專題02第二章 二次函數(shù)（基礎(chǔ)類型10大類型）（解析版）

專題02第二章二次函數(shù)【專題過關(guān)】類型一、二次函數(shù)的認(rèn)識【解惑】下列函數(shù)關(guān)系中，y是x的二次函數(shù)的是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)二次函數(shù)的概念：形如（為常數(shù)，且）的函數(shù)；由此問題可求解．【詳解】解：A、當(dāng)時，則不是二次函數(shù)，故不符合題意；B、不是二次函數(shù)，故不符合題意；C、是二次函數(shù)，故符合題意；D、化簡得，不是二次函數(shù)，故不符合題意；故選C．【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的概念，熟練掌握二次函數(shù)的概念是解題的關(guān)鍵．【融會貫通】1．（2023秋·全國·九年級專題練習(xí)）下列函數(shù)中，是二次函數(shù)的是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義，逐項判斷即可求解．【詳解】解：A．，關(guān)系式不是整式，故不是二次函數(shù)；B．，關(guān)系式不是整式，故不是二次函數(shù)；C．，自變量的次數(shù)是2，且二次項的系數(shù)不為零，故是二次函數(shù)；D．，自變量的次數(shù)不是2，是一次函數(shù)，不是二次函數(shù)；故選：C．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)，熟練掌握形如，其中為常數(shù)，且的函數(shù)是二次函數(shù)是解題的關(guān)鍵．2．（2022秋·山東東營·九年級?？茧A段練習(xí)）函數(shù)是關(guān)于的二次函數(shù)，則的值為(

)A． B． C． D．【答案】C【分析】由二次函數(shù)的定義可知且然后可求得m的取值．【詳解】函數(shù)是關(guān)于的二次函數(shù)，且，解得，故選：C．【點睛】本題主要考查的是二次函數(shù)的概念，掌握二次函數(shù)的概念是解題的關(guān)鍵．3．（2022秋·江蘇淮安·九年級?？茧A段練習(xí)）若方程是關(guān)于x的二次函數(shù)，則m的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義進行求解即可．【詳解】解：∵是關(guān)于x的二次函數(shù)，∴，故選B．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的定義，熟知二次函數(shù)的定義是解題的關(guān)鍵：一般地，形如且是常數(shù)的函數(shù)叫做二次函數(shù)．4．（2023·全國·九年級專題練習(xí)）二次函數(shù)的概念：一般的，形如(是常數(shù)，)的函數(shù)叫做二次函數(shù)．其中是自變量，分別是函數(shù)解析式的、、常數(shù)項．【答案】x二次項系數(shù)一次項系數(shù)【分析】根據(jù)二次函數(shù)的概念可直接得出答案．【詳解】解：二次函數(shù)的概念：一般的，形如(是常數(shù)，)的函數(shù)叫做二次函數(shù)．其中x是自變量，分別是函數(shù)解析式的二次項系數(shù)、一次項系數(shù)、常數(shù)項．故答案為：x，二次項系數(shù)，一次項系數(shù)．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的概念，熟練掌握基礎(chǔ)知識是解題的關(guān)鍵．5．（2022春·全國·九年級專題練習(xí)）若(1)m取什么值時，此函數(shù)是二次函數(shù)？(2)m取什么值時，此函數(shù)是一次函數(shù)？【答案】(1)(2)或【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)的定義，二次項系數(shù)不為0，含項的最高次數(shù)為2，列式求解即可；（2）根據(jù)一次函數(shù)的定義，含項的最高次數(shù)為1，一次項系數(shù)不為0，列式求解即可．【詳解】（1）解：由題意，得：，解得：；∴當(dāng)時，此函數(shù)為二次函數(shù)；（2）解：由題意，得：，解得：或，∴當(dāng)或，此函數(shù)為一次函數(shù)．【點睛】本題考查二次函數(shù)的定義，一次函數(shù)的定義．熟練掌握相關(guān)概念，是解題的關(guān)鍵．類型二、y=ax2的圖像與性質(zhì)【解惑】對于函數(shù)，下列說法正確的是（）A．當(dāng)時，隨的增大而減小B．當(dāng)時，隨的增大而減小C．隨的增大而減小D．隨的增大而增大【答案】B【分析】根據(jù)拋物線的解析式得出，開口向上，對稱軸為，再根據(jù)二次函數(shù)的增減性即可得到答案．【詳解】解：根據(jù)題意得：，開口向上，對稱軸為直線，當(dāng)時，隨的增大而增大，當(dāng)時，隨的增大而減小，故選：B．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，二次函數(shù)的對稱軸為直線，當(dāng)，圖象開口向上，當(dāng)時，隨的增大而增大，當(dāng)時，隨的增大而減?。划?dāng)時，圖象開口向下，當(dāng)時，隨的增大而減小，當(dāng)時，隨的增大而增大．【融會貫通】1．（2022秋·江蘇淮安·九年級校考階段練習(xí)）已知二次函數(shù)，當(dāng)時，y隨x增大而減小，則實數(shù)a的取值范圍是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)二次函數(shù)的增減性進行解答即可．【詳解】解：∵二次函數(shù)，當(dāng)時，y隨x增大而減小，∴，解得：，故B正確．故選：B．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二次函數(shù)的增減性，當(dāng)時，在對稱軸的左側(cè)y隨x的增大而減小，在對稱軸的右側(cè)y隨x的增大而增大；當(dāng)時，在對稱軸的左側(cè)y隨x的增大而增大，在對稱軸的右側(cè)y隨x的增大而減?。?．（2023秋·全國·九年級專題練習(xí)）拋物線與的圖象的關(guān)系是（）A．開口方向不同，頂點相同，對稱軸相同B．開口方向不同，頂點不同，對稱軸相同C．開口方向相同，頂點相同，對稱軸相同D．開口方向相同，頂點不同，對稱軸不同【答案】A【分析】根據(jù)形如的二次函數(shù)的的值互為相反數(shù)時，開口方向相反，頂點相同，對稱軸相同，即可得到答案．【詳解】解：拋物線與的二次項系數(shù)互為相反數(shù)，其開口方向相反，頂點相同，對稱軸相同，故選：A．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟練掌握形如的二次函數(shù)的的值互為相反數(shù)時，開口方向相反，頂點相同，對稱軸相同，是解題的關(guān)鍵．3．（2023秋·浙江·九年級專題練習(xí)）二次函數(shù)的圖象如圖，點在軸的正半軸上，點，在二次函數(shù)的圖象上，四邊形為菱形，且，則菱形的面積為．

