專題5.4 分式方程（教師版）

專題5.4分式方程1.理解分式方程的概念，并會(huì)熟練解分式方程；2.理解增根的概念，會(huì)檢驗(yàn)分式方程的根；3.會(huì)用分式方程解決相關(guān)問題，并進(jìn)行簡單的應(yīng)用。知識(shí)點(diǎn)01分式方程及其解法【知識(shí)點(diǎn)】1．分式方程的概念：分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程．注意：“分母中含有未知數(shù)”是分式方程與整式方程的根本區(qū)別，也是判定一個(gè)方程為分式方程的依據(jù)．2．分式方程的解法（1）解分式方程的基本思路是將分式方程化為整式方程，具體做法是去分母，即方程兩邊同乘以各分式的最簡公分母．（2）解分式方程的步驟：①找最簡公分母，當(dāng)分母是多項(xiàng)式時(shí)，先分解因式；②去分母，方程兩邊都乘最簡公分母，約去分母，化為整式方程；③解整式方程；④驗(yàn)根．注意：解分式方程過程中，易錯(cuò)點(diǎn)有：①去分母時(shí)要把方程兩邊的式子作為一個(gè)整體，記得不要漏乘整式項(xiàng)；②忘記驗(yàn)根，最后的結(jié)果還要代回方程的最簡公分母中，只有最簡公分母不是零的解才是原方程的解．3．增根：在方程變形時(shí)，有時(shí)可能產(chǎn)生不適合原方程的根，這種根叫做方程的增根．由于可能產(chǎn)生增根，所以解分式方程要驗(yàn)根，其方法是將根代入最簡公分母中，使最簡公分母為零的根是增根，否則是原方程的根．【知識(shí)拓展1】例1．（2022·山東八年級(jí)月考）下列方程不是分式方程的是（）A．B．C．D．【答案】B【分析】根據(jù)分式方程的定義：分母中含有未知數(shù)的方程叫做分式方程進(jìn)行判斷．【詳解】解：A、方程分母中含有未知數(shù)x，是分式方程，故本選項(xiàng)不符合題意；B、方程分母中不含有未知數(shù)x，不是分式方程，故本選項(xiàng)符合題意；C、方程分母中含有未知數(shù)x，是分式方程，故本選項(xiàng)不符合題意；D、方程分母中含有未知數(shù)x，是分式方程，故本選項(xiàng)不符合題意．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的定義，判斷一個(gè)方程是否為分式方程，主要是依據(jù)分式方程的定義，也就是看分母中是否含有未知數(shù)（注意：僅僅是字母不行，必須是表示未知數(shù)的字母）．【即學(xué)即練】1．（2022·成都市八年級(jí)月考）已知方程：①；②；③；④．這四個(gè)方程中，分式方程的個(gè)數(shù)是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】分母中含有未知數(shù)的方程叫分式方程，根據(jù)定義解答．【詳解】解：根據(jù)定義可知：①②③為分式方程，故選：C．【點(diǎn)睛】此題考查分式方程的定義，熟記定義是解題的關(guān)鍵．2．（2022·江蘇無錫八年級(jí)期中）下列關(guān)于x的方程中，屬于分式方程的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)分式方程的定義即可求出答案．【詳解】A、是一元一次方程，故不符合題意；B、是一元一次方程，故不符合題意；C、是分式方程，故符合題意；D、是二元一次方程，故不符合題意；故選C．【點(diǎn)睛】本題考查分式方程，解題的關(guān)鍵是熟練運(yùn)用分式方程的定義，本題屬于基礎(chǔ)題型．【知識(shí)拓展2】分式方程的解例2．（2022·陜西蓮湖·八年級(jí)期末）已知是分式方程的解，則的值為（）A． B．1 C．3 D．【答案】A【分析】根據(jù)分式方程的解的定義，可將x=3代入方程，求得a=-1．然后，代入a-3檢驗(yàn)是否為0，進(jìn)而得出a=-1．【詳解】解：∵x=3是分式方程的解，∴，∴a=-1，∴a-3=-1-3=-4≠0（a符合題意）．故選：A．【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式方程的解的定義以及解分式方程，熟練掌握解分式方程是解本題的關(guān)鍵．【即學(xué)即練】2．（2022·哈爾濱市九年級(jí)月考）方程解是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】將4個(gè)選項(xiàng)逐一代入方程，能使得等式成立的即為方程的解．【詳解】經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的根．故選B．【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程解．【知識(shí)拓展3】解分式方程例3．（2022·南通市八年級(jí)期中）解方程：（1）（2）【答案】（1）無解；（2）x=3【分析】（1）先兩邊同時(shí)乘以得：，然后解整式方程，最后進(jìn)行檢驗(yàn)即可；（2）先兩邊同時(shí)乘以得，然后解整式方程，最后進(jìn)行檢驗(yàn)即可．【詳解】解：（1）兩邊同時(shí)乘以得：，∴，∴，∴，經(jīng)檢驗(yàn)不是原方程的解，∴此方程無解；（2）即，兩邊同時(shí)乘以得，∴，∴，解得，經(jīng)檢驗(yàn)是原方程的解．【點(diǎn)睛】本題主要考查了解分式方程，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握解分式方程的方法．【即學(xué)即練】3．（2022·江蘇九年級(jí)專題練習(xí)）解方程時(shí)，去分母得（）A． B．C． D．【答案】A【分析】等號(hào)兩邊同乘以(x-1)(x-3)，即可得到答案．【詳解】解：，等號(hào)兩邊同乘以(x-1)(x-3)，得，故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查分式去分母，找出公分母，是解題的關(guān)鍵．4．（2022·遼寧昌圖·八年級(jí)期末）解分式方程：（1）；（2）．【答案】（1）；（2）原方程無解【分析】（1）方程兩邊都乘得出，求出方程的解，再進(jìn)行檢驗(yàn)即可；（2）方程兩邊都乘得出，求出方程的解，再進(jìn)行檢驗(yàn)即可．【詳解】解：（1）方程兩邊都乘，得，解這個(gè)方程，得，檢驗(yàn)，當(dāng)時(shí)，，所以是原方程的根，即原方程的解是；（2），，方程兩邊都乘，得，解這個(gè)方程，得，經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的增根，所以原方程無解．【點(diǎn)睛】本題考查了解分式方程，解題的關(guān)鍵是能把分式方程轉(zhuǎn)化成整式方程進(jìn)行求解．【知識(shí)拓展4】分式方程中的新定義問題例4．（2022·江蘇九年級(jí)專題練習(xí)）對(duì)于兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)a?b，我們規(guī)定符號(hào)表示a?b中較大的數(shù)，如：．按照這個(gè)規(guī)定，方程的解為（）A．1 B． C．1或 D．或【答案】C【分析】分類討論和的大小關(guān)系，利用題中的新定義化簡已知方程，求出解即可．【詳解】解：當(dāng)，即y＜0時(shí)，方程變形得：，解得：y=-1，經(jīng)檢驗(yàn)y=-1是分式方程的解；當(dāng)，即y＞0時(shí)，方程變形得：，解得：y=1，經(jīng)檢驗(yàn)y=1是分式方程的解；綜上，方程的解為1或-1故選C．【點(diǎn)睛】此題考查了解分式方程，利用了轉(zhuǎn)化的思想，解分式方程注意要檢驗(yàn)．【即學(xué)即練】4．（2022·廣東中考模擬）定義一種新運(yùn)算：，例如：，若，則（）A．-2 B． C．2 D．【答案】B【分析】根據(jù)新定義運(yùn)算得到一個(gè)分式方程，求解即可.【詳解】根據(jù)題意得，，則，經(jīng)檢驗(yàn)，是方程的解，故選B.【點(diǎn)睛】此題考查了解分式方程，弄清題中的新定義是解本題的關(guān)鍵．5．（2022·安徽霍邱·八年級(jí)期末）按照如圖所示的流程圖，若輸出的M＝6，則輸入的m是______________．【答案】2【分析】根據(jù)題目中的程序，利用分類討論的方法可以分別求得m的值，從而可以解答本題．