專題04 絕對(duì)值的幾何意義（專項(xiàng)培優(yōu)訓(xùn)練）（教師版）

專題04絕對(duì)值的幾何意義（專項(xiàng)培優(yōu)訓(xùn)練）試卷滿分：100分考試時(shí)間：120分鐘試卷難度：0.48一、選擇題（共20分）1．（本題2分）（2023春·廣東河源·七年級(jí)?？奸_(kāi)學(xué)考試）滿足的x的值是（

）．A．0 B． C． D．【答案】C【思路引導(dǎo)】先將范圍分類，再去絕對(duì)值進(jìn)行運(yùn)算，最后核對(duì)選項(xiàng)即可．【完整解答】時(shí)，，，舍去；時(shí)，得，∴或，得，滿足，可取；時(shí)，，舍去；綜上所述，故選C．【考點(diǎn)總結(jié)】本題考查復(fù)雜的含有絕對(duì)值的一次方程，遇到絕對(duì)值須先判斷絕對(duì)值內(nèi)式子正負(fù)，在不確定范圍的情況下，按照絕對(duì)值為0進(jìn)行未知數(shù)范圍的分類討論是常見(jiàn)的辦法．對(duì)未知數(shù)進(jìn)行范圍分類而去除絕對(duì)值是解題的關(guān)鍵．2．（本題2分）（2022秋·重慶江津·七年級(jí)統(tǒng)考期末）在解決數(shù)學(xué)實(shí)際問(wèn)題時(shí)，常常用到數(shù)形結(jié)合思想，比如：的幾何意義是數(shù)軸上表示數(shù)的點(diǎn)與表示數(shù)的點(diǎn)的距離，的幾何意義是數(shù)軸上表示數(shù)的點(diǎn)與表示數(shù)的點(diǎn)的距離．結(jié)合以上知識(shí)，下列說(shuō)法中正確的個(gè)數(shù)是（

）①若，則或；②若，則；③若，則；④關(guān)于的方程有無(wú)數(shù)個(gè)解．A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【思路引導(dǎo)】應(yīng)用絕對(duì)值的幾何意義進(jìn)行判定即可得出答案．【完整解答】解：①若，可得，則則或2023；所以①說(shuō)法正確；②若，幾何意義是數(shù)軸到表示數(shù)1的點(diǎn)和表示數(shù)3的點(diǎn)的距離相等的點(diǎn)，即可得出；所以②說(shuō)法正確；③當(dāng)時(shí)，則，所以③說(shuō)法不正確；④因?yàn)榈膸缀我饬x是到數(shù)軸上表示的點(diǎn)與表示2的點(diǎn)的距離和等于3的點(diǎn)，即時(shí)滿足題意，所以有無(wú)數(shù)個(gè)解，故④說(shuō)法正確．故選：C．【考點(diǎn)總結(jié)】本題重要考查了數(shù)軸及絕對(duì)值，熟練掌握數(shù)軸及絕對(duì)值的幾何意義進(jìn)行求解是解決本題的關(guān)鍵．3．（本題2分）（2022秋·河南鶴壁·七年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，數(shù)軸上兩點(diǎn)，表示的數(shù)分別是，，點(diǎn)在數(shù)軸上．若，則點(diǎn)表示的數(shù)為（

）A． B． C．或 D．或【答案】D【思路引導(dǎo)】根據(jù)圖象可知數(shù)軸上兩點(diǎn)A，B表示的數(shù)分別是，，則，設(shè)點(diǎn)表示的數(shù)為，，則，解得或．【完整解答】數(shù)軸上兩點(diǎn)A，B表示的數(shù)分別是，，，設(shè)點(diǎn)表示的數(shù)為，，，解得：或，故選：D．【考點(diǎn)總結(jié)】本題考查了數(shù)軸，所有的有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點(diǎn)表示，但數(shù)軸上的點(diǎn)不都表示有理數(shù)，一般取右方向?yàn)檎较?，?shù)軸上的點(diǎn)對(duì)應(yīng)任意實(shí)數(shù)，包括無(wú)理數(shù)．4．（本題2分）（2023春·重慶銅梁·八年級(jí)?？计谀┰诙囗?xiàng)式中，除首尾項(xiàng)a、外，其余各項(xiàng)都可閃退，閃退項(xiàng)的前面部分和其后面部分都加上絕對(duì)值，并用減號(hào)連接，則稱此為“閃減操作”．每種“閃減操作”可以閃退的項(xiàng)數(shù)分別為一項(xiàng)，兩項(xiàng)，三項(xiàng)．“閃減操作”只針對(duì)多項(xiàng)式進(jìn)行．例如：“閃減操作”為，與同時(shí)“閃減操作”為，…，下列說(shuō)法：①存在對(duì)兩種不同的“閃減操作”后的式子作差，結(jié)果不含與e相關(guān)的項(xiàng)；②若每種操作只閃退一項(xiàng)，則對(duì)三種不同“閃減操作”的結(jié)果進(jìn)行去絕對(duì)值，共有8種不同的結(jié)果；③若可以閃退的三項(xiàng)，，滿足：，則的最小值為．