專題06 線段的垂直平分線與角平分線綜合問題之五大考點（解析版）

專題06線段的垂直平分線與角平分線綜合問題之五大考點【考點導航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【考點一利用線段垂直平分線的性質求解】 1【考點二線段垂直平分線的判定】 4【考點三利用角平分線的性質求解】 8【考點四角平分線的判定】 11【考點五線段的垂直平分線與角平分線的綜合問題】 14【過關檢測】 20【典型例題】【考點一利用線段垂直平分線的性質求解】例題：（2023秋·江蘇·八年級專題練習）如圖，P在內，點C、D分別是點P關于的對稱點．如果的周長為12，則的長為（

）

A．6 B．12 C．15 D．18【答案】B【分析】根據軸對稱的性質可知，結合的周長為12，利用等量代換可知．【詳解】解：∵點C是點P關于的對稱點，∴垂直平分，∴．同理．∵，∴，∵的周長為12，∴．故選：B．【點睛】此題考查軸對稱的基本性質．注意：對稱軸垂直平分對應點的連線，對應角相等，對應邊相等．【變式訓練】1．（2023春·山東棗莊·七年級校聯(lián)考階段練習）到三角形三個頂點的距離都相等的點是這個三角形的（

）A．三條高的交點 B．三條角平分線的交點C．三條中線的交點 D．三條邊的垂直平分線的交點【答案】D【分析】根據三角形邊垂直平分線的性質求解即可．線段垂直平分線的性質，線段垂直平分線上任意一點，到線段兩端點的距離相等【詳解】∵線段垂直平分線上任意一點，到線段兩端點的距離相等，∴到三角形三個頂點的距離都相等的點是這個三角形的三條邊的垂直平分線的交點．故選：D．【點睛】此題主要考查了三角形邊的垂直平分線，解決問題的關鍵是熟練掌握三角形邊的垂直平分線的性質．2．（2023春·山東青島·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，的角平分線與的垂直平分線交于點O，連接．若，則．

【答案】/72度【分析】由線段垂直平分線的性質可得，由角平分線的定義可得，再利用三角形的內角和定理可求得的度數，進而可求解．【詳解】解：垂直平分，，，平分，，，，，，，．故答案為：．【點睛】本題主要考查線段垂直平分線的性質，角平分線的定義，三角形的內角和定理，利用三角形的內角和定理求解的度數是解題的關鍵．3．（2023秋·全國·八年級專題練習）如圖，在中，，分別垂直平分邊和邊，交邊于，兩點，與相交于點．(1)若，則的周長為______；(2)若，求的度數．【答案】(1)；(2)．【分析】（1）根據線段垂直平分線的性質得到，，再根據三角形的周長公式計算即可；（2）根據三角形內角和定理求出，根據對頂角相等求出，根據等腰三角形的性質即可得到答案.【詳解】（1）∵，分別垂直平分邊和邊，∴，，∴的周長，∴的周長，故答案為：；（2）∵，∴，∴，∴，∵，，∴，，∴．【點睛】此題考查了線段的垂直平分線的性質，掌握線段的垂直平分線上的點到線段的兩個端點的距離相等是解題的關鍵．【考點二線段垂直平分線的判定】例題：（2023春·陜西西安·七年級校考階段練習）如圖，為三角形的角平分線，于點E，于點F，連接交于點O．

