四川省瀘州市瀘縣第一中學(xué)2023-2024學(xué)年高一上學(xué)期12月月考數(shù)學(xué)試題

瀘縣一中2023年秋期高一第三學(xué)月考試數(shù)學(xué)試題一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若集合，則（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】利用集合交集運(yùn)算直接求解即可.【詳解】集合，故.故選：B.2.全稱量詞命題“”的否定為（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】含有量詞命題的否定，全稱命題的否定是特稱,第一步修改量詞，第二步否定結(jié)論.【詳解】含有量詞命題的否定，全稱命題的否定是特稱，第一步修改量詞任意改存在，第二步否定結(jié)論大于等于改成小于等于即.故選：C.3.“”是“”成立的A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.即不充分也不必要條件【答案】A【解析】【分析】根據(jù)題意，由對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，解對數(shù)不等式，結(jié)合對數(shù)函數(shù)定義域，判斷充分性和必要性.【詳解】因?yàn)閷?shù)函數(shù)是增函數(shù)，定義域?yàn)橐驗(yàn)?，所以，即，所以充分性成立；因?yàn)椋?，即，所以必要性不成立，所以是的充分不必要條件，故選：A【點(diǎn)睛】本題考查充分條件、必要條件的判斷，考查邏輯推理能力，屬于基礎(chǔ)題.4.若函數(shù)在處取最小值，則等于（）A3 B. C. D.4【答案】A【解析】【分析】將函數(shù)的解析式配湊為，再利用基本不等式求出該函數(shù)的最小值，利用等號成立得出相應(yīng)的值，可得出的值.【詳解】當(dāng)時，，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，即當(dāng)時，等號成立，因此，，故選A.【點(diǎn)睛】本題考查基本不等式等號成立的條件，利用基本不等式要對代數(shù)式進(jìn)行配湊，注意“一正、二定、三相等”這三個條件的應(yīng)用，考查計(jì)算能力，屬于中等題.5.已知，則的大小關(guān)系為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，將問題轉(zhuǎn)化為比較當(dāng)時的大小，利用特值法即可求得結(jié)果.【詳解】因?yàn)?，函?shù)是單調(diào)增函數(shù)，所以比較a，b，c的大小，只需比較當(dāng)時的大小即可.用特殊值法，取，容易知，再對其均平方得，顯然，所以，所以故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較指數(shù)式的大小關(guān)系，屬基礎(chǔ)題.本題解題的關(guān)鍵在于將問題轉(zhuǎn)化為比較當(dāng)時的大小，再通過特殊值法即可得答案.6.20世紀(jì)30年代，里克特制定了一種表明地震能量大小的尺度，就是使用測震儀衡量地震能量的等級，地震能量越大，測震儀記錄的地震曲線的振幅就越大，這就是我們常說的里氏震級M.其計(jì)算公式為M=lgA-lgA0，其中，A是被測地震的最大振幅，是標(biāo)準(zhǔn)地震的振幅.5級地震給人的震感已經(jīng)比較明顯，7級地震的最大振幅是5級地震最大振幅的（）A.20倍 B.1g20倍 C.100倍 D.1000倍【答案】C【解析】【分析】根據(jù)里氏震級M的計(jì)算公式，設(shè)7級地震最大幅度為，5級地震最大幅度為，代入公式，作差化簡，即可求得答案.【詳解】設(shè)7級地震最大幅度為，則，5級地震最大幅度為，則，所以所以，即，所以7級地震的最大振幅是5級地震最大振幅的100倍故選：C【點(diǎn)睛】解題的關(guān)鍵是理解并靈活應(yīng)用所給定義，根據(jù)對數(shù)的計(jì)算法則，求解即可，考查分析理解的能力，屬基礎(chǔ)題.7.已知為上的奇函數(shù)，為偶函數(shù)，若當(dāng)，，則（）A. B. C.1 D.2【答案】C【解析】【分析】根據(jù)為上的奇函數(shù)可求出，又為偶函數(shù)，可推出為周期函數(shù)，利用周期性即可求解.【詳解】解：為上的奇函數(shù)，且當(dāng)時，，即，，當(dāng)時，，為偶函數(shù)，，，又為上的奇函數(shù)，，，，是周期為4的周期函數(shù)，，故選：C.【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題解題關(guān)鍵是根據(jù)為上的奇函數(shù)和為偶函數(shù)，推出函數(shù)為周期函數(shù)，利用周期性求解.8.已知，若互不相等，且，則的取值范圍為()A.(1，15) B.(10，15) C.(15，20) D.(10，12)【答案】B【解析】【分析】畫出函數(shù)的圖象，根據(jù)(a)(b)(c)，不妨，求出的范圍即可．【詳解】解：作出函數(shù)的圖象如圖，不妨設(shè)，則，則．故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查分段函數(shù)、對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)以及利用數(shù)形結(jié)合解決問題的能力，是中檔題．二、選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求.