【詳解】解：當(dāng)m2-2m≥0時(shí)，解得m=2，經(jīng)檢驗(yàn)，m=2是原方程的解，并且滿足m2-2m≥0；當(dāng)m2-2m＜0時(shí)，m-3=6，解得m=9，不滿足m2-2m＜0，舍去．故輸入的m為2．故答案為：2．【點(diǎn)睛】本題考查有理數(shù)的混合運(yùn)算，解答本題的關(guān)鍵是明確有理數(shù)混合運(yùn)算的計(jì)算方法．【知識(shí)拓展5】分式方程特殊解-增根或無解例5.（2022·江西撫州·八年級(jí)期末）若關(guān)于的分式方程有增根，則的值為（）A． B． C． D．【答案】D【分析】增根是分式方程化為整式方程后產(chǎn)生的使分式方程的分母為0的根，把增根代入化為整式方程的方程即可求出m的值．【詳解】解：由題意，得可知，∴由題可知此題中x=1為方程增根即，解得，故選D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式方程的解，解題的關(guān)鍵在于能夠熟練掌握分式方程有增根的條件．例6．（2022·浙江越城·七年級(jí)期末）已知關(guān)于x的分式方程﹣1＝無解，則m的值是（）A．﹣2 B．﹣3 C．﹣2或﹣3 D．0或3【答案】C【分析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，由分式方程無解確定出x的值，代入整式方程計(jì)算即可求出m的值．【詳解】解：兩邊都乘以x（x﹣3），得：x（x+m）﹣x（x﹣3）＝x﹣3，整理，得：（m+2）x＝﹣3，解得：，①當(dāng)m+2＝0，即m＝﹣2時(shí)整數(shù)方程無解，即分式方程無解，②∵關(guān)于x的分式方程﹣1＝無解，∴或，即無解或3（m+2）＝﹣3，解得m＝﹣2或﹣3．∴m的值是﹣2或﹣3．故選C．【點(diǎn)睛】本題考查了解分式方程，分式方程的解，解題的關(guān)鍵是熟練掌握解分式方程的方法，注意分母不等于0的條件．【即學(xué)即練】5．（2022·山東鄄城·八年級(jí)期末）關(guān)于x的方程有增根，則m的值為（）A．﹣5 B．﹣8 C．﹣2 D．5【答案】A【分析】分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，由分式方程有增根求出x的值，代入整式方程計(jì)算即可求出m的值．【詳解】解：去分母得：3x﹣2＝2x+2+m，∵分式方程有增根，∴x+1＝0，即x＝﹣1，把x＝﹣1代入整式方程得：﹣3﹣2＝﹣2+2+m，解得：m＝﹣5．故選：A．【點(diǎn)睛】此題考查了分式方程增根的意義，熟練掌握分式方程的有關(guān)性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．6．（2022·四川開江·八年級(jí)期末）如果關(guān)于x的分式方程無解，則m的值為（）A．0 B．1 C．2 D．3【答案】B【分析】解方程得x＝6﹣m，由方程無解，則x＝5，即可求m的值．【詳解】解：，方程兩邊同時(shí)乘以x﹣5得，2﹣（m+1）＝x﹣5，去括號(hào)得，2﹣m﹣1＝x﹣5，解得x＝6﹣m，∵原分式方程無解，∴x＝5，∴m＝1，故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查分式方程的求解，涉及參數(shù)運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題，難度不大，熟練掌握分式方程的求解方法是解決本題的關(guān)鍵．【知識(shí)拓展6】分式方程特殊解-解為正或負(fù)例6．（2022·江蘇·八年級(jí)期末）已知關(guān)于x的分式方程的解是非負(fù)數(shù)，則m的取值范圍是_____．【答案】且【分析】先由題意求出分式方程的解，再由解是非負(fù)數(shù)和分母不為0，列出不等式組，解出即可得到答案．【詳解】解：，去分母得：，，，解得：且，故答案為：且．【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程中參數(shù)的取值范圍，解題的關(guān)鍵是除了題干中明確要求的條件外，要注意分母不能為0的隱含條件．【即學(xué)即練】6．（2022·安徽馬鞍山·八年級(jí)期末）若關(guān)于的方程的解是正數(shù)，則的取值范圍為（）A．B．C．且D．且【答案】C【分析】先解分式方程求解，根據(jù)方程的解為正數(shù)，求出a的范圍，然后將方程的增根代入求出，所以a的取值范圍是且．【詳解】解：解方程，得，∴，∴，

∵是方程的增根，當(dāng)時(shí)，解得，

即當(dāng)時(shí)，分式方程有增根，∴，∴a的取值范圍是且．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的解，熟練解分式方程是解題的關(guān)鍵．【知識(shí)拓展7】分式方程特殊解-整數(shù)解例7．（2022秋·湖南長沙·八年級(jí)?？茧A段練習(xí)）關(guān)于y的分式方程有非負(fù)整數(shù)解，則滿足條件的所有負(fù)整數(shù)a的個(gè)數(shù)是（）A．4 B．5 C．6 D．7【答案】A【分析】解分式方程得出，根據(jù)其有非負(fù)整數(shù)解，即得出，，且為整數(shù)．再根據(jù)a為負(fù)整數(shù)，即得出所有a的可能的值，即得出答案．【詳解】解：，等式兩邊同時(shí)乘，得：，解得：．∵該分式方程有非負(fù)整數(shù)解，∴，，且為整數(shù)．∵a為負(fù)整數(shù)，∴的值為或或或，∴滿足條件的所有負(fù)整數(shù)a的個(gè)數(shù)是4個(gè)．故選A．【點(diǎn)睛】本題主要考查根據(jù)分式方程的解的情況求參數(shù)．掌握解分式方程的步驟是解題關(guān)鍵．【即學(xué)即練】7．（2022·江蘇九年級(jí)專題練習(xí)）若關(guān)于x的不等式組無解，且關(guān)于y的分式方程有非負(fù)整數(shù)解，則滿足條件的所有整數(shù)a的和為（）A．8 B．10 C．16 D．18【答案】C【分析】先由不等式組無解，求解，再求解分式方程的解，由方程的解為非負(fù)整數(shù)，求解且，再逐一確定的值，從而可得答案．【詳解】解：由①得：，∴，由②得：，∴，∵關(guān)于x的不等式組無解，∴，∴，∴，∵，∴，∴，∵，∴，∴，∵關(guān)于y的分式方程有非負(fù)整數(shù)解，∴，∴，∵為整數(shù)，∴或或或或．∴．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查的由不等式組無解求解字母系數(shù)的范圍，分式方程的非負(fù)整數(shù)解，熟練掌握解不等式組的方法和解分式方程是解題關(guān)鍵，解題時(shí)要注意分式方程的解得到y(tǒng)≠2這一隱含條件．知識(shí)點(diǎn)02分式方程的應(yīng)用【知識(shí)點(diǎn)】分式方程的應(yīng)用（1）分式方程的應(yīng)用主要涉及工程問題，有工作量問題、行程問題等．每個(gè)問題中涉及到三個(gè)量的關(guān)系，如：工作時(shí)間＝，時(shí)間＝等．（2）列分式方程解應(yīng)用題的一般步驟：①設(shè)未知數(shù)；②找等量關(guān)系；③列分式方程；④解分式方程；⑤檢驗(yàn)（一驗(yàn)分式方程，二驗(yàn)實(shí)際問題）；⑥答．【知識(shí)拓展1】例1．（2022·銅仁一中實(shí)驗(yàn)學(xué)校）“五一”節(jié)期間，幾名同學(xué)包租一輛面包車前去旅游，面包車的租價(jià)為180元，出發(fā)時(shí)又增加了兩名同學(xué)，結(jié)果每個(gè)同學(xué)比原來少攤了3元錢車費(fèi)，設(shè)實(shí)際參加游覽的同學(xué)共x人，則所列方程為（）A．B．C．D．【答案】D【分析】設(shè)實(shí)際參加游覽的同學(xué)共x人，則原有的幾名同學(xué)每人分擔(dān)的車費(fèi)為：元，出發(fā)前每名同學(xué)分擔(dān)的車費(fèi)為：，根據(jù)每個(gè)同學(xué)比原來少攤了3元錢車費(fèi)即可得到等量關(guān)系．【詳解】解：設(shè)實(shí)際參加游覽的同學(xué)共x人，根據(jù)題意得：，故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是首先弄清題意，根據(jù)關(guān)鍵描述語，找到合適的等量關(guān)系；易錯(cuò)點(diǎn)是得到出發(fā)前后的人數(shù)．