【答案】【分析】連接交于D，根據(jù)菱形的性質(zhì)得到，設(shè)，將點B坐標(biāo)代入函數(shù)解析式，解得t的值，即可得到的值，即可求得菱形的面積．【詳解】解：如圖，連接交于D，

∵四邊形為菱形，∴，，，，平分，∵，∴，∴，∴，設(shè)，則，∴把代入得：，解得：（舍去），，∴，∴，∴，故答案為：．【點睛】本題考查了菱形的性質(zhì)：菱形具有平行四邊形的性質(zhì)；菱形四條邊都相等；菱形的兩條對角線互相垂直，且每一條對角線平分一組對角；菱形面積等于對角線乘積的一半，二次函數(shù)函數(shù)圖像上點的坐標(biāo)，熟知上述性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．（2023秋·全國·九年級專題練習(xí)）把圖中圖象的號碼，填在它的函數(shù)式后面：

（1）的圖象是；（2）的圖象是；（3）的圖象是；（4）的圖象是（填序號①，②等）．【答案】③①④②【分析】先根據(jù)二次項系數(shù)的符號分類，（1）、（2）二次項系數(shù)大于0，開口向上，（3）、（4）二次項系數(shù)小于0，開口向下，再根據(jù)越大，開口越小進行判斷即可得到答案．【詳解】解：（1）、（2）二次項系數(shù)都大于0，那么開口都應(yīng)向上，但，那么（1）應(yīng)對應(yīng)③，（2）應(yīng)對應(yīng)①；（3）、（4）的二次項系數(shù)都小于0，那么開口都應(yīng)向下，但，那么（3）應(yīng)對應(yīng)④，（4）應(yīng)對應(yīng)②．依次填③，①，④，②，故答案為：③，①，④，②．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，當(dāng)時，圖象開口向上，當(dāng)時，圖象開口向下，且越大，開口越小，熟練掌握二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)是解此題的關(guān)鍵．5．（2023秋·全國·九年級專題練習(xí)）填寫下表：圖象

開口方向?qū)ΨQ性頂點與最高、最低點【答案】向上，關(guān)于軸對稱，頂點是最低點；向下，關(guān)于軸對稱，頂點是最高點【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)結(jié)合圖象填空即可．【詳解】解：由圖象可得：當(dāng)時，開口向上，圖象關(guān)于軸對稱，頂點是最低點；當(dāng)時，開口向下，圖象關(guān)于軸對稱，頂點是最高點；故答案為：兩列依次填寫：向上，關(guān)于軸對稱，頂點是最低點；向下，關(guān)于軸對稱，頂點是最高點．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，當(dāng)時，圖象開口向上，關(guān)于軸對稱，頂點是最低點；當(dāng)時，圖象開口向下，關(guān)于軸對稱，頂點是最高點．6．（2023春·遼寧鐵嶺·八年級統(tǒng)考期中）用描點法畫函數(shù)的圖象是學(xué)習(xí)各類函數(shù)的基礎(chǔ)，并能直觀反映出兩個變量之間的函數(shù)關(guān)系．請用描點法畫函數(shù)的圖象，并按照要求回答下列問題：x…-3-2-10123…y…4.5…

(1)在表格內(nèi)填空；(2)在所給坐標(biāo)系內(nèi)描點；(3)用平滑曲線連線．(4)由圖象可知：當(dāng)時，______；當(dāng)時，x的取值范圍是_______．【答案】(1)2，，0，，2，(2)見解析(3)見解析(4)8，【分析】（1）根據(jù)計算填空即可；（2）在坐標(biāo)系內(nèi)描點即可；（3）將各點用平滑曲線連接即可；（4）通過圖象可知：當(dāng)時，圖象上對應(yīng)點的縱坐標(biāo)即為答案；當(dāng)時，可直接寫出x的取值范圍．【詳解】（1）解：當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，．x…0123…y…202…故答案為：2，，0，，2，；（2）解：描點如圖．；（3）解：用平滑曲線連線如上圖；（4）解：由圖象可知：當(dāng)時，；當(dāng)時，．故答案為：8，．【點睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)、圖象，及圖象上點的坐標(biāo)的特征．描點并作圖是學(xué)習(xí)函數(shù)部分必備的基本能力，一定要熟練掌握．類型三、y=ax2+k的圖像與性質(zhì)【解惑】二次函數(shù)的圖象經(jīng)過（

