構(gòu)造速度法解帶電粒子復(fù)雜運(yùn)動(dòng)

構(gòu)造速度法解帶電粒子復(fù)雜運(yùn)動(dòng)嚴(yán)忠俊王建民（浙江省吳興高級(jí)中學(xué),湖州313000）有一類競(jìng)賽題，帶電粒子在勻強(qiáng)磁場(chǎng)、勻強(qiáng)電場(chǎng)和重力場(chǎng)中運(yùn)動(dòng)，所受的洛倫茲力大小和方向隨時(shí)間而變化，運(yùn)動(dòng)過(guò)程復(fù)雜，常見的方法難于求解此類問(wèn)題.因該類問(wèn)題中帶電粒子所受的重力或電場(chǎng)力是恒力，故可以采用構(gòu)造速度的方法來(lái)巧妙地解答該類問(wèn)題.構(gòu)造速度法就是根據(jù)帶電粒子所受重力或電場(chǎng)力為恒力的特點(diǎn)，在某一方向或某幾個(gè)方向構(gòu)造一對(duì)或幾對(duì)大小相等、方向相反的速度，讓帶電粒子以其中一個(gè)速度或幾個(gè)速度運(yùn)動(dòng)時(shí)所受的洛倫茲力與所受的重力或電場(chǎng)力相平衡，（再將剩余的速度合成為一個(gè)合速度，對(duì)應(yīng)此合速度運(yùn)動(dòng)時(shí)所受的洛倫茲力,提供粒子作勻速圓周運(yùn)動(dòng)所需的向心力.）這樣就可以將帶電粒子的復(fù)雜運(yùn)動(dòng)看成是一個(gè)或幾個(gè)勻速直線運(yùn)動(dòng)以及以其余分速度的合速度作勻速圓周運(yùn)動(dòng)的合運(yùn)動(dòng).構(gòu)造速度法解題思路清晰，解題步驟簡(jiǎn)便，且便于學(xué)生理解和掌握，下面舉例說(shuō)明.例1.如圖1所示，一絕緣臺(tái)面上方空間足夠大的區(qū)域內(nèi)，有互相正交的勻強(qiáng)電場(chǎng)和勻強(qiáng)磁場(chǎng)，電場(chǎng)強(qiáng)度為10N/C，磁感應(yīng)強(qiáng)度為5T，今有一可視為質(zhì)點(diǎn)的小球A，質(zhì)量為1g，帶電量為+4×10-4C，由靜止開始在臺(tái)面上運(yùn)動(dòng)，取g=10m/s2.求：（1）A球剛離開臺(tái)面時(shí)的速度大小.（2）A球在運(yùn)動(dòng)中其速度能達(dá)到的最大值.分析與解：（1）問(wèn)較簡(jiǎn)單，開始時(shí)，小球沿電場(chǎng)力方向做勻加速直線運(yùn)動(dòng)，隨著小球速度的增加，洛倫茲力也增大，當(dāng)洛倫茲力增大至與重力大小相等時(shí)，水平面對(duì)小球的支持力為零，小球?qū)㈦x開地面。如圖2所示，有洛倫茲力f1=mg,即Bqv1=mg，代入數(shù)據(jù)可解得A球剛離開臺(tái)面時(shí)的速度大小為v1=5m/s.對(duì)于（2）問(wèn)，因小球的速度繼續(xù)增大，洛倫茲力增大，球?qū)⒚撾x地面做復(fù)雜的曲線運(yùn)動(dòng)，因洛倫茲力是大小也變化的變力，用常規(guī)方法很難解答所求問(wèn)題.而小球以v1運(yùn)動(dòng)所受的洛倫茲力f1已與重力mg平衡，如圖3所示.故我們只需在豎直方向上構(gòu)造一對(duì)大小相等、方向相反的速度v2和v3，且讓小球以v2運(yùn)動(dòng)時(shí)所受的洛倫茲力f2剛好與電場(chǎng)力Eq平衡，如圖4所示，即f2=Bqv2=Eq,解得v2=2m/s，而小球以剩下的v3=2m/s運(yùn)動(dòng)時(shí)只受到的洛倫茲力f3作用，如圖5所示.這樣小球的復(fù)雜運(yùn)動(dòng)就可看成是三個(gè)分運(yùn)動(dòng)的合運(yùn)動(dòng),三個(gè)分運(yùn)動(dòng)分別是v1=5m/s與v2=2m/s的勻速直線運(yùn)動(dòng)和以速率為v3=2m/s的勻速圓周運(yùn)動(dòng),如圖6所示.(虛線表示各分運(yùn)動(dòng)的運(yùn)動(dòng)軌跡)從而可知，當(dāng)小球做勻速圓周運(yùn)動(dòng)的分速度v3與v1、v2的合速度方向相同時(shí)，小球的速度達(dá)到最大值.因v1與v2的合速度為m/s（方向斜向右上方，與水平方向的夾角為arctg0.4），故A球在運(yùn)動(dòng)中其速度能達(dá)到的最大值為vmax=2+m/s.例2．