一章集合常用邏輯用語(yǔ)不等式一節(jié)

第一節(jié)集合?1.了解集合的含義，體會(huì)元素與集合的屬于關(guān)系；能用自然語(yǔ)言、圖形語(yǔ)言、集合語(yǔ)言（列舉法或描述法）描述不同的具體問題.2.理解集合之間包含與相等的含義，能識(shí)別給定集合的子集；在具體情境中了解全集與空集的含義.3.（1）理解兩個(gè)集合的并集與交集的含義，會(huì)求兩個(gè)簡(jiǎn)單集合的并集與交集；（2）理解在給定集合中一個(gè)子集的補(bǔ)集的含義，會(huì)求給定子集的補(bǔ)集；（3）能使用Venn圖表達(dá)集合間的基本關(guān)系及集合的基本運(yùn)算，體會(huì)圖形對(duì)理解抽象概念的作用.010203

知識(shí)·逐點(diǎn)夯實(shí)考點(diǎn)·分類突破課時(shí)·過關(guān)檢測(cè)01??1.元素與集合（1）集合元素的三個(gè)特性：

確定性

?、

無序性

?、

互異性

?；（2）集合的三種表示方法：

列舉法

?、

描述法

?、

圖示法

?；確定性

無序性

互異性

列舉法

描述法

圖示法

（3）元素與集合的兩種關(guān)系：屬于，記為

∈

?；不屬于，記為

?

?；（4）五個(gè)特定的集合及其關(guān)系圖：N*或N＋表示

正整數(shù)

?集，N表示非負(fù)整數(shù)集（自然數(shù)集），Z表示

整數(shù)

?集，Q表示

有理數(shù)

?集，R表示實(shí)數(shù)集.∈

?

正整數(shù)

整數(shù)

有理數(shù)

提醒

（1）解題時(shí)，應(yīng)注意檢查集合的元素是否滿足互異性；（2）N為自然數(shù)集（即非負(fù)整數(shù)集），包含0，而N*（N＋）表示正整數(shù)集，不包含0.2.集合間的基本關(guān)系（1）子集：若對(duì)于任意的x∈A都有

x∈B

?，則A?B；（2）真子集：若A?B，存在x∈B，且x?

?A，則A?B；（3）相等：若A?B，且

B?A

?，則A＝B；（4）?是任何集合的子集，是

任何非空

?集合的真子集.x∈B

?

B?A

任何非空

3.集合的基本運(yùn)算并集交集補(bǔ)集符號(hào)表示A∪BA∩B若全集為U，則集合A的補(bǔ)集為?UA圖形表示???集合表示{x｜x∈A，或x∈B}

{x｜x∈A，且x∈B}

?{x｜x∈U，且x?A}{x｜x∈A，且x∈B}

?1.判斷正誤.（正確的畫“√”，錯(cuò)誤的畫“×”）（1）任何一個(gè)集合都至少有兩個(gè)子集.

（

）答案：（1）×

（2）{0，2，1}和{0，1，2}是同一個(gè)集合.

（

）答案：（2）√

（3）集合{x｜x＝x3}用列舉法表示為{－1，1}.（

）答案：（3）×

（4）若{x2，1}＝{0，1}，則x＝0，1.

（

）答案：（4）×

（5）{x｜y＝x2＋1}＝{y｜y＝x2＋1}＝{（x，y）｜y＝x2＋1}.

（

）答案：（5）×2.（2022·全國(guó)甲卷）設(shè)全集U＝{－2，－1，0，1，2，3}，集合A＝{－1，2}，B＝{x｜x2－4x＋3＝0}，則?U（A∪B）＝

（

）A.{1，3}B.{0，3}C.{－2，1}D.{－2，0}解析：D

集合B＝{1，3}，所以A∪B＝{－1，1，2，3}，所以?U（A∪B）＝{－2，0}.故選D.3.（2022·新高考Ⅱ卷）已知集合A＝{－1，1，2，4}，B＝{x｜｜x－1｜≤1}，則A∩B＝

（

）A.{－1，2}B.{1，2}C.{1，4}D.{－1，4}解析：B

法一：由｜x－1｜≤1，得－1≤x－1≤1，解得0≤x≤2，所以B＝{x｜0≤x≤2}，所以A∩B＝{1，2}，故選B.法二：因?yàn)??B，所以4?A∩B，故排除C、D；又－1?B，所以－1?A∩B，故排除A.故選B.4.（多選）已知集合P＝{x｜x2＝4}，N為自然數(shù)集，則

（

）A.2∈PB.P＝{－2，2}C.{?}?PD.P?N解析：AB

P＝{x｜x2＝4}＝{－2，2}，故2∈P，故A正確且B正確.?不是P中的元素，故C錯(cuò)誤.因?yàn)椋??N，故P?N錯(cuò)誤，故D錯(cuò)誤.5.已知集合A＝{0，1，x2－5x}，若－4∈A，則實(shí)數(shù)x的值為

?.