）A．第一、二象限 B．第三、四象限 C．第一、三象限 D．第二、四象限【答案】A【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，進行判斷即可．【詳解】解：∵，，對稱軸為軸，頂點坐標(biāo)為，∴拋物線過第一、二象限；故選A【點睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)．熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．【融會貫通】1.（2023秋·浙江·九年級專題練習(xí)）關(guān)于二次函數(shù)的圖象，下列說法中，正確的是（）．A．對稱軸為直線B．頂點坐標(biāo)為C．可以由二次函數(shù)的圖象向左平移1個單位得到D．在y軸的左側(cè)，圖象上升，在y軸的右側(cè)，圖象下降【答案】D【分析】根據(jù)二次函數(shù)圖象的性質(zhì)逐項判斷即可．【詳解】解：A.二次函數(shù)的對稱軸為直線，故A選項不符合題意；B.二次函數(shù)的頂點坐標(biāo)，故B選項不符合題意；C.二次函數(shù)的圖像可以由二次函數(shù)的圖像向上平移1個單位得到，故C選項不符合題意；D.二次函數(shù)的圖像開口向下，在對稱軸左側(cè)，圖像上升，在對稱軸右側(cè)，圖像下降，故D選項符合題意．故答案為：D．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)圖象的性質(zhì)，理解二次函數(shù)圖象與解析式系數(shù)的關(guān)系是解答本題的關(guān)鍵．2．（2023秋·全國·九年級專題練習(xí)）已知，點，，都在函數(shù)的圖象上，則（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題目中的拋物線，可以得到函數(shù)圖象的開口方向，對稱軸，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可得到、、的大小關(guān)系，從而可以解答本題．【詳解】解：∵拋物線，∴該拋物線開口向上，對稱軸是y軸，點距離對稱軸越遠則函數(shù)值越大．∵，∴，∴，故選：D．【點睛】本題考查二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用二次函數(shù)的性質(zhì)解答．3．（2023·浙江·九年級假期作業(yè)）關(guān)于二次函數(shù)的圖像，下列說法錯誤的是（

）A．拋物線開口向下B．對稱軸為直線C．頂點坐標(biāo)為D．當(dāng)時，隨的增大而減小，當(dāng)時，隨的增大而增大【答案】D【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)依次判斷．【詳解】解：∵，∴拋物線開口向下，對稱軸為直線，頂點坐標(biāo)為，當(dāng)時，隨的增大而增大，當(dāng)時，隨的增大而減小，∴A，B，C正確，D錯誤，故選：D．【點睛】此題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，熟記二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．4．（2020秋·廣東廣州·九年級廣州市第二中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知二次函數(shù)．(1)填寫下表，在上圖平面直角坐標(biāo)系中描出表中的點并畫出函數(shù)圖象．x…－2－1012…y……(2)利用圖象寫出當(dāng)時，y的取值范圍是______．【答案】(1)x…－2－1012…y…03430…圖象見解析(2)【分析】（1）根據(jù)列表、描點、連線三步作出函數(shù)圖象即可；（2）觀察函數(shù)圖象求解即可．【詳解】（1）x…－2－1012…y…03430…函數(shù)圖象如圖所示：（2）有函數(shù)圖象可得：當(dāng)時，y的取值范圍是，故答案為：．【點睛】本題考查二次函數(shù)的綜合應(yīng)用，解題關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)圖象畫法，通過數(shù)形結(jié)合求解．5．（2022秋·河南商丘·九年級?？茧A段練習(xí)）如圖，將二次函數(shù)位于的下方的圖象沿軸翻折，再得到一個新函數(shù)的圖象（圖中的實線）．

(1)當(dāng)時，新函數(shù)值為______，當(dāng)時，新函數(shù)值為______；(2)當(dāng)______時，新函數(shù)有最小值；(3)當(dāng)新函數(shù)中函數(shù)隨的增大而增大時，自變量的范圍是______；(4)直線與新函數(shù)圖象有兩個公共點時，的取值范圍______．【答案】(1)5，3(2)-2或2(3)或(4)或【分析】（1）把和分別代入求得函數(shù)值，根據(jù)函數(shù)圖象即可求得答案；（2）根據(jù)函數(shù)圖象即可求得；（3）根據(jù)函數(shù)圖象即可求得；（4）根據(jù)圖象求得答案即可．【詳解】（1）解：把代入，得，把代入，得，當(dāng)時，新函數(shù)值為，當(dāng)時，新函數(shù)值為，故答案為：，；（2）解：觀察圖象可得：當(dāng)或時，新函數(shù)有最小值為，故答案為：或；（3）解：觀察圖象可得：當(dāng)新函數(shù)中函數(shù)隨的增大而增大時，自變量的范圍是或；故答案為：或；（4）解：觀察圖象可得：直線與新函數(shù)圖象有兩個公共點時，的取值范圍或，故答案為：或．【點睛】本題考查了二次函數(shù)與幾何變換，二次函數(shù)的性質(zhì)，二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵．類型四、y=a（x-h）2的圖像與性質(zhì)【解惑】設(shè)函數(shù)，直線的圖象與函數(shù)的圖象分別交于點，得（）A．若，則 B．若，則C．若，則 D．若，則【答案】C【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象，逐項判斷即可求解．【詳解】解：∵直線的圖象與函數(shù)的圖象分別交于點，A、若，如圖所示，