(1)若，，求的度數；(2)寫出與的關系，并說明理由；【答案】(1)(2)，平分【分析】（1）根據三角形內角和可得，再利用內角和即可得出；（2）由角平分線的意義及兩個垂直可證明，從而有，由線段垂直平分線的判定知，，平分．【詳解】（1）解：∵∵∵∵∴（2）解：，平分；理由如下：∵平分，∴，∵，，∴，∵，∴，∴，∴是線段的垂直平分線，即，平分．【點睛】本題考查了全等三角形的證明，等腰三角形的性質，三角形內角和，角平分線的性質．找到和，通過兩個三角形全等，找到各量之間的關系，完成證明是關鍵．【變式訓練】1．（2023秋·廣西河池·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，邊，的垂直平分線交于點．(1)求證：；(2)求證：點在線段的垂直平分線上．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）根據垂直平分線的性質直接可得到答案；（2）根據到線段兩個端點的距離相等的點在線段的垂直平分線上即可得到答案；【詳解】（1）證明：∵邊、的垂直平分線交于點，∴，，∴；（2）證明：∵邊，的垂直平分線交于點，∴，，∴，點在的垂直平分線上．【點睛】本題考查垂直平分線的性質及判定，解題的關鍵是熟練掌握垂直平分線上的點到線段兩個端點距離相等及到線段兩個端點的距離相等的點在線段的垂直平分線上．2．（2023春·全國·八年級專題練習）如圖，點是等邊外一點，，，點，分別在，上，連接、、、．(1)求證：是的垂直平分線；(2)若平分，，求的周長．【答案】(1)見解析；(2)．【分析】（1）根據到線段兩端距離相等的點在垂直平分線上即可證明；（2）如圖，過D作于M，結合已知易證即，同理可得，易證得，同理可得，然后轉換求周長即可．【詳解】（1）證明：是等邊三角形，，∴A在的垂直平分線上，又，∴D在的垂直平分線上，是的垂直平分線；（2）如圖，過D作于M，，又是等邊三角形，同理可得平分，平分，在與中同理可得.【點睛】本題考查了垂直平分線的判定，角平分線的判定和性質，全等三角形的判定和性質；解題的關鍵是通過相關性質構造線段相等、進行轉換．【考點三利用角平分線的性質求解】例題：（2023春·山東威?！て吣昙壗y(tǒng)考期末）如圖，是中的平分線，于點E，，則（

）

A．14 B．26 C．56 D．28【答案】D【分析】如圖：作交于點F，根據角平分線的性質可得，再由求解即可．【詳解】解：如圖，作交于點F，

∵平分，，，∴，∴，故選：D．【點睛】本題考查了角平分線的性質定理、三角形的面積公式等知識點，根據角平分線的性質定理得到是解題的關鍵．【變式訓練】1．（2023春·甘肅張掖·八年級校考期末）一塊三角形的草坪，現(xiàn)要在草坪上建一個涼亭供大家休息，要使涼亭到草坪三邊的距離相等，涼亭的位置應選在（）A．三角形三條邊的垂直平分線的交點 B．三角形三條角平分線的交點C．三角形三條高所在直線的交點 D．三角形三條中線的交點【答案】B【分析】根據題意，涼亭到草坪三邊的距離相等，涼亭的位置在三角形三條角平分線的交點，據此即可求解．【詳解】解：∵涼亭到草坪三邊的距離相等，∴涼亭的位置在三角形三條角平分線的交點，故選：B．【點睛】本題考查了三角形角平分線的性質，熟練掌握角平分線的性質是解題的關鍵．2．（2023春·山西運城·七年級統(tǒng)考期末）如圖，BD平分，P是上一點，過點P作于點Q，，O是上任意一點，連接，則的最小值為．

【答案】5【分析】根據垂線段最短確定點O的位置，再根據角平分線的性質即可得到最短距離．【詳解】解：O是上任意一點，當時，的值最小，又BD平分，P是上一點，，的最小值為5，故答案為：5．【點睛】本題考查角平分線的性質定理，垂線段最短，解題關鍵是找到最短距離的位置．3．（2023春·陜西榆林·七年級?？计谀┤鐖D，在四邊形中，，，的平分線與的平分線相交于點，且點在線段上，．

(1)求的度數；(2)試說明．【答案】(1)(2)詳見解析【分析】（1）根據兩直線平行，同旁內角互補，以及角平分線的定義，即可作答；（2）過點作于點，再根據角平分線的性質定理即可證明．【詳解】（1）∵，∴．∵，∴．∵平分，∴．∵，∴，∴．∵平分，∴．（2）如圖．過點作于點．

