專題07 軸對稱中的最值模型問題（將軍飲馬）專訓（原卷版）

專題07軸對稱中的最值模型問題（將軍飲馬）專訓【題型目錄】題型一求兩條線段和的最小值題型二求兩條線段差的最大值題型三求三條線段和的最小值（雙動點問題）題型四最值問題的實際應(yīng)用【知識梳理】將軍飲馬中最短路徑問題四大模型一兩定點在直線的異側(cè)問題1作法圖形原理在直線l上找一點P,使得PA+PB的和最小。連接AB，與直線l的交點P即為所求。兩點之間，線段最短，此時PA+PB的和最小。二兩定點在直線的同側(cè)問題2：將軍飲馬作法圖形原理在直線l上找一點P,使得PA+PB的和最小。作B關(guān)于直線l的對稱點C，連AC，與直線l的交點P即為所求?；蹫橹保粌牲c之間，線段最短，此時PA+PB的和AC最小。三兩動點一定點問題問題3：兩個動點作法圖形原理點P在銳角∠AOB的內(nèi)部，在OA邊上找一點C,在OB邊上找一點D,,使得PC+PD+CD的和最小。作P關(guān)于OA的對稱點P1，作P關(guān)于OB的對稱點P2，連接P1P2。兩點之間，線段最短，此時PC+PD+CD的和最小。四造橋選址問題問題4：造橋選址作法圖形原理直線m∥n，在m，n上分別求點M、N，使MN⊥m，MN⊥n，且AM+MN+BN的和最小。將點A鄉(xiāng)向下平移MN的長度得A1，連A1B，交n于點N，過N作NM⊥m于M。兩點之間，線段最短，此時AM+MN+BN的最小值為A1B+MN。注意：本專題部分題目涉及勾股定理，各位同學可以先行學習第3章后再完成該專題訓練．勾股定理公式：a2+b2=c2【經(jīng)典例題一求兩條線段和的最小值】【例1】（2022秋·黑龍江齊齊哈爾·八年級?？茧A段練習）如圖，在ABC中，，，，是中點，垂直平分，交于點，交于點，在上確定一點，使最小，則這個最小值為（

）A．10 B．11 C．12 D．13【變式訓練】1．（2023·江蘇·八年級假期作業(yè)）如圖，中，，，，于點D，是的垂直平分線，交于點E，交于點F，在上確定一點P，使最小，則這個最小值為()

A． B．4 C． D．52．（2022秋·江蘇泰州·八年級?？茧A段練習）如圖，在△ABC中，AB=AC=13，BC=10，AD⊥BC于點D，BE⊥AC于點E，且BE=，MN垂直平分AB，交AB于點M，交AC于點N，在MN上有一點P，使PB+PD最小，則這個最小值=________．3．（2023春·全國·七年級專題練習）（1）唐朝詩人李顧的詩古從軍行開頭兩句：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，詩中隱含著一個有趣的數(shù)學問題：如圖所示，詩中大意是將軍從山腳下的點出發(fā)，帶著馬走到河邊點飲水后，再回到點宿營，請問將軍怎樣走才能使總路程最短？請你通過畫圖，在圖中找出點，使的值最小，不說明理由；（2）實踐應(yīng)用，如圖，點為內(nèi)一點，請在射線、上分別找到兩點、，使的周長最小，不說明理由；（3）實踐應(yīng)用：如圖，在中，，，，，平分，、分別是、邊上的動點，求的最小值．【經(jīng)典例題二求兩條線段差的最大值】【例2】如圖，點，在直線的同側(cè)，到的距離，到的距離，已知，是直線上的一個動點，記的最小值為，的最大值為，則的值為（

）A．160 B．150 C．140 D．130【變式訓練】1．如圖，在等邊中，E是邊的中點，P是的中線上的動點，且，則的最大值是________．【經(jīng)典例題三求三條線段和的最小值（雙動點問題）】【例3】（2021秋·重慶榮昌·八年級?？茧A段練習）如圖，∠AOB＝30o，∠AOB內(nèi)有一定點P，且OP＝12，在OA上有一動點Q，OB上有一動點R．若△PQR周長最小，則最小周長是(

)A．6 B．12 C．16 D．20【變式訓練】1．（2022秋·湖北黃石·八年級統(tǒng)考期中）如圖，中，，，的面積為21，于D，EF是AB邊的中垂線，點P是EF上一動點，周長的最小是等于（