則，故A選項不合題意；B．若，如圖所示，

則或故B選項不合題意，C．若，如圖所示，

∴，故C選項正確，D選項不正確；故選：C．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，利用數(shù)形結(jié)合思想解答是解題的關(guān)鍵．【融會貫通】1．（2022秋·甘肅定西·九年級校聯(lián)考階段練習(xí)）已知二次函數(shù)，當(dāng)時，隨的增大而增大，當(dāng)時，隨的增大而減小，當(dāng)時，則的值為．【答案】【分析】根據(jù)題意可得二次函數(shù)的對稱軸為直線，進而可得的值，從而可得函數(shù)解析式，再把代入函數(shù)解析式可得的值．【詳解】解：由題意得：二次函數(shù)的對稱軸為直線，故，把代入二次函數(shù)可得，當(dāng)時，，故答案為：．【點睛】此題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，關(guān)鍵是掌握二次函數(shù)定點式，對稱軸為直線．2．（2023秋·浙江·九年級專題練習(xí)）已知點，為二次函數(shù)圖像上的兩點，那么（填“”，“”或“”）．【答案】【分析】根據(jù)題意可知次函數(shù)的對稱軸為，當(dāng)時，隨的增大而減小；當(dāng)時，隨的增大而增大；根據(jù)函數(shù)的增減性即可求解．【詳解】解：∵，∴拋物線開口向上，對稱軸為直線，∴當(dāng)時，隨的增大而減?。划?dāng)時，隨的增大而增大；∵，∴，故答案為：．【點睛】本題主要考查二次函數(shù)圖像的增減性，掌握二次函數(shù)圖像的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2023春·九年級課時練習(xí)）二次函數(shù)的最大值為．【答案】0【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求解即可．【詳解】解：對于二次函數(shù)，∵，∴當(dāng)時，函數(shù)有最大值0，故答案為：0．【點睛】本題考查二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解答的關(guān)鍵．4．（2023秋·全國·九年級專題練習(xí)）寫出下列二次函數(shù)圖象的開口方向、對稱軸和頂點坐標(biāo)．(1)(2)(3)．【答案】(1)開口向下，對稱軸是，頂點坐標(biāo)為(2)開口向上，對稱軸是，頂點坐標(biāo)為(3)開口向上，對稱軸是，頂點坐標(biāo)為【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，對稱軸，頂點坐標(biāo)即可解答；（2）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，對稱軸，頂點坐標(biāo)即可解答；（3）根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，對稱軸，頂點坐標(biāo)即可解答；【詳解】（1）解：∵拋物線，∴開口向下，對稱軸是，頂點坐標(biāo)為；（2）解：∵拋物線，∴開口向上，對稱軸是，頂點坐標(biāo)為；（3）解：∵拋物線，∴開口向上，對稱軸是，頂點坐標(biāo)為．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)嗎，對稱軸，頂點坐標(biāo)，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．類型五、y=a（x-h）2+k的圖像與性質(zhì)【解惑】若，，三點都在二次函數(shù)的圖象上，則，，的大小關(guān)系為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由二次函數(shù)解析式可得函數(shù)對稱軸和增減性，再根據(jù)離對稱軸的遠近的點的縱坐標(biāo)的大小比較，即可得出的大小關(guān)系．【詳解】解：二次函數(shù)的圖像開口向下，對稱軸為，∴正好是拋物線的頂點坐標(biāo)，∴是二次函數(shù)的最大值，∵在對稱軸左側(cè)，隨的增大而增大，又∵，∴．故選：A．【點睛】本題主要考查了比較函數(shù)值的大小，解決此題的關(guān)鍵是理解當(dāng)二次函數(shù)開口向下時，在函數(shù)圖像上距離對稱軸越遠的點，函數(shù)值越小；當(dāng)二次函數(shù)開口向上時，在函數(shù)圖像上距離對稱軸越遠的點，函數(shù)值越大．【融會貫通】1．（2023秋·福建福州·九年級福建省福州延安中學(xué)校考開學(xué)考試）對于的性質(zhì)，下列敘述正確的是（）A．頂點坐標(biāo)為 B．當(dāng)時，y隨x增大而減小C．當(dāng)時，y有最大值2 D．對稱軸為直線【答案】D【分析】根據(jù)的圖象與性質(zhì)逐一分析判斷即可．【詳解】解：的開口向上，頂點坐標(biāo)為，當(dāng)時，y隨x增大而增大，當(dāng)時，y有最小值2，對稱軸為直線，故D符合題意，A，B，C不符合題意；故選D【點睛】本題考查的是二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，熟記的圖象與性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．2．（2022·黑龍江哈爾濱·校考三模）將拋物線向下平移個單位長度，再向左平移個單位長度，所得的拋物線為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)拋物線的平移規(guī)則，上加下減，左加右減，即可得出結(jié)論．【詳解】解：將拋物線向下平移個單位長度，再向左平移個單位長度，所得的拋物線：，即，故選C．【點睛】此題考查了二次函數(shù)圖象的平移．熟練掌握拋物線的平移規(guī)則，上加下減，左加右減，是解題的關(guān)鍵．3．（2022秋·云南昭通·九年級統(tǒng)考期中）對于拋物線，下列結(jié)論：①拋物線的開口向下；

