專題03 全等三角形常見五種輔助線添法專訓(xùn)（原卷版）

專題03全等三角形常見五種輔助線添法專訓(xùn)【目錄】輔助線添法一倍長中線法輔助線添法二截長補短法輔助線添法三旋轉(zhuǎn)法輔助線添法四作平行線法輔助線添法五作垂線法【經(jīng)典例題一倍長中線法】【模型解讀】中線是三角形中的重要線段之一，在利用中線解決幾何問題時，常常采用“倍長中線法”添加輔助線．所謂倍長中線法，就是將三角形的中線延長一倍，以便構(gòu)造出全等三角形，從而運用全等三角形的有關(guān)知識來解決問題的方法．【常見模型】【例1】（2023春·吉林·八年級校考階段練習(xí)）【閱讀理解】數(shù)學(xué)興趣小組活動時，老師提出如下問題：如圖1，在中，若，，求邊上的中線的取值范圍．小明提出了如下解決方法，延長線段至點E，使，連接．請根據(jù)小明的方法回答下列問題．(1)由已知和作圖能得到的理由是____________．A．

B．

C．

D．(2)探究得出的取值范圍___________．A．

B．

C．

D．【問題解決】(3)如圖2，在中，，，是的中線，求證：．【變式訓(xùn)練】1．（2022秋·甘肅慶陽·八年級?？计谀┬∶饔龅竭@樣一個問題，如圖1，中，，，點為的中點，求的取值范圍．小明發(fā)現(xiàn)老師講過的“倍長中線法”可以解決這個問題，所謂倍長中線法，就是將三角形的中線延長一倍，以便構(gòu)造出全等三角形，從而運用全等三角形的有關(guān)知識來解決問題的方法，他的做法是：如圖2，延長到，使，連接，構(gòu)造，經(jīng)過推理和計算使問題得到解決．請回答：(1)小明證明用到的判定定理是：(用字母表示)；(2)的取值范圍是；(3)小明還發(fā)現(xiàn)：倍長中線法最重要的一點就是延長中線一倍，完成全等三角形模型的構(gòu)造．參考小明思考問題的方法，解決問題：如圖3，在中，為邊上的中線，且平分，求證：．2．（2023·江蘇·八年級假期作業(yè)）（1）如圖1，AD是△ABC的中線，延長AD至點E，使ED=AD，連接CE．①證明△ABD≌△ECD；②若AB＝5，AC＝3，設(shè)AD＝x，可得x的取值范圍是_______；（2）如圖2，在△ABC中，D是BC邊上的中點，DE⊥DF，DE交AB于點E，DF交AC于點F，連接EF，求證：BE＋CF＞EF．3．（2023·江蘇·八年級假期作業(yè)）【觀察發(fā)現(xiàn)】如圖①，△ABC中，AB＝7，AC＝5，點D為BC的中點，求AD的取值范圍．小明的解法如下：延長AD到點E，使DE＝AD，連接CE．在△ABD與△ECD中∴△ABD?△ECD（SAS）∴AB＝．又∵在△AEC中EC﹣AC＜AE＜EC+AC，而AB＝EC＝7，AC＝5，∴＜AE＜．又∵AE＝2AD．∴＜AD＜．【探索應(yīng)用】如圖②，ABCD，AB＝25，CD＝8，點E為BC的中點，∠DFE＝∠BAE，求DF的長為．（直接寫答案）【應(yīng)用拓展】如圖③，∠BAC＝60°，∠CDE＝120°，AB＝AC，DC＝DE，連接BE，P為BE的中點，求證：AP⊥DP．【經(jīng)典例題二截長補短法】【模型分析】截長補短的方法適用于求證線段的和差倍分關(guān)系．截長：指在長線段中截取一段等于已知線段；補短：指將短線段延長，延長部分等于已知線段．該類題目中常出現(xiàn)等腰三角形、角平分線等關(guān)鍵詞句，可以采用截長補短法構(gòu)造全等三角形來完成證明過程，截長補短法（往往需證2次全等）．【模型圖示】（1）截長：在較長線段上截取一段等于某一短線段，再證剩下的那一段等于另一短線段．例：如圖，求證BE＋DC＝AD方法：①在AD上取一點F，使得AF＝BE，證DF＝DC；②在AD上取一點F，使DF＝DC，證AF＝BE（2）補短：將短線段延長，證與長線段相等例：如圖，求證BE＋DC＝AD方法：①延長DC至點M處，使CM＝BE，證DM＝AD；②延長DC至點M處，使DM＝AD，證CM＝BE【例2】（2023·江蘇·八年級假期作業(yè)）把兩個全等的直角三角形的斜邊重合，組成一個四邊形以D為頂點作，交邊、于M、N．(1)若，，兩邊分別交、于點M、N，、、三條線段之間有何種數(shù)量關(guān)系？證明你的結(jié)論；(2)當(dāng)時，、、三條線段之間有何數(shù)量關(guān)系？證明你的結(jié)論；(3)如圖③，在（2）的條件下，若將M、N改在、的延長線上，完成圖3，其余條件不變，則、、之間有何數(shù)量關(guān)系（直接寫出結(jié)論，不必證明）【變式訓(xùn)練】1．（2023·江蘇·八年級假期作業(yè)）已知：如圖，在中，，、分別為、上的點，且、交于點．