專題5.4 分式方程（教師版）

專題5.4分式方程1.理解分式方程的概念，并會熟練解分式方程；2.理解增根的概念，會檢驗分式方程的根；3.會用分式方程解決相關問題，并進行簡單的應用。知識點01分式方程及其解法【知識點】1．分式方程的概念：分母中含有未知數的方程叫做分式方程．注意：“分母中含有未知數”是分式方程與整式方程的根本區(qū)別，也是判定一個方程為分式方程的依據．2．分式方程的解法（1）解分式方程的基本思路是將分式方程化為整式方程，具體做法是去分母，即方程兩邊同乘以各分式的最簡公分母．（2）解分式方程的步驟：①找最簡公分母，當分母是多項式時，先分解因式；②去分母，方程兩邊都乘最簡公分母，約去分母，化為整式方程；③解整式方程；④驗根．注意：解分式方程過程中，易錯點有：①去分母時要把方程兩邊的式子作為一個整體，記得不要漏乘整式項；②忘記驗根，最后的結果還要代回方程的最簡公分母中，只有最簡公分母不是零的解才是原方程的解．3．增根：在方程變形時，有時可能產生不適合原方程的根，這種根叫做方程的增根．由于可能產生增根，所以解分式方程要驗根，其方法是將根代入最簡公分母中，使最簡公分母為零的根是增根，否則是原方程的根．【知識拓展1】例1．（2022·山東八年級月考）下列方程不是分式方程的是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】根據分式方程的定義：分母中含有未知數的方程叫做分式方程進行判斷．【詳解】解：A、方程分母中含有未知數x，是分式方程，故本選項不符合題意；B、方程分母中不含有未知數x，不是分式方程，故本選項符合題意；C、方程分母中含有未知數x，是分式方程，故本選項不符合題意；D、方程分母中含有未知數x，是分式方程，故本選項不符合題意．故選：B．【點睛】本題考查了分式方程的定義，判斷一個方程是否為分式方程，主要是依據分式方程的定義，也就是看分母中是否含有未知數（注意：僅僅是字母不行，必須是表示未知數的字母）．【即學即練】1．（2022·成都市八年級月考）已知方程：①；②；③；④．這四個方程中，分式方程的個數是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】分母中含有未知數的方程叫分式方程，根據定義解答．【詳解】解：根據定義可知：①②③為分式方程，故選：C．【點睛】此題考查分式方程的定義，熟記定義是解題的關鍵．2．（2022·江蘇無錫八年級期中）下列關于x的方程中，屬于分式方程的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據分式方程的定義即可求出答案．【詳解】A、是一元一次方程，故不符合題意；B、是一元一次方程，故不符合題意；C、是分式方程，故符合題意；D、是二元一次方程，故不符合題意；故選C．【點睛】本題考查分式方程，解題的關鍵是熟練運用分式方程的定義，本題屬于基礎題型．【知識拓展2】分式方程的解例2．（2022·陜西蓮湖·八年級期末）已知是分式方程的解，則的值為（）A． B．1 C．3 D．【答案】A【分析】根據分式方程的解的定義，可將x=3代入方程，求得a=-1．然后，代入a-3檢驗是否為0，進而得出a=-1．【詳解】解：∵x=3是分式方程的解，∴，∴a=-1，∴a-3=-1-3=-4≠0（a符合題意）．故選：A．【點睛】本題主要考查了分式方程的解的定義以及解分式方程，熟練掌握解分式方程是解本題的關鍵．【即學即練】2．（2022·哈爾濱市九年級月考）方程解是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】將4個選項逐一代入方程，能使得等式成立的即為方程的解．【詳解】經檢驗，是原方程的根．故選B．【點睛】本題考查了分式方程解．【知識拓展3】解分式方程例3．（2022·南通市八年級期中）解方程：（1）（2）【答案】（1）無解；（2）x=3【分析】（1）先兩邊同時乘以得：，然后解整式方程，最后進行檢驗即可；（2）先兩邊同時乘以得，然后解整式方程，最后進行檢驗即可．【詳解】解：（1）兩邊同時乘以得：，∴，∴，∴，經檢驗不是原方程的解，∴此方程無解；（2）即，兩邊同時乘以得，∴，∴，解得，經檢驗是原方程的解．【點睛】本題主要考查了解分式方程，解題的關鍵在于能夠熟練掌握解分式方程的方法．【即學即練】3．（2022·江蘇九年級專題練習）解方程時，去分母得（）A． B．C． D．【答案】A【分析】等號兩邊同乘以(x-1)(x-3)，即可得到答案．【詳解】解：，等號兩邊同乘以(x-1)(x-3)，得，故選A．【點睛】本題主要考查分式去分母，找出公分母，是解題的關鍵．4．（2022·遼寧昌圖·八年級期末）解分式方程：（1）；（2）．【答案】（1）；（2）原方程無解【分析】（1）方程兩邊都乘得出，求出方程的解，再進行檢驗即可；（2）方程兩邊都乘得出，求出方程的解，再進行檢驗即可．【詳解】解：（1）方程兩邊都乘，得，解這個方程，得，檢驗，當時，，所以是原方程的根，即原方程的解是；（2），，方程兩邊都乘，得，解這個方程，得，經檢驗，是原方程的增根，所以原方程無解．【點睛】本題考查了解分式方程，解題的關鍵是能把分式方程轉化成整式方程進行求解．【知識拓展4】分式方程中的新定義問題例4．（2022·江蘇九年級專題練習）對于兩個不相等的實數a?b，我們規(guī)定符號表示a?b中較大的數，如：．按照這個規(guī)定，方程的解為（）A．1 B． C．1或 D．或【答案】C【分析】分類討論和的大小關系，利用題中的新定義化簡已知方程，求出解即可．【詳解】解：當，即y＜0時，方程變形得：，解得：y=-1，經檢驗y=-1是分式方程的解；當，即y＞0時，方程變形得：，解得：y=1，經檢驗y=1是分式方程的解；綜上，方程的解為1或-1故選C．【點睛】此題考查了解分式方程，利用了轉化的思想，解分式方程注意要檢驗．【即學即練】4．（2022·廣東中考模擬）定義一種新運算：，例如：，若，則（）A．-2 B． C．2 D．【答案】B【分析】根據新定義運算得到一個分式方程，求解即可.