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河南省豫北名校聯(lián)盟2024年數(shù)學(xué)高三第一學(xué)期期末復(fù)習(xí)檢測(cè)模擬試題考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2.請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.點(diǎn)為不等式組所表示的平面區(qū)域上的動(dòng)點(diǎn),則的取值范圍是()A. B. C. D.2.若復(fù)數(shù),其中為虛數(shù)單位,則下列結(jié)論正確的是()A.的虛部為 B. C.的共軛復(fù)數(shù)為 D.為純虛數(shù)3.函數(shù)的圖像大致為()A. B.C. D.4.在邊長為1的等邊三角形中,點(diǎn)E是中點(diǎn),點(diǎn)F是中點(diǎn),則()A. B. C. D.5.函數(shù)在區(qū)間上的大致圖象如圖所示,則可能是()A.B.C.D.6.設(shè)i為數(shù)單位,為z的共軛復(fù)數(shù),若,則()A. B. C. D.7.函數(shù)的圖象大致為()A. B.C. D.8.設(shè),則()A. B. C. D.9.設(shè),滿足約束條件,則的最大值是()A. B. C. D.10.已知函數(shù),若函數(shù)的圖象恒在軸的上方,則實(shí)數(shù)的取值范圍為()A. B. C. D.11.已知是邊長為1的等邊三角形,點(diǎn),分別是邊,的中點(diǎn),連接并延長到點(diǎn),使得,則的值為()A. B. C. D.12.已知拋物線和點(diǎn),直線與拋物線交于不同兩點(diǎn),,直線與拋物線交于另一點(diǎn).給出以下判斷:①直線與直線的斜率乘積為;②軸;③以為直徑的圓與拋物線準(zhǔn)線相切.其中,所有正確判斷的序號(hào)是()A.①②③ B.①② C.①③ D.②③二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知數(shù)列的前項(xiàng)和為且滿足,則數(shù)列的通項(xiàng)_______.14.在正方體中,分別為棱的中點(diǎn),則直線與直線所成角的正切值為_________.15.已知函數(shù)對(duì)于都有,且周期為2,當(dāng)時(shí),,則________________________.16.在中,,,,則__________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知函數(shù).(1)當(dāng)時(shí),求函數(shù)的圖象在處的切線方程;(2)討論函數(shù)的單調(diào)性;(3)當(dāng)時(shí),若方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,求證:.18.(12分)設(shè)點(diǎn),分別是橢圓的左、右焦點(diǎn),為橢圓上任意一點(diǎn),且的最小值為1.(1)求橢圓的方程;(2)如圖,動(dòng)直線與橢圓有且僅有一個(gè)公共點(diǎn),點(diǎn),是直線上的兩點(diǎn),且,,求四邊形面積的最大值.19.(12分)如圖,己知圓和雙曲線,記與軸正半軸、軸負(fù)半軸的公共點(diǎn)分別為、,又記與在第一、第四象限的公共點(diǎn)分別為、.(1)若,且恰為的左焦點(diǎn),求的兩條漸近線的方程;(2)若,且,求實(shí)數(shù)的值;(3)若恰為的左焦點(diǎn),求證:在軸上不存在這樣的點(diǎn),使得.20.(12分)如圖,在中,,的角平分線與交于點(diǎn),.(Ⅰ)求;(Ⅱ)求的面積.21.(12分)某商場(chǎng)為改進(jìn)服務(wù)質(zhì)量,隨機(jī)抽取了200名進(jìn)場(chǎng)購物的顧客進(jìn)行問卷調(diào)查.調(diào)查后,就顧客“購物體驗(yàn)”的滿意度統(tǒng)計(jì)如下:滿意不滿意男4040女8040(1)是否有97.5%的把握認(rèn)為顧客購物體驗(yàn)的滿意度與性別有關(guān)?(2)為答謝顧客,該商場(chǎng)對(duì)某款價(jià)格為100元/件的商品開展促銷活動(dòng).據(jù)統(tǒng)計(jì),在此期間顧客購買該商品的支付情況如下:支付方式現(xiàn)金支付購物卡支付APP支付頻率10%30%60%優(yōu)惠方式按9折支付按8折支付其中有1/3的顧客按4折支付,1/2的顧客按6折支付,1/6的顧客按8折支付將上述頻率作為相應(yīng)事件發(fā)生的概率,記某顧客購買一件該促銷商品所支付的金額為,求的分布列和數(shù)學(xué)期望.附表及公式:.0.150.100.050.0250.0100.0050.0012.0722.7063.8415.0246.6357.87910.82822.(10分)小麗在同一城市開的2家店鋪各有2名員工.節(jié)假日期間的某一天,每名員工休假的概率都是,且是否休假互不影響,若一家店鋪的員工全部休假,而另一家無人休假,則調(diào)劑1人到該店維持營業(yè),否則該店就停業(yè).(1)求發(fā)生調(diào)劑現(xiàn)象的概率;(2)設(shè)營業(yè)店鋪數(shù)為X,求X的分布列和數(shù)學(xué)期望.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1、B【解析】