解析：∵－4∈A，∴x2－5x＝－4，∴x＝1或x＝4.答案：1或4?1.若有限集A中有n個(gè)元素，則A的子集有2n個(gè)，真子集有2n－1個(gè).2.子集的傳遞性：A?B，B?C?A?C.3.等價(jià)關(guān)系：A?B?A∩B＝A?A∪B＝B??UA??UB.?1.已知集合A＝{x｜－1＜x＜5}，B＝{x∈Z｜1＜x＜8}，則A∩B的子集個(gè)數(shù)為

（

）A.4B.6C.8D.9解析：C

因?yàn)锳＝{x｜－1＜x＜5}，B＝{x∈Z｜1＜x＜8}，所以A∩B＝{2，3，4}，由結(jié)論1得A∩B的子集個(gè)數(shù)為23＝8，故選C.2.已知集合A＝{x｜x＞1}，B＝{x｜x＞a}，若A∪B＝B，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

?.

解析：如圖，在數(shù)軸上表示出A，B.由結(jié)論3可得A?B，所以a≤1.答案：（－∞，1]02?集合的基本概念1.2022年北京冬奧會(huì)吉祥物“冰墩墩”寓意創(chuàng)造非凡、探索未來；北京冬殘奧會(huì)吉祥物“雪容融”寓意點(diǎn)亮夢(mèng)想、溫暖世界.這兩個(gè)吉祥物的中文名字中的漢字組成集合M，則M中元素的個(gè)數(shù)為

（

）A.3B.4C.5D.6解析：C

由集合中元素的互異性知，兩個(gè)“墩”相同，去掉一個(gè)，“容”“融”不同都保留，所以有5個(gè)元素.故選C.2.設(shè)集合A＝{x｜3x－1＜m}，若1∈A且2?A，則實(shí)數(shù)m的取值范圍是

（

）A.2＜m＜5B.2≤m＜5C.2＜m≤5D.2≤m≤5解析：C

∵集合A＝{x｜3x－1＜m}，1∈A且2?A，∴3×1－1＜m且3×2－1≥m，解得2＜m≤5.故選C.3.設(shè)集合A＝{－1，0，1，2，3，4}，B＝{x｜x∈A且2x∈A}，則集合B為

?.

解析：由題意知，0∈A且2×0∈A，1∈A且2×1∈A，2∈A且2×2∈A，故B＝{0，1，2}.答案：{0，1，2}

答案：0｜練后悟通｜

解決與集合含義有關(guān)問題的關(guān)鍵有三點(diǎn)：一是確定集合的類型是點(diǎn)集、數(shù)集，還是其它類型的集合；二是確定元素的一般特征；三是根據(jù)元素的限制條件（滿足的條件）構(gòu)造關(guān)系式解決相應(yīng)問題.提醒

集合中元素的互異性容易忽略，求解問題時(shí)要特別注意.集合間的基本關(guān)系【例1】

（1）已知集合A＝{x∈N｜x2－x－6＜0}，以下可為A的子集的是（

）A.{x｜－2＜x＜3}B.{x｜0＜x＜3}C.{0，1，2}D.{－1，1，2}解析

（1）A＝{x∈N｜x2－x－6＜0}＝{x∈N｜－2＜x＜3}＝{0，1，2}，∵{0，1，2}?{0，1，2}.故選C.答案

（1）C

（2）已知集合A＝{x｜－2≤x≤5}，B＝{x｜m＋1≤x≤2m－1}，若B?A，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為

?.