其中正確的個(gè)數(shù)是（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【思路引導(dǎo)】①根據(jù)“閃減操作”的定義，舉出符合條件的式子進(jìn)行驗(yàn)證即可；②先根據(jù)“閃減操作”的定義進(jìn)行運(yùn)算，再分類討論去絕對(duì)值，即可判斷；③根據(jù)“閃減操作”的定義和絕對(duì)值的幾何意義，求出，，的最小值，即可得出結(jié)論．【完整解答】①“閃減操作”后的式子為，“閃減操作”后的式子為，對(duì)這兩個(gè)式子作差，得：，結(jié)果不含與e相關(guān)的項(xiàng)，故①正確；②若每種操作只閃退一項(xiàng)，共有三種不同“閃減操作”：“閃減操作”結(jié)果為，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，“閃減操作”結(jié)果為，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，“閃減操作”結(jié)果為，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，共有12種不同的結(jié)果，故②錯(cuò)誤；③∵，在數(shù)軸上表示點(diǎn)與和的距離之和，∴當(dāng)距離取最小值時(shí)，的最小值為，同理：，在數(shù)軸上表示點(diǎn)與和的距離之和，∴當(dāng)距離取最小值時(shí)，的最小值為，，在數(shù)軸上表示點(diǎn)與和的距離之和，∴當(dāng)距離取最小值時(shí)，的最小值為，∴當(dāng)，，都取最小值時(shí)，，此時(shí)，的最小值為，故③正確；故選C．【考點(diǎn)總結(jié)】本題主要考查了新定義運(yùn)算，絕對(duì)值的幾何意義，熟練掌握絕對(duì)值的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．（本題2分）（2023春·廣東梅州·七年級(jí)?？奸_(kāi)學(xué)考試）一實(shí)驗(yàn)室檢測(cè)、、、四個(gè)元件的質(zhì)量（單位：克），超過(guò)標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量的克數(shù)記為正數(shù)，不是標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量的克數(shù)記為負(fù)數(shù)，結(jié)果如圖所示，其中最接近標(biāo)準(zhǔn)質(zhì)量的元件是（

）A． B． C． D．【答案】D【思路引導(dǎo)】正數(shù)表示的是超出標(biāo)準(zhǔn)的，負(fù)數(shù)表示的是不足標(biāo)準(zhǔn)的，只有絕對(duì)值的大小表示的是與不足差值的多少．【完整解答】解：；；；，∵，∴0.8最小，故選：D．【考點(diǎn)總結(jié)】本題考查的是正負(fù)數(shù)，解題的關(guān)鍵是求出絕對(duì)值．6．（本題2分）（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）若有理數(shù)，在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置如圖所示，則正確的結(jié)論是（

）A． B． C． D．【答案】C【思路引導(dǎo)】由題意知，進(jìn)而判斷各選項(xiàng)即可．【完整解答】解：∵∴故選項(xiàng)A錯(cuò)誤，不符合要求；故選項(xiàng)B錯(cuò)誤，不符合要求；故選項(xiàng)C正確，符合要求；故選項(xiàng)D錯(cuò)誤，不符合要求；故選C．【考點(diǎn)總結(jié)】本題考查了有理數(shù)的大小比較．解題的關(guān)鍵在于確定有理數(shù)的取值范圍．7．（本題2分）（2021秋·浙江寧波·七年級(jí)統(tǒng)考期末）數(shù)軸上有，，，，五個(gè)點(diǎn)，各點(diǎn)的位置與所表示的數(shù)如圖所示，且．若數(shù)軸上有一點(diǎn)，所表示的數(shù)為，且，則關(guān)于點(diǎn)的位置，下列敘述正確的是（

）A．在，之間 B．在，之間C．在，之間 D．在，之間【答案】B【思路引導(dǎo)】根據(jù)O、A、B、C、五個(gè)點(diǎn)在數(shù)軸上的位置和絕對(duì)值的定義即可得到結(jié)論．【完整解答】解：由題意可得：點(diǎn)A表示的數(shù)為-5，點(diǎn)B表示的數(shù)為3，點(diǎn)C表示的數(shù)為-1，點(diǎn)D表示的數(shù)為d，且AC=BC∵，∴MD=BD，又∵-5＜d＜-1＜3∴M點(diǎn)介于O、C之間，故選：B．【考點(diǎn)總結(jié)】本題考查的是數(shù)與數(shù)軸，利用數(shù)形結(jié)合思想解題是關(guān)鍵．8．（本題2分）（2020秋·江西南昌·七年級(jí)期中）如圖，有理數(shù)在數(shù)軸上的對(duì)應(yīng)點(diǎn)的位置，且，則該數(shù)軸的原點(diǎn)位置只可能在（）

