離相等、到角的兩邊的距離相等的點(diǎn)在角的平分線上是解題的關(guān)鍵．【變式訓(xùn)練】1．（2023·廣東惠州·校聯(lián)考二模）如圖，，，于．

(1)求證：平分；(2)若，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見解析(2)6【分析】（1）過(guò)C點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．由證明，可得，結(jié)論得證；（2）證明，可得，可求出．【詳解】（1）證明：過(guò)C點(diǎn)作，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)F．

∵，∴，∵，，∴，又∵，∴，∴，∴平分；（2）解：由（1）可得，在和中，，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的判定與性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，關(guān)鍵是作出輔助線構(gòu)造全等三角形．2．（2023·江蘇·八年級(jí)假期作業(yè)）如圖，于點(diǎn)E，于點(diǎn)F，若．(1)求證：平分；(2)請(qǐng)猜想與之間的數(shù)量關(guān)系，并給予證明．【答案】(1)見解析(2)，證明見解析【分析】（1）根據(jù)證明，得到，再根據(jù)角平分線的判定定理，求證即可；（2）通過(guò)證明，得到，利用線段之間的關(guān)系，求解即可．【詳解】（1）證明：∵，，∴，在和中，，∴，∴，∵，，∴平分．（2）解：，證明如下：在和中，，∴，∴，∴．【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，以及角平分線的判定定理，解題的關(guān)鍵是靈活利用相關(guān)性質(zhì)進(jìn)行求解．【考點(diǎn)五線段的垂直平分線與角平分線的綜合問題】例題：（2023秋·河北保定·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，平分，，于點(diǎn)E，點(diǎn)F在上，．(1)求證：．(2)連接，求證垂直平分．(3)若，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)【分析】（1）利用角平分線的性質(zhì)可得，再利用“”證明，即可證明；（2）利用“”證明，可得，所以點(diǎn)A在的垂直平分線上，根據(jù)，可得點(diǎn)D在的垂直平分線上，進(jìn)而可以解決問題；（3）設(shè)，則，即可建立方程求解．【詳解】（1）證明：∵于點(diǎn)E，∴，又平分，，∴，在和中，，∴，∴．（2）證明：連接，如圖在和中，，∴，∴∴點(diǎn)A在的垂直平分線上，∵，∴點(diǎn)D在的垂直平分線上，∴垂直平分（3）解：設(shè)，∵，，∴，，∵，∴，解得：∴【點(diǎn)睛】本題考查了直角三角形全等的判定與性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)，解題關(guān)鍵是在圖形中找到正確的全等三角形以及熟悉以上性質(zhì)與判定．【變式訓(xùn)練】1．（2023秋·河南洛陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，是的角平分線，于點(diǎn)E，于點(diǎn)F，連接．(1)求證：點(diǎn)D在的垂直平分線上；(2)若，，則的長(zhǎng)為___________【答案】(1)見解析(2)3【分析】（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理直接得出，則問題得解；（2）先得出，，結(jié)合，可得，問題隨之得解．【詳解】（1）證明：∵是的角平分線，，，∴．∴點(diǎn)D在的垂直平分線上．（2）∵，，∴，，∵在（1）中有：，∴，∵，∴，∵，，∴，∴，即的長(zhǎng)為3，故答案為：3．【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的性質(zhì)定理，根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理直接得出是解答本題的關(guān)鍵．2．（2023春·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，為外一點(diǎn)，為的垂直平分線，分別過(guò)點(diǎn)作，，垂足分別為點(diǎn)，，且．(1)求證：為的角平分線；(2)若，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）連接，，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)可得，再證明，可得，再證明，即可得證；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)可得，進(jìn)一步可得，從而可得．【詳解】（1）連接，，如圖所示：為的垂直平分線，，，，，在和中，，，在和中，，，為的角平分線；（2），，又，，即，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)、角平分線的判定及線段垂直平分線的性質(zhì)，熟練掌握直角三角形全等的判定方法是解題的關(guān)鍵．3．（2023春·全國(guó)·八年級(jí)開學(xué)考試）如圖1，射線BD交△ABC的外角平分線CE于點(diǎn)P，已知∠A=78°，∠BPC=39°，BC=7，AB=4．(1)求證：BD平分∠ABC；(2)如圖2，AC的垂直平分線交BD于點(diǎn)Q，交AC于點(diǎn)G，QM⊥BC于點(diǎn)M，求MC的長(zhǎng)度．【答案】(1)見解析(2)MC=1.5【分析】（1）由∠ACF=∠A+∠ABF，∠ECF=∠BPC+∠DBF，得∠ABF=∠ACF-78°，∠DBF=∠ECF-39°，再根據(jù)CE平分∠ACF，得∠ACF=2∠ECF，則∠ABF=2∠ECF-78°=2（∠ECF-39°）=2∠DBF，從而證明結(jié)論；（2）連接AQ，CQ，過(guò)點(diǎn)Q作BA的垂線交BA的延長(zhǎng)線于N，利用HL證明Rt△QNA≌Rt△QMC，得NA=MC，再證明Rt△QNB≌Rt△QMB（HL），得NB=MB，則BC=BM+MC=BN+MC=AB+AN+MC，從而得出答案．【詳解】（1）證明：∵∠ACF=∠A+∠ABF，∠ECF=∠BPC+∠DBF，∴∠ABF=∠ACF-78°，∠DBF=∠ECF-39°，∵CE平分∠ACF，∴∠ACF=2∠ECF，∴∠ABF=2∠ECF-78°=2（∠ECF-39°）=2∠DBF，∴BD平分∠ABC；（2）解：連接AQ，CQ，過(guò)點(diǎn)Q作BA的垂線交BA的延長(zhǎng)線于N，∵QG垂直平分AC，∴AQ=CQ，∵BD平分∠ABC，QM⊥BC，QN⊥BA，∴QM=QN，∴Rt△QNA≌Rt△QMC（HL），∴NA=MC，∵QM=QN，BQ=BQ，∴Rt△QNB≌Rt△QMB（HL），∴NB=MB，∴BC=BM+MC=BN+MC=AB+AN+MC，∴7=4+2MC，∴MC=1.5．【點(diǎn)睛】本題主要考查了角平分線的定義和性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，線段垂直平分線的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，作輔助線構(gòu)造全等三角形是解題的關(guān)鍵．【過(guò)關(guān)檢測(cè)】一、單選題1．（2023秋·八年級(jí)課時(shí)練習(xí)）如圖，中，的垂直平分線交邊于點(diǎn)，的垂直平分線交邊于點(diǎn)，若，則的度數(shù)為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】首先利用三角形內(nèi)角和定理得到，然后利用線段垂直平分線的性質(zhì)可得，，從而可得，，然后利用等量代換可得，最后利用角的和差關(guān)系進(jìn)行計(jì)算即可解答．【詳解】解：，，的垂直平分線交于點(diǎn)，的垂直平分線交于點(diǎn)，，，，，，，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握線段垂直平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．2．（2023秋·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在中，和的平分線相交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作直線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于，有下列四個(gè)結(jié)論：①；②；③點(diǎn)到各邊的距離相等；④設(shè)，，則，其中正確的結(jié)論有（