【詳解】根據題意得，，則，經檢驗，是方程的解，故選B.【點睛】此題考查了解分式方程，弄清題中的新定義是解本題的關鍵．5．（2022·安徽霍邱·八年級期末）按照如圖所示的流程圖，若輸出的M＝6，則輸入的m是______________．【答案】2【分析】根據題目中的程序，利用分類討論的方法可以分別求得m的值，從而可以解答本題．【詳解】解：當m2-2m≥0時，解得m=2，經檢驗，m=2是原方程的解，并且滿足m2-2m≥0；當m2-2m＜0時，m-3=6，解得m=9，不滿足m2-2m＜0，舍去．故輸入的m為2．故答案為：2．【點睛】本題考查有理數的混合運算，解答本題的關鍵是明確有理數混合運算的計算方法．【知識拓展5】分式方程特殊解-增根或無解例5.（2022·江西撫州·八年級期末）若關于的分式方程有增根，則的值為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】增根是分式方程化為整式方程后產生的使分式方程的分母為0的根，把增根代入化為整式方程的方程即可求出m的值．【詳解】解：由題意，得可知，∴由題可知此題中x=1為方程增根即，解得，故選D．【點睛】本題主要考查了分式方程的解，解題的關鍵在于能夠熟練掌握分式方程有增根的條件．例6．（2022·浙江越城·七年級期末）已知關于x的分式方程﹣1＝無解，則m的值是（）A．﹣2 B．﹣3 C．﹣2或﹣3 D．0或3【答案】C【分析】分式方程去分母轉化為整式方程，由分式方程無解確定出x的值，代入整式方程計算即可求出m的值．【詳解】解：兩邊都乘以x（x﹣3），得：x（x+m）﹣x（x﹣3）＝x﹣3，整理，得：（m+2）x＝﹣3，解得：，①當m+2＝0，即m＝﹣2時整數方程無解，即分式方程無解，②∵關于x的分式方程﹣1＝無解，∴或，即無解或3（m+2）＝﹣3，解得m＝﹣2或﹣3．∴m的值是﹣2或﹣3．故選C．【點睛】本題考查了解分式方程，分式方程的解，解題的關鍵是熟練掌握解分式方程的方法，注意分母不等于0的條件．【即學即練】5．（2022·山東鄄城·八年級期末）關于x的方程有增根，則m的值為（）A．﹣5 B．﹣8 C．﹣2 D．5【答案】A【分析】分式方程去分母轉化為整式方程，由分式方程有增根求出x的值，代入整式方程計算即可求出m的值．【詳解】解：去分母得：3x﹣2＝2x+2+m，∵分式方程有增根，∴x+1＝0，即x＝﹣1，把x＝﹣1代入整式方程得：﹣3﹣2＝﹣2+2+m，解得：m＝﹣5．故選：A．【點睛】此題考查了分式方程增根的意義，熟練掌握分式方程的有關性質是解題的關鍵．6．（2022·四川開江·八年級期末）如果關于x的分式方程無解，則m的值為（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】解方程得x＝6﹣m，由方程無解，則x＝5，即可求m的值．【詳解】解：，方程兩邊同時乘以x﹣5得，2﹣（m+1）＝x﹣5，去括號得，2﹣m﹣1＝x﹣5，解得x＝6﹣m，∵原分式方程無解，∴x＝5，∴m＝1，故選：B．【點睛】本題考查分式方程的求解，涉及參數運算，屬于基礎題，難度不大，熟練掌握分式方程的求解方法是解決本題的關鍵．【知識拓展6】分式方程特殊解-解為正或負例6．（2022·江蘇·八年級期末）已知關于x的分式方程的解是非負數，則m的取值范圍是_____．【答案】且【分析】先由題意求出分式方程的解，再由解是非負數和分母不為0，列出不等式組，解出即可得到答案．【詳解】解：，去分母得：，，，解得：且，故答案為：且．【點睛】本題考查了分式方程中參數的取值范圍，解題的關鍵是除了題干中明確要求的條件外，要注意分母不能為0的隱含條件．【即學即練】6．（2022·安徽馬鞍山·八年級期末）若關于的方程的解是正數，則的取值范圍為（）A．B．C．且D．且【答案】C【分析】先解分式方程求解，根據方程的解為正數，求出a的范圍，然后將方程的增根代入求出，所以a的取值范圍是且．【詳解】解：解方程，得，∴，∴，

∵是方程的增根，當時，解得，

即當時，分式方程有增根，∴，∴a的取值范圍是且．故選：C．【點睛】本題考查了分式方程的解，熟練解分式方程是解題的關鍵．【知識拓展7】分式方程特殊解-整數解例7．（2022秋·湖南長沙·八年級?？茧A段練習）關于y的分式方程有非負整數解，則滿足條件的所有負整數a的個數是（）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】A【分析】解分式方程得出，根據其有非負整數解，即得出，，且為整數．再根據a為負整數，即得出所有a的可能的值，即得出答案．【詳解】解：，等式兩邊同時乘，得：，解得：．∵該分式方程有非負整數解，∴，，且為整數．∵a為負整數，∴的值為或或或，∴滿足條件的所有負整數a的個數是4個．故選A．【點睛】本題主要考查根據分式方程的解的情況求參數．掌握解分式方程的步驟是解題關鍵．【即學即練】7．（2022·江蘇九年級專題練習）若關于x的不等式組無解，且關于y的分式方程有非負整數解，則滿足條件的所有整數a的和為（）A．8 B．10 C．16 D．18【答案】C【分析】先由不等式組無解，求解，再求解分式方程的解，由方程的解為非負整數，求解且，再逐一確定的值，從而可得答案．【詳解】解：由①得：，∴，由②得：，∴，∵關于x的不等式組無解，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵關于y的分式方程有非負整數解，∴，∴，∵為整數，∴或或或或．∴．故選：C．【點睛】本題考查的由不等式組無解求解字母系數的范圍，分式方程的非負整數解，熟練掌握解不等式組的方法和解分式方程是解題關鍵，解題時要注意分式方程的解得到y≠2這一隱含條件．知識點02分式方程的應用【知識點】分式方程的應用（1）分式方程的應用主要涉及工程問題，有工作量問題、行程問題等．每個問題中涉及到三個量的關系，如：工作時間＝，時間＝等．（2）列分式方程解應用題的一般步驟：①設未知數；②找等量關系；③列分式方程；④解分式方程；⑤檢驗（一驗分式方程，二驗實際問題）；⑥答．【知識拓展1】例1．