作出不等式對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域,利用線性規(guī)劃的知識(shí),利用的幾何意義即可得到結(jié)論.【詳解】不等式組作出可行域如圖:,,,的幾何意義是動(dòng)點(diǎn)到的斜率,由圖象可知的斜率為1,的斜率為:,則的取值范圍是:,,.故選:.【點(diǎn)睛】本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用,根據(jù)目標(biāo)函數(shù)的幾何意義結(jié)合斜率公式是解決本題的關(guān)鍵.2、D【解析】
將復(fù)數(shù)整理為的形式,分別判斷四個(gè)選項(xiàng)即可得到結(jié)果.【詳解】的虛部為,錯(cuò)誤;,錯(cuò)誤;,錯(cuò)誤;,為純虛數(shù),正確本題正確選項(xiàng):【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的模長、實(shí)部與虛部、共軛復(fù)數(shù)、復(fù)數(shù)的分類的知識(shí),屬于基礎(chǔ)題.3、A【解析】
根據(jù)排除,,利用極限思想進(jìn)行排除即可.【詳解】解:函數(shù)的定義域?yàn)?,恒成立,排除,,?dāng)時(shí),,當(dāng),,排除,故選:.【點(diǎn)睛】本題主要考查函數(shù)圖象的識(shí)別和判斷,利用函數(shù)值的符號(hào)以及極限思想是解決本題的關(guān)鍵,屬于基礎(chǔ)題.4、C【解析】
根據(jù)平面向量基本定理,用來表示,然后利用數(shù)量積公式,簡(jiǎn)單計(jì)算,可得結(jié)果.【詳解】由題可知:點(diǎn)E是中點(diǎn),點(diǎn)F是中點(diǎn),所以又所以則故選:C【點(diǎn)睛】本題考查平面向量基本定理以及數(shù)量積公式,掌握公式,細(xì)心觀察,屬基礎(chǔ)題.5、B【解析】
根據(jù)特殊值及函數(shù)的單調(diào)性判斷即可;【詳解】解:當(dāng)時(shí),,無意義,故排除A;又,則,故排除D;對(duì)于C,當(dāng)時(shí),,所以不單調(diào),故排除C;故選:B【點(diǎn)睛】本題考查根據(jù)函數(shù)圖象選擇函數(shù)解析式,這類問題利用特殊值與排除法是最佳選擇,屬于基礎(chǔ)題.6、A【解析】
由復(fù)數(shù)的除法求出,然后計(jì)算.【詳解】,∴.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)的乘除法運(yùn)算,考查共軛復(fù)數(shù)的概念,掌握復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則是解題關(guān)鍵.7、A【解析】
確定函數(shù)在定義域內(nèi)的單調(diào)性,計(jì)算時(shí)的函數(shù)值可排除三個(gè)選項(xiàng).【詳解】時(shí),函數(shù)為減函數(shù),排除B,時(shí),函數(shù)也是減函數(shù),排除D,又時(shí),,排除C,只有A可滿足.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查由函數(shù)解析式選擇函數(shù)圖象,可通過解析式研究函數(shù)的性質(zhì),如奇偶性、單調(diào)性、對(duì)稱性等等排除,可通過特殊的函數(shù)值,函數(shù)值的正負(fù),函數(shù)值的變化趨勢(shì)排除,最后剩下的一個(gè)即為正確選項(xiàng).8、C【解析】試題分析:,.故C正確.考點(diǎn):復(fù)合函數(shù)求值.9、D【解析】
作出不等式對(duì)應(yīng)的平面區(qū)域,由目標(biāo)函數(shù)的幾何意義,通過平移即可求z的最大值.【詳解】作出不等式組的可行域,如圖陰影部分,作直線:在可行域內(nèi)平移當(dāng)過點(diǎn)時(shí),取得最大值.由得:,故選:D【點(diǎn)睛】本題主要考查線性規(guī)劃的應(yīng)用,利用數(shù)形結(jié)合是解決線性規(guī)劃題目的常用方法,屬于基礎(chǔ)題.10、B【解析】