答案

（2）（－∞，3]｜解題技法｜1.判斷集合間關(guān)系的常用方法（1）化簡(jiǎn)集合法：用描述法表示的集合，若代表元素的表達(dá)式比較復(fù)雜，往往需化簡(jiǎn)表達(dá)式，再尋求兩個(gè)集合的關(guān)系；（2）數(shù)形結(jié)合法：利用數(shù)軸或Venn圖直觀判斷.2.由集合間的關(guān)系求參數(shù)的解題策略已知集合間的關(guān)系求參數(shù)時(shí)，關(guān)鍵是將集合間的關(guān)系轉(zhuǎn)化為元素或區(qū)間端點(diǎn)間的關(guān)系，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為參數(shù)滿足的關(guān)系.合理利用數(shù)軸、Venn圖幫助分析并對(duì)參數(shù)進(jìn)行討論.確定參數(shù)所滿足的條件時(shí)，一定要把端點(diǎn)值代入進(jìn)行驗(yàn)證，否則易增解或漏解.提醒

當(dāng)B為A的子集時(shí)，易漏掉B＝?的情況.?1.設(shè)全集U＝R，則集合M＝{0，1，2}和N＝{x｜x（x－2）log2x＝0}的關(guān)系可表示為（

）解析：A

因?yàn)镹＝{x｜x（x－2）log2x＝0}＝{1，2}，M＝{0，1，2}，所以N是M的真子集.故選A.2.若集合A＝{1，2}，B＝{x｜x2＋mx＋1＝0，x∈R}，且B?A，則實(shí)數(shù)m的取值范圍為

?.

答案：[－2，2）集合的基本運(yùn)算考向1

集合的運(yùn)算

A.{x｜0≤x＜2}C.{x｜3≤x＜16}

法二（特取法）：觀察選項(xiàng)進(jìn)行特取，取x＝4，則4∈M，4∈N，所以4∈（M∩N），排除A、B；取x＝1，則1∈M，1∈N，所以1∈（M∩N），排除C.故選D.答案

（1）D（2）設(shè)全集U＝{x∈Z｜｜x｜≤2}，A＝{x｜x＋1≤0，x∈U}，B＝{－2，0，2}，則（?UA）∪B＝

（

）A.{1}B.{0，2}C.{－2，0，1，2}D.（－1，2]∪{－2}解析

（2）由題意可知U＝{－2，－1，0，1，2}，A＝{－2，－1}，所以?UA＝{0，1，2}，又B＝{－2，0，2}，所以（?UA）∪B＝{－2，0，1，2}，故選C.答案

（1）D

（2）C｜解題技法｜集合基本運(yùn)算的方法技巧考向2

利用集合的運(yùn)算求參數(shù)【例3】

（1）已知集合A＝{0，1，2}，B＝{x｜x2－4x＋m＝0}，若1∈A∩B，則A∪B＝

（

）A.{1，2，3}B.{0，1，2，4}C.{0，1，2}D.{0，1，2，3}解析

（1）由于1∈A∩B，所以12－4×1＋m＝0，m＝3，x2－4x＋3＝0，解得x＝1或x＝3，所以B＝{1，3}，所以A∪B＝{0，1，2，3}.故選D.答案

（1）D

（2）已知集合A＝{x｜x＜－1或x≥0}，B＝{x｜x≥a}，若A∪B＝R，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是

（

）A.（－∞，－1）B.（－∞，－1]C.（－∞，0）D.（－1，0）解析

（2）如圖，在數(shù)軸上表示出集合A，若A∪B＝R，則由圖易知a≤－1，所以實(shí)數(shù)a的取值范圍是（－∞，－1]，故選B.答案

（2）B｜解題技法｜利用集合的運(yùn)算求參數(shù)的方法（1）一般地，若已知集合的運(yùn)算結(jié)果（實(shí)質(zhì)是集合間的關(guān)系）求參數(shù)的值（范圍），一般先確定不同集合間的關(guān)系，即元素之間的關(guān)系，再列方程或不等式.在求解過程中要注意空集的討論，避免漏解；（2）運(yùn)算過程中要注意集合間的特殊關(guān)系的使用，靈活使用這些關(guān)系，會(huì)使運(yùn)算簡(jiǎn)化.考向3

集合的新定義問題【例4】

（1）對(duì)于集合A，B，定義集合A－B＝{x｜x∈A且x?B}.已知集合U＝{x｜－2＜x＜6，x∈Z}，A＝{0，2，4，5}，B＝{－1，0，3}，則?U（A－B）＝