A．的左邊 B．之間 C．之間 D．b的右邊【答案】C【思路引導(dǎo)】根據(jù)數(shù)軸的定義以及絕對(duì)值的定義，對(duì)每個(gè)選擇作出判斷，得符合題意的選項(xiàng)．【完整解答】由于，由數(shù)軸知：a＜c＜b，∴a＜0＜c＜b，所以該數(shù)軸的原點(diǎn)位置在之間．故選：C．【考點(diǎn)總結(jié)】本題考查數(shù)軸、絕對(duì)值等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握基本概念，靈活運(yùn)用所學(xué)知識(shí)解決問(wèn)題．9．（本題2分）（2022秋·山東臨沂·七年級(jí)校考期中）設(shè)實(shí)數(shù)、、滿足（），且，則的最小值是（

）．A． B． C． D．【答案】D【思路引導(dǎo)】根據(jù)ac＜0可知，a，c異號(hào)，再根據(jù)a＜b＜c，以及|c|＜|b|＜|a|，即可確定a，b，-c在數(shù)軸上的位置，而|x-a|+|x-b|+|x+c|表示數(shù)軸上的點(diǎn)到a，b，-c三點(diǎn)的距離的和，根據(jù)數(shù)軸即可確定．【完整解答】∵ac＜0∴a，c異號(hào)∴a＜0，c＞0又∵a＜b＜c，以及|c|＜|b|＜|a|∴a＜b＜-c＜0＜c|x-a|+|x-b|+|x+c|表示到a，b，-c三點(diǎn)的距離的和．當(dāng)x在表示b點(diǎn)的數(shù)的位置時(shí)距離最小，即|x-a|+|x-b|+|x+c|最小，最小值是a與-c之間的距離，即-c-a．故選D．【考點(diǎn)總結(jié)】本題解決的關(guān)鍵是根據(jù)條件確定a，b，c，-c之間的大小關(guān)系，把求式子的最值的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為距離的問(wèn)題．10．（本題2分）（2022秋·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）在數(shù)軸上，點(diǎn)A、B在原點(diǎn)O的兩側(cè)，分別表示數(shù)a、2，將點(diǎn)A向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，得到點(diǎn)C.若CO=2BO，則a的值為（

）A．1 B．-7 C．1或-7 D．-1或-7【答案】B【思路引導(dǎo)】先由已知條件得CO的長(zhǎng)，再根據(jù)絕對(duì)值的含義得關(guān)于的方程，解得即可．【完整解答】∵B表示數(shù)是：2，∴CO=2BO=4，∵將點(diǎn)A向右平移3個(gè)單位長(zhǎng)度，∴點(diǎn)C表示數(shù)是：，∴，∴，∴或，∵點(diǎn)A、B在原點(diǎn)O的兩側(cè)，∴，故選：B．【考點(diǎn)總結(jié)】本題考查了數(shù)軸上的點(diǎn)所表示的數(shù)及絕對(duì)值方程，根據(jù)題意正確列式，是解題的關(guān)鍵．二、填空題（共20分）11．（本題2分）（2023秋·河南南陽(yáng)·七年級(jí)統(tǒng)考期末）對(duì)于有理數(shù)a，b，c，d，給出如下定義：如果．那么稱a和b關(guān)于c的相對(duì)距離為d，如果m和3關(guān)于1的相對(duì)距離為5，那么m的值為．【答案】4或/或4【思路引導(dǎo)】根據(jù)新定義可列等式，結(jié)合絕對(duì)值的性質(zhì)計(jì)算可求解m值．【完整解答】解：由題意得，即，∴或，解得或，故答案為4或．【考點(diǎn)總結(jié)】本題考查了新定義，兩點(diǎn)間的距離，絕對(duì)值方程，根據(jù)新定義列出方程是解題的關(guān)鍵．12．（本題2分）（2020秋·內(nèi)蒙古包頭·七年級(jí)包頭市第二十九中學(xué)?？计谥校?shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)為，若點(diǎn)到點(diǎn)A的距離為3個(gè)單位，則點(diǎn)表示的數(shù)為．【答案】或1【思路引導(dǎo)】設(shè)點(diǎn)表示的數(shù)為a，根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離公式，即可求得．【完整解答】解：設(shè)點(diǎn)表示的數(shù)為a，數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)為，點(diǎn)到點(diǎn)A的距離為3個(gè)單位，，，解得或，故點(diǎn)表示的數(shù)為或1，故答案為：或1．