∵平分，，，∴．∵平分，，，∴，∴．【點睛】本題主要考查了平行線的性質，角平分線的性質定理的等知識，掌握角平分線的性質定理，是解答本題的關鍵．【考點四角平分線的判定】例題：（2023·全國·八年級假期作業(yè)）如圖，的平分線與的外角平分線相交于點，連接．求證：是的外角平分線．【答案】證明見解析【分析】作交的延長線于，于，于，根據角平分線的性質得到，根據角平分線的判定定理證明結論．【詳解】證明：作交的延長線于，于，于，平分、平分，，，，又，，∴是的外角平分線．【點睛】本題考查的是角平分線的性質和判定，掌握角的平分線上的點到角的兩邊的距離相等、到角的兩邊的距離相等的點在角的平分線上是解題的關鍵．【變式訓練】1．（2023·廣東惠州·校聯(lián)考二模）如圖，，，于．

(1)求證：平分；(2)若，，求的長．【答案】(1)見解析(2)6【分析】（1）過C點作，交的延長線于點F．由證明，可得，結論得證；（2）證明，可得，可求出．【詳解】（1）證明：過C點作，交的延長線于點F．

∵，∴，∵，，∴，又∵，∴，∴，∴平分；（2）解：由（1）可得，在和中，，∴，∴，∴．【點睛】本題考查了角平分線的判定與性質，全等三角形的判定與性質，關鍵是作出輔助線構造全等三角形．2．（2023·江蘇·八年級假期作業(yè)）如圖，于點E，于點F，若．(1)求證：平分；(2)請猜想與之間的數量關系，并給予證明．【答案】(1)見解析(2)，證明見解析【分析】（1）根據證明，得到，再根據角平分線的判定定理，求證即可；（2）通過證明，得到，利用線段之間的關系，求解即可．【詳解】（1）證明：∵，，∴，在和中，，∴，∴，∵，，∴平分．（2）解：，證明如下：在和中，，∴，∴，∴．【點睛】此題考查了全等三角形的判定與性質，以及角平分線的判定定理，解題的關鍵是靈活利用相關性質進行求解．【考點五線段的垂直平分線與角平分線的綜合問題】例題：（2023秋·河北保定·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，平分，，于點E，點F在上，．(1)求證：．(2)連接，求證垂直平分．(3)若，，求的長．【答案】(1)證明見解析(2)證明見解析(3)【分析】（1）利用角平分線的性質可得，再利用“”證明，即可證明；（2）利用“”證明，可得，所以點A在的垂直平分線上，根據，可得點D在的垂直平分線上，進而可以解決問題；（3）設，則，即可建立方程求解．【詳解】（1）證明：∵于點E，∴，又平分，，∴，在和中，，∴，∴．（2）證明：連接，如圖在和中，，∴，∴∴點A在的垂直平分線上，∵，∴點D在的垂直平分線上，∴垂直平分（3）解：設，∵，，∴，，∵，∴，解得：∴【點睛】本題考查了直角三角形全等的判定與性質，角平分線的性質，解題關鍵是在圖形中找到正確的全等三角形以及熟悉以上性質與判定．【變式訓練】1．（2023秋·河南洛陽·八年級統(tǒng)考期末）如圖，是的角平分線，于點E，于點F，連接．(1)求證：點D在的垂直平分線上；(2)若，，則的長為___________【答案】(1)見解析(2)3【分析】（1）根據角平分線的性質定理直接得出，則問題得解；（2）先得出，，結合，可得，問題隨之得解．【詳解】（1）證明：∵是的角平分線，，，∴．∴點D在的垂直平分線上．（2）∵，，∴，，∵在（1）中有：，∴，∵，∴，∵，，∴，∴，即的長為3，故答案為：3．【點睛】本題主要考查了角平分線的性質定理，根據角平分線的性質定理直接得出是解答本題的關鍵．2．（2023春·全國·八年級專題練習）如圖，為外一點，為的垂直平分線，分別過點作，，垂足分別為點，，且．(1)求證：為的角平分線；(2)若，，求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）連接，，根據線段垂直平分線的性質可得，再證明，可得，再證明，即可得證；（2）根據全等三角形的性質可得，進一步可得，從而可得．【詳解】（1）連接，，如圖所示：為的垂直平分線，，，，，在和中，，，在和中，，，為的角平分線；（2），，又，，即，，，．【點睛】本題考查了全等三角形的判定和性質、角平分線的判定及線段垂直平分線的性質，熟練掌握直角三角形全等的判定方法是解題的關鍵．3．（2023春·全國·八年級開學考試）如圖1，射線BD交△ABC的外角平分線CE于點P，已知∠A=78°，∠BPC=39°，BC=7，AB=4．(1)求證：BD平分∠ABC；(2)如圖2，AC的垂直平分線交BD于點Q，交AC于點G，QM⊥BC于點M，求MC的長度．【答案】(1)見解析(2)MC=1.5【分析】（1）由∠ACF=∠A+∠ABF，∠ECF=∠BPC+∠DBF，得∠ABF=∠ACF-78°，∠DBF=∠ECF-39°，再根據CE平分∠ACF，得∠ACF=2∠ECF，則∠ABF=2∠ECF-78°=2（∠ECF-39°）=2∠DBF，從而證明結論；（2）連接AQ，CQ，過點Q作BA的垂線交BA的延長線于N，利用HL證明Rt△QNA≌Rt△QMC，得NA=MC，再證明Rt△QNB≌Rt△QMB（HL），得NB=MB，則BC=BM+MC=BN+MC=AB+AN+MC，從而得出答案．【詳解】（1）證明：∵∠ACF=∠A+∠ABF，∠ECF=∠BPC+∠DBF，∴∠ABF=∠ACF-78°，∠DBF=∠ECF-39°，∵CE平分∠ACF，∴∠ACF=2∠ECF，∴∠ABF=2∠ECF-78°=2（∠ECF-39°）=2∠DBF，∴BD平分∠ABC；（2）解：連接AQ，CQ，過點Q作BA的垂線交BA的延長線于N，∵QG垂直平分AC，∴AQ=CQ，∵BD平分∠ABC，QM⊥BC，QN⊥BA，∴QM=QN，∴Rt△QNA≌Rt△QMC（HL），∴NA=MC，∵QM=QN，BQ=BQ，∴Rt△QNB≌Rt△QMB（HL），∴NB=MB，∴BC=BM+MC=BN+MC=AB+AN+MC，∴7=4+2MC，∴MC=1.5．【點睛】本題主要考查了角平分線的定義和性質，三角形外角的性質，線段垂直平分線的性質，全等三角形的判定與性質等知識，作輔助線構造全等三角形是解題的關鍵．【過關檢測】一、單選題1．（2023秋·八年級課時練習）如圖，中，的垂直平分線交邊于點，的垂直平分線交邊于點，若，則的度數為（