若、為的角平分線．(1)求的度數(shù)；(2)若，，求的長．2．（2023·江蘇·八年級假期作業(yè)）在中，，如圖①，當(dāng)，為的平分線時，在上截取，連接DE，易證．(1)如圖②，當(dāng)，為的角平分線時，線段，，之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？不需要說明理由，請直接寫出你的猜想.(2)如圖③，當(dāng)，為的外角平分線時，線段，，之間又有怎樣的數(shù)量關(guān)系？請寫出你的猜想，并對你的猜想進行說明.3．（2023·江蘇·八年級假期作業(yè)）如圖，在四邊形中，，點E、F分別在直線、上，且．(1)當(dāng)點E、F分別在邊、上時（如圖1），請說明的理由．(2)當(dāng)點E、F分別在邊、延長線上時（如圖2），（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請說明理由；若不成立，請寫出、、之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【經(jīng)典例題三旋轉(zhuǎn)法】【模型分析】旋轉(zhuǎn)：將包含一條短邊的圖形旋轉(zhuǎn)，使兩短邊構(gòu)成一條邊，證與長邊相等．注：旋轉(zhuǎn)需要特定條件（兩個圖形的短邊共線），該方法常在半角模型中使用．【模型圖示】例：如圖，已知AB＝AC，∠ABM＝∠CAN＝90°，求證BM＋CN＝MN方法：旋轉(zhuǎn)△ABM至△ACF處，證NE＝MN【例3】（2022秋·湖北孝感·八年級統(tǒng)考期中）已知：，，．(1)如圖1當(dāng)點在上，______．(2)如圖2猜想與的面積有何關(guān)系？請說明理由．（溫馨提示：兩三角形可以看成是等底的）【變式訓(xùn)練】1．（2023春·全國·八年級專題練習(xí)）（1）如圖①，在正方形中，、分別是、上的點，且，連接，探究、、之間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（2）如圖②，在四邊形中，，，、分別是、上的點，且，此時（1）中的結(jié)論是否仍然成立？請說明理由．2．（2021秋·天津和平·八年級?？计谥校┰谥校?，，是過A的一條直線，于點D，于E，（1）如圖（1）所示，若B，C在的異側(cè)，易得與，的關(guān)系是____________；（2）若直線繞點A旋轉(zhuǎn)到圖（2）位置時，（），其余條件不變，問與，的關(guān)系如何？請予以證明；（3）若直繞點A旋轉(zhuǎn)到圖（3）的位置，（），問與，的關(guān)系如何？請直接寫出結(jié)果，不需證明．3．（2021秋·河南周口·八年級統(tǒng)考期末）在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CA＝CB，點D是直線AB上的一點，連接CD，將線段CD繞點C逆時針旋轉(zhuǎn)90°，得到線段CE，連接EB．（1）操作發(fā)現(xiàn)如圖1，當(dāng)點D在線段AB上時，請你直接寫出AB與BE的位置關(guān)系為；線段BD、AB、EB的數(shù)量關(guān)系為；（2）猜想論證當(dāng)點D在直線AB上運動時，如圖2，是點D在射線AB上，如圖3，是點D在射線BA上，請你寫出這兩種情況下，線段BD、AB、EB的數(shù)量關(guān)系，并對圖2的結(jié)論進行證明；（3）拓展延伸若AB＝5，BD＝7，請你直接寫出△ADE的面積．【經(jīng)典例題四作平行線法】【例4】（2022秋·江蘇·八年級專題練習(xí)）如圖所示：是等邊三角形，、分別是及延長線上的一點，且，連接交于點．求讓：【變式訓(xùn)練】1．（2022秋·江蘇·八年級專題練習(xí)）P為等邊△ABC的邊AB上一點，Q為BC延長線上一點，且PA＝CQ，連PQ交AC邊于D．（1）證明：PD＝DQ．（2）如圖2，過P作PE⊥AC于E，若AB＝6，求DE的長．2．（2022秋·八年級課時練習(xí)）讀下面的題目及分析過程,并按要求進行證明．已知:如圖,E是BC的中點,點A在DB上,且∠BAE=∠CDE,求證:AB=CD分析:證明兩條線段相等,常用的一般方法是應(yīng)用全等三角形或等腰三角形的判定和性質(zhì),觀察本題中要證明的兩條線段,它們不在同一個三角形中,且它們分別所在的兩個三角形也不全等．因此,要證明AB=CD,必須添加適當(dāng)?shù)妮o助線,構(gòu)造全等三角形或等腰三角形．現(xiàn)給出如下三種添加輔助線的方法,請任意選擇其中兩種對原題進行證明．