【即學(xué)即練】1．（2022·安徽太湖·八年級(jí)期末）在2020年3月底新過師炎疫情在我國得到快速控制，教育部要求低風(fēng)險(xiǎn)區(qū)錯(cuò)時(shí)、錯(cuò)峰開學(xué)，某校在只有初三年級(jí)開學(xué)時(shí)，一段時(shí)間用掉120瓶消毒液，在初二、初一年級(jí)也錯(cuò)時(shí)、錯(cuò)峰開學(xué)后，平均每天比原來多用4瓶消毒液，這樣120瓶消毒液比原來少用5天，若設(shè)原來平均每天用掉x瓶消毒液，則可列方程是（）A．B．C．D．【答案】A【分析】根據(jù)天數(shù)比原來少用5天建立等量關(guān)系．【詳解】設(shè)原來平均每天用x瓶消毒液，則原來能用天現(xiàn)在每天用x+4瓶消毒液，則現(xiàn)在能用天，再根據(jù)少用5天得到等量關(guān)系：故選A．【點(diǎn)睛】本題考查分式方程的實(shí)際應(yīng)用，找到等量關(guān)系是本題的解題關(guān)鍵．【知識(shí)拓展2】分式方程的應(yīng)用-工程問題例2．（2022·四川宣漢·八年級(jí)期末）宣漢到達(dá)州要鋪設(shè)一條長35千米的管道，為了盡量減少施工對(duì)周邊居民生活造成的影響，實(shí)際施工時(shí)，每天鋪設(shè)管道的長度比原計(jì)劃增加20%，結(jié)果提前7天完成．設(shè)原計(jì)劃每天鋪設(shè)管道的長度為千米，則可列方程為（）A．B．C．D．【答案】B【分析】設(shè)原計(jì)劃每天鋪設(shè)管道的長度為千米，要鋪設(shè)一條長35千米的管道除以原計(jì)劃每天鋪設(shè)管道的長度千米-要鋪設(shè)一條長35千米的管道除以實(shí)際施工時(shí)，每天鋪設(shè)管道的長度比原計(jì)劃增加20%=7，列分式方程求解即可．【詳解】解：設(shè)原計(jì)劃每天鋪設(shè)管道的長度為千米，則可列方程為．故選擇B．【點(diǎn)睛】本題考查列分式方程解應(yīng)用題，掌握列分式方程解應(yīng)用題方法與步驟，抓住等量關(guān)系是解題關(guān)鍵．【即學(xué)即練】2．（2022·貴州初二月考）2020年2月22日深圳地鐵10號(hào)線華南城站試運(yùn)行，預(yù)計(jì)今年6月正式開通．在地鐵的建設(shè)中，某段軌道的鋪設(shè)若由甲乙兩工程隊(duì)合做，12天可以完成，共需工程費(fèi)用27720元；已知乙隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程所需時(shí)間是甲隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程所需時(shí)間的1.5倍，且甲隊(duì)每天的工程費(fèi)用比乙隊(duì)多250元．（1）求甲、乙兩隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程各需多少天？（2）若工程管理部門決定從這兩個(gè)隊(duì)中選一個(gè)隊(duì)單獨(dú)完成此項(xiàng)工程，從節(jié)約資金的角度考慮，應(yīng)選擇哪個(gè)工程隊(duì)？請(qǐng)說明理由．【答案】（1）甲工程隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程需要20天，乙工程隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程需30天；（2）應(yīng)選甲工程隊(duì)單獨(dú)完成；理由見解析．【分析】（1）設(shè)甲工程隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程需要x天，則乙工程隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程需要1.5x天，根據(jù)甲工程隊(duì)完成的工作量+乙工程隊(duì)完成的工作量＝整項(xiàng)工程，即可得出關(guān)于x的分式方程，解之經(jīng)檢驗(yàn)后即可得出結(jié)論；（2）設(shè)甲工程隊(duì)每天的費(fèi)用是y元，則乙工程隊(duì)每天的費(fèi)用是（y﹣250）元，根據(jù)甲、乙兩工程隊(duì)合作12天共需費(fèi)用27720元，即可得出關(guān)于y的一元一次方程，解之即可得出兩隊(duì)每天所需費(fèi)用，再求出兩隊(duì)單獨(dú)完成這些工程所需總費(fèi)用，比較后即可得出結(jié)論．【解析】解：（1）設(shè)甲工程隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程需要x天，則乙工程隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程需要1.5x天，依題意，得：1，解得：x＝20，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝20是原分式方程的解，且符合題意，∴1.5x＝30．答：甲工程隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程需要20天，乙工程隊(duì)單獨(dú)完成這項(xiàng)工程需30天；（2）設(shè)甲工程隊(duì)每天的費(fèi)用是y元，則乙工程隊(duì)每天的費(fèi)用是（y﹣250）元，依題意，得：12y+12（y﹣250）＝27720，解得：y＝1280，∴y﹣250＝1030．甲工程隊(duì)單獨(dú)完成共需要費(fèi)用：1280×20＝25600（元），乙工程隊(duì)單獨(dú)完成共需要費(fèi)用：1030×30＝30900（元）．∵25600＜30900，∴甲工程隊(duì)單獨(dú)完成需要的費(fèi)用低，應(yīng)選甲工程隊(duì)單獨(dú)完成．【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式方程的實(shí)際應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是合理設(shè)出未知數(shù)，找到等量關(guān)系，列出方程．3．（2022·成都市八年級(jí)月考）為穩(wěn)步推進(jìn)網(wǎng)絡(luò)建設(shè)，深化共建共享，現(xiàn)有甲、乙兩個(gè)工程隊(duì)參與基站建設(shè)工程．（1）已知乙隊(duì)的工作效率是甲隊(duì)的倍，如果兩隊(duì)單獨(dú)施工完成該項(xiàng)工程，甲隊(duì)比乙隊(duì)多用天，求乙隊(duì)單獨(dú)施工，需要多少天才能完成該項(xiàng)工程？（2）當(dāng)甲隊(duì)施工天完成基站建設(shè)工程的時(shí)，乙隊(duì)加入該工程，結(jié)果比甲隊(duì)單獨(dú)施工提前天完成了剩余的工程．①求乙隊(duì)單獨(dú)施工，需要多少天才能完成該項(xiàng)工程？②若乙隊(duì)參與該項(xiàng)工程施工的時(shí)間不超過天，求甲隊(duì)從開始施工到完成該工程至少需要多少天？【答案】（1）乙隊(duì)單獨(dú)施工，需要天才能完成該項(xiàng)工程．（2）①36天，②至少40天【分析】（1）設(shè)乙隊(duì)單獨(dú)施工，需要天才能完成該項(xiàng)工程，列出相應(yīng)分式方程求解即可；（2）①由甲隊(duì)施工20天完成工程的可得出甲隊(duì)單獨(dú)施工完成整項(xiàng)工程所需時(shí)間，結(jié)合乙隊(duì)加入后可提前25天完成了剩余的工程可得出兩隊(duì)共同施工的時(shí)間，設(shè)乙隊(duì)單獨(dú)施工需要天才能完成該項(xiàng)工程，根據(jù)兩隊(duì)每天完成的工程量共同工作的時(shí)間整項(xiàng)工程的，即可得出關(guān)于的分式方程，解之經(jīng)檢驗(yàn)后即可得出結(jié)論；②設(shè)甲隊(duì)施工天完成該項(xiàng)工程，根據(jù)乙隊(duì)參與該項(xiàng)工程施工的時(shí)間不超過12天，即可得出關(guān)于的一元一次不等式，解之取其中的最小值即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）設(shè)乙隊(duì)單獨(dú)施工，需要天才能完成該項(xiàng)工程，由題意，得，解方程，得，經(jīng)檢驗(yàn)，是原分式方程的解，且符合題意．