（

）A.{－1，0，1}B.{－1，0，1，2}C.{－1，0，1，3}D.{0，1，3}解析

（1）結(jié)合新定義可知A－B＝{2，4，5}，又U＝{－1，0，1，2，3，4，5}，所以?U（A－B）＝{－1，0，1，3}，故選C.答案

（1）C

答案

（2）1｜解題技法｜解決以集合為背景的新定義問題的關(guān)鍵（1）緊扣新定義：首先分析新定義的特點(diǎn)，把新定義所敘述的問題的本質(zhì)弄清楚，并能夠應(yīng)用到具體的解題過程中，這是破解新定義集合問題的關(guān)鍵所在；（2）用好集合的性質(zhì)：解題時(shí)要善于從試題中發(fā)現(xiàn)可以使用集合性質(zhì)的一些因素，在關(guān)鍵之處用好集合的性質(zhì).?1.已知集合M＝{1，3}，N＝{1－a，3}，若M∪N＝{1，2，3}，則a＝（

）A.－2B.－1C.0D.1解析：B

因?yàn)镸∪N＝{1，2，3}，M＝{1，3}，2?M，所以2∈N，又N＝{1－a，3}，所以1－a＝2，解得a＝－1，故選B.2.已知集合M＝{x｜x2－3x－10＜0}，N＝{x｜－3≤x≤3}，且M，N都是全集R的子集，則如圖所示Venn圖中陰影部分所表示的集合為

（

）A.{x｜3＜x≤5}B.{x｜x＜－3或x＞5}C.{x｜－3≤x≤－2}D.{x｜－3≤x≤5}解析：C

由題圖知陰影部分所表示的集合為N∩（?RM）.∵M(jìn)＝{x｜x2－3x－10＜0}＝{x｜（x－5）·（x＋2）＜0}＝{x｜－2＜x＜5}，∴?RM＝{x｜x≤－2或x≥5}，∴N∩（?RM）＝{x｜－3≤x≤－2}，故選C.3.對(duì)于任意兩集合A，B，定義A－B＝{x｜x∈A且x?B}，A*B＝（A－B）∪（B－A），記A＝{x｜x≥0}，B＝{x｜－3≤x≤3}，則A*B＝

?.

解析：∵A＝{x｜x≥0}，B＝{x｜－3≤x≤3}，∴A－B＝{x｜x＞3}，B－A＝{x｜－3≤x＜0}.∴A*B＝{x｜－3≤x＜0或x＞3}.答案：{x｜－3≤x＜0或x＞3}03?1.已知集合P＝{x｜x＜3}，Q＝{x∈Z｜｜x｜＜2}，則（

）A.P?QB.Q?PC.P∩Q＝PD.P∪Q＝Q解析：B

由題意，Q＝{x∈Z｜｜x｜＜2}＝{－1，0，1}，P＝{x｜x＜3}，故Q?P，故A錯(cuò)誤，B正確，又P∩Q＝{－1，0，1}＝Q，P∪Q＝{x｜x＜3}＝P，故C、D錯(cuò)誤.故選B.

A.{x｜－1＜x＜2}B.{x｜0＜x＜1}C.?D.{x｜0＜x＜2}解析：B

由題意知B＝{x｜x≤－1或x≥1}，所以?RB＝{x｜－1＜x＜1}，所以A∩（?RB）＝{x｜0＜x＜1}，故選B.3.已知全集U＝A∪B＝{0，1，2，3，4，5}，A∩B＝?，A∩（?UB）＝{1，2，4}，B＝{0，3，a}，則a＝

（

）A.1B.3C.5D.6解析：C

因?yàn)锳∩（?UB）＝{1，2，4}，所以1，2，4∈?UB，則1，2，4?B，1，2，4∈A，又U＝A∪B＝{0，1，2，3，4，5}，A∩B＝?，所以0，3，5∈B，即B＝{0，3，5}，所以a＝5.故選C.4.設(shè)集合A＝{（x，y）｜y＝x}，B＝{（x，y）｜y＝x2}，則集合A∩B的元素個(gè)數(shù)為

（

）A.0B.1C.2D.3

5.定義集合A，B的一種運(yùn)算：A

B＝{x｜x＝a2－b，a∈A，b∈B}，若A＝{－1，0}，B＝{1，2}，則A

B中的元素個(gè)數(shù)為

（

）A.1B.2C.3D.4解析：C

結(jié)合新定義計(jì)算得（－1）2－1＝0，02－1＝－1，（－1）2－2＝－1，02－2＝－2，所以A

B＝{－2，－1，0}，故集合A

B中的元素個(gè)數(shù)為3，故選C.6.（多選）若集合M＝{x｜－3＜x＜1}，N＝{x｜x≤3}，則集合{x｜x≤－3或x≥1}＝

（

）A.M∩NB.?RMC.?R（M∩N）D.?R（M∪N）解析：BC

因?yàn)榧螹＝{x｜－3＜x＜1}，N＝{x｜x≤3}，所以M∩N＝{x｜－3＜x＜1}，M∪N＝{x｜x≤3}，?RM＝{x｜x≤－3或x≥1}，所以?R（M∩N）＝{x｜x≤－3或x≥1}，?R（M∪N）＝{x｜x＞3}.故選B、C.7.（多選）已知全集U的兩個(gè)非空真子集A，B滿足（?UA）∪B＝B，則下列關(guān)系一定正確的是