）A．7 B．8 C．9 D．102．（2021秋·浙江·八年級期中）如圖，，內(nèi)有一定點P，且．在上有一動點Q，上有一動點R．若周長最小，則最小周長是________．3．（2020秋·江蘇蘇州·八年級?？茧A段練習）最短路徑問題：例：如圖所示，要在街道旁修建一個奶站，向居民區(qū)A、B提供牛奶，奶站應(yīng)建在什么地方，才能使從A、B到它的距離之和最短．解：只有A、C、B在一直線上時，才能使AC+BC最小．作點A關(guān)于直線“街道”的對稱點A′，然后連接A′B，交“街道”于點C，則點C就是所求的點．應(yīng)用：已知：如圖A是銳角∠MON內(nèi)部任意一點，在∠MON的兩邊OM，ON上各取一點B，C，組成三角形，使三角形周長最小.（1）借助直角三角板在下圖中找出符合條件的點B和C．（2）若∠MON=30°，OA=10,求三角形的最小周長．【經(jīng)典例題四最值問題的實際應(yīng)用】【例4】（2023春·四川成都·七年級統(tǒng)考期末）如圖，在正方形網(wǎng)格中，每個小正方形的邊長都是一個單位長度，的三個頂點都在格點上．

(1)求出的面積；(2)畫出關(guān)于直線對稱的；(3)在直線上畫出點，使得的值最?。咀兪接柧殹?．（2023·浙江·八年級假期作業(yè)）如圖，已知，兩點在直線的同一側(cè)，根據(jù)題意，用尺規(guī)作圖．

(1)在（圖①）直線上找出一點，使；(2)在（圖②）直線上找出一點，使的值最?。?3)在（圖③）直線上找出一點，使的值最大．2．（2023春·全國·八年級專題練習）如圖，在中，已知，的垂直平分線交于點N，交于點M，連接．(1)若，則的度數(shù)是___________度；(2)若．的周長是，①求的長度；②若點P為直線上一點，請你直接寫出周長的最小值．3．（2023秋·重慶沙坪壩·七年級重慶八中?？计谀┤鐖D，已知點A，B，C，D是不在同一直線上的四個點，請按要求畫出圖形．(1)作線段和射線；(2)用無刻度的直尺和圓規(guī)在射線上作；(3)在平面內(nèi)作一點P，使得的和最短．【重難點訓練】1．（2023春·陜西西安·七年級交大附中分校?？计谀﹫D，已知A村莊與B村莊相距，A村莊的土地灌溉點在C點處，B村莊的土地灌溉點在D處．已知，現(xiàn)要在線段之間選一點建一水站E，使得水站E分別到灌溉點C與灌溉點D的距離之和最短，最短距離是（

）

A．10 B．17 C．14 D．132．（2023春·全國·七年級專題練習）如圖，等腰中，，垂直平分，交于點E，交于點F，點G是線段上的一動點，若的面積是，，則的周長最小值是（）A． B． C． D．3．（2023春·江蘇鎮(zhèn)江·八年級統(tǒng)考期中）如圖，在正方形中，，動點是正方形內(nèi)一點，滿足，則點到、兩點距離之和的最小值為（

）A．8 B．10 C． D．4．（2023秋·河北滄州·八年級統(tǒng)考期末）如圖，等邊三角形的邊長為4，是邊上的中線，M是上的動點，E是上的一點，若，當取得最小值時，則的度數(shù)為（

）A． B． C． D．5．（2023春·黑龍江綏化·九年級綏化市第八中學校?？计谥校┤鐖D，在矩形中，，，動點滿足，則點到、兩點距離之和的最小值為（

）

A． B． C． D．6．（2023·安徽合肥·統(tǒng)考一模）如圖，在中，，，是下方的一動點，記，的面積分別記為，．若，則線段長的最小值是（

）A．3 B． C． D．7．（2023春·湖北黃岡·九年級專題練習）如圖，在中，，，，平分，點分別是，邊上的動點，則的最小值是（

）A．4 B．5 C．6 D．78．（2023秋·福建廈門·八年級統(tǒng)考期末）如圖，在四邊形中，，，E，F(xiàn)分別是，上的點，當?shù)闹荛L最小時，的度數(shù)為（