答：乙隊(duì)單獨(dú)施工，需要天才能完成該項(xiàng)工程．（2）①由題意得，甲隊(duì)單獨(dú)施工天完成該項(xiàng)工程的，所以甲隊(duì)單獨(dú)施工天完成該項(xiàng)工程.甲隊(duì)單獨(dú)施工完成剩余的工程的時(shí)間為（天），于是甲、乙兩隊(duì)共同施工的時(shí)間為（天）．設(shè)乙隊(duì)單獨(dú)施工需要天才能完成該項(xiàng)工程，則，解方程，得.經(jīng)檢驗(yàn)，是原分式方程的解，且符合題意．答：若乙隊(duì)單獨(dú)施工，需要天才能完成該項(xiàng)工程．②設(shè)甲隊(duì)從開始施工到完成該工程需要天，依題意列不等式，得，解得：【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用以及一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程；（2）根據(jù)各數(shù)量之間的關(guān)系，正確列出一元一次不等式．【知識(shí)拓展3】分式方程的應(yīng)用-行程問題例3.（2022·黑龍江虎林·八年級(jí)期末）隨著生活水平的提高，小林家購置了私家車，這樣他乘坐私家車上學(xué)比乘坐公交車上學(xué)所需的時(shí)間少用了15分鐘，現(xiàn)已知小林家距學(xué)校8千米，乘私家車平均速度是乘公交車平均速度的2.5倍，若設(shè)乘公交車平均每小時(shí)走x千米，根據(jù)題意可列方程為_________．【答案】【分析】設(shè)乘公交車平均每小時(shí)走x千米，則乘私家車平均速度是每小時(shí)千米，則乘公交車花的時(shí)間為小時(shí)，乘私家車所花的時(shí)間為小時(shí)，再利用乘坐私家車上學(xué)比乘坐公交車上學(xué)所需的時(shí)間少用了15分鐘，列方程即可.【詳解】解：設(shè)乘公交車平均每小時(shí)走x千米，則乘私家車平均速度是每小時(shí)千米，則故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查的是分式方程的應(yīng)用，設(shè)適當(dāng)?shù)奈粗獢?shù)，表示需要的代數(shù)式，確定相等關(guān)系都是解本題的關(guān)鍵.【即學(xué)即練】3．（2022·上海市盧灣中學(xué)期末）小王步行的速度比跑步的速度慢，跑步的速度比騎車的速度慢．如果他騎車從城到城，再步行返回城共需要兩小時(shí)，那么小王跑步從城到城需要____分鐘．【答案】48【分析】此題可設(shè)騎車速度為x，則跑步的速度為（1-50%）x，步行的速度為（1-50%）（1-50%）x，根據(jù)騎車從A城去B城，再步行返回A城共需2小時(shí)列出分式方程解答即可．【詳解】解：設(shè)騎車速度為，則跑步的速度為，步行的速度為，根據(jù)題意列方程得，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解，跑步的速度為，小王跑步從城到城需要（小時(shí)），小時(shí)=48分鐘．故小王跑步從城到城需要48分鐘．故答案為：48．【點(diǎn)睛】本題主要考查分式方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是熟練掌握列分式方程解應(yīng)用題的一般步驟，即①設(shè)未知數(shù)，②根據(jù)題意找出等量關(guān)系，③列出方程，④解出分式方程并檢驗(yàn)，⑤作答．注意：分式方程的解必須檢驗(yàn)．【知識(shí)拓展4】分式方程的應(yīng)用-銷售問題例4．（2022·浙江嘉興·八年級(jí)期末）某車行經(jīng)營A，B兩種型號(hào)的電瓶車，已知A型車和B型車的進(jìn)貨價(jià)格分別為1500元和2500元．（1）該車行去年A型車銷售總額為8萬元，今年A型車每輛售價(jià)比去年降低200元，若今年A型車的銷售量與去年相同，則A型車銷售額將比去年減少10%，求去年每輛A型車的售價(jià)．（2）今年第三季度該車行計(jì)劃用3萬元再購進(jìn)A，B兩種型號(hào)的電瓶車若干輛，問：①一共有幾種進(jìn)貨方案；②在（1）的條件下，已知每輛B型車的利潤率為24%，①中哪種方案利潤最大，最大利潤是多少？（利潤＝售價(jià)﹣成本，利潤率＝利潤÷成本×100%）．【答案】（1）去年每輛A型車的售價(jià)為2000元；（2）①一共有3種進(jìn)貨方案；②方案3的利潤最大，最大利潤是6900元．【分析】（1）設(shè)去年每輛A型車的售價(jià)為x元，則今年每輛A型車的售價(jià)為（x?200）元，利用數(shù)量＝總價(jià)÷單價(jià)，結(jié)合今年A型車的銷售量與去年相同，即可得出關(guān)于x的分式方程，解之經(jīng)檢驗(yàn)后即可得出結(jié)論；（2）①設(shè)購進(jìn)A型車m輛，B型車n輛，利用總價(jià)＝單價(jià)×數(shù)量，即可得出關(guān)于m，n的二元一次方程，結(jié)合m，n均為正整數(shù)，即可得出各進(jìn)貨方案；②利用總利潤＝每輛的利潤×銷售數(shù)量，即可分別求出選擇各方案的總利潤，比較后即可得出結(jié)論．【詳解】解：（1）設(shè)去年每輛A型車的售價(jià)為x元，則今年每輛A型車的售價(jià)為（x?200）元，依題意得：＝，解得：x＝2000，經(jīng)檢驗(yàn)，x＝2000是原方程的解，且符合題意．答：去年每輛A型車的售價(jià)為2000元；（2）①設(shè)購進(jìn)A型車m輛，B型車n輛，依題意得：1500m＋2500n＝30000，∴m＝20?n．又∵m，n均為正整數(shù)，∴或或，∴一共有3種進(jìn)貨方案，方案1：購進(jìn)A型車15輛，B型車3輛；方案2：購進(jìn)A型車10輛，B型車6輛；方案3：購進(jìn)A型車5輛，B型車9輛．②選擇方案1的利潤為（2000?200?1500）×15＋2500×24%×3＝6300（元）；選擇方案2的利潤為（2000?200?1500）×10＋2500×24%×6＝6600（元）；選擇方案3的利潤為（2000?200?1500）×5＋2500×24%×9＝6900（元）．∵6300＜6600＜6900，∴方案3的利潤最大，最大利潤是6900元．【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用以及二元一次方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程；（2）①找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出二元一次方程；②利用總利潤＝每輛的利潤×銷售數(shù)量，求出選擇各方案的總利潤．【即學(xué)即練】4．（2022·海東初二期末）枇杷肉質(zhì)厚實(shí)，鮮甜微酸，營養(yǎng)價(jià)值很高，是初夏里受人們喜愛的水果之一．枇杷一上市，某水果店的老板就用1350元購進(jìn)一批枇杷，很快售完．老板又用1900元購進(jìn)第二批枇杷，所購箱數(shù)是第一批的倍，但進(jìn)價(jià)比第一批每箱多了5元．（1）求第一批枇杷的每箱進(jìn)價(jià)．（2）老板以每箱145元的價(jià)格銷售第二批枇杷，售出80%后，為了盡快售完，決定將剩下的打折促銷．要使得第二批枇杷的銷售利潤不少于855元，剩余的枇杷每箱售價(jià)至多打幾折？【答案】（1）第一批枇杷每箱進(jìn)價(jià)為90元；（2）剩余的枇杷每箱售價(jià)至多打七五折【分析】（1）設(shè)第一批枇杷每箱進(jìn)價(jià)x元，則第二批進(jìn)價(jià)為x+5元，再根據(jù)第二批的數(shù)量是第一批的倍，和數(shù)量=總價(jià)÷單價(jià)即可列出方程，求解即可；（2）設(shè)剩余的枇杷每箱售價(jià)打y折，根據(jù)利潤=銷售收入-進(jìn)價(jià)，和利潤不少于855元可列出不等式，求解即可．【解析】解：（1）設(shè)第一批枇杷每箱進(jìn)價(jià)x元．由題意得，解得．經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的根，且符合題意．答：第一批枇杷每箱進(jìn)價(jià)為90元．（2）第二批購進(jìn)枇杷的箱數(shù)為設(shè)剩余的枇杷每箱售價(jià)打y折．