【考點(diǎn)總結(jié)】本題考查了數(shù)軸上兩點(diǎn)間距離的求法，解絕對(duì)值方程，熟練掌握和運(yùn)用數(shù)軸上兩點(diǎn)間距離的求法是解決本題的關(guān)鍵．13．（本題2分）（2022秋·福建泉州·七年級(jí)校考期中）數(shù)軸上點(diǎn)表示的數(shù)是，點(diǎn)表示的數(shù)是，用表示、點(diǎn)兩間的距離，記，若，則為．【答案】或/或【思路引導(dǎo)】根據(jù)題意得出，解絕對(duì)值方程即可求解．【完整解答】解：根據(jù)題意得：，解得：或，故答案為：或【考點(diǎn)總結(jié)】本題考查了數(shù)軸上兩點(diǎn)距離，解絕對(duì)值方程，理解題意是解題的關(guān)鍵．14．（本題2分）（2023秋·山東棗莊·七年級(jí)?？计谀c(diǎn)A在數(shù)軸上表示數(shù)，點(diǎn)B在數(shù)軸上距離點(diǎn)A有5個(gè)單位長(zhǎng)度，則點(diǎn)B表示的數(shù)為．【答案】或2/2或【思路引導(dǎo)】設(shè)點(diǎn)B表示的數(shù)為x，再由數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離公式即可得出結(jié)論．【完整解答】解：設(shè)點(diǎn)B表示的數(shù)為x，則，解得：或.故答案為：或2．【考點(diǎn)總結(jié)】本題主要考查的是數(shù)軸，熟知數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離公式是解答此題的關(guān)鍵．15．（本題2分）（2022秋·江蘇泰州·七年級(jí)靖江市靖城中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）小明計(jì)算：，其中“*”是被污染看不清楚的一個(gè)數(shù)，他翻開(kāi)答案知道該題計(jì)算結(jié)果是6，那么“*”表示的數(shù)是．【答案】9或/或9【思路引導(dǎo)】根據(jù)題意可得，解出即可．【完整解答】解∶根據(jù)題意得：，∴或，解得：或．故答案為：9或【考點(diǎn)總結(jié)】本題主要考查了絕對(duì)值方程，熟練掌握絕對(duì)值的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．16．（本題2分）（2023春·廣東河源·七年級(jí)校考開(kāi)學(xué)考試）有A、B在數(shù)軸上表示的數(shù)分別是a、b，點(diǎn)A、B之間的距離為．若，則．【答案】或2/2或【思路引導(dǎo)】根據(jù)兩點(diǎn)間的距離的表示可知x為到1和的距離的和等于8的數(shù)，然后結(jié)合數(shù)軸解答即可．【完整解答】解：由題意可知，表示：到1和的距離的和等于8的數(shù)，∴由數(shù)軸可知或2．故答案為：或2．【考點(diǎn)總結(jié)】本題考查絕對(duì)值，數(shù)軸．理解兩點(diǎn)間的距離的表示方法是解題的關(guān)鍵．17．（本題2分）（2021秋·山東濟(jì)南·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）按規(guī)定，食品包裝袋上都應(yīng)標(biāo)明袋內(nèi)裝有食品多少克，下表是幾種餅干的檢驗(yàn)結(jié)果，“＋”“－”分別表示比標(biāo)準(zhǔn)重量多和少，用絕對(duì)值判斷最符合標(biāo)準(zhǔn)的一種食品是．威化咸味甜味酥脆＋10（g）－8.5（g）＋5（g）－7.3（g）【答案】甜味【思路引導(dǎo)】找出表格中四個(gè)數(shù)值的絕對(duì)值最小的即可得．【完整解答】解：，，，，因?yàn)?，所以最符合?biāo)準(zhǔn)的一種食品是甜味，故答案為：甜味．【考點(diǎn)總結(jié)】本題考查了絕對(duì)值的應(yīng)用，理解題意，正確求出各數(shù)的絕對(duì)值是解題關(guān)鍵．18．（本題2分）（2022秋·七年級(jí)課時(shí)練習(xí)）數(shù)軸上點(diǎn)A表示的數(shù)是x，點(diǎn)B表示的數(shù)是2，則|x-2|表示A，B點(diǎn)兩間的距離，若記，則y的最小值為．【答案】8【思路引導(dǎo)】進(jìn)行分類，去絕對(duì)值符號(hào)，然后研究最小值．【完整解答】解：當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，為最小值；當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)，為最小值；故y的最小值為8，故答案為：8．【考點(diǎn)總結(jié)】本題考查了去絕對(duì)值符號(hào)、數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離，解題的關(guān)鍵是去絕對(duì)值符號(hào)．