函數(shù)的圖象恒在軸的上方,在上恒成立.即,即函數(shù)的圖象在直線上方,先求出兩者相切時(shí)的值,然后根據(jù)變化時(shí),函數(shù)的變化趨勢(shì),從而得的范圍.【詳解】由題在上恒成立.即,的圖象永遠(yuǎn)在的上方,設(shè)與的切點(diǎn),則,解得,易知越小,圖象越靠上,所以.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)圖象與不等式恒成立的關(guān)系,考查轉(zhuǎn)化與化歸思想,首先函數(shù)圖象轉(zhuǎn)化為不等式恒成立,然后不等式恒成立再轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象,最后由極限位置直線與函數(shù)圖象相切得出參數(shù)的值,然后得出參數(shù)范圍.11、D【解析】
設(shè),,作為一個(gè)基底,表示向量,,,然后再用數(shù)量積公式求解.【詳解】設(shè),,所以,,,所以.故選:D【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量的基本運(yùn)算,還考查了運(yùn)算求解的能力,屬于基礎(chǔ)題.12、B【解析】
由題意,可設(shè)直線的方程為,利用韋達(dá)定理判斷第一個(gè)結(jié)論;將代入拋物線的方程可得,,從而,,進(jìn)而判斷第二個(gè)結(jié)論;設(shè)為拋物線的焦點(diǎn),以線段為直徑的圓為,則圓心為線段的中點(diǎn).設(shè),到準(zhǔn)線的距離分別為,,的半徑為,點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為,顯然,,三點(diǎn)不共線,進(jìn)而判斷第三個(gè)結(jié)論.【詳解】解:由題意,可設(shè)直線的方程為,代入拋物線的方程,有.設(shè)點(diǎn),的坐標(biāo)分別為,,則,.所.則直線與直線的斜率乘積為.所以①正確.將代入拋物線的方程可得,,從而,,根據(jù)拋物線的對(duì)稱性可知,,兩點(diǎn)關(guān)于軸對(duì)稱,所以直線軸.所以②正確.如圖,設(shè)為拋物線的焦點(diǎn),以線段為直徑的圓為,則圓心為線段的中點(diǎn).設(shè),到準(zhǔn)線的距離分別為,,的半徑為,點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為,顯然,,三點(diǎn)不共線,則.所以③不正確.故選:B.【點(diǎn)睛】本題主要考查拋物線的定義與幾何性質(zhì)、直線與拋物線的位置關(guān)系等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算求解能力、推理論證能力和創(chuàng)新意識(shí),考查數(shù)形結(jié)合思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想,屬于難題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13、【解析】
先求得時(shí);再由可得時(shí),兩式作差可得,進(jìn)而求解.【詳解】當(dāng)時(shí),,解得;由,可知當(dāng)時(shí),,兩式相減,得,即,所以數(shù)列是首項(xiàng)為,公比為的等比數(shù)列,所以,故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查由與的關(guān)系求通項(xiàng)公式,考查等比數(shù)列的通項(xiàng)公式的應(yīng)用.14、【解析】
由中位線定理和正方體性質(zhì)得,從而作出異面直線所成的角,在三角形中計(jì)算可得.【詳解】如圖,連接,,,∵分別為棱的中點(diǎn),∴,又正方體中,即是平行四邊形,∴,∴,(或其補(bǔ)角)就是直線與直線所成角,是等邊三角形,∴=60°,其正切值為.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查異面直線所成的角,解題關(guān)鍵是根據(jù)定義作出異面直線所成的角.15、【解析】
利用,且周期為2,可得,得.【詳解】∵,且周期為2,∴,又當(dāng)時(shí),,∴,故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)的周期性與對(duì)稱性的應(yīng)用,考查轉(zhuǎn)化能力,屬于基礎(chǔ)題.16、1【解析】
由已知利用余弦定理可得,即可解得的值.【詳解】解:,,,由余弦定理,可得,整理可得:,解得或(舍去).故答案為:1.【點(diǎn)睛】本題主要考查余弦定理在解三角形中的應(yīng)用,屬于基礎(chǔ)題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17、(1);(2)當(dāng)時(shí),在上是減函數(shù);當(dāng)時(shí),在上是增函數(shù);(3)證明見解析.【解析】