）A． B． C． D．9．（2023春·全國·七年級專題練習）如圖，，，分別是邊，上的定點，，分別是邊，上的動點，記，，當最小時，則關(guān)于，的數(shù)量關(guān)系正確的是（）A． B． C． D．10．（2023春·八年級課時練習）如圖，點在等邊的邊上，，射線，垂足為點，點是射線上一動點，點是線段上一動點，當?shù)闹底钚r，，則的長為（

）A．7 B．8 C．9 D．1011．（2023春·河南駐馬店·七年級駐馬店市第二初級中學?？计谀┤鐖D，在三角形中，，三角形的面積是，的垂直平分線分別交，邊于點，點．若點為邊的中點，為線段上一個動點，則三角形周長的最小值是______．

12．（2023秋·河北石家莊·八年級?？计谀┤鐖D，，點M、N分別在射線、上，，的面積為12，P是直線上的動點，點P關(guān)于對稱的點為，點P關(guān)于對稱的點為，當點P在直線上運動時，的面積最小值為______．

13．（2022秋·廣西貴港·八年級統(tǒng)考期中）如圖，，點P為內(nèi)一點，．點M、N分別在上．當△PMN周長最小時，下列結(jié)論：①等于；②等于；③等于；④周長最小值是5：⑤周長最小值是10；⑥周長最小值是15．其中正確結(jié)論的序號是___________．14．（2023秋·福建南平·八年級統(tǒng)考期末）如圖，，點M，N分別是邊，上的定點，點P，Q分別是邊，上的動點，記，，當最小時，則α與β的數(shù)量關(guān)系為____________．15．（2023秋·山西呂梁·八年級統(tǒng)考期末）為貫徹國家城鄉(xiāng)建設(shè)一體化和要致富先修路的理念，某市決定修建道路和一座橋，方便張莊A和李莊B的群眾出行到河岸a．張莊A和李莊B位于一條河流的同一側(cè)，河的兩岸是平行的直線，經(jīng)測量，張莊A和李莊B到河岸b的距離分別為，，且，如圖所示．現(xiàn)要求：建造的橋長要最短，然后考慮兩村莊到河流另一側(cè)橋頭的路程之和最短，則這座橋應(yīng)建造在C，D間距離C______m處．（河岸邊上的點到河對岸的距離都相等）16．（2023春·廣東佛山·八年級?？计谥校┤鐖D，等邊和等邊的邊長都是4，點在同一條直線上，點P在線段上，則的最小值為__________．17．（2022秋·河南南陽·八年級校聯(lián)考階段練習）如圖，在中，平分交于點，點，分別是和上的動點，當，時，的最小值等于_____．

的垂直平分線分別交，于點、，若點為底邊的中點，點為線段上一動點，則的周長的最小值為_____．19．（2023秋·八年級課時練習）如圖，在四邊形中，，，，分別是，上的點，當?shù)闹荛L最小時，求的度數(shù)．

20．（2023春·廣東佛山·八年級校考期中）如圖，已知≌，將沿所在的直線折疊至的位置，點B的對應(yīng)點為，連結(jié)．

(1)直接填空：與的位置關(guān)系是__________；(2)點P、Q分別是線段、上的兩個動點（不與點A、B、C重合），已知的面積為36，，求的最小值；(3)試探索：的內(nèi)角滿足什么條件時，是直角三角形？21．（2022秋·遼寧營口·八年級?？计谥校┤鐖D，在和中，，，與相交于點O，限用尺規(guī)完成以下作圖：(1)在圖1中作線段的垂直平分線；(2)在圖2中，在線段上找到一點N,使的值最?。?2．（2022秋·廣東廣州·八年級?？计谀┤鐖D，在中，．(1)作的垂直平分線交于點，交于點（保留作圖痕跡）．(2)連接，若，的周長是．①求的長；②在直線上是否存在點，使的值最小，若存在，標出點的位置并求的最小值，若不存在，說明理由．23．（2022秋·湖北宜昌·八年級校考期中）已知，村莊和村莊都位于筆直的小河l同側(cè)，要在河邊建一引水站，使它到村莊，需鋪設(shè)的水管長度之和最?。?1)請畫出引水站的位置，并連接（包括畫圖痕跡）；(2)若不計雜料，所用水管之和為