②對稱軸為直線；③頂點坐標(biāo)為；

④時，y隨x的增大而減?。渲绣e誤的結(jié)論為（

）A．4個 B．3個 C．2個 D．1個【答案】B【分析】直接根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)進行解答即可．【詳解】解：對于拋物線，∵，∴拋物線的開口向上，故①錯誤；對稱軸為直線，故②錯誤；頂點坐標(biāo)為，故③正確；∴當(dāng)時，y隨x的增大而增大，故④錯誤；綜上所述，結(jié)論錯誤的個數(shù)是①②④共3個．故選：B．【點睛】本題考查了二次函數(shù)頂點式的性質(zhì)，熟練掌握二次函數(shù)的幾種形式的基本性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．的頂點坐標(biāo)為，對稱軸為直線，當(dāng)時，在對稱軸左側(cè)，y隨x增大而減小，在對稱軸右側(cè)，y隨x增大而增大；當(dāng)，在對稱軸右側(cè)，y隨x增大而減小，在對稱軸左側(cè)，y隨x增大而增大．4.（2023秋·甘肅蘭州·九年級?？计谀┤鐖D，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過正方形的頂點，且點為頂點，將該拋物線經(jīng)過平移，使其頂點為C點，則平移后拋物線的表達式為（

）

A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)二次函數(shù)的表達式求出點A的坐標(biāo)為，根據(jù)正方形的性質(zhì)可以求出點C的坐標(biāo)，進而求出點C的坐標(biāo)，進而求解．【詳解】解：當(dāng)時，，故A點坐標(biāo)為，過點C作交于D，

則，∴C點坐標(biāo)為∵二次函數(shù)的圖象經(jīng)過正方形的頂點C，∴，解得或（舍去）∴C點坐標(biāo)為，∴平移后拋物線的表達式為，故選：A．【點睛】本題考查了正方形的性質(zhì)、二次函數(shù)的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是求出b的值．5．（2023春·河南洛陽·九年級統(tǒng)考期末）若將拋物線先向右平移2個單位，再向上平移1個單位，得到的新拋物線的表達式為（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】根據(jù)二次函數(shù)“上加下減，左加右減”的平移規(guī)律進行求解．【詳解】解：將拋物線先向右平移2個單位，再向上平移1個單位，得到的新拋物線的表達式為，故選A．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)圖象的平移，熟知二次函數(shù)圖象的平移規(guī)律是解題的關(guān)鍵．6．（2023秋·全國·九年級專題練習(xí)）已知拋物線．(1)其開口方向為____________．(2)頂點坐標(biāo)為______________．(3)當(dāng)x___________時，y隨x的增大而增大．(4)最______（填“大”或“小”）為________．【答案】(1)向上(2)(3)(4)小，【分析】（1）根據(jù)，即可判斷開口方向向上；（2）根據(jù)頂點式的頂點坐標(biāo)為求解即可；（3）根據(jù)開口向上，在對稱軸的右側(cè)，y隨x的增大而增大解答即可；（4）根據(jù)開口向上，頂點的縱坐標(biāo)為函數(shù)的最小值，據(jù)此即可求解．【詳解】（1）解：∵，∴，∴其開口方向向上，故答案為：向上；（2）解：∵，∴頂點坐標(biāo)為，故答案為：；（3）解：∵開口向上，且對稱軸為∴當(dāng)時，y隨x的增大而增大；故答案為：；（4）解：∵，開口向上，頂點坐標(biāo)為，∴函數(shù)有最小值，最小值為，故答案為：小，．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的性質(zhì)，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．在自變量的所有取值中：當(dāng)時，拋物線在對稱軸左側(cè)，y隨x的增大而減少；在對稱軸右側(cè)，y隨x的增大而增大，函數(shù)有最小值；當(dāng)時，拋物線在對稱軸左側(cè)，y隨x的增大而增大；在對稱軸右側(cè)，y隨x的增大而減少，函數(shù)有最大值；如果在規(guī)定的取值中，要看圖象和增減性來判斷．類型六、y=ax2+bx+c的圖像與性質(zhì)【解惑】已知拋物線，若點都在該拋物線上，則的大小關(guān)系是（）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)二次函數(shù)的對稱性，再利用二次函數(shù)的增減性可判斷y值的大?。驹斀狻拷猓骸撸鄴佄锞€開口向下，對稱軸為直線，∵點都在該拋物線上，，∴，故選：D．【點睛】本題考查了二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)的特征，解題的關(guān)鍵是熟記二次函數(shù)的增減性．【融會貫通】1．（2023秋·浙江·九年級專題練習(xí)）均在二次函數(shù)的圖象上，則的大小關(guān)系是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】求出二次函數(shù)的對稱軸，再根據(jù)二次函數(shù)的對稱性和增減性判斷即可．【詳解】解：，∴拋物線對稱軸為直線，∵，∴時，y隨x的增大而減小，∵的對稱點為，且，∴，故選：C．【點睛】本題主要考查對二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，二次函數(shù)的性質(zhì)等知識點的理解和掌握，能熟練地運用二次函數(shù)的性質(zhì)進行推理是解此題的關(guān)鍵．2．（2023秋·福建福州·九年級福建省福州延安中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知拋物線，，，是拋物線上三點，則，，由小到大序排列是（）A． B． C． D．【答案】B【分析】先根據(jù)拋物線解析式得到拋物線的開口方向和對稱軸，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，通過三點與對稱軸距離的遠近來比較函數(shù)值的大?。驹斀狻拷猓骸邟佄锞€的開口向上，對稱軸為直線，∴距離對稱軸越遠，函數(shù)值越大，∵，，，∴，，，∴，故選B【點睛】本題考查的是二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，理解當(dāng)二次函數(shù)的開口向上時，距離對稱軸越遠的點的函數(shù)值越大是解本題的關(guān)鍵．3．（2022秋·甘肅蘭州·九年級?？计谀┮阎魏瘮?shù)（）圖象上部分點橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)的對應(yīng)值如表：x…01234…y…05…