圖(1):延長DE到F使得EF=DE圖(2):作CG⊥DE于G,BF⊥DE于F交DE的延長線于F圖(3):過C點作CF∥AB交DE的延長線于F.3．（2023春·全國·七年級專題練習(xí)）已知在等腰△ABC中，AB=AC，在射線CA上截取線段CE，在射線AB上截取線段BD，連接DE，DE所在直線交直線BC與點M．請?zhí)骄浚?1)如圖（1），當(dāng)點E在線段AC上，點D在AB延長線上時，若BD=CE，請判斷線段MD和線段ME的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．(2)如圖（2），當(dāng)點E在CA的延長線上，點D在AB的延長線上時，若BD=CE，則（1）中的結(jié)論還成立嗎？如果成立，請證明；如果不成立，說明理由；(3)如圖（3），當(dāng)點E在CA的延長線上，點D在線段AB上（點D不與A，B重合），DE所在直線與直線BC交于點M，若CE＝2BD，請直接寫出線段MD與線段ME的數(shù)量關(guān)系．【經(jīng)典例題五作垂直法】【例5】（2022秋·湖北武漢·八年級統(tǒng)考期中）我們定義：三角形一個內(nèi)角的平分線所在的直線與另一個內(nèi)角相鄰的外角的平分線相交所成的銳角稱為該三角形第三個內(nèi)角的遙望角．(1)如圖1，是中的遙望角．①直接寫出與的數(shù)量關(guān)系___________；②連接AE，猜想與的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．(2)如圖2，四邊形ABCD中，，點E在BD的延長線上，連CE，若已知，求證：是中的遙望角．【變式訓(xùn)練】1．（2022秋·八年級課時練習(xí)）如圖1，已知四邊形ABCD，連接AC，其中AD⊥AC，BC⊥AC，AC＝BC，延長CA到點E，使得AE＝AD，點F為AB上一點，連接FE、FD，F(xiàn)D交AC于點G．（1）求證：△EAF≌△DAF；（2）如圖2，連接CF，若EF＝FC，求∠DCF的度數(shù)．2．（2023春·全國·七年級專題練習(xí)）閱讀下面的題目及分析過程，并按要求進行證明．已知：如圖，點E是BC的中點，點A在DE上，且∠BAE＝∠CDE．求證：AB＝CD．分析：證明兩條線段相等，常用的方法是應(yīng)用全等三角形或等腰三角形的判定和性質(zhì)，觀察本題中要證明的兩條線段，它們不在同一個三角形中，且它們分別所在的兩個三角形也不全等，因此，要證AB＝CD，必須添加適當(dāng)?shù)妮o助線，構(gòu)造全等三角形或等腰三角形．（1）現(xiàn)給出如下兩種添加輔助線的方法，請任意選出其中一種，對原題進行證明．①如圖1，延長DE到點F，使EF＝DE，連接BF；②如圖2，分別過點B、C作BF⊥DE，CG⊥DE，垂足分別為點F，G．（2）請你在圖3中添加不同于上述的輔助線，并對原題進行證明．3．（2022秋·八年級課時練習(xí)）如圖，閱讀下面的題目及分析過程，并按要求進行證明．已知：如圖，E是BC的中點，點A在DE上，且∠BAE=∠CDE．求證：AB=CD．分析：證明兩條線段相等，常用的一般方法是應(yīng)用全等三角形或等腰三角形的判定和性質(zhì)，觀察本題中要證AB=CD，必須添加適當(dāng)?shù)妮o助線，構(gòu)造全等三角形或等腰三角形請用二種不同的方法證明．【重難點訓(xùn)練】1．（2023·江蘇·八年級假期作業(yè)）如圖，為中邊上的中線．（1）求證：；（2）若，，求的取值范圍．2．（2023·江蘇·八年級假期作業(yè)）如圖1，在△ABC中，若AB＝10，BC＝8，求AC邊上的中線BD的取值范圍．（1）小聰同學(xué)是這樣思考的：延長BD至E，使DE＝BD，連接CE，可證得△CED≌△ABD．①請證明△CED≌△ABD；②中線BD的取值范圍是．（2）問題拓展：如圖2，在△ABC中，點D是AC的中點，分別以AB，BC為直角邊向△ABC外作等腰直角三角形ABM和等腰直角三角形BCN，其中，AB＝BM，BC＝BN，∠ABM＝∠NBC＝∠90°，連接MN．請寫出BD與MN的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．3．（2023春·全國·七年級專題練習(xí)）【閱讀理解】課外興趣小組活動時，老師提出了如下問題：如圖1，中，若，求邊上的中線的取值范圍．小明在組內(nèi)經(jīng)過合作交流，得到了如下的解決方法：如圖2，延長到點E，使，連接．請根據(jù)小明的方法思考：（1）如圖2，由已知和作圖能得到的理由是．A．SSSB．SASC．AASD．ASA（2）如圖2，長的取值范圍是．A．B．