19．（本題2分）（2023秋·廣東惠州·七年級(jí)?？茧A段練習(xí)）設(shè)是一個(gè)四位數(shù)，，，，是阿拉伯?dāng)?shù)字，且，則式子的最大值是．【答案】16【思路引導(dǎo)】若使的值最大，則最低位數(shù)字最大，最高位數(shù)字最小即可，同時(shí)為使式子最大，則應(yīng)最小，且使低位上的數(shù)字不小于高位上的數(shù)字，故，此時(shí)只能為1，所以此數(shù)為，再代入計(jì)算即可求解．【完整解答】解：若使的值最大，則最低位數(shù)字最大，最高位數(shù)字最小即可，同時(shí)為使式子最大，則應(yīng)最小，且使低位上的數(shù)字不小于高位上的數(shù)字，故，此時(shí)只能為1，所以此數(shù)為，的最大值．故答案為：16．【考點(diǎn)總結(jié)】此題考查了絕對(duì)值，要使的值最大，則最低位數(shù)字最大，最高位數(shù)字最小，再根據(jù)低位上的數(shù)字不小于高位上的數(shù)字解答．20．（本題2分）（2021秋·江蘇·七年級(jí)專題練習(xí)）已知在紙面上有一數(shù)軸（如圖所示）一般地，數(shù)軸上表示數(shù)m和數(shù)n的兩點(diǎn)間距離可用|m﹣n|表示，|x﹣4|+|x﹣5|的最小值是【答案】1【思路引導(dǎo)】根據(jù)|x﹣4|+|x﹣5|表示數(shù)x的點(diǎn)到4和5之間的距離的和即可求解.【完整解答】解：∵|x﹣4|+|x﹣5|表示數(shù)x到4和5的距離之和∴當(dāng)4≤x≤5時(shí)，|x﹣4|+|x﹣5|有最小值，最小值為：1．故答案為1．【考點(diǎn)總結(jié)】本題考查了數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離的計(jì)算方法：數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離等于相應(yīng)兩數(shù)差的絕對(duì)值，應(yīng)該牢記并會(huì)靈活運(yùn)用.三、解答題（共60分）21．（本題8分）（2022秋·七年級(jí)單元測(cè)試）閱讀材料：因?yàn)椋缘膸缀我饬x可解釋為數(shù)軸上表示數(shù)的點(diǎn)與表示數(shù)的點(diǎn)之間的距離．這個(gè)結(jié)論可推廣為：的幾何意義是數(shù)軸上表示數(shù)的點(diǎn)與表示數(shù)的點(diǎn)之間的距離．根據(jù)上述材料，解答下列問(wèn)題：(1)等式的幾何意義是什么？這里的值是多少？(2)等式的幾何意義是什么？這里的值是多少？(3)式子的幾何意義是什么？這個(gè)式子的最小值是多少？【答案】(1)幾何意義為數(shù)軸上表示數(shù)的點(diǎn)與表示數(shù)的點(diǎn)之間的距離等于，或(2)幾何意義是點(diǎn)到點(diǎn)的距離等于點(diǎn)到點(diǎn)的距離，(3)幾何意義是點(diǎn)到點(diǎn)的距離與點(diǎn)到點(diǎn)的距離的和，最小值為【思路引導(dǎo)】（1）根據(jù)的幾何意義求解可得；（2）先去絕對(duì)值，再解方程即可求解；（3）由題意知表示數(shù)到和的距離之和，當(dāng)數(shù)在兩數(shù)之間時(shí)式子取得最小值．【完整解答】（1）解：等式的幾何意義為數(shù)軸上表示數(shù)的點(diǎn)與表示數(shù)的點(diǎn)之間的距離等于，這里或．（2）解：設(shè)數(shù)軸上表示數(shù)，，的點(diǎn)分別為，，，則等式的幾何意義是點(diǎn)到點(diǎn)的距離等于點(diǎn)到點(diǎn)的距離，即，所以．（3）解：設(shè)數(shù)軸上表示數(shù)，，的點(diǎn)分別為，，，則式子的幾何意義是點(diǎn)到點(diǎn)的距離與點(diǎn)到點(diǎn)的距離的和，即．結(jié)合數(shù)軸可知：當(dāng)時(shí)，式子的值最小，最小值為．【考點(diǎn)總結(jié)】本題考查了一元一次方程的應(yīng)用，數(shù)軸，絕對(duì)值的性質(zhì)，讀懂題目信息，理解數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離的表示是解題的關(guān)鍵．22．（本題8分）（2023秋·北京密云·七年級(jí)統(tǒng)考期末）已知點(diǎn)是數(shù)軸的原點(diǎn)，點(diǎn)A、、分別是數(shù)軸上的三個(gè)動(dòng)點(diǎn)點(diǎn)在點(diǎn)的左側(cè)，且，將點(diǎn)A，，表示的數(shù)分別記作，，．(1)當(dāng)，時(shí)，直接寫出的值；(2)當(dāng)時(shí)，計(jì)算的值；(3)若，，求的值．