(1)畫出函數(shù)圖象；(2)當(dāng)x__________時，y隨x的增大而減?。?3)當(dāng)時，y的取值范圍為__________．【答案】(1)見解析(2)(3)【分析】（1）根據(jù)已知點依次描點，再連線即可；（2）根據(jù)圖象即可求解；（3）根據(jù)圖象即可求解．【詳解】（1）解：描點、連線，畫出圖形如圖所示：

設(shè)二次函數(shù)的表達式為，∵二次函數(shù)經(jīng)過點，∴，∴，∴二次函數(shù)的表達式為，即；（2）觀察函數(shù)圖象可知：當(dāng)時，y隨x的增大而減小；故答案為：；（3）當(dāng)，根據(jù)圖象可知y的取值范圍為．故答案為：．【點睛】本題考查的是二次函數(shù)的作圖，以及二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是要能采用數(shù)形結(jié)合的思想．4．（2023秋·福建福州·九年級福建省福州第八中學(xué)校考開學(xué)考試）將下列各二次函數(shù)解析式化為的形式，并寫出頂點坐標(biāo)及其最值．①；②．【答案】①，頂點；②，頂點【分析】先配方，然后根據(jù)頂點式寫出頂點坐標(biāo)，即可求解．【詳解】解：①，∴頂點；②，∴頂點.【點睛】本題考查的是二次函數(shù)一般式與頂點式的轉(zhuǎn)化，能夠熟練掌握配方法是解題的關(guān)鍵.類型七、用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式【解惑】已知二次函數(shù)圖象經(jīng)過點、點點，求該二次函數(shù)的解析式，并指出圖象的對稱軸和頂點坐標(biāo)．【答案】解析式，對稱軸，頂點坐標(biāo)．【分析】將點坐標(biāo)代入解析式，得方程組求解，確定函數(shù)解析式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求得對稱軸，頂點坐標(biāo)．【詳解】解：由題意，得，解得，∴．∴對稱軸：，頂點坐標(biāo)．故答案為：解析式，對稱軸：，頂點坐標(biāo)．【點睛】本題考查待定系數(shù)法確定函數(shù)解析式，二次函數(shù)的性質(zhì)；掌握二次函數(shù)的基本性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．【融會貫通】1．（2023秋·福建福州·九年級福建省福州第八中學(xué)?？奸_學(xué)考試）已知一個二次函數(shù)的圖象經(jīng)過、、三點，求這個二次函數(shù)的解析式．【答案】【分析】把、、三點，代入，待定系數(shù)法求解析式即可求解．【詳解】解：設(shè)這個二次函數(shù)的解析式為，把、、三點，代入，得解得：∴【點睛】本題考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，熟練掌握待定系數(shù)法求解析式是解題的關(guān)鍵．2．（2023秋·福建福州·九年級校考開學(xué)考試）已知拋物線經(jīng)過點和點，求該拋物線的解析式．【答案】【分析】根據(jù)待定系數(shù)法可進行求解．【詳解】解：把點和點代入拋物線解析式可得：，解得：，∴拋物線的解析式為．【點睛】本題主要考查待定系數(shù)法求解函數(shù)解析式，熟練掌握待定系數(shù)法是解題的關(guān)鍵．3．（2022秋·上海浦東新·九年級?？茧A段練習(xí)）已知拋物線經(jīng)過三點．(1)求這條拋物線的關(guān)系式；(2)寫出這條拋物線的開口方向看、頂點D的坐標(biāo)及對稱軸，并說明它的變化情況．【答案】(1)(2)答案見解析【分析】（1）已知了拋物線上三點坐標(biāo)，可用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式；（2）把解析式化成頂點式，根據(jù)拋物線的性質(zhì)即可求得．【詳解】（1）解：把，，代入，得：解得：；則拋物線的解析式為；（2）解：，拋物線的開口方向向下，對稱軸為，頂點坐標(biāo)為．圖象由向右平移個單位，向上平移個單位得到【點睛】本題主要考查了待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式以及二次函數(shù)的性質(zhì)，熟練掌握待定系數(shù)法是本題的關(guān)鍵．4．（2022秋·江蘇淮安·九年級校考階段練習(xí)）已知一個二次函數(shù)的圖象過，求這個二次函數(shù)的解析式．【答案】【分析】根據(jù)待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式即可得到答案．【詳解】解：設(shè)過的二次函數(shù)的解析式為，將代入得，解得，二次函數(shù)的解析式為．【點睛】本題考查利用待定系數(shù)法求二次函數(shù)解析式，熟練掌握待定系數(shù)法求函數(shù)解析式是解決問題的關(guān)鍵．5．（2022秋·廣西賀州·九年級校考期末）已知拋物線與軸交于、兩點．(1)求出這條拋物線的函數(shù)表達式；(2)用配方法求出這個拋物線的頂點坐標(biāo)和對稱軸．【答案】(1)(2)拋物線的頂點坐標(biāo)為，對稱軸為直線【分析】（1）將、代入，得，解得，，進而可得拋物線的函數(shù)表達式；（2）由題意知，，進而可得拋物線的頂點坐標(biāo)為，對稱軸為直線．【詳解】（1）解：將、代入，得，解得，，∴這條拋物線的函數(shù)表達式；（2）解：由題意知，，∴拋物線的頂點坐標(biāo)為，對稱軸為直線．【點睛】本題考查了二次函數(shù)解析式，二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)．解題的關(guān)鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運用．類型八、求拋物線與x、y軸交點【解惑】如圖，拋物線（a，b，c為常數(shù)，且）交x軸于A，B兩點，則不等式的解為（