由題意可知，，解得．答：剩余的枇杷每箱售價(jià)至多打七五折．【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用以及一元一次不等式的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）根據(jù)數(shù)量=總價(jià)÷單價(jià)，列出關(guān)于x的分式方程；（2）根據(jù)利潤=銷售收入-進(jìn)價(jià)，列出關(guān)于m的一元一次不等式．5．（2022·江蘇南通市八年級(jí)月考）某汽車銷售公司經(jīng)銷某品牌A款汽車，隨著汽車的普及，其價(jià)格也在不斷下降．今年5月份A款汽車的售價(jià)比去年同期每輛降價(jià)1萬元，如果賣出相同數(shù)量的A款汽車，去年銷售額為100萬元，今年銷售額只有90萬元．（1）今年5月份A款汽車每輛售價(jià)多少萬元？（2）為了增加收入，汽車銷售公司決定再經(jīng)銷同品牌的B款汽車，已知A款汽車每輛進(jìn)價(jià)為7.5萬元，B款汽車每輛進(jìn)價(jià)為6萬元，公司預(yù)計(jì)用不多于105萬元且不少于99萬元的資金購進(jìn)這兩款汽車共15輛，有幾種進(jìn)貨方案？（3）按照（2）中兩種汽車進(jìn)價(jià)不變，如果B款汽車每輛售價(jià)為8萬元，為打開B款汽車的銷路，公司決定每售出一輛B款汽車，返還顧客現(xiàn)金a萬元，要使（2）中所有的方案獲利相同，a值應(yīng)是多少？【答案】（1）今年5月份A款汽車每輛售價(jià)9萬元；（2）共有5種進(jìn)貨方案；（3）a＝0.5時(shí)，（2）中所有方案獲利相同，此時(shí)，購買A款汽車6輛，B款汽車9輛對(duì)公司有利【分析】（1）求單價(jià)，總價(jià)明顯，應(yīng)根據(jù)數(shù)量來列等量關(guān)系．等量關(guān)系為：今年的銷售數(shù)量＝去年的銷售數(shù)量．（2）關(guān)系式為：99≤A款汽車總價(jià)+B款汽車總價(jià)≤105．（3）方案獲利相同，說明與所設(shè)的未知數(shù)無關(guān)，讓未知數(shù)x的系數(shù)為0即可；多進(jìn)B款汽車對(duì)公司更有利，因?yàn)锳款汽車每輛進(jìn)價(jià)為7.5萬元，B款汽車每輛進(jìn)價(jià)為6萬元，所以要多進(jìn)B款．【詳解】解：（1）設(shè)今年5月份A款汽車每輛售價(jià)m萬元．則：，解得：m＝9．經(jīng)檢驗(yàn)，m＝9是原方程的根且符合題意．答：今年5月份A款汽車每輛售價(jià)9萬元；（2）設(shè)購進(jìn)A款汽車x輛．則：99≤7.5x+6（15﹣x）≤105．解得：6≤x≤10．∵x的正整數(shù)解為6，7，8，9，10，∴共有5種進(jìn)貨方案；（3）設(shè)總獲利為W萬元，購進(jìn)A款汽車x輛，則：W＝（9﹣7.5）x+（8﹣6﹣a）（15﹣x）＝（a﹣0.5）x+30﹣15a．當(dāng)a＝0.5時(shí)，（2）中所有方案獲利相同，此時(shí)，購買A款汽車6輛，B款汽車9輛對(duì)公司有利．【點(diǎn)睛】本題主要考查了分式方程與不等式的結(jié)合，準(zhǔn)確計(jì)算是解題的關(guān)鍵．題組A基礎(chǔ)過關(guān)練1．（2022·山東濟(jì)寧·八年級(jí)期末）下列方程中不是分式方程的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)分式方程的概念逐項(xiàng)判斷即可找出正確答案．【詳解】解：分式方程需同時(shí)滿足3個(gè)條件，即是方程，有分母，分母中含有未知量，觀察可知，選項(xiàng)ABD均滿足上述三個(gè)條件，故都是分式方程，選項(xiàng)C分母中沒有未知量，不屬于分式方程，故答案為：C．【點(diǎn)睛】本題考查分式方程的概念，熟練掌握分式方程的判定方法是解題的關(guān)鍵．2．（2022·四川廣元·八年級(jí)期末）方程的解為（

）A． B． C． D．原分式方程無解【答案】D【分析】利用去分母，去括號(hào)，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，系數(shù)化1，檢驗(yàn)解分式方程即可．【詳解】解：分式兩邊同乘得：，移項(xiàng)合并同類項(xiàng)得：，檢驗(yàn)：當(dāng)，，∴是原方程的增根，∴原方程無解；故選D．【點(diǎn)睛】本題考查解分式方程，注意使最簡公分母為0的x的值，是方程的增根，要舍掉．3．（2022·湖南·明德湘南學(xué)校八年級(jí)階段練習(xí)）把分式方程的兩邊同時(shí)乘以，約去分母，得（

）A．B．C．D．【答案】D【分析】方程兩邊同時(shí)乘以進(jìn)行化簡即可．【詳解】解：方程兩邊同時(shí)乘以得：；故選D．【點(diǎn)睛】本題考查分式方程去分母．在去分母的時(shí)候，注意常數(shù)項(xiàng)不要漏乘．4．（2022·晉州市月考）抗擊新冠肺炎疫情期間，某口罩廠接到加大生產(chǎn)的緊急任務(wù)后積極擴(kuò)大產(chǎn)能，現(xiàn)在每天生產(chǎn)的口罩比原來多4萬個(gè)．已知現(xiàn)在生產(chǎn)100萬個(gè)口罩所需的時(shí)間與原來生產(chǎn)60萬個(gè)口罩所需的時(shí)間相同，問口罩廠現(xiàn)在每天生產(chǎn)多少個(gè)口罩？設(shè)原來每天生產(chǎn)x萬個(gè)口罩，則由題意可列出方程（）A．＝ B．＝ C．＝ D．＝【答案】B【分析】設(shè)原來每天生產(chǎn)x萬個(gè)口罩，則現(xiàn)在每天生產(chǎn)（x+4）萬個(gè)口罩，根據(jù)工作時(shí)間=工作總量÷工作效率結(jié)合現(xiàn)在生產(chǎn)100萬個(gè)口罩所需的時(shí)間與原來生產(chǎn)60萬個(gè)口罩所需的時(shí)間相同，即可得出關(guān)于x的分式方程，此題得解．【解析】解：設(shè)原來每天生產(chǎn)x萬個(gè)口罩，則現(xiàn)在每天生產(chǎn)（x+4）萬個(gè)口罩，依題意，得：＝；故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查了由實(shí)際問題抽象出分式方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程是解題的關(guān)鍵．5．（2022·江蘇·八年級(jí)專題練習(xí)）將的分母化為整數(shù)，得（）A． B．C． D．【答案】D【分析】根據(jù)分式的基本性質(zhì)求解．【詳解】解：將的分母化為整數(shù)，可得．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查一元一次方程的化簡，熟練掌握分式的基本性質(zhì)解題關(guān)鍵．6．（2022·江蘇鹽城市·八年級(jí)期中）若關(guān)于x的分式方程=2有增根，則增根是()A．x=0 B．x=1 C．x=2 D．x=3【答案】B【分析】利用分式方程增根的定義直接得到答案．【詳解】解：∵關(guān)于x的分式方程=2有增根∴x﹣1=0，即x=1，所以增根為x=1．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查的是分式方程的增根的含義，掌握分式方程的增根的含義是解題的關(guān)鍵．7．（2022·湖南·岳陽縣甘田中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）方程的解昰___________．【答案】【分析】先去分母，把方程化為整式方程，再解整式方程并檢驗(yàn)即可.【詳解】解：去分母得：整理得：解得：經(jīng)檢驗(yàn)：是原方程的根，∴原方程的根為：故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查的是分式方程的解法,掌握“分式方程的解法與步驟”是解本題的關(guān)鍵.8．（2022·儀征市八年級(jí)月考）若關(guān)于x的分式方程的解為負(fù)數(shù)，則m的取值范圍為______．【答案】m＞1且m≠3．【分析】先解關(guān)于x的分式方程，得x=1-m，再根據(jù)關(guān)于x的分式方程的解為負(fù)數(shù)，得1-m＜0且1-m≠-2，故m＞1且m≠3．【詳解】解：，去分母，得3-m=x+2，移項(xiàng)，得x=1-m．