C．

D．【感悟】解題時，條件中若出現(xiàn)“中點”、“中線”字樣，可以考慮延長中線構(gòu)造全等三角形，把分散的已知條件和所求證的結(jié)論轉(zhuǎn)化到同一個三角形中．【問題解決】（3）如圖3，是的中線，交于點E，交于F，且．求證：．4．（2023·江蘇·八年級假期作業(yè)）（1）如圖1，已知中，AD是中線，求證：；（2）如圖2，在中，D，E是BC的三等分點，求證：；（3）如圖3，在中，D，E在邊BC上，且．求證：．5．（2023·江蘇·八年級假期作業(yè)）課堂上，老師提出了這樣一個問題：如圖1，在中，平分交于點D，且，求證：，小明的方法是：如圖2，在上截取，使，連接，構(gòu)造全等三角形來證明．(1)小天提出，如果把小明的方法叫做“截長法”，那么還可以用“補短法”通過延長線段構(gòu)造全等三角形進行證明．輔助線的畫法是：延長至F，使=______，連接請補全小天提出的輔助線的畫法，并在圖1中畫出相應(yīng)的輔助線；(2)小蕓通過探究，將老師所給的問題做了進一步的拓展，給同學(xué)們提出了如下的問題：如圖3，點D在的內(nèi)部，分別平分，且．求證：．請你解答小蕓提出的這個問題（書寫證明過程）；(3)小東將老師所給問題中的一個條件和結(jié)論進行交換，得到的命題如下：如果在中，，點D在邊上，，那么平分小東判斷這個命題也是真命題，老師說小東的判斷是正確的．請你利用圖4對這個命題進行證明．6．（2023春·江蘇·八年級專題練習(xí)）如圖，在銳角中，，點D，E分別是邊上一動點，連接BE交直線于點F．(1)如圖1，若，且，求的度數(shù)；(2)如圖2，若，且，在平面內(nèi)將線段繞點C順時針方向旋轉(zhuǎn)60°得到線段，連接，點N是的中點，連接．在點D，E運動過程中，猜想線段之間存在的數(shù)量關(guān)系，并證明你的猜想．7．（2023·江蘇·八年級假期作業(yè)）問題背景：如圖1：在四邊形ABCD中，AB=AD．∠BAD=120°．∠B=∠ADC=90°．E，F(xiàn)分別是BC．CD上的點，且∠EAF=60°，探究圖中線段BE，EF，F(xiàn)D之間的數(shù)量關(guān)系．(1)小王同學(xué)探究此問題的方法是：延長FD到點G．使DG=BE．連接AG，先證明△ABE≌△ADG，再證明△AEF≌△AGF，可得出結(jié)論，他的結(jié)論應(yīng)是；（直接寫結(jié)論，不需證明）探索延伸：(2)如圖2，若在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADF=180°．E，F(xiàn)分別是BC，CD上的點，且∠EAF=∠BAD，（1）中結(jié)論是否仍然成立，并說明理由；(3)如圖3，在四邊形ABCD中，AB=AD，∠B+∠ADC=180°，E、F分別是邊BC、CD延長線上的點，且∠EAF=∠BAD，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請證明：若不成立，請直接寫出它們之間的數(shù)量關(guān)系．8．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）（1）如圖1，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B＝∠D＝90°，E、F分別是邊BC、CD上的點，且∠EAF＝∠BAD，線段EF、BE、FD之間的關(guān)系是；（不需要證明）（2）如圖2，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分別是邊BC、CD上的點，且∠EAF＝∠BAD，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請證明．若不成立，請寫出它們之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．（3）如圖3，在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分別是邊BC、CD延長線上的點，且∠EAF＝∠BAD，（1）中的結(jié)論是否仍然成立？若成立，請證明．若不成立，請寫出它們之間的數(shù)量關(guān)系，并證明．9．（2023春·全國·七年級期末）（1）問題引入：如圖1，點F是正方形ABCD邊CD上一點，連接AF，將ADF繞點A順時針旋轉(zhuǎn)90°與ABG重合（D與B重合，F(xiàn)與G重合，此