（2022·銅仁一中實驗學校）“五一”節(jié)期間，幾名同學包租一輛面包車前去旅游，面包車的租價為180元，出發(fā)時又增加了兩名同學，結果每個同學比原來少攤了3元錢車費，設實際參加游覽的同學共x人，則所列方程為（）A．B．C．D．【答案】D【分析】設實際參加游覽的同學共x人，則原有的幾名同學每人分擔的車費為：元，出發(fā)前每名同學分擔的車費為：，根據每個同學比原來少攤了3元錢車費即可得到等量關系．【詳解】解：設實際參加游覽的同學共x人，根據題意得：，故選：D．【點睛】本題主要考查了分式方程的應用，解題的關鍵是首先弄清題意，根據關鍵描述語，找到合適的等量關系；易錯點是得到出發(fā)前后的人數．【即學即練】1．（2022·安徽太湖·八年級期末）在2020年3月底新過師炎疫情在我國得到快速控制，教育部要求低風險區(qū)錯時、錯峰開學，某校在只有初三年級開學時，一段時間用掉120瓶消毒液，在初二、初一年級也錯時、錯峰開學后，平均每天比原來多用4瓶消毒液，這樣120瓶消毒液比原來少用5天，若設原來平均每天用掉x瓶消毒液，則可列方程是（）A．B．C．D．【答案】A【分析】根據天數比原來少用5天建立等量關系．【詳解】設原來平均每天用x瓶消毒液，則原來能用天現在每天用x+4瓶消毒液，則現在能用天，再根據少用5天得到等量關系：故選A．【點睛】本題考查分式方程的實際應用，找到等量關系是本題的解題關鍵．【知識拓展2】分式方程的應用-工程問題例2．（2022·四川宣漢·八年級期末）宣漢到達州要鋪設一條長35千米的管道，為了盡量減少施工對周邊居民生活造成的影響，實際施工時，每天鋪設管道的長度比原計劃增加20%，結果提前7天完成．設原計劃每天鋪設管道的長度為千米，則可列方程為（）A．B．C．D．【答案】B【分析】設原計劃每天鋪設管道的長度為千米，要鋪設一條長35千米的管道除以原計劃每天鋪設管道的長度千米-要鋪設一條長35千米的管道除以實際施工時，每天鋪設管道的長度比原計劃增加20%=7，列分式方程求解即可．【詳解】解：設原計劃每天鋪設管道的長度為千米，則可列方程為．故選擇B．【點睛】本題考查列分式方程解應用題，掌握列分式方程解應用題方法與步驟，抓住等量關系是解題關鍵．【即學即練】2．（2022·貴州初二月考）2020年2月22日深圳地鐵10號線華南城站試運行，預計今年6月正式開通．在地鐵的建設中，某段軌道的鋪設若由甲乙兩工程隊合做，12天可以完成，共需工程費用27720元；已知乙隊單獨完成這項工程所需時間是甲隊單獨完成這項工程所需時間的1.5倍，且甲隊每天的工程費用比乙隊多250元．（1）求甲、乙兩隊單獨完成這項工程各需多少天？（2）若工程管理部門決定從這兩個隊中選一個隊單獨完成此項工程，從節(jié)約資金的角度考慮，應選擇哪個工程隊？請說明理由．【答案】（1）甲工程隊單獨完成這項工程需要20天，乙工程隊單獨完成這項工程需30天；（2）應選甲工程隊單獨完成；理由見解析．【分析】（1）設甲工程隊單獨完成這項工程需要x天，則乙工程隊單獨完成這項工程需要1.5x天，根據甲工程隊完成的工作量+乙工程隊完成的工作量＝整項工程，即可得出關于x的分式方程，解之經檢驗后即可得出結論；（2）設甲工程隊每天的費用是y元，則乙工程隊每天的費用是（y﹣250）元，根據甲、乙兩工程隊合作12天共需費用27720元，即可得出關于y的一元一次方程，解之即可得出兩隊每天所需費用，再求出兩隊單獨完成這些工程所需總費用，比較后即可得出結論．【解析】解：（1）設甲工程隊單獨完成這項工程需要x天，則乙工程隊單獨完成這項工程需要1.5x天，依題意，得：1，解得：x＝20，經檢驗，x＝20是原分式方程的解，且符合題意，∴1.5x＝30．答：甲工程隊單獨完成這項工程需要20天，乙工程隊單獨完成這項工程需30天；（2）設甲工程隊每天的費用是y元，則乙工程隊每天的費用是（y﹣250）元，依題意，得：12y+12（y﹣250）＝27720，解得：y＝1280，∴y﹣250＝1030．甲工程隊單獨完成共需要費用：1280×20＝25600（元），乙工程隊單獨完成共需要費用：1030×30＝30900（元）．∵25600＜30900，∴甲工程隊單獨完成需要的費用低，應選甲工程隊單獨完成．【點睛】本題主要考查了分式方程的實際應用，解題的關鍵是合理設出未知數，找到等量關系，列出方程．3．（2022·成都市八年級月考）為穩(wěn)步推進網絡建設，深化共建共享，現有甲、乙兩個工程隊參與基站建設工程．（1）已知乙隊的工作效率是甲隊的倍，如果兩隊單獨施工完成該項工程，甲隊比乙隊多用天，求乙隊單獨施工，需要多少天才能完成該項工程？（2）當甲隊施工天完成基站建設工程的時，乙隊加入該工程，結果比甲隊單獨施工提前天完成了剩余的工程．①求乙隊單獨施工，需要多少天才能完成該項工程？②若乙隊參與該項工程施工的時間不超過天，求甲隊從開始施工到完成該工程至少需要多少天？【答案】（1）乙隊單獨施工，需要天才能完成該項工程．（2）①36天，②至少40天【分析】（1）設乙隊單獨施工，需要天才能完成該項工程，列出相應分式方程求解即可；（2）①由甲隊施工20天完成工程的可得出甲隊單獨施工完成整項工程所需時間，結合乙隊加入后可提前25天完成了剩余的工程可得出兩隊共同施工的時間，設乙隊單獨施工需要天才能完成該項工程，根據兩隊每天完成的工程量共同工作的時間整項工程的，即可得出關于的分式方程，解之經檢驗后即可得出結論；②設甲隊施工天完成該項工程，根據乙隊參與該項工程施工的時間不超過12天，即可得出關于的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出結論．【詳解】解：（1）設乙隊單獨施工，需要天才能完成該項工程，由題意，得，解方程，得，經檢驗，是原分式方程的解，且符合題意．答：乙隊單獨施工，需要天才能完成該項工程．（2）①由題意得，甲隊單獨施工天完成該項工程的，所以甲隊單獨施工天完成該項工程.甲隊單獨施工完成剩余的工程的時間為（天），于是甲、乙兩隊共同施工的時間為（天）．設乙隊單獨施工需要天才能完成該項工程，則，解方程，得.經檢驗，是原分式方程的解，且符合題意．