∵關(guān)于x的分式方程的解為負(fù)數(shù)，∴1-m＜0且1-m≠-2，∴m＞1且m≠3．故答案為：m＞1且m≠3．【點(diǎn)睛】本題主要考查解分式方程以及解一元一次不等式，熟練掌握解分式方程以及解一元一次不等式是解決本題的關(guān)鍵．9．（2022·江蘇·蘇州九年級(jí)階段練習(xí)）解分式方程：．【答案】【分析】兩邊都乘以，化分式方程為整式方程，再進(jìn)一步求解即可．【詳解】解：兩邊都乘以，得：，整理，得：，解得，，檢驗(yàn)：當(dāng)時(shí)，，舍去；當(dāng)時(shí)，；所以分式方程的解為．【點(diǎn)睛】本題主要考查解分式方程，將分式方程化為整式方程是解題的關(guān)鍵，注意檢驗(yàn)．10．（2022·湖南·臨武縣第六中學(xué)八年級(jí)階段練習(xí)）解分式方程：【答案】【分析】先去分母，把方程化為整式方程，再解整式方程并檢驗(yàn)即可．【詳解】解：，去分母得：整理得：解得：經(jīng)檢驗(yàn)：是原方程的根，∴原方程的根為：【點(diǎn)睛】本題考查的是分式方程的解法，掌握“解分式方程的步驟與方法”是解本題的關(guān)鍵．11．（2022·河北·八年級(jí)階段練習(xí)）解方程：(1)(2)【答案】(1)(2)原方程無解【分析】（1）去分母，去括號(hào)，移項(xiàng)，合并同類項(xiàng)，系數(shù)化1，最后檢驗(yàn)根是否有意義，即可求解；（2）先將分式通分，再根據(jù)分式的加減法法則進(jìn)行運(yùn)算，最后把解的根代入原方程檢驗(yàn)，若分式有意義則有解，原方程無意義則原方程無解．（1）解：原式變形得，，且，，∴，代入原方程檢驗(yàn)得，原方程左邊：，原方程右邊：，即時(shí)，方程左邊等于右邊，且原方程有意義，故方程的解是：．（2）解：原式通分得，，且，，，∴，，代入原方程檢驗(yàn)：原方程分母為零，方程無意義，故原方程無解．【點(diǎn)睛】本題主要考查解分式方程，掌握分式的加減法法則，通分，分式方程有意義是解題的關(guān)鍵．12．（2022·江蘇海陵·泰州中學(xué)附屬初中期中）近年來，市區(qū)住建部門加快推進(jìn)“空轉(zhuǎn)綠”“微添綠”等項(xiàng)目建設(shè)，新增大小游園數(shù)十個(gè)，讓市民開門即見綠，休憩有綠蔭．老王和小王兩父子準(zhǔn)備從家勻速步行前往位于城西新建的祥泰公園散步，由于小王有事耽擱，比老王晚出發(fā)8分鐘，小王的步行速度是老王的1.2倍，結(jié)果兩人同時(shí)到達(dá)公園．已知老王家與公園相距2.4km，求老王步行的速度．【答案】老王步行的速度0.05km/min．【分析】設(shè)老王平均每小時(shí)行x千米，則小王平均每小時(shí)行1.2x千米，根據(jù)題意列方程即可得到結(jié)論．【解析】解：設(shè)老王平均每小時(shí)行x千米，則小王平均每小時(shí)行1.2x千米，根據(jù)題意，得，解得，經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的根，答：老王步行的速度0.05km/min．【點(diǎn)睛】本題考查分式方程的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是正確找出等量關(guān)系．題組B能力提升練1．（2022·河北·石家莊三模）小明和小亮在解答“解分式方程：”的過程如框，對(duì)他們的解答過程（每一步只對(duì)上一步負(fù)責(zé)）有以下判斷，判斷錯(cuò)誤的是（）小明的解法：解：去分母得：①去括號(hào)得：②移項(xiàng)得：③合并同類項(xiàng)得：④系數(shù)化為得：⑤是原分式方程的解⑥小亮的解法：解：去分母得：①去括號(hào)得：②移項(xiàng)得：③合并同類項(xiàng)得：④系數(shù)化為得：⑤A．小明的步驟①錯(cuò)誤，漏乘 B．小明的步驟②、③、④都正確C．小明的步驟⑤錯(cuò)誤 D．小亮的解答完全正確【答案】D【分析】觀察解方程的步驟，找出出錯(cuò)的即可．【詳解】解：根據(jù)題意得：小亮的解答沒有檢驗(yàn)過程，出錯(cuò)；小明的步驟錯(cuò)誤，漏乘，小明的步驟、、都正確，小明的步驟錯(cuò)誤．故選：．【點(diǎn)睛】此題考查了解分式方程，熟練掌握分式方程的解法是解本題的關(guān)鍵．2．（2022·黑龍江·中考真題）已知關(guān)于x的分式方程的解是正數(shù)，則m的取值范圍是（

）A． B． C．且 D．且【答案】C【分析】先將分式方程去分母轉(zhuǎn)化為整式方程，求出整式方程的解，根據(jù)分式方程的解為正數(shù)得到且，即可求解．【詳解】方程兩邊同時(shí)乘以，得，解得，關(guān)于x的分式方程的解是正數(shù)，，且，即且，且，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的解，涉及解分式方程和分式方程分母不為0，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．3．（2022·山東泰安·中考真題）某工程需要在規(guī)定時(shí)間內(nèi)完成，如果甲工程隊(duì)單獨(dú)做，恰好如期完成；

如果乙工程隊(duì)單獨(dú)做，則多用天，現(xiàn)在甲、乙兩隊(duì)合做天，剩下的由乙隊(duì)單獨(dú)做，恰好如期完成，求規(guī)定時(shí)間．如果設(shè)規(guī)定日期為天，下面所列方程中錯(cuò)誤的是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】設(shè)總工程量為，因?yàn)榧坠こ剃?duì)單獨(dú)去做，恰好能如期完成，所以甲的工作效率為；因?yàn)橐夜こ剃?duì)單獨(dú)去做，要超過規(guī)定日期天，所以乙的工作效率為，根據(jù)甲、乙兩隊(duì)合做天，剩下的由乙隊(duì)獨(dú)做，恰好在規(guī)定日期完成，列方程即可．【詳解】解：設(shè)規(guī)定日期為天，由題意可得，，整理得，或或．則選項(xiàng)均正確，故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了由實(shí)際問題抽象出分式方程，解答本題的關(guān)鍵是讀懂題意，設(shè)出未知數(shù)，找出合適的等量關(guān)系，列方程．4．（2022·四川遂寧·中考真題）若關(guān)于x的方程無解，則m的值為（

）A．0 B．4或6 C．6 D．0或4【答案】D【分析】現(xiàn)將分時(shí)方程化為整式方程，再根據(jù)方程無解的情況分類討論，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，或，進(jìn)行計(jì)算即可．【詳解】方程兩邊同乘，得，整理得，原方程無解，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，或，此時(shí)，，解得或，當(dāng)時(shí)，無解；當(dāng)時(shí)，，解得；綜上，m的值為0或4；故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程無解的情況，即分式方程有增根，分兩種情況，分別是最簡公分母為0和化成的整式方程無解，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．5．（2022·浙江臺(tái)州·中考真題）如圖的解題過程中，第①步出現(xiàn)錯(cuò)誤，但最后所求的值是正確的，則圖中被污染的的值是____．先化簡，再求值：，其中解：原式【答案】5【分析】根據(jù)題意得到方程，解方程即可求解．【詳解】解：依題意得：，即，去分母得：3-x+2(x-4)=0，去括號(hào)得：3-x+2x-8=0，解得：x=5，經(jīng)檢驗(yàn)，x=5是方程的解，故答案為：5．【點(diǎn)睛】本題考查了解分式方程，一定要注意解分式方程必須檢驗(yàn)．6．（2022·山東青島·中考真題）為落實(shí)青島市中小學(xué)生“十個(gè)一”行動(dòng)計(jì)劃，學(xué)校舉辦以“強(qiáng)體質(zhì)，煉意志”為主題的體育節(jié)，小亮報(bào)名參加3000米比賽項(xiàng)目，經(jīng)過一段時(shí)間訓(xùn)練后，比賽時(shí)小亮的平均速度比訓(xùn)練前提高了25%，少用3分鐘跑完全程．