）

A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)【答案】C【分析】根據(jù)三角形的內(nèi)角和與角平分線的性質(zhì)可得，可判斷①和②；過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，根據(jù)角平分線的性質(zhì)可知，可判斷③；將的面積轉(zhuǎn)化成的面積與的面積之和，可判斷④．【詳解】解：在中，，∵，∴，∵和的平分線相交于點(diǎn)，∴，，∴，∴，∴結(jié)論①不正確，結(jié)論②正確；過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，連接，∵平分，OC平分，∴，又∵，∴，∴，∴結(jié)論③正確，∵，，∴，設(shè)，，∴，∴結(jié)論④正確，∴正確的結(jié)論有：②③④，故選：C．

【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的性質(zhì)和三角形的內(nèi)角和，熟練掌握角平分線的性質(zhì)并且靈活運(yùn)用是解題的關(guān)鍵．二、填空題3．（2023秋·陜西西安·八年級(jí)陜西師大附中校考開學(xué)考試）如圖，中，，，的平分線交于點(diǎn)，，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，若，則的值為．【答案】【分析】延長(zhǎng)、相交于點(diǎn)，由角平分線的性質(zhì)可得，利用證明，得到，根據(jù)同角的余角相等得到，通過(guò)證明，得到，從而即可得到答案．【詳解】解：如圖，延長(zhǎng)、相交于點(diǎn)，平分，，，，在和中，，，，，，，，，，，，在和中，，，，，，，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、同角的余角相等，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)、角平分線的性質(zhì)、同角的余角相等，添加適當(dāng)?shù)妮o助線，是解題的關(guān)鍵．4．（2023秋·福建莆田·八年級(jí)?？奸_學(xué)考試）如圖，在中，，的角平分線和的平分線相交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)，連接并延長(zhǎng)交于點(diǎn)，則下列結(jié)論：①；②；③；④；其中正確的有．（填序號(hào)）