）

A． B． C．或 D．或【答案】D【分析】由拋物線與x軸的兩個交點和開口向下可得不等式的解集是或，且，進而可得不等式的解為或.【詳解】解：∵拋物線交x軸于A，B兩點，且拋物線開口向下，∴不等式的解集是或，且，∴不等式的解為或；故選：D.【點睛】本題考查了二次函數(shù)與不等式的關(guān)系，正確理解拋物線與x軸的交點與對應(yīng)不等式的關(guān)系、數(shù)形結(jié)合是解題的關(guān)鍵.【融會貫通】1．（2022秋·河南鄭州·九年級校考階段練習(xí)）已知二次函數(shù)的圖象與x軸的一個交點坐標(biāo)為，則另一個交點的坐標(biāo)為．【答案】【分析】利用待定系數(shù)法求得值，令，解一元二次方程即可求得結(jié)論．【詳解】解：∵二次函數(shù)（為常數(shù)）的圖象與軸的一個交點坐標(biāo)為，∴．∴，∴二次函數(shù)．令，則，解得：，．∴拋物線與與軸的另一個交點坐標(biāo)是．故答案為：．【點睛】本題主要考查了拋物線與軸的交點，待定系數(shù)法，一元二次方程的解法，令，通過解一元二次方程求得拋物線與軸的交點的橫坐標(biāo)是解題的關(guān)鍵．2．（2022秋·山東東營·九年級?？茧A段練習(xí)）拋物線與軸的交點坐標(biāo)為．【答案】，【分析】令，解關(guān)于的一元二次方程，即可得到答案．【詳解】解：令，∵，則：解得：，∴拋物線與軸的交點坐標(biāo)是，；故答案為：，．【點睛】此題主要考查了二次函數(shù)圖像與x軸的交點問題，解題的關(guān)鍵在于能夠熟知二次函數(shù)與軸交點的橫坐標(biāo)是令時，一元二次方程的解．3．（2023秋·安徽淮南·九年級統(tǒng)考開學(xué)考試）已知二次函數(shù)．(1)將二次函數(shù)化成頂點式；(2)求圖像與軸，軸的交點坐標(biāo)．【答案】(1)(2)與軸交于點，與軸交于點，【分析】（1）用配方法化成頂點式即可；（2）當(dāng)時，求出，當(dāng)時，求出，，即可得二次函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點坐標(biāo)．【詳解】（1）解：；（2）當(dāng)時，，與軸交于點，當(dāng)時，，，．與軸交于點，．【點睛】本題考查二次函數(shù)的頂點式以及與坐標(biāo)軸交點坐標(biāo)，掌握配方法是解決此題的關(guān)鍵．4．（2023秋·山東聊城·九年級統(tǒng)考期末）如圖，A，B，C，D四點在拋物線上，且軸，與y軸的交點分別為E，F(xiàn)，已知，，，求a的值及的長．