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A． B． C． D．【答案】B【分析】首先利用三角形內角和定理得到，然后利用線段垂直平分線的性質可得，，從而可得，，然后利用等量代換可得，最后利用角的和差關系進行計算即可解答．【詳解】解：，，的垂直平分線交于點，的垂直平分線交于點，，，，，，，故選：B．【點睛】本題考查了線段垂直平分線的性質，三角形內角和定理，熟練掌握線段垂直平分線的性質是解題的關鍵．2．（2023秋·全國·八年級專題練習）如圖，在中，和的平分線相交于點，過點作直線交于點，交于點，過點作于，有下列四個結論：①；②；③點到各邊的距離相等；④設，，則，其中正確的結論有（

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A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【分析】根據三角形的內角和與角平分線的性質可得，可判斷①和②；過點作于點，過點作于點，連接，根據角平分線的性質可知，可判斷③；將的面積轉化成的面積與的面積之和，可判斷④．【詳解】解：在中，，∵，∴，∵和的平分線相交于點，∴，，∴，∴，∴結論①不正確，結論②正確；過點作于點，過點作于點，連接，∵平分，OC平分，∴，又∵，∴，∴，∴結論③正確，∵，，∴，設，，∴，∴結論④正確，∴正確的結論有：②③④，故選：C．