【答案】①②③④【分析】①利用角平分線的性質(zhì)以及三角形外角的性質(zhì)，求解即可；②③延長(zhǎng)與交于點(diǎn)，利用全等三角形的判定與性質(zhì)求解即可；④在上截取，利用垂直平分線的性質(zhì)以及全等三角形的性質(zhì)，求解即可．【詳解】解：設(shè)，，

∵平分，平分，∴，由三角形外角的性質(zhì)可得：∴①正確；延長(zhǎng)與交于點(diǎn)，如下圖：∵∴∵平分∴又∵，∴∴∵∴又∵，∴∴∴②正確；同理可得：∴，③正確；在上截取，則是的垂直平分線，如下圖：

∴∵∴，又∵∴∵，∴∵∴∴又∵∴又∵∴∴∴④正確故答案為：①②③④【點(diǎn)睛】此題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，垂直平分線的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握相關(guān)基礎(chǔ)知識(shí)，作出輔助線，構(gòu)造出全等三角形．三、解答題5．（2023秋·八年級(jí)單元測(cè)試）如圖，在中，的垂直平分線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，的垂直平分線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，的周長(zhǎng)為．請(qǐng)你解答下列問題：(1)求的長(zhǎng)；(2)試判斷點(diǎn)是否在邊的垂直平分線上，并說(shuō)明理由．【答案】(1)(2)點(diǎn)在邊的垂直平分線上，理由見解析【分析】（1）根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)得到，同理，于是得到結(jié)論；（2）連接，，，根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)與判定即可得到結(jié)論．【詳解】（1）垂直平分，，同理，；（2）點(diǎn)在邊的垂直平分線上，理由：連接，，，與是，的垂直平分線，，，，點(diǎn)在邊的垂直平分線上．【點(diǎn)睛】此題考查了線段垂直平分線的性質(zhì)．此題難度不大，注意掌握數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用．6．（2023春·山東威?！て吣昙?jí)統(tǒng)考期末）如圖，在中，的平分線與的垂直平分線相交于點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．(1)求證：；(2)若，，求的長(zhǎng)．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）先根據(jù)線段垂直平分線的性質(zhì)和角平分線的性質(zhì)得到，，再利用定理證明，利用全等三角形的性質(zhì)可得結(jié)論；（2）證明得到，進(jìn)而可求解．【詳解】（1）證明：如圖，連接，，∵的平分線與的垂直平分線相交于點(diǎn)，，，∴，，，在和，，∴，∴；（2）解：在和中，，∴，∴，∴，∵，，∴，∴．【點(diǎn)睛】本題考查角平分線的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握角平分線的性質(zhì)、線段垂直平分線的性質(zhì)，利用全等三角形的性質(zhì)證明邊相等是解答的關(guān)鍵．7．（2023秋·全國(guó)·八年級(jí)專題練習(xí)）如圖，在中，平分，平分，于點(diǎn)．

(1)若，，求的度數(shù)；(2)若，，求的面積．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得，，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理求解即可；（2）根據(jù)角平分線的性質(zhì)可得，根據(jù)三角形的面積公式進(jìn)行求解即可．【詳解】（1）解：∵平分，∴，∵，∴，∵平分，∴，∵，∴，在中，．（2）解：過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，

∵平分，，，∴，∵，∴，∵，∴．【點(diǎn)睛】本題考查了角平分線的性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，三角形的面積公式，熟練掌握角平分線的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．8．（2023春·山東濟(jì)南·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，平分，過(guò)點(diǎn)作，垂足為，連結(jié)、．(1)求證：是的平分線．(2)求證：線段垂直平分．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）先利用證出，得到，再利用證出，得到，即可證明結(jié)論；（2）由（1）知，得到，，再利用證出，得到，，即