【答案】(1)(2)(3)或【思路引導(dǎo)】（1）利用數(shù)軸知識(shí)，已知A、兩點(diǎn)表示的數(shù)，求線段中點(diǎn)表示的數(shù)；（2）已知中點(diǎn)表示的數(shù)，根據(jù)線段中點(diǎn)的定義，求出的值；（3）根據(jù)線段的和差，線段中點(diǎn)的定義求出的值．【完整解答】（1）解：∵，，，∴；（2）解：∵，，∴；（3）解：，，，，，，或，或，或，綜上所述，的值為或．【考點(diǎn)總結(jié)】本題考查了數(shù)軸，解題的關(guān)鍵是掌握數(shù)軸知識(shí)和線段的和差，線段中點(diǎn)的定義．23．（本題8分）（2022秋·青海西寧·七年級(jí)統(tǒng)考期末）【閱讀材料】數(shù)軸是學(xué)習(xí)有理數(shù)的一種重要工具，任何有理數(shù)都可以用數(shù)軸上的點(diǎn)表示，這樣能夠運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法解決一些問(wèn)題．例如，兩個(gè)有理數(shù)在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)之間的距離可以用這兩個(gè)數(shù)的差的絕對(duì)值表示：在數(shù)軸上，有理數(shù)3與1對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離為；在數(shù)軸上，有理數(shù)5與對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離為；在數(shù)軸上，有理數(shù)與3對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離為；在數(shù)軸上，有理數(shù)與對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離為．……如圖，在數(shù)軸上有理數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為點(diǎn)，有理數(shù)對(duì)應(yīng)的點(diǎn)為點(diǎn)，、兩點(diǎn)之間的距離表示為或，記為．

【解決問(wèn)題】（1）數(shù)軸上有理數(shù)與對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離為_(kāi)_______；（2）數(shù)軸上有理數(shù)與對(duì)應(yīng)的兩點(diǎn)之間的距離用含的式子表示為_(kāi)_______；【拓展探究】（3）如圖，點(diǎn)是數(shù)軸上的三點(diǎn)，點(diǎn)表示的數(shù)為4，點(diǎn)表示的數(shù)為．

①若點(diǎn)在、兩點(diǎn)之間，則________；②若，即點(diǎn)到點(diǎn)的距離等于點(diǎn)到點(diǎn)的距離的2倍，直接寫出點(diǎn)表示的數(shù)．【答案】（1）5，（2），（3）①6，②點(diǎn)P表示的數(shù)為0或者【思路引導(dǎo)】（1）根據(jù)題干材料給出的方法計(jì)算即可；（2）根據(jù)題干材料給出的方法計(jì)算即可；（3）①設(shè)點(diǎn)P表示的數(shù)為x，根據(jù)題意可知：，即有，問(wèn)題得解；②設(shè)點(diǎn)P表示的數(shù)為x，根據(jù)題意有：，，根據(jù)，可得，分類討論：分當(dāng)時(shí)、當(dāng)時(shí)、當(dāng)時(shí)，解絕對(duì)值方程即可求解．【完整解答】（1），故答案為：5；（2）根據(jù)題意有：，故答案為：；（3）①設(shè)點(diǎn)P表示的數(shù)為x，根據(jù)題意可知：，∴，故答案為：6；②設(shè)點(diǎn)P表示的數(shù)為x，根據(jù)題意有：，，∵，∴，即，分類討論：當(dāng)時(shí)，去絕對(duì)值為：，解得：；即此時(shí)點(diǎn)P表示的數(shù)為；當(dāng)時(shí)，去絕對(duì)值為：，解得：，即此時(shí)點(diǎn)P表示的數(shù)為0；當(dāng)時(shí)，去絕對(duì)值為：，解得：，此種情況不符合題意舍去；綜上所述：點(diǎn)P表示的數(shù)為0或者．【考點(diǎn)總結(jié)】本題考查了數(shù)軸與絕對(duì)值的概念的應(yīng)用，讀懂題目信息，理解絕對(duì)值的幾何意義是解題的關(guān)鍵．24．