【答案】，【分析】由題意可設(shè)點，，然后可列二元一次方程組求得，進而求得點坐標(biāo)即可解答．【詳解】解：由題意可設(shè)點，，則：，，解得：，，，軸，，，．【點睛】本題主要考查了二次函數(shù)的性質(zhì)、平行于軸的直線的坐標(biāo)特點等知識點，掌握二次函數(shù)的性質(zhì)成為解答本題的關(guān)鍵．5．（2022秋·山東東營·九年級校考期中）如圖，拋物線與直線相交于B，C兩點，拋物線、直線分別與y軸交于A，D兩點．(1)求點A，D的坐標(biāo)．(2)求的面積．【答案】(1)，(2)3【分析】（1）令分別代入拋物線以及直線，即可求出A，D的坐標(biāo)；（2）聯(lián)立拋物線以及直線，求出B，C兩點坐標(biāo)，把分成和兩個小三角形的面積．【詳解】（1）解：當(dāng)時，，，點，點；（2）聯(lián)立，解得或，∴點，點，∴，故的面積為3．【點睛】本題考查拋物線與軸的交點，主要考查函數(shù)圖像上點的坐標(biāo)特征，需要熟練掌握函數(shù)與坐標(biāo)軸的交點等點坐標(biāo)的求法．類型九、噴水問題【解惑】如圖所示，陽光中學(xué)教學(xué)樓前噴水池噴出的拋物線形水柱，其解析式為y＝﹣（x﹣2）2+6，則水柱的最大高度是（）A．2 B．4 C．6 D．2+【答案】C【分析】根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，在頂點處取最值即可．【詳解】解：∵拋物線形水柱，其解析式為y＝﹣（x﹣2）2+6，∵a=-1＜0∴當(dāng)x=2時，水柱的最大高度是：6．故選C．【點睛】本題考查二次函數(shù)的實際應(yīng)用—噴水問題．根據(jù)二次函數(shù)的解析式得到拋物線頂點坐標(biāo)是解決此類問題的關(guān)鍵．【融會貫通】1．（2022秋·全國·九年級專題練習(xí)）某公園有一個圓形噴水池，噴出的水流呈拋物線狀，一條水流的高度與水流時間之間的解析式為，那么水流從拋出至落到地面所需要的時間是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】求出解析中h＝0時t的值即可得．【詳解】在h＝30t?5t2中，令h＝0可得30t?5t2＝0，解得：t＝0或t＝6，所以水流從拋出至落到地面所需要的時間是6s，故選：B．【點睛】本題主要考查二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是明確解析式中水流落到地面所對應(yīng)的函數(shù)值為0．2．（2021春·江蘇·九年級專題練習(xí)）某廣場有一噴水池，水從地面噴出，如圖，以水平地面為x軸，出水點為原點，建立平面直角坐標(biāo)系，水在空中劃出的曲線是拋物線y＝－x2＋4x(單位：米)的一部分，則水噴出的最大高度是()A．4米 B．3米 C．2米 D．1米【答案】A【詳解】）∵y=－x2＋4x=，∴當(dāng)x=2時，y有最大值4，∴最大高度為4m．故選A．3．（2022秋·河北滄州·九年級?？茧A段練習(xí)）煙花廠某種禮炮的升空高度h（m）與飛行時間t（s）的關(guān)系式是h＝﹣2t2+20t+1，若這種禮炮在點火升空到最高點處引爆，則從點火升空到引爆需要的時間為（）A．3s B．4s C．5s D．10s【答案】C【分析】將h關(guān)于t的函數(shù)關(guān)系式變形為頂點式，即可得出升到最高點的時間，從而得出結(jié)論．【詳解】解：∵h＝﹣2t2+20t+1＝﹣2（t﹣5）2+51，∴當(dāng)t＝5時，禮炮升到最高點．故選：C．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是將二次函數(shù)的關(guān)系式變形為頂點式．本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，解決該題型題目時，將函數(shù)的關(guān)系式進行變換找出頂點坐標(biāo)即可．4．（2023秋·全國·九年級專題練習(xí)）某游樂場的圓形噴水池中心O有一雕塑OA，從A點向四周噴水，噴出的水柱為拋物線，且形狀相同。如圖，以水平方向為x軸，點O為原點建立直角坐標(biāo)系，點A在y軸上，x軸上的點C、D為水柱的落水點，水柱所在拋物線(第一象限部分)的函數(shù)表達式為．(1)求落水點C、D之間的距離；(2)若需在OD上離O點10米的E處豎立雕塑EF，，且雕塑的頂部剛好碰到水柱，求雕塑EF的高．【答案】(1)22米(2)雕塑EF的高為米【分析】（1）利用二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征可求出點D的坐標(biāo)，進而可得出OD的長度，由噴出的水柱為拋物線且形狀相同，可得出OC的長，結(jié)合CD＝OC+OD即可求出落水點C，D之間的距離；（2）代入x＝10求出y值即可．【詳解】（1）解：當(dāng)y＝0時，，解得：x1＝﹣1（舍去），x2＝11，∴點D的坐標(biāo)為（11，0），∴OD＝11m．∵從A點向四周噴水，噴出的水柱為拋物線，且形狀相同，∴OC＝OD＝11m，∴CD＝OC+OD＝22m．（2）解：∵，，當(dāng)x＝10時，，∴點F（10，）∴雕塑EF的高為米．【點睛】本題考查了二次函數(shù)的應(yīng)用，解題的關(guān)鍵是：（1）利用二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，求出點D的坐標(biāo)；（2）利用二次函數(shù)圖象上點的坐標(biāo)特征，求出拋物線上橫坐標(biāo)為10的點的坐標(biāo)．5．（2022秋·甘肅平?jīng)觥ぞ拍昙壭？茧A段練習(xí)）如圖，在噴水池的中心A處豎直安裝一個水管AB．水管的頂端安有一個噴水管、使噴出的拋物線形水柱在與池中心A的水平距離為1m處達到最高點C．高度為3m．水柱落地點D離池中心A處3m．建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，解答下列問題．

（1）求水柱所在拋物線的函數(shù)解析式；（2）求水管AB的長．【答案】（1）y＝﹣（x﹣1）2+3（0≤x≤3）；（2）2.25m【分析】（1）以池中心為原點，豎直安裝的水管為y軸，與水管垂直的為x軸建立直角坐標(biāo)系，設(shè)拋物線的解析式為y＝a（x?1）2＋3，將（3，0）代入求得a值；（2）由題意可得，x＝0時得到的y值即為水管的長．【詳解】解：（1）以池中心為原點，豎直安裝的水管為y軸，與水管垂直的為x軸建立直角坐標(biāo)系．由于在距池中心的水平距離為1m時達到最高，高度為3m，則設(shè)拋物線的解析式為：y＝a（x﹣1）2+3，代入（3，0）求得：a＝﹣（x﹣1）2+3．將a值代入得到拋物線的解析式為：y＝﹣（x﹣1）2+3（0≤x≤3）；（2）令x＝0，則y＝＝2.25．故水管AB的