答：若乙隊單獨施工，需要天才能完成該項工程．②設甲隊從開始施工到完成該工程需要天，依題意列不等式，得，解得：【點睛】本題考查了分式方程的應用以及一元一次不等式的應用，解題的關鍵是：（1）找準等量關系，正確列出分式方程；（2）根據各數量之間的關系，正確列出一元一次不等式．【知識拓展3】分式方程的應用-行程問題例3.（2022·黑龍江虎林·八年級期末）隨著生活水平的提高，小林家購置了私家車，這樣他乘坐私家車上學比乘坐公交車上學所需的時間少用了15分鐘，現已知小林家距學校8千米，乘私家車平均速度是乘公交車平均速度的2.5倍，若設乘公交車平均每小時走x千米，根據題意可列方程為_________．【答案】【分析】設乘公交車平均每小時走x千米，則乘私家車平均速度是每小時千米，則乘公交車花的時間為小時，乘私家車所花的時間為小時，再利用乘坐私家車上學比乘坐公交車上學所需的時間少用了15分鐘，列方程即可.【詳解】解：設乘公交車平均每小時走x千米，則乘私家車平均速度是每小時千米，則故答案為：【點睛】本題考查的是分式方程的應用，設適當的未知數，表示需要的代數式，確定相等關系都是解本題的關鍵.【即學即練】3．（2022·上海市盧灣中學期末）小王步行的速度比跑步的速度慢，跑步的速度比騎車的速度慢．如果他騎車從城到城，再步行返回城共需要兩小時，那么小王跑步從城到城需要____分鐘．【答案】48【分析】此題可設騎車速度為x，則跑步的速度為（1-50%）x，步行的速度為（1-50%）（1-50%）x，根據騎車從A城去B城，再步行返回A城共需2小時列出分式方程解答即可．【詳解】解：設騎車速度為，則跑步的速度為，步行的速度為，根據題意列方程得，解得，經檢驗，是原方程的解，跑步的速度為，小王跑步從城到城需要（小時），小時=48分鐘．故小王跑步從城到城需要48分鐘．故答案為：48．【點睛】本題主要考查分式方程的應用，解題的關鍵是熟練掌握列分式方程解應用題的一般步驟，即①設未知數，②根據題意找出等量關系，③列出方程，④解出分式方程并檢驗，⑤作答．注意：分式方程的解必須檢驗．【知識拓展4】分式方程的應用-銷售問題例4．（2022·浙江嘉興·八年級期末）某車行經營A，B兩種型號的電瓶車，已知A型車和B型車的進貨價格分別為1500元和2500元．（1）該車行去年A型車銷售總額為8萬元，今年A型車每輛售價比去年降低200元，若今年A型車的銷售量與去年相同，則A型車銷售額將比去年減少10%，求去年每輛A型車的售價．（2）今年第三季度該車行計劃用3萬元再購進A，B兩種型號的電瓶車若干輛，問：①一共有幾種進貨方案；②在（1）的條件下，已知每輛B型車的利潤率為24%，①中哪種方案利潤最大，最大利潤是多少？（利潤＝售價﹣成本，利潤率＝利潤÷成本×100%）．【答案】（1）去年每輛A型車的售價為2000元；（2）①一共有3種進貨方案；②方案3的利潤最大，最大利潤是6900元．【分析】（1）設去年每輛A型車的售價為x元，則今年每輛A型車的售價為（x?200）元，利用數量＝總價÷單價，結合今年A型車的銷售量與去年相同，即可得出關于x的分式方程，解之經檢驗后即可得出結論；（2）①設購進A型車m輛，B型車n輛，利用總價＝單價×數量，即可得出關于m，n的二元一次方程，結合m，n均為正整數，即可得出各進貨方案；②利用總利潤＝每輛的利潤×銷售數量，即可分別求出選擇各方案的總利潤，比較后即可得出結論．【詳解】解：（1）設去年每輛A型車的售價為x元，則今年每輛A型車的售價為（x?200）元，依題意得：＝，解得：x＝2000，經檢驗，x＝2000是原方程的解，且符合題意．答：去年每輛A型車的售價為2000元；（2）①設購進A型車m輛，B型車n輛，依題意得：1500m＋2500n＝30000，∴m＝20?n．又∵m，n均為正整數，∴或或，∴一共有3種進貨方案，方案1：購進A型車15輛，B型車3輛；方案2：購進A型車10輛，B型車6輛；方案3：購進A型車5輛，B型車9輛．②選擇方案1的利潤為（2000?200?1500）×15＋2500×24%×3＝6300（元）；選擇方案2的利潤為（2000?200?1500）×10＋2500×24%×6＝6600（元）；選擇方案3的利潤為（2000?200?1500）×5＋2500×24%×9＝6900（元）．∵6300＜6600＜6900，∴方案3的利潤最大，最大利潤是6900元．【點睛】本題考查了分式方程的應用以及二元一次方程的應用，解題的關鍵是：（1）找準等量關系，正確列出分式方程；（2）①找準等量關系，正確列出二元一次方程；②利用總利潤＝每輛的利潤×銷售數量，求出選擇各方案的總利潤．【即學即練】4．（2022·海東初二期末）枇杷肉質厚實，鮮甜微酸，營養(yǎng)價值很高，是初夏里受人們喜愛的水果之一．枇杷一上市，某水果店的老板就用1350元購進一批枇杷，很快售完．老板又用1900元購進第二批枇杷，所購箱數是第一批的倍，但進價比第一批每箱多了5元．（1）求第一批枇杷的每箱進價．（2）老板以每箱145元的價格銷售第二批枇杷，售出80%后，為了盡快售完，決定將剩下的打折促銷．要使得第二批枇杷的銷售利潤不少于855元，剩余的枇杷每箱售價至多打幾折？【答案】（1）第一批枇杷每箱進價為90元；（2）剩余的枇杷每箱售價至多打七五折【分析】（1）設第一批枇杷每箱進價x元，則第二批進價為x+5元，再根據第二批的數量是第一批的倍，和數量=總價÷單價即可列出方程，求解即可；（2）設剩余的枇杷每箱售價打y折，根據利潤=銷售收入-進價，和利潤不少于855元可列出不等式，求解即可．【解析】解：（1）設第一批枇杷每箱進價x元．由題意得，解得．經檢驗，是原方程的根，且符合題意．答：第一批枇杷每箱進價為90元．（2）第二批購進枇杷的箱數為設剩余的枇杷每箱售價打y折．由題意可知，，解得．答：剩余的枇杷每箱售價至多打七五折．【點睛】本題考查了分式方程的應用以及一元一次不等式的應用，解題的關鍵是：（1）根據數量=總價÷單價，列出關于x的分式方程；（2）根據利潤=銷售收入-進價，列出關于m的一元一次不等式．5．（2022·江蘇南通市八年級月考）某汽車銷售公司經銷某品牌A款汽車，隨著汽車的普及，其價格也在不斷下降．