設(shè)小亮訓(xùn)練前的平均速度為x米/分，那么x滿足的分式方程為__________．【答案】【分析】根據(jù)比賽時(shí)小亮的平均速度比訓(xùn)練前提高了25%，可得比賽時(shí)小亮平均速度為(1+25%)x米/分，根據(jù)比賽時(shí)所用時(shí)間比訓(xùn)練前少用3分鐘列出方程．【詳解】解：∵比賽時(shí)小亮的平均速度比訓(xùn)練前提高了25%，小亮訓(xùn)練前的平均速度為x米/分，∴比賽時(shí)小亮平均速度為(1+25%)x米/分，根據(jù)題意可得，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了由實(shí)際問題抽象出分式方程，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程是解題的關(guān)鍵．7．（2022·黑龍江齊齊哈爾·中考真題）若關(guān)于x的分式方程的解大于1，則m的取值范圍是______________．【答案】m>0且m≠1【分析】先解分式方程得到解為，根據(jù)解大于1得到關(guān)于m的不等式再求出m的取值范圍，然后再驗(yàn)算分母不為0即可．【詳解】解：方程兩邊同時(shí)乘以得到：，整理得到：，∵分式方程的解大于1，∴，解得：，又分式方程的分母不為0，∴且，解得：且，∴m的取值范圍是m>0且m≠1．【點(diǎn)睛】本題考查分式方程的解法，屬于基礎(chǔ)題，要注意分式方程的分母不為0這個(gè)隱藏條件．8．（2022·重慶·中考真題）為進(jìn)一步改善生態(tài)環(huán)境，村委會(huì)決定在甲、乙、丙三座山上種植香樟和紅楓．初步預(yù)算，這三座山各需兩種樹木數(shù)量和之比為，需香樟數(shù)量之比為，并且甲、乙兩山需紅楓數(shù)量之比為．在實(shí)際購買時(shí)，香樟的價(jià)格比預(yù)算低，紅楓的價(jià)格比預(yù)算高，香樟購買數(shù)量減少了，結(jié)果發(fā)現(xiàn)所花費(fèi)用恰好與預(yù)算費(fèi)用相等，則實(shí)際購買香樟的總費(fèi)用與實(shí)際購買紅楓的總費(fèi)用之比為_________．【答案】【分析】適當(dāng)引進(jìn)未知數(shù)，合理轉(zhuǎn)化條件，構(gòu)造等式求解即可．【詳解】設(shè)三座山各需香樟數(shù)量分別為4x、3x、9x．甲、乙兩山需紅楓數(shù)量、．∴，∴，故丙山的紅楓數(shù)量為，設(shè)香樟和紅楓價(jià)格分別為、．∴，∴，∴實(shí)際購買香樟的總費(fèi)用與實(shí)際購買紅楓的總費(fèi)用之比為，答案：．【點(diǎn)睛】本題考查未知數(shù)的合理引用，熟練掌握未知數(shù)的科學(xué)設(shè)置，靈活構(gòu)造等式計(jì)算求解是解題的關(guān)鍵．9．（2022·廣西梧州·中考真題）解方程：【答案】【分析】先方程兩邊同時(shí)乘以，化成整式方程求解，然后再檢驗(yàn)分母是否為0即可．【詳解】解：方程兩邊同時(shí)乘以得到：，解出：，當(dāng)時(shí)分式方程的分母不為0，∴分式方程的解為：．【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的解法，屬于基礎(chǔ)題，計(jì)算過程中細(xì)心即可．10．（2022·四川樂山·中考真題）第十四屆四川省運(yùn)動(dòng)會(huì)定于2022年8月8日在樂山市舉辦，為保證省運(yùn)會(huì)期間各場館用電設(shè)施的正常運(yùn)行，市供電局為此進(jìn)行了電力搶修演練．現(xiàn)抽調(diào)區(qū)縣電力維修工人到20千米遠(yuǎn)的市體育館進(jìn)行電力搶修．維修工人騎摩托車先行出發(fā)，10分鐘后，搶修車裝載完所需材料再出發(fā)，結(jié)果他們同時(shí)到達(dá)體育館，已知搶修車是摩托車速度的1.5倍，求摩托車的速度．【答案】摩托車的速度為40千米/時(shí)【分析】設(shè)摩托車的速度為x千米/時(shí)，則搶修車的速度為1.5x千米/時(shí)，根據(jù)搶修車比摩托車少用10分鐘，即可得出關(guān)于x的分式方程，解之經(jīng)檢驗(yàn)后即可得出結(jié)論．【詳解】解：設(shè)摩托車的速度為x千米/時(shí)，則搶修車的速度為1.5x千米/時(shí)，依題意，得：，解得：x=40，經(jīng)檢驗(yàn)，x=40是所列方程的根，且符合題意，答：摩托車的速度為40千米/時(shí)．【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程是解題的關(guān)鍵．11．（2022·重慶·中考真題）為保障蔬菜基地種植用水，需要修建灌溉水渠．(1)計(jì)劃修建灌溉水渠600米，甲施工隊(duì)施工5天后，增加施工人員，每天比原來多修建20米，再施工2天完成任務(wù)，求甲施工隊(duì)增加人員后每天修建灌溉水渠多少米？(2)因基地面積擴(kuò)大，現(xiàn)還需修建另一條灌溉水渠1800米，為早日完成任務(wù)，決定派乙施工隊(duì)與甲施工隊(duì)同時(shí)開工合作修建這條水渠，直至完工．甲施工隊(duì)按（1）中增加人員后的修建速度進(jìn)行施工．乙施工隊(duì)修建360米后，通過技術(shù)更新，每天比原來多修建20%，灌溉水渠完工時(shí)，兩施工隊(duì)修建的長度恰好相同．求乙施工隊(duì)原來每天修建灌溉水渠多少米？【答案】(1)100米(2)90米【分析】（1）設(shè)甲施工隊(duì)增加人員后每天修建灌溉水渠x米，原來每天修建米，根據(jù)工效問題公式：工作總量＝工作時(shí)間×工作效率，列出關(guān)于x的一元一次方程，解方程即可得出答案；（2）設(shè)乙施工隊(duì)原來每天修建灌溉水渠y米，技術(shù)更新后每天修建米，根據(jù)水渠總長1800米，完工時(shí)，兩施工隊(duì)修建長度相同，可知每隊(duì)修建900米，再結(jié)合兩隊(duì)同時(shí)開工修建，直至同時(shí)完工，可得兩隊(duì)工作時(shí)間相同，列出關(guān)于y的分式方程，解方程即可得出答案．(1)解：設(shè)甲施工隊(duì)增加人員后每天修建灌溉水渠x米，原來每天修建米，則有解得∴甲施工隊(duì)增加人員后每天修建灌溉水渠100米．(2)∵水渠總長1800米，完工時(shí)，兩施工隊(duì)修建長度相同∴兩隊(duì)修建的長度都為1800÷2＝900(米)乙施工隊(duì)技術(shù)更新后，修建長度為900－360＝540(米)解：設(shè)乙施工隊(duì)原來每天修建灌溉水渠y米，技術(shù)更新后每天修建米，即1.2y米則有解得經(jīng)檢驗(yàn)，是原方程的解，符合題意∴乙施工隊(duì)原來每天修建灌溉水渠90米．【點(diǎn)睛】本題考查一元一次方程和分式方程的實(shí)際應(yīng)用，應(yīng)注意分式方程要檢驗(yàn)，讀懂題意，正確設(shè)出未知數(shù)，并列出方程，是解題的關(guān)鍵．題組C培優(yōu)拔尖練1．（2022·江蘇九年級(jí)專題練習(xí)）已知一個(gè)三角形三邊的長分別為5，7，a，且關(guān)于y的分式方程的解是非負(fù)數(shù)，則符合條件的所有整數(shù)a的和為（）A．24 B．15 C．12 D．7【答案】B【分析】根據(jù)三角形的三邊關(guān)系確定a的取值范圍，再根據(jù)分式方程的解是非負(fù)數(shù)確定a的取值范圍，從而求出符合條件的所有整數(shù)即可得結(jié)論.【詳解】解：

去分母得:

移項(xiàng)得:∴

∵分式方程的解為非負(fù)數(shù)，∴∴，且a≠3

∵三角形的三邊為:5，7，a，∴∴，又∵a≠3，且為整數(shù)，∴a可取4，5，6，和為15.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了三角形的三邊關(guān)系、分式方程的解，解決本題的關(guān)鍵是根據(jù)不等式（組）解集，求出不等式（組）的整數(shù)解.2．（2022·江蘇洪澤·八年級(jí)期中）若關(guān)于的方程無解，則__________．【答案】2或【分析】分式方程無解的條件是：去分母后所得整式方程無解，或解這個(gè)整式方程得到的解使原方程的分母等于0．據(jù)此解答可得．【解析】解：去分母，得：，整理，得：，當(dāng)時(shí)，分式方程無解，當(dāng)時(shí)，若，則，即；若，則（無解）；綜上所述，或，故答案為：2或．【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的解，分式方程無解的條件，最簡公分母為0，或者得到的整式方程無解．3．（2022·南通市八年級(jí)月考）若分式方程的解為正數(shù)，則m的取值范圍是__________．【答案】m＞1且m≠3【分析】方程兩邊同乘以x-1，化為整數(shù)方程，求得x，再列不等式得出m的取值范圍．【詳解】解：方程兩邊同乘以x-1，得，m-3=2(x-1)，解得，∵分式方程解為正數(shù)∴且x-1≠0，