（

）A.A∩B＝?B.A∩B＝BC.A∪B＝UD.（?UB）∪A＝A解析：CD

令U＝{1，2，3，4}，A＝{2，3，4}，B＝{1，2}，滿足（?UA）∪B＝B，但A∩B≠?，A∩B≠B，故A、B均不正確；由（?UA）∪B＝B，知（?UA）?B，∴U＝A∪（?UA）?（A∪B），∴A∪B＝U，由（?UA）?B，知（?UB）?A，∴（?UB）∪A＝A，故C、D均正確.8.設(shè)全集S＝{1，2，3，4}，且A＝{x∈S｜x2－5x＋m＝0}，若?SA＝{2，3}，則m＝

?.

解析：因?yàn)镾＝{1，2，3，4}，?SA＝{2，3}，所以A＝{1，4}，即1，4是方程x2－5x＋m＝0的兩根，由根與系數(shù)的關(guān)系可得m＝1×4＝4.答案：49.已知集合A＝{x｜（x－1）（x－3）＜0}，B＝{x｜2＜x＜4}，則A∩B＝

?，A∪B＝

?，（?RA）∪B＝

?.

解析：由已知得A＝{x｜1＜x＜3}，B＝{x｜2＜x＜4}，所以A∩B＝{x｜2＜x＜3}，A∪B＝{x｜1＜x＜4}，（?RA）∪B＝{x｜x≤1或x＞2}.答案：（2，3）

（1，4）

（－∞，1\〗∪（2，＋∞）10.設(shè)I是全集，非空集合P，Q滿足P?Q?I，若含有P，Q的一個(gè)集合運(yùn)算表達(dá)式，使運(yùn)算結(jié)果為空集，則這個(gè)運(yùn)算表達(dá)式可以是

?.

解析：由P?Q?I，可得Venn圖如圖所示，從而有P∩（?IQ）＝?.答案：P∩（?IQ）＝?（答案不唯一）?11.已知非空集合A，B滿足A∪B＝{1，2，3，4}，A∩B＝?，且A的元素個(gè)數(shù)不是A中的元素，B的元素個(gè)數(shù)不是B中的元素，則集合A，B的所有可能情況種數(shù)為

（

）A.1B.2C.3D.4解析：B

易知A的元素個(gè)數(shù)不能為2，否則A，B中必然有一個(gè)含有元素2，且集合中元素個(gè)數(shù)為2，不合題意.所以A的元素個(gè)數(shù)為1或3，所以可能情況有A＝{3}，B＝{1，2，4}或A＝{1，2，4}，B＝{3}，共2種，故選B.12.已知集合A＝（1，3），集合B＝{x｜2m＜x＜1－m}.若A∩B＝?，則所有滿足條件的實(shí)數(shù)m的取值范圍是

（

）B.m≥0

13.某年級(jí)先后舉辦了數(shù)學(xué)、歷史、音樂的講座，其中有85人聽了數(shù)學(xué)講座，70人聽了歷史講座，61人聽了音樂講座，其中16人同時(shí)聽了數(shù)學(xué)、歷史講座，12人同時(shí)聽了數(shù)學(xué)、音樂講座，9人同時(shí)聽了歷史、音樂講座，還有5人聽了全部講座，則聽講座的人數(shù)為

（

）A.181B.182C.183D.184解析：D

設(shè)全班同學(xué)是全集U，聽數(shù)學(xué)講座的人組成集合A，聽歷史講座的人組成集合B，聽音樂講座的人組成集合C，根據(jù)題意，用Venn圖表示，如圖所示.由Venn圖可知，聽講座的人數(shù)為62＋7＋5＋11＋4＋50＋45＝184，故選D.14.（多選）如圖，A，B是全集U的兩個(gè)子集，則陰影部分表示的集合可以