今年5月份A款汽車的售價比去年同期每輛降價1萬元，如果賣出相同數量的A款汽車，去年銷售額為100萬元，今年銷售額只有90萬元．（1）今年5月份A款汽車每輛售價多少萬元？（2）為了增加收入，汽車銷售公司決定再經銷同品牌的B款汽車，已知A款汽車每輛進價為7.5萬元，B款汽車每輛進價為6萬元，公司預計用不多于105萬元且不少于99萬元的資金購進這兩款汽車共15輛，有幾種進貨方案？（3）按照（2）中兩種汽車進價不變，如果B款汽車每輛售價為8萬元，為打開B款汽車的銷路，公司決定每售出一輛B款汽車，返還顧客現金a萬元，要使（2）中所有的方案獲利相同，a值應是多少？【答案】（1）今年5月份A款汽車每輛售價9萬元；（2）共有5種進貨方案；（3）a＝0.5時，（2）中所有方案獲利相同，此時，購買A款汽車6輛，B款汽車9輛對公司有利【分析】（1）求單價，總價明顯，應根據數量來列等量關系．等量關系為：今年的銷售數量＝去年的銷售數量．（2）關系式為：99≤A款汽車總價+B款汽車總價≤105．（3）方案獲利相同，說明與所設的未知數無關，讓未知數x的系數為0即可；多進B款汽車對公司更有利，因為A款汽車每輛進價為7.5萬元，B款汽車每輛進價為6萬元，所以要多進B款．【詳解】解：（1）設今年5月份A款汽車每輛售價m萬元．則：，解得：m＝9．經檢驗，m＝9是原方程的根且符合題意．答：今年5月份A款汽車每輛售價9萬元；（2）設購進A款汽車x輛．則：99≤7.5x+6（15﹣x）≤105．解得：6≤x≤10．∵x的正整數解為6，7，8，9，10，∴共有5種進貨方案；（3）設總獲利為W萬元，購進A款汽車x輛，則：W＝（9﹣7.5）x+（8﹣6﹣a）（15﹣x）＝（a﹣0.5）x+30﹣15a．當a＝0.5時，（2）中所有方案獲利相同，此時，購買A款汽車6輛，B款汽車9輛對公司有利．【點睛】本題主要考查了分式方程與不等式的結合，準確計算是解題的關鍵．題組A基礎過關練1．（2022·山東濟寧·八年級期末）下列方程中不是分式方程的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據分式方程的概念逐項判斷即可找出正確答案．【詳解】解：分式方程需同時滿足3個條件，即是方程，有分母，分母中含有未知量，觀察可知，選項ABD均滿足上述三個條件，故都是分式方程，選項C分母中沒有未知量，不屬于分式方程，故答案為：C．【點睛】本題考查分式方程的概念，熟練掌握分式方程的判定方法是解題的關鍵．2．（2022·四川廣元·八年級期末）方程的解為（

）A． B． C． D．原分式方程無解【答案】D【分析】利用去分母，去括號，移項，合并同類項，系數化1，檢驗解分式方程即可．【詳解】解：分式兩邊同乘得：，移項合并同類項得：，檢驗：當，，∴是原方程的增根，∴原方程無解；故選D．【點睛】本題考查解分式方程，注意使最簡公分母為0的x的值，是方程的增根，要舍掉．3．（2022·湖南·明德湘南學校八年級階段練習）把分式方程的兩邊同時乘以，約去分母，得（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】方程兩邊同時乘以進行化簡即可．【詳解】解：方程兩邊同時乘以得：；故選D．【點睛】本題考查分式方程去分母．在去分母的時候，注意常數項不要漏乘．4．（2022·晉州市月考）抗擊新冠肺炎疫情期間，某口罩廠接到加大生產的緊急任務后積極擴大產能，現在每天生產的口罩比原來多4萬個．已知現在生產100萬個口罩所需的時間與原來生產60萬個口罩所需的時間相同，問口罩廠現在每天生產多少個口罩？設原來每天生產x萬個口罩，則由題意可列出方程（）A．＝ B．＝ C．＝ D．＝【答案】B【分析】設原來每天生產x萬個口罩，則現在每天生產（x+4）萬個口罩，根據工作時間=工作總量÷工作效率結合現在生產100萬個口罩所需的時間與原來生產60萬個口罩所需的時間相同，即可得出關于x的分式方程，此題得解．【解析】解：設原來每天生產x萬個口罩，則現在每天生產（x+4）萬個口罩，依題意，得：＝；故選：B．【點睛】本題考查了由實際問題抽象出分式方程，找準等量關系，正確列出分式方程是解題的關鍵．5．（2022·江蘇·八年級專題練習）將的分母化為整數，得（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據分式的基本性質求解．【詳解】解：將的分母化為整數，可得．故選：D．【點睛】本題考查一元一次方程的化簡，熟練掌握分式的基本性質解題關鍵．6．（2022·江蘇鹽城市·八年級期中）若關于x的分式方程=2有增根，則增根是()A．x=0 B．x=1 C．x=2 D．x=3【答案】B【分析】利用分式方程增根的定義直接得到答案．【詳解】解：∵關于x的分式方程=2有增根∴x﹣1=0，即x=1，所以增根為x=1．故選：B．【點睛】本題考查的是分式方程的增根的含義，掌握分式方程的增根的含義是解題的關鍵．7．（2022·湖南·岳陽縣甘田中學八年級階段練習）方程的解昰___________．【答案】【分析】先去分母，把方程化為整式方程，再解整式方程并檢驗即可.【詳解】解：去分母得：整理得：解得：經檢驗：是原方程的根，∴原方程的根為：故答案為：【點睛】本題考查的是分式方程的解法,掌握“分式方程的解法與步驟”是解本題的關鍵.8．（2022·儀征市八年級月考）若關于x的分式方程的解為負數，則m的取值范圍為______．【答案】m＞1且m≠3．【分析】先解關于x的分式方程，得x=1-m，再根據關于x的分式方程的解為負數，得1-m＜0且1-m≠-2，故m＞1且m≠3．【詳解】解：，去分母，得3-m=x+2，移項，得x=1-m．∵關于x的分式方程的解為負數，∴1-m＜0且1-m≠-2，∴m＞1且m≠3．故答案為：m＞1且m≠3．【點睛】本題主要考查解分式方程以及解一元一次不等式，熟練掌握解分式方程以及解一元一次不等式是解決本題的關鍵．9．（2022·江蘇·蘇州九年級階段練習）解分式方程：．【答案】【分析】兩邊都乘以，化分式方程為整式方程，再進一步求解即可．