【點睛】本題考查角平分線的性質和三角形的內角和，熟練掌握角平分線的性質并且靈活運用是解題的關鍵．二、填空題3．（2023秋·陜西西安·八年級陜西師大附中?？奸_學考試）如圖，中，，，的平分線交于點，，交的延長線于點，若，則的值為．【答案】【分析】延長、相交于點，由角平分線的性質可得，利用證明，得到，根據同角的余角相等得到，通過證明，得到，從而即可得到答案．【詳解】解：如圖，延長、相交于點，平分，，，，在和中，，，，，，，，，，，，在和中，，，，，，，故答案為：．【點睛】本題主要考查了全等三角形的判定與性質、角平分線的性質、同角的余角相等，熟練掌握全等三角形的判定與性質、角平分線的性質、同角的余角相等，添加適當的輔助線，是解題的關鍵．4．（2023秋·福建莆田·八年級?？奸_學考試）如圖，在中，，的角平分線和的平分線相交于點，交于點，交的延長線于點，過點作交的延長線于點，交的延長線于點，連接并延長交于點，則下列結論：①；②；③；④；其中正確的有．（填序號）

【答案】①②③④【分析】①利用角平分線的性質以及三角形外角的性質，求解即可；②③延長與交于點，利用全等三角形的判定與性質求解即可；④在上截取，利用垂直平分線的性質以及全等三角形的性質，求解即可．【詳解】解：設，，

∵平分，平分，∴，由三角形外角的性質可得：∴①正確；延長與交于點，如下圖：∵∴∵平分∴又∵，∴∴∵∴又∵，∴∴∴②正確；同理可得：∴，③正確；在上截取，則是的垂直平分線，如下圖：

∴∵∴，又∵∴∵，∴∵∴∴又∵∴又∵∴∴∴④正確故答案為：①②③④【點睛】此題考查了全等三角形的判定與性質，三角形外角的性質，垂直平分線的性質，解題的關鍵是熟練掌握相關基礎知識，作出輔助線，構造出全等三角形．三、解答題5．（2023秋·八年級單元測試）如圖，在中，的垂直平分線交于點，交于點，的垂直平分線交于點，交于點，與相交于點，的周長為．請你解答下列問題：(1)求的長；(2)試判斷點是否在邊的垂直平分線上，并說明理由．【答案】(1)(2)點在邊的垂直平分線上，理由見解析【分析】（1）根據線段垂直平分線的性質得到，同理，于是得到結論；（2）連接，，，根據線段垂直平分線的性質與判定即可得到結論．【詳解】（1）垂直平分，，同理，；（2）點在邊的垂直平分線上，理由：連接，，，與是，的垂直平分線，，，，點在邊的垂直平分線上．【點睛】此題考查了線段垂直平分線的性質．此題難度不大，注意掌握數形結合思想的應用．6．（2023春·山東威海·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在中，的平分線與的垂直平分線相交于點，過點作于點，交的延長線于點．(1)求證：；(2)若，，求的長．【答案】(1)見解析(2)【分析】（1）先根據線段垂直平分線的性質和角平分線的性質得到，，再利用定理證明，利用全等三角形的性質可得結論；（2）證明得到，進而可求解．【詳解】（1）證明：如圖，連接，，∵的平分線與的垂直平分線相交于點，，，∴，，，在和，，∴，∴；（2）解：在和中，，∴，∴，∴，∵，，∴，∴．【點睛】本題考查角平分線的性質、線段垂直平分線的性質、全等三角形的判定與性質，熟練掌握角平分線的性質、線段垂直平分線的性質，利用全等三角形的性質證明邊相等是解答的關鍵．7．（2023秋·全國·八年級專題練習）如圖，在中，平分，平分，于點．

(1)若，，求的度數；(2)若，，求的面積．【答案】(1)(2)【分析】（1）根據角平分線的性質可得，，根據三角形內角和定理求解即可；（2）根據角平分線的性質可得，根據三角形的面積公式進行求解即可．【詳解】（1）解：∵平分，∴，∵，∴，∵平分，∴，∵，∴，在中，．（2）解：過點作于點，

∵平分，，，∴，∵，∴，∵，∴．【點睛】本題考查了角平分線的性質，三角形內角和定理，三角形的面積公式，熟練掌握角平分線的性質是解題的關鍵．8．（2023春·山東濟南·八年級?？计谥校┤鐖D，，點為的中點，平分，過點作，垂足為，連結、．(1)求證：是的平分線．(2)求證：線段垂直平分．【答案】(1)見解析(2)見解析【分析】（1）先利用證出，得到，再利用證出，得到，即可證明結論；（2）由（1）知，得到，，再利用證出，得到，，即