（本題8分）（2022秋·黑龍江齊齊哈爾·七年級(jí)統(tǒng)考期末）數(shù)軸是初中數(shù)學(xué)的一個(gè)重要工具，利用數(shù)軸可以將數(shù)與形完美地結(jié)合，在一次數(shù)學(xué)探究活動(dòng)中，數(shù)學(xué)興趣小組通過(guò)探究發(fā)現(xiàn)可以通過(guò)用“兩數(shù)的差”來(lái)表示“數(shù)軸上兩點(diǎn)間的距離”，例如圖1中線段的長(zhǎng)度可表示為：，，，……結(jié)論：數(shù)軸上任意兩點(diǎn)表示的數(shù)分別、，則這兩個(gè)點(diǎn)間的距離為（即：用較大的數(shù)減去較小的數(shù)）(1)如圖1，計(jì)算：______，______；(2)如圖2，點(diǎn)表示數(shù)，點(diǎn)表示數(shù)，點(diǎn)表示數(shù)，且，求點(diǎn)和點(diǎn)表示的數(shù)；(3)在（2）條件下，在圖2的數(shù)軸上是否存在點(diǎn)，使，若存在，請(qǐng)直接寫出點(diǎn)表示的數(shù)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由【答案】(1)3，7(2)點(diǎn)F表示的數(shù)為，點(diǎn)H表示的數(shù)為1(3)或【思路引導(dǎo)】（1）根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)距離公式求解即可；（2）根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)的距離得到，再由建立方程求解即可；（3）設(shè)點(diǎn)Q表示的數(shù)為m，則，再由，得到方程，然后分m不同的取值范圍進(jìn)行去絕對(duì)值進(jìn)行求解即可．【完整解答】（1）解：由題意得，，，故答案為：3，7；（2）解：∵點(diǎn)表示數(shù)，點(diǎn)表示數(shù)，點(diǎn)表示數(shù)，∴，∵，∴，解得，∴，∴點(diǎn)F表示的數(shù)為，點(diǎn)H表示的數(shù)為1；（3）解：設(shè)點(diǎn)Q表示的數(shù)為m，∴，∵，∴，當(dāng)時(shí)，則，解得；當(dāng)時(shí)，則，解得（舍去）；當(dāng)時(shí)，則，解得；當(dāng)時(shí)，則，解得（舍去）；綜上所述，m的值為或，∴點(diǎn)Q表示的數(shù)為或．【考點(diǎn)總結(jié)】本題主要考查了數(shù)軸上兩點(diǎn)距離公式，用數(shù)軸表示有理數(shù)，絕對(duì)值方程，熟知數(shù)軸上兩點(diǎn)距離公式是解題的關(guān)鍵．25．（本題8分）（2022秋·山東青島·七年級(jí)青島大學(xué)附屬中學(xué)?？茧A段練習(xí)）我國(guó)著名數(shù)學(xué)家華羅庚說(shuō)過(guò)“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微”，數(shù)形結(jié)合是解決數(shù)學(xué)問(wèn)題的重要思想方法．我們知道的幾何意義是在數(shù)軸上數(shù)x對(duì)應(yīng)的點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，也就是說(shuō)表示在數(shù)軸上數(shù)x與數(shù)0對(duì)應(yīng)點(diǎn)之間的距離．提出問(wèn)題：有理數(shù)a，b在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別記為點(diǎn)A和點(diǎn)B，AB兩點(diǎn)之間的距離記為，那么與有理數(shù)a，b有怎樣的關(guān)系？探究問(wèn)題：探究一：如果A，B兩點(diǎn)中有一點(diǎn)在原點(diǎn)，不妨假設(shè)A點(diǎn)在原點(diǎn)，即a＝0．當(dāng)b＝2時(shí)，，如圖1所示；當(dāng)b＝－3時(shí)，，如圖2所示；由此可以推斷當(dāng)b＝n時(shí)，______．探究二：如果A，B兩點(diǎn)都不在原點(diǎn)，即，．（1）當(dāng)A，B兩點(diǎn)都在原點(diǎn)的右側(cè)時(shí)，如圖3所示：；（2）當(dāng)A，B兩點(diǎn)都在原點(diǎn)的左側(cè)時(shí)，如圖4所示：；（3）當(dāng)A，B兩點(diǎn)在原點(diǎn)的兩側(cè)時(shí)，如圖5所示，請(qǐng)你仿照上述探究過(guò)程，寫出A，B兩點(diǎn)之間的距離______．解決問(wèn)題：有理數(shù)a，b在數(shù)軸上對(duì)應(yīng)的點(diǎn)分別記為點(diǎn)A和點(diǎn)B，AB兩點(diǎn)之間的距離記為，那么______．（用含有a，b的式子表示）實(shí)際應(yīng)用：（1）數(shù)軸上，表示有理數(shù)－6和－1的兩點(diǎn)之間的距離是______；（2）數(shù)軸上，表示x和2的兩點(diǎn)P和Q之間的距離是5，則x＝______．拓展延伸：結(jié)合數(shù)軸回答下列問(wèn)題：（1）的最小值是______；（2）的最大值是______．