【詳解】解：兩邊都乘以，得：，整理，得：，解得，，檢驗：當時，，舍去；當時，；所以分式方程的解為．【點睛】本題主要考查解分式方程，將分式方程化為整式方程是解題的關鍵，注意檢驗．10．（2022·湖南·臨武縣第六中學八年級階段練習）解分式方程：【答案】【分析】先去分母，把方程化為整式方程，再解整式方程并檢驗即可．【詳解】解：，去分母得：整理得：解得：經檢驗：是原方程的根，∴原方程的根為：【點睛】本題考查的是分式方程的解法，掌握“解分式方程的步驟與方法”是解本題的關鍵．11．（2022·河北·八年級階段練習）解方程：(1)(2)【答案】(1)(2)原方程無解【分析】（1）去分母，去括號，移項，合并同類項，系數化1，最后檢驗根是否有意義，即可求解；（2）先將分式通分，再根據分式的加減法法則進行運算，最后把解的根代入原方程檢驗，若分式有意義則有解，原方程無意義則原方程無解．（1）解：原式變形得，，且，，∴，代入原方程檢驗得，原方程左邊：，原方程右邊：，即時，方程左邊等于右邊，且原方程有意義，故方程的解是：．（2）解：原式通分得，，且，，，∴，，代入原方程檢驗：原方程分母為零，方程無意義，故原方程無解．【點睛】本題主要考查解分式方程，掌握分式的加減法法則，通分，分式方程有意義是解題的關鍵．12．（2022·江蘇海陵·泰州中學附屬初中期中）近年來，市區(qū)住建部門加快推進“空轉綠”“微添綠”等項目建設，新增大小游園數十個，讓市民開門即見綠，休憩有綠蔭．老王和小王兩父子準備從家勻速步行前往位于城西新建的祥泰公園散步，由于小王有事耽擱，比老王晚出發(fā)8分鐘，小王的步行速度是老王的1.2倍，結果兩人同時到達公園．已知老王家與公園相距2.4km，求老王步行的速度．【答案】老王步行的速度0.05km/min．【分析】設老王平均每小時行x千米，則小王平均每小時行1.2x千米，根據題意列方程即可得到結論．【解析】解：設老王平均每小時行x千米，則小王平均每小時行1.2x千米，根據題意，得，解得，經檢驗，是原方程的根，答：老王步行的速度0.05km/min．【點睛】本題考查分式方程的應用，解題的關鍵是正確找出等量關系．題組B能力提升練1．（2022·河北·石家莊三模）小明和小亮在解答“解分式方程：”的過程如框，對他們的解答過程（每一步只對上一步負責）有以下判斷，判斷錯誤的是（）小明的解法：解：去分母得：①去括號得：②移項得：③合并同類項得：④系數化為得：⑤是原分式方程的解⑥小亮的解法：解：去分母得：①去括號得：②移項得：③合并同類項得：④系數化為得：⑤A．小明的步驟①錯誤，漏乘 B．小明的步驟②、③、④都正確C．小明的步驟⑤錯誤 D．小亮的解答完全正確【答案】D【分析】觀察解方程的步驟，找出出錯的即可．【詳解】解：根據題意得：小亮的解答沒有檢驗過程，出錯；小明的步驟錯誤，漏乘，小明的步驟、、都正確，小明的步驟錯誤．故選：．【點睛】此題考查了解分式方程，熟練掌握分式方程的解法是解本題的關鍵．2．（2022·黑龍江·中考真題）已知關于x的分式方程的解是正數，則m的取值范圍是（

）A． B． C．且 D．且【答案】C【分析】先將分式方程去分母轉化為整式方程，求出整式方程的解，根據分式方程的解為正數得到且，即可求解．【詳解】方程兩邊同時乘以，得，解得，關于x的分式方程的解是正數，，且，即且，且，故選：C．【點睛】本題考查了分式方程的解，涉及解分式方程和分式方程分母不為0，熟練掌握知識點是解題的關鍵．3．（2022·山東泰安·中考真題）某工程需要在規(guī)定時間內完成，如果甲工程隊單獨做，恰好如期完成；

如果乙工程隊單獨做，則多用天，現在甲、乙兩隊合做天，剩下的由乙隊單獨做，恰好如期完成，求規(guī)定時間．如果設規(guī)定日期為天，下面所列方程中錯誤的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設總工程量為，因為甲工程隊單獨去做，恰好能如期完成，所以甲的工作效率為；因為乙工程隊單獨去做，要超過規(guī)定日期天，所以乙的工作效率為，根據甲、乙兩隊合做天，剩下的由乙隊獨做，恰好在規(guī)定日期完成，列方程即可．【詳解】解：設規(guī)定日期為天，由題意可得，，整理得，或或．則選項均正確，故選：D．【點睛】本題考查了由實際問題抽象出分式方程，解答本題的關鍵是讀懂題意，設出未知數，找出合適的等量關系，列方程．4．（2022·四川遂寧·中考真題）若關于x的方程無解，則m的值為（

）A．0 B．4或6 C．6 D．0或4【答案】D【分析】現將分時方程化為整式方程，再根據方程無解的情況分類討論，當時，當時，或，進行計算即可．【詳解】方程兩邊同乘，得，整理得，原方程無解，當時，；當時，或，此時，，解得或，當時，無解；當時，，解得；綜上，m的值為0或4；故選：D．【點睛】本題考查了分式方程無解的情況，即分式方程有增根，分兩種情況，分別是最簡公分母為0和化成的整式方程無解，熟練掌握知識點是解題的關鍵．5．（2022·浙江臺州·中考真題）如圖的解題過程中，第①步出現錯誤，但最后所求的值是正確的，則圖中被污染的的值是____．先化簡，再求值：，其中解：原式【答案】5【分析】根據題意得到方程，解方程即可求解．【詳解】解：依題意得：，即，去分母得：3-x+2(x-4)=0，去括號得：3-x+2x-8=0，解得：x=5，經檢驗，x=5是方程的解，故答案為：5．【點睛】本題考查了解分式方程，一定要注意解分式方程必須檢驗．6．（2022·山東青島·中考真題）為落實青島市中小學生“十個一”行動計劃，學校舉辦以“強體質，煉意志”為主題的體育節(jié)，小亮報名參加3000米比賽項目，經過一段時間訓練后，比賽時小亮的平均速度比訓練前提高了25%，少用3分鐘跑完全程．設小亮訓練前的平均速度為x米/分，那么x滿足的分式方程為__________．【答案】【分析】根據比賽時小亮的平均速度比訓練前提高了25%，可得比賽時小亮平均速度為(1+25%)x米/分，根據比賽時所用時間比訓練前少用3分鐘列出方程．