如圖7所示，一帶正電的小球，電量為q，質(zhì)量為m，以初速度v0從P點(diǎn)沿水平z軸負(fù)方向開始運(yùn)動(dòng)，已知在xoy平面上有一無(wú)限大的熒光屏，整個(gè)空間充滿磁感應(yīng)強(qiáng)度為B、沿z軸負(fù)方向的勻強(qiáng)磁場(chǎng)，且PO=2πmv0/(3qB).求：小球打到屏上的位置.（用坐標(biāo)表示，已知重力加速度為g）分析與解：在x軸方向上構(gòu)造一對(duì)大小相等、方向相反的速度v1和v2，使小球以v1運(yùn)動(dòng)時(shí)所受的洛倫茲力f1與重力平衡.如圖8所示，由f1=Bqv1=mg得v1=mg/Bq.又由左手定則判定可知v1的方向沿x軸的負(fù)方向,則v2的大小為mg/Bq，方向沿x軸的正方向.由以上分析可知，小球的運(yùn)動(dòng)可看成是三個(gè)分運(yùn)動(dòng)的合運(yùn)動(dòng)，即分運(yùn)動(dòng)一為以v0沿z軸負(fù)方向的勻速直線運(yùn)動(dòng)，分運(yùn)動(dòng)二為以v1沿x軸負(fù)方向的勻速直線運(yùn)動(dòng)，如圖8所示.分運(yùn)動(dòng)三為以初速度v2按順時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)（沿z軸正方向看）的勻速圓周運(yùn)動(dòng).由分運(yùn)動(dòng)一可知小球到達(dá)熒光屏的時(shí)間為t=PO/v0=2πmv0/3qBv0=2πm/3qB.由分運(yùn)動(dòng)二可求出小球沿x軸負(fù)方向的分位移x1，即x1=-v1t=-（mg/Bq）（2πm/3qB）=-2πm2g/3q2B2.對(duì)于分運(yùn)動(dòng)三，其周期為T=2πm/Bq，旋轉(zhuǎn)半徑為r=mv2/Bq=mv1/Bq=m2g/B2q2，因t=T/3，故其轉(zhuǎn)過(guò)的角度為1200，所以小球到達(dá)屏的位置應(yīng)在xoy平面第四象限中，如圖9所示.其在x軸上的分位移x2=rsin600=m2g/2B2q2，在y軸上的分位移y=-（r+rsin300）=-3m2g/2B2q2.綜合以上分析可知,小球打到屏上的位置坐標(biāo)分別為x=x1+x2=-(),y=-3m2g/2B2q2.例3．如圖10所示，空間的勻強(qiáng)電場(chǎng)沿y軸負(fù)方向，電場(chǎng)強(qiáng)度為E，勻強(qiáng)磁場(chǎng)垂直紙面向里，磁感應(yīng)強(qiáng)度為B，有帶正電粒子（已知m、q）從0點(diǎn)出發(fā)沿x軸正方向以初速v0=3E/B射入場(chǎng)區(qū)，（不計(jì)重力）求：（1）此帶電粒子能到達(dá)的地方離x軸的最遠(yuǎn)距離.（2）粒子運(yùn)動(dòng)軌跡跟x軸相切的點(diǎn)的坐標(biāo).分析與解答：在x軸方向上構(gòu)造一對(duì)大小相等、方向相反的速度v1和v1′,使帶正電粒子以V1運(yùn)動(dòng)時(shí)所受的洛倫茲力f1與電場(chǎng)力Eq平衡,如圖11所示.由f1=Bqv1=Eq得v1=E/B.又由左手定則判定可知v1的方向沿x軸的正方向.則v1′的大小E/B，方向沿x軸的負(fù)方向，與v0合成得v2=v0-v1′=3E/B-E/B=2E/B.初始方向沿x軸正方向，粒子以v2運(yùn)動(dòng)時(shí)只受洛倫茲力f2作用,如圖12所示.由以上分析可知粒子的運(yùn)動(dòng)可分解為兩個(gè)簡(jiǎn)單的分運(yùn)動(dòng).即分運(yùn)動(dòng)一是以大小為v1方向沿x軸正方向的勻速直線運(yùn)動(dòng),分運(yùn)動(dòng)二是以大小為v2初速方向沿x軸正方向，逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)的勻速圓周運(yùn)動(dòng)，其軌道半徑為r=mv2/Bq=2mE/B2q，周期為T=2πm/Bq.粒子的運(yùn)動(dòng)由兩分運(yùn)動(dòng)合成，運(yùn)動(dòng)軌跡如圖13中實(shí)線所示.所以經(jīng)半個(gè)周期，當(dāng)v2的方向?yàn)閤軸負(fù)方向時(shí)，得粒子離x軸最遠(yuǎn)距離為ymax=2r=4mE/B2q.經(jīng)一個(gè)周期，即v2的方向?yàn)閤軸正方向時(shí)，得粒子第一次與x軸相切的坐標(biāo)位置為x1=v1T=2πEm/B2q.由于運(yùn)動(dòng)的周期性，得第n次與x軸相切的點(diǎn)的坐標(biāo)為xn=v1nT=2πnEm/B2q,其中n為正整數(shù).(收稿日期：2004-