即m＞1且，∴m＞1且m≠3，故答案為：m＞1且m≠3．【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的解，要注意分式的分母不為0的條件，此題是一道易錯(cuò)題，有點(diǎn)難度．4．（2022·江蘇九年級(jí)專題練習(xí)）對(duì)于任意實(shí)數(shù)a，b，定義關(guān)于“”的一種運(yùn)算如下：ab=．例如：52==.若4x=－3，=________．【答案】【分析】先根據(jù)新定義的運(yùn)算得到分式方程，然后根據(jù)解分式方程的方法求解即可．【詳解】解：由題意得：，去分母得：，移項(xiàng)并合并同類項(xiàng)得：，解得：，經(jīng)檢驗(yàn)，是分式方程的解，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題主要考查解分式方程，解題的關(guān)鍵是根據(jù)新定義的運(yùn)算得到分式方程．5．（2022·廈門中考模擬）觀察分析下列方程：①；②；③．請(qǐng)利用它們所蘊(yùn)含的規(guī)律，求關(guān)于的方程（n為正整數(shù)）的根，你的答案是_____．【答案】x=n+4或x=n+5【分析】根據(jù)方程變形后，歸納總結(jié)得到一般性規(guī)律，求出所求方程的解即可．【詳解】解：，解得：或；，解得：或；，解得：或；得到規(guī)律，的解為：或；所求方程整理得：，根據(jù)規(guī)律得：或，解得：x=n+4或x=n+5故答案為：x=n+4或x=n+5【點(diǎn)睛】此題考查了分式方程的解，弄清楚題中的規(guī)律是解本題的關(guān)鍵．6．（2022·重慶南岸·模擬）某快遞公司快遞員甲勻速騎車去距公司6000米的某小區(qū)取物件，出發(fā)幾分鐘后，該公司快遞員乙發(fā)現(xiàn)甲的手機(jī)落在公司，于是立馬勻速騎車去追趕甲，乙出發(fā)幾分鐘后，甲也發(fā)現(xiàn)自己的手機(jī)落在了公司，立即調(diào)頭以原速的2倍原路返回，1分鐘后遇到了乙，乙把手機(jī)給甲后，乙以原速的一半原路返回公司，甲以返回時(shí)的速度繼續(xù)去小區(qū)取物件，剛好在事先預(yù)計(jì)的時(shí)間到達(dá)該小區(qū)．甲、乙兩人相距的路程y（米）與甲出發(fā)的時(shí)間x（分鐘）之間的關(guān)系如圖所示（給手機(jī)及中途其它耽誤時(shí)間忽略不計(jì)），則甲到小區(qū)時(shí)，乙距公司的路程是_____米．【答案】1500【分析】甲開始的速度為a（m/min），則甲后來的速度為2a（m/min），根據(jù)“剛好在事先預(yù)計(jì)的時(shí)間到達(dá)該小區(qū)”，結(jié)合函數(shù)圖象列出方程，可以分別求得甲乙的速度和甲到達(dá)公司的時(shí)間，進(jìn)而求得甲到小區(qū)時(shí)，乙距公司的路程．【解析】設(shè)甲開始的速度為a（m/min），則甲后來的速度為2a（m/min），由題意可得，解得，a＝500，設(shè)乙的速度為b（m/min），由甲乙相遇知，∴b＝1000，∴甲乙相遇時(shí)乙距公司的路程為：（9﹣）×1000＝3000，甲到達(dá)小區(qū)的時(shí)間為：＝12（min），∴甲到小區(qū)時(shí)，乙距公司的路程為：3000﹣1000××（12﹣9）＝1500（m），故答案為：1500．【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)圖像的識(shí)別，分式方程，根據(jù)題目中的等量關(guān)系列出正確的方程是本題的關(guān)鍵．7.（2022·江西尋烏·初二期末）列方程解應(yīng)用題：老舍先生曾說“天堂是什么樣子，我不曉得，但從我的生活經(jīng)驗(yàn)去判斷，北平之秋便是天堂”（摘自《住的夢(mèng)》）金黃色的銀杏葉為北京的秋增色不少，小宇家附近新修了一段公路，他想給市政寫信，建議在路的兩邊種上銀杏樹，他先讓爸爸開車駛過這段公路，發(fā)現(xiàn)速度為60千米/時(shí)，走了約3分鐘。（1）由此估算這段路長約____千米；（2）然后小宇查閱資料，得知銀杏為落葉大喬木，成年銀杏樹樹冠直徑可達(dá)8米，小宇計(jì)從路的起點(diǎn)開始，每a米種一棵樹，繪制出了示意圖，考慮到投入資金的限制，他設(shè)計(jì)了一種方案，將原計(jì)劃的a擴(kuò)大一倍，則路的兩側(cè)共計(jì)減少400棵樹，請(qǐng)你求出a的值【答案】（1）3；（2）7.5【分析】（1）利用路程=速度×?xí)r間可求出這條路的長度；（2）設(shè)原計(jì)劃每a米種一棵樹，則現(xiàn)設(shè)計(jì)每2a米種一棵樹，根據(jù)需種樹的棵數(shù)=路的長度÷樹間距結(jié)合現(xiàn)設(shè)計(jì)的每一側(cè)都減少400棵樹，即可得出關(guān)于a的分式方程，解之經(jīng)檢驗(yàn)后即可得出結(jié)論．【解析】（1）這段路長約60（千米）．故答案為：3．（2）設(shè)原計(jì)劃每a米種一棵樹，則現(xiàn)設(shè)計(jì)每2a米種一棵樹，依題意，得：由愿意可得，解方程得，經(jīng)檢驗(yàn)，滿足方程且符合題意．答：的值是．【點(diǎn)睛】本題考查了分式方程的應(yīng)用，找準(zhǔn)等量關(guān)系，正確列出分式方程是解題的關(guān)鍵．注意單位的統(tǒng)一．8．（2022·西安市初二期中）某家電銷售商城電冰箱的銷售價(jià)為每臺(tái)2100元，空調(diào)的銷售價(jià)為每臺(tái)1750元，每臺(tái)電冰箱的進(jìn)價(jià)比每臺(tái)空調(diào)的進(jìn)價(jià)多400元，商城用80000元購進(jìn)電冰箱的數(shù)量與用64000元購進(jìn)空調(diào)的數(shù)量相等．（1）求每臺(tái)電冰箱與空調(diào)的進(jìn)價(jià)分別是多少；（2）現(xiàn)在商城準(zhǔn)備一次購進(jìn)這兩種家電共100臺(tái)，設(shè)購進(jìn)電冰箱x臺(tái)，這100臺(tái)家電的銷售總利潤為y元，要求購進(jìn)空調(diào)數(shù)量不超過電冰箱數(shù)量的2倍，總利潤不低于13000元，請(qǐng)分析合理的方案共有多少種，并確定獲利最大的方案以及最大利潤；（3）實(shí)際進(jìn)貨時(shí)，廠家對(duì)電冰箱出廠價(jià)下調(diào)k（0＜k＜100）元，若商店保持這兩種家電的售價(jià)不變，請(qǐng)你根據(jù)以上信息及（2）問中條件，設(shè)計(jì)出使這100臺(tái)家電銷售總利潤最大的進(jìn)貨方案．【答案】（1）1600，2000；（2）有7種，當(dāng)購進(jìn)電冰箱34臺(tái)，空調(diào)66臺(tái)獲利最大，最大利潤為13300元；（3）當(dāng)50＜k＜100時(shí)，購進(jìn)電冰箱40臺(tái)，空調(diào)60臺(tái)銷售總利潤最大；當(dāng)0＜k＜50時(shí)，購進(jìn)電冰箱34臺(tái)，空調(diào)66臺(tái)銷售總利潤最大；當(dāng)k=50時(shí)，每種進(jìn)貨方案的總利潤都一樣．【分析】（1）設(shè)每臺(tái)空調(diào)的進(jìn)價(jià)為x元，則每臺(tái)電冰箱的進(jìn)價(jià)為（x+400）元，根據(jù)“商城用80000元購進(jìn)電冰箱的數(shù)量與用64000元購進(jìn)空調(diào)的數(shù)量相等”，列出方程，即可解答；（2）設(shè)購進(jìn)電冰箱x臺(tái)，這100臺(tái)家電的銷售總利潤為y元，表示出總利潤y=﹣50x+15000，根據(jù)題意得：求出x的取值范圍，根據(jù)x為正整數(shù)，所以x=34，35，36，37，38，39，40