【答案】探究一：n；探究二（2）；（3）；解決問(wèn)題：；實(shí)際應(yīng)用（1）5；（2）7或；拓展延伸（1）4；（2）9【思路引導(dǎo)】探究一：根據(jù)絕對(duì)值的概念可得；探究二（2）根據(jù)絕對(duì)值的概念計(jì)算即可；（3）根據(jù)絕對(duì)值的概念計(jì)算即可；解決問(wèn)題：根據(jù)絕對(duì)值的概念計(jì)算即可；實(shí)際應(yīng)用（1）根據(jù)絕對(duì)值的概念計(jì)算即可；（2）根據(jù)絕對(duì)值的概念列方程解答即可；拓展延伸（1）根據(jù)絕對(duì)值的概念計(jì)算即可；（2）根據(jù)絕對(duì)值的概念計(jì)算即可．【完整解答】探究一：當(dāng)b＝n時(shí)，，故答案為：n；探究二：（2），故答案為：；（3），故答案為：；解決問(wèn)題：，故答案為：；實(shí)際應(yīng)用（1）有理數(shù)－6和－1的兩點(diǎn)之間的距離是，故答案為：5；（2）∵表示x和2的兩點(diǎn)P和Q之間的距離是5，∴，∴或，得或，故答案為：7或；拓展延伸（1）從數(shù)軸上可以看出，當(dāng)x位于到1之間時(shí)它們的距離和最小，最小值為4，∴的最小值是4，故答案為：4；（2）從數(shù)軸上可以看出，當(dāng)x位于到5之間時(shí)它們的距離差最大，最大值為9，∴的最大值是9，故答案為：9．【考點(diǎn)總結(jié)】此題考查了絕對(duì)值概念的理解，解題的關(guān)鍵是要注意負(fù)數(shù)絕對(duì)值的計(jì)算方法．26．（本題10分）（2023·江蘇·七年級(jí)假期作業(yè)）數(shù)學(xué)實(shí)驗(yàn)室：點(diǎn)A、B在數(shù)軸上分別表示有理數(shù)a、b，A、B兩點(diǎn)之間的距離表示為，在數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)之間的距離．

利用數(shù)形結(jié)合思想回答下列問(wèn)題：(1)數(shù)軸上表示2和6兩點(diǎn)之間的距離是，數(shù)軸上表示1和的兩點(diǎn)之間的距離是．(2)數(shù)軸上表示x和的兩點(diǎn)之間的距離表示為．?dāng)?shù)軸上表示x和6的兩點(diǎn)之間的距離表示為．(3)若x表示一個(gè)有理數(shù)，則的最小值＝．(4)若x表示一個(gè)有理數(shù)，且，則滿足條件的所有整數(shù)x的是．(5)若x表示一個(gè)有理數(shù)，當(dāng)x為，式子有最小值為．【答案】(1)4，5(2)，(3)5(4)或0或1或2或3(5)3，6【思路引導(dǎo)】（1）根據(jù)數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)之間的距離列式計(jì)算即可；（2）根據(jù)數(shù)軸上A、B兩點(diǎn)之間的距離列式計(jì)算即可；（3）根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離的意義可知x在與1之間時(shí)，有最小值5；（4）根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離的意義可知當(dāng)x在與3之間時(shí)（包含和3），，然后可得滿足條件的所有整數(shù)x的值；（5）根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離的意義可知當(dāng)時(shí)，有最小值，最小值為到4的距離，然后可得答案．【完整解答】（1）解：數(shù)軸上表示2和6兩點(diǎn)之間的距離是，數(shù)軸上表示1和的兩點(diǎn)之間的距離是，故答案為：4，5；（2）解：數(shù)軸上表示x和的兩點(diǎn)之間的距離表示為，數(shù)軸上表示x和6的兩點(diǎn)之間的距離表示為；故答案為：，；（3）解：根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離的意義可知：可表示為點(diǎn)x到1與兩點(diǎn)距離之和，∴當(dāng)x在與1之間時(shí)，有最小值5，故答案為：5；（4）解：根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離的意義可知：表示為點(diǎn)x到與兩點(diǎn)距離之和為4，∴當(dāng)x在與3之間時(shí)（包含和3），，∴滿足條件的所有整數(shù)x的是或0或1或2或3；故答案為：或0或1或2或3；（5）解：根據(jù)數(shù)軸上兩點(diǎn)之間的距離的意義可知：可看作是數(shù)軸上表示x的點(diǎn)到、3、4三點(diǎn)的距離之和，∴當(dāng)時(shí)，有最小值，最小值為到4的距離，即，故答案為：3，6．【考點(diǎn)總結(jié)】本題考查了