(1)當(dāng)時(shí),,求得其導(dǎo)函數(shù),,可求得函數(shù)的圖象在處的切線方程;(2)由已知得,得出導(dǎo)函數(shù),并得出導(dǎo)函數(shù)取得正負(fù)的區(qū)間,可得出函數(shù)的單調(diào)性;(3)當(dāng)時(shí),,,由(2)得的單調(diào)區(qū)間,以當(dāng)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,不妨設(shè),且有,,構(gòu)造函數(shù),分析其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù)得出函數(shù)的單調(diào)性,得出其最值,所證的不等式可得證.【詳解】(1)當(dāng)時(shí),,所以,,所以函數(shù)的圖象在處的切線方程為,即;(2)由已知得,,令,得,所以當(dāng)時(shí),,當(dāng)時(shí),,所以在上是減函數(shù),在上是增函數(shù);(3)當(dāng)時(shí),,,由(2)得在上單調(diào)遞減,在單調(diào)遞增,所以,且時(shí),,當(dāng)時(shí),,,所以當(dāng)方程有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根,不妨設(shè),且有,,構(gòu)造函數(shù),則,當(dāng)時(shí),所以,在上單調(diào)遞減,且,,由,在上單調(diào)遞增,.所以.【點(diǎn)睛】本題考查運(yùn)用導(dǎo)函數(shù)求函數(shù)在某點(diǎn)的切線方程,討論函數(shù)的單調(diào)性,以及證明不等式,關(guān)鍵在于構(gòu)造適當(dāng)?shù)暮瘮?shù),得出其導(dǎo)函數(shù)的正負(fù),得出所構(gòu)造的函數(shù)的單調(diào)性,屬于難度題.18、(1);(2)2.【解析】
(1)利用的最小值為1,可得,,即可求橢圓的方程;(2)將直線的方程代入橢圓的方程中,得到關(guān)于的一元二次方程,由直線與橢圓僅有一個(gè)公共點(diǎn)知,即可得到,的關(guān)系式,利用點(diǎn)到直線的距離公式即可得到,.當(dāng)時(shí),設(shè)直線的傾斜角為,則,即可得到四邊形面積的表達(dá)式,利用基本不等式的性質(zhì),結(jié)合當(dāng)時(shí),四邊形是矩形,即可得出的最大值.【詳解】(1)設(shè),則,,,,由題意得,,橢圓的方程為;
(2)將直線的方程代入橢圓的方程中,得.
由直線與橢圓僅有一個(gè)公共點(diǎn)知,,化簡(jiǎn)得:.
設(shè),,當(dāng)時(shí),設(shè)直線的傾斜角為,則,,,,∴當(dāng)時(shí),,,.當(dāng)時(shí),四邊形是矩形,.
所以四邊形面積的最大值為2.【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓的方程與性質(zhì)、直線方程、直線與橢圓的位置關(guān)系、向量知識(shí)、二次函數(shù)的單調(diào)性、基本不等式的性質(zhì)等基礎(chǔ)知識(shí),考查運(yùn)算能力、推理論證以及分析問題、解決問題的能力,考查數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化思想.19、(1);(2);(2)見解析.【解析】
(1)由圓的方程求出點(diǎn)坐標(biāo),得雙曲線的,再計(jì)算出后可得漸近線方程;(2)設(shè),由圓方程與雙曲線方程聯(lián)立,消去后整理,可得,,由先求出,回代后求得坐標(biāo),計(jì)算;(3)由已知得,設(shè),由圓方程與雙曲線方程聯(lián)立,消去后整理,可解得,,求出,從而可得,由,可知滿足要求的點(diǎn)不存在.【詳解】(1)由題意圓方程為,令得,∴,即,∴,,∴漸近線方程為.(2)由(1)圓方程為,,設(shè),由得,(*),,,,所以,即,解得,方程(*)為,即,,代入雙曲線方程得,∵在第一、四象限,∴,,∴.(3)由題意,,,,,設(shè)由得:,,由得,解得,,,所以,,,當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時(shí),等號(hào)成立,∴軸上不存在點(diǎn),使得.【點(diǎn)睛】本題考查求漸近線方程,考查圓與雙曲線相交問題.考查向量的加法運(yùn)算,本題對(duì)學(xué)生的運(yùn)算求解能力要求較高,解題時(shí)都是直接求出交點(diǎn)坐標(biāo).難度較大,屬于困難題.20、(Ⅰ);(Ⅱ).【解析】試題分析:(Ⅰ)在中,由余弦定理得,由正弦定理得,可得解;(Ⅱ)由(Ⅰ)可知,進(jìn)而得
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