【詳解】解：∵比賽時小亮的平均速度比訓練前提高了25%，小亮訓練前的平均速度為x米/分，∴比賽時小亮平均速度為(1+25%)x米/分，根據題意可得，故答案為：．【點睛】本題考查了由實際問題抽象出分式方程，找準等量關系，正確列出分式方程是解題的關鍵．7．（2022·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）若關于x的分式方程的解大于1，則m的取值范圍是______________．【答案】m>0且m≠1【分析】先解分式方程得到解為，根據解大于1得到關于m的不等式再求出m的取值范圍，然后再驗算分母不為0即可．【詳解】解：方程兩邊同時乘以得到：，整理得到：，∵分式方程的解大于1，∴，解得：，又分式方程的分母不為0，∴且，解得：且，∴m的取值范圍是m>0且m≠1．【點睛】本題考查分式方程的解法，屬于基礎題，要注意分式方程的分母不為0這個隱藏條件．8．（2022·重慶·中考真題）為進一步改善生態(tài)環(huán)境，村委會決定在甲、乙、丙三座山上種植香樟和紅楓．初步預算，這三座山各需兩種樹木數量和之比為，需香樟數量之比為，并且甲、乙兩山需紅楓數量之比為．在實際購買時，香樟的價格比預算低，紅楓的價格比預算高，香樟購買數量減少了，結果發(fā)現所花費用恰好與預算費用相等，則實際購買香樟的總費用與實際購買紅楓的總費用之比為_________．【答案】【分析】適當引進未知數，合理轉化條件，構造等式求解即可．【詳解】設三座山各需香樟數量分別為4x、3x、9x．甲、乙兩山需紅楓數量、．∴，∴，故丙山的紅楓數量為，設香樟和紅楓價格分別為、．∴，∴，∴實際購買香樟的總費用與實際購買紅楓的總費用之比為，答案：．【點睛】本題考查未知數的合理引用，熟練掌握未知數的科學設置，靈活構造等式計算求解是解題的關鍵．9．（2022·廣西梧州·中考真題）解方程：【答案】【分析】先方程兩邊同時乘以，化成整式方程求解，然后再檢驗分母是否為0即可．【詳解】解：方程兩邊同時乘以得到：，解出：，當時分式方程的分母不為0，∴分式方程的解為：．【點睛】本題考查了分式方程的解法，屬于基礎題，計算過程中細心即可．10．（2022·四川樂山·中考真題）第十四屆四川省運動會定于2022年8月8日在樂山市舉辦，為保證省運會期間各場館用電設施的正常運行，市供電局為此進行了電力搶修演練．現抽調區(qū)縣電力維修工人到20千米遠的市體育館進行電力搶修．維修工人騎摩托車先行出發(fā)，10分鐘后，搶修車裝載完所需材料再出發(fā)，結果他們同時到達體育館，已知搶修車是摩托車速度的1.5倍，求摩托車的速度．【答案】摩托車的速度為40千米/時【分析】設摩托車的速度為x千米/時，則搶修車的速度為1.5x千米/時，根據搶修車比摩托車少用10分鐘，即可得出關于x的分式方程，解之經檢驗后即可得出結論．【詳解】解：設摩托車的速度為x千米/時，則搶修車的速度為1.5x千米/時，依題意，得：，解得：x=40，經檢驗，x=40是所列方程的根，且符合題意，答：摩托車的速度為40千米/時．【點睛】本題考查了分式方程的應用，找準等量關系，正確列出分式方程是解題的關鍵．11．（2022·重慶·中考真題）為保障蔬菜基地種植用水，需要修建灌溉水渠．(1)計劃修建灌溉水渠600米，甲施工隊施工5天后，增加施工人員，每天比原來多修建20米，再施工2天完成任務，求甲施工隊增加人員后每天修建灌溉水渠多少米？(2)因基地面積擴大，現還需修建另一條灌溉水渠1800米，為早日完成任務，決定派乙施工隊與甲施工隊同時開工合作修建這條水渠，直至完工．甲施工隊按（1）中增加人員后的修建速度進行施工．乙施工隊修建360米后，通過技術更新，每天比原來多修建20%，灌溉水渠完工時，兩施工隊修建的長度恰好相同．求乙施工隊原來每天修建灌溉水渠多少米？【答案】(1)100米(2)90米【分析】（1）設甲施工隊增加人員后每天修建灌溉水渠x米，原來每天修建米，根據工效問題公式：工作總量＝工作時間×工作效率，列出關于x的一元一次方程，解方程即可得出答案；（2）設乙施工隊原來每天修建灌溉水渠y米，技術更新后每天修建米，根據水渠總長1800米，完工時，兩施工隊修建長度相同，可知每隊修建900米，再結合兩隊同時開工修建，直至同時完工，可得兩隊工作時間相同，列出關于y的分式方程，解方程即可得出答案．(1)解：設甲施工隊增加人員后每天修建灌溉水渠x米，原來每天修建米，則有解得∴甲施工隊增加人員后每天修建灌溉水渠100米．(2)∵水渠總長1800米，完工時，兩施工隊修建長度相同∴兩隊修建的長度都為1800÷2＝900(米)乙施工隊技術更新后，修建長度為900－360＝540(米)解：設乙施工隊原來每天修建灌溉水渠y米，技術更新后每天修建米，即1.2y米則有解得經檢驗，是原方程的解，符合題意∴乙施工隊原來每天修建灌溉水渠90米．【點睛】本題考查一元一次方程和分式方程的實際應用，應注意分式方程要檢驗，讀懂題意，正確設出未知數，并列出方程，是解題的關鍵．題組C培優(yōu)拔尖練1．（2022·江蘇九年級專題練習）已知一個三角形三邊的長分別為5，7，a，且關于y的分式方程的解是非負數，則符合條件的所有整數a的和為（）A．24 B．15 C．12 D．7【答案】B【分析】根據三角形的三邊關系確定a的取值范圍，再根據分式方程的解是非負數確定a的取值范圍，從而求出符合條件的所有整數即可得結論.【詳解】解：

去分母得:

移項得:∴

∵分式方程的解為非負數，∴∴，且a≠3

∵三角形的三邊為:5，7，a，∴∴，又∵a≠3，且為整數，∴a可取4，5，6，和為15.故選：B.【點睛】本題考查了三角形的三邊關系、分式方程的解，解決本題的關鍵是根據不等式（組）解集，求出不等式（組）的整數解.2．（2022·江蘇洪澤·八年級期中）若關于的方程無解，則__________．【答案】2或【分析】分式方程無解的條件是：去分母后所得整式方程無解，或解這個整式方程得到的解使原方程的分母等于0．據此解答可得．【解析】解：去分母，得：，整理，得：，當時，分式方程無解，當時，若，則，即；若，則（無解）；綜上所述，或，故答案為：2或．【點睛】本題考查了分式方程的解，分式方程無解的條件，最簡公分母為0，或者得到的整式方程無解．3．（2022·南通市八年級月考）若分式方程的解為正數，則m的取值范圍是__________．【答案】m＞1且m≠3【分析】方程兩邊同乘以x-1，化為整數方程，求得x，再列不等式得出m的取值范圍．【詳解】解：方程兩邊同乘以x-1，得，m-3=2(x-1)，解得，∵分式方程解為正數∴且x-1≠0，

即m＞1且，∴m＞1且m≠3，故答案為：m＞1且m≠3．【點睛】本題考查了分式方程的解，要注意分式的分母不為0的條件，此題是一道易錯題，有點難度．4．（2022·江蘇九年級專題練習）對于任意實數a，b，定義關于“”的一種運算如下：ab=．例如：52==.若4x=－3，=________．【答案】【分析】先根據新定義的運算得到分式方程，然后根據解分式方程的方法求解即可．【詳解】解：由題意得：，去分母得：，移項并合并同類項得：，解得：，經檢驗，是分式方程的解，故答案為：．【點睛】本題主要考查解分式方程，解題的關鍵是根據新定義的運算得到分式方程．5．（2022·廈門中考模擬）觀察分析下列方程：①；②；③．請利用它們所蘊含的規(guī)律，求關于的方程（n為正整數）的根，你的答案是_____．【答案】x=n+4或x=n+5【分析】根據方程變形后，歸納總結得到一般性規(guī)律，求出所求方程的解即可．【詳解】解：，解得：或；，解得：或；，解得：或；得到規(guī)律，的解為：或；所求方程整理得：，根據規(guī)律得：或，解得：x=n+4或x=n+5故答案為：x=n+4或x=n+5【點睛】此題考查了分式方程的解，弄清楚題中的規(guī)律是解本題的關鍵．6．（2022·重慶南岸·模擬）某快遞公司快遞員甲勻速騎車去距公司6000米的某小區(qū)取物件，出發(fā)幾分鐘后，該公司快遞員乙發(fā)現甲的手機落在公司，于是立馬勻速騎車去追趕甲，乙出發(fā)幾分鐘后，甲也發(fā)現自己的手機落在了公司，立即調頭以原速的2倍原路返回，1分鐘后遇到了乙，乙把手機給甲后，乙以原速的一半原路返回公司，甲以返回時的速度繼續(xù)去小區(qū)取物件，剛好在事先預計的時間到達該小區(qū)．甲、乙兩人相距的路程y（米）與甲出發(fā)的時間x（分鐘）之間的關系如圖所示（給手機及中途其它耽誤時間忽略不計），則甲到小區(qū)時，乙距公司的路程是_____米．【答案】1500【分析】甲開始的速度為a（m/min），則甲后來的速度為2a（m/min），根據“剛好在事先預計的時間到達該小區(qū)”，結合函數圖象列出方程，可以分別求得甲乙的速度和甲到達公司的時間，進而求得甲到小區(qū)時，乙距公司的路程．【解析】設甲開始的速度為a（m/min），則甲后來的速度為2a（m/min），由題意可得，解得，a＝500，設乙的速度為b（m/min），由甲乙相遇知，∴b＝1000，∴甲乙相遇時乙距公司的路程為：（9﹣）×1000＝3000，甲到達小區(qū)的時間為：＝12（min），∴甲到小區(qū)時，乙距公司的路程為：3000﹣1000××（12﹣9）＝1500（m），故答案為：1500．【點睛】本題考查了函數圖像的識別，分式方程，根據題目中的等量關系列出正確的方程是本題的關鍵．7.（2022·江西尋烏·初二期末）列方程解應用題：老舍先生曾說“天堂是什么樣子，我不曉得，但從我的生活經驗去判斷，北平之秋便是天堂”（摘自《住的夢》）金黃色的銀杏葉為北京的秋增色不少，小宇家附近新修了一段公路，他想給市政寫信，建議在路的兩邊種上銀杏樹，他先讓爸爸開車駛過這段公路，發(fā)現速度為60千米/時，走了約3分鐘。（1）由此估算這段路長約____千米；（2）然后小宇查閱資料，得知銀杏為落葉大喬木，成年銀杏樹樹冠直徑可達8米，小宇計從路的起點開始，每a米種一棵樹，繪制出了示意圖，考慮到投入資金的限制，他設計了一種方案，將原計劃的a擴大一倍，則路的兩側共計減少400棵樹，請你求出a的值【答案】（1）3；（2）7.5【分析】（1）利用路程=速度×時間可求出這條路的長度；（2）設原計劃每a米種一棵樹，則現設計每2a米種一棵樹，根據需種樹的棵數=路的長度÷樹間距結合現設計的每一側都減少400棵樹，即可得出關于a的分式方程，解之經檢驗后即可得出結論．【解析】（1）這段路長約60（千米）．故答案為：3．（2）設原計劃每a米種一棵樹，則現設計每2a米種一棵樹，依題意，得：由愿意可得，解方程得，經檢驗，滿足方程且符合題意．答：的值是．【點睛】本題考查了分式方程的應用，找準等量關系，正確列出分式方程是解題的關鍵．注意單位的統一．8．（2022·西安市初二期中）某家電銷售商城電冰箱的銷售價為每臺2100元，空調的銷售價為每臺1750元，每臺電冰箱的進價比每臺空調的進價多400元，商城用80000元購進電冰箱的數量與用64000元購進空調的數量相等．（1）求每臺電冰箱與空調的進價分別是多少；（2）現在商城準備一次購進這兩種家電共100臺，設購進電冰箱x臺，這100臺家電的銷售總利潤為y元，要求購進空調數量不超過電冰箱數量的2倍，總利潤不低于13000元，請分析合理的方案共有多少種，并確定獲利最大的方案以及最大利潤；（3）實際進貨時，廠家對電冰箱出廠價下調k（0＜k＜100）元，若商店保持這兩種家電的售價不變，請你根據以上信息及（2）問中條件，設計出使這100臺家電銷售總利潤最大的進貨方案．【答案】（1）1600，2000；（2）有7種，當購進電冰箱34臺，空調66臺獲利最大，最大利潤為13300元；（3）當50＜k＜100時，購進電冰箱40臺，空調60臺銷售總利潤最大；當0＜k＜50時，購進電冰箱34臺，空調66臺銷售總利潤最大；當k=50時，每種進貨方案的總利潤都一樣．【分析】（1）設每臺空調的進價為x元，則每臺電冰箱的進價為（x+400）元，根據“商城用80000元購進電冰箱的數量與用64000元購進空調的數量相等”，列出方程，即可解答；（2）設購進電冰箱x臺，這100臺家電的銷售總利潤為y元，表示出總利潤y=﹣50x+15000，根據題意得：求出x的取值范圍，根據x為正整數，所以x=34，35，36，37，38，39，40