全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.9.已知，則下列不等式成立的是（）A. B. C. D.【答案】ABC【解析】【分析】根據(jù)不等式的性質(zhì)，結(jié)合作差法，即可判斷.【詳解】若，則，故A正確；，因?yàn)?，所以，，，所以，即，故B正確；因?yàn)椋鶕?jù)不等式的性質(zhì)可知，，故C正確；，因，所以，，所以，即，故D錯誤.故選：ABC10.已知關(guān)于x的不等式的解集為，則（）A.B.點(diǎn)在第二象限C.的最小值為2D.關(guān)于的不等式的解集為【答案】ACD【解析】【分析】根據(jù)題意，由原不等式的解集可得，，即可判斷ABD，然后再由基本不等式即可判斷C.【詳解】原不等式等價于，因?yàn)槠浣饧癁椋郧?，，故A正確；因?yàn)?，則點(diǎn)在第一象限，故B錯誤；由可得，，當(dāng)且僅當(dāng)時，即時，等號成立，所以的最小值為2，故C正確；由可得，不等式即為，化簡可得，則其解集為，故D正確；故選：ACD11.已知，都是定義在上的增函數(shù)，則（）A.函數(shù)一定是增函數(shù) B.函數(shù)有可能是減函數(shù)C.函數(shù)一定是增函數(shù) D.函數(shù)有可能是減函數(shù)【答案】ABD【解析】【分析】根據(jù)單調(diào)性的定義即可判斷各選項(xiàng).【詳解】對于A，設(shè)，設(shè)，則又由都是定義在上的增函數(shù)，則且，所以，故函數(shù)一定是增函數(shù)，A正確；對于B，設(shè)，此時為減函數(shù)，B正確；對于C，設(shè)，此時，在上為減函數(shù)，C錯誤；對于D，當(dāng)時，函數(shù)為減函數(shù)，D正確.故選：ABD.12.已知函數(shù)的圖象過原點(diǎn)，且無限接近直線y＝2但又不與y＝2相交．函數(shù)．下列關(guān)于函數(shù)的判斷正確的有（）A.函數(shù)是偶函數(shù)B.函數(shù)在單調(diào)遞減C.函數(shù)的最大值為2D.方程恰有兩根【答案】ABC【解析】【分析】首先根據(jù)函數(shù)性質(zhì)確定函數(shù)的解析式，再畫出函數(shù)的解析式，結(jié)合選項(xiàng)，即可判斷.【詳解】由條件可知，，當(dāng)趨向正無窮時，趨向b，所以，則，即，令，即，得，如圖，畫出函數(shù)的圖象，函數(shù)是偶函數(shù)，在區(qū)間單調(diào)遞減，當(dāng)時，函數(shù)取得最大值2，，無實(shí)數(shù)根，故ABC正確，D錯誤.故選：ABC三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分．13.若函數(shù)的零點(diǎn)在區(qū)間，內(nèi)，則________________．【答案】【解析】【分析】首先判斷函數(shù)的單調(diào)性，再根據(jù)零點(diǎn)存在性定理計(jì)算可得；【詳解】解：因?yàn)?，所以在上單調(diào)遞增，又，，，所以函數(shù)在上有唯一零點(diǎn)，所以；故答案為：14.已知在上有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是________.【答案】【解析】【分析】令，依題意，，使成立，轉(zhuǎn)化為求，從而利用一元二次函數(shù)的性質(zhì)即可求得結(jié)果.【詳解】令，依題意，，使成立，即，又，則在上單調(diào)遞增，所以，所以.故答案為.【點(diǎn)睛】本題考查存在性問題和一元二次函數(shù)的性質(zhì)，也考查了學(xué)生轉(zhuǎn)化與化歸的能力，存在性問題通常轉(zhuǎn)化為求函數(shù)最值問題，屬中檔題.15.已知冪函數(shù)的圖象關(guān)于軸對稱，且在上單調(diào)遞減，則滿足的的取值范圍為________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)冪函數(shù)的單調(diào)性和奇偶性得到，代入不等式得到，根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性解得答案.【詳解】冪函數(shù)在上單調(diào)遞減，故，解得.，故，，.當(dāng)時，不關(guān)于軸對稱，舍去；當(dāng)時，關(guān)于軸對稱，滿足；當(dāng)時，不關(guān)于軸對稱，舍去；故，，函數(shù)在和上單調(diào)遞減，故或或，解得或.故答案為：16.已知（且），則_______.【答案】【解析】【分析】根據(jù)對數(shù)的運(yùn)算法則，將，轉(zhuǎn)化為，再構(gòu)造轉(zhuǎn)化為求解.【詳解】因?yàn)椋?，所以，所以，即，所以，解?.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查對數(shù)運(yùn)算法則的簡單應(yīng)用，還考查了轉(zhuǎn)化求解問題的能力，屬于中檔題.四、解答題：本題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．17.求下列各式的值：（1）（2）【答案】（1）2；（2）．【解析】【分析】（1）利用對數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)和換底公式求解即可；（2）利用分?jǐn)?shù)指數(shù)冪的運(yùn)算性質(zhì)求解【詳解】（1）原式（2）原式18.設(shè)集合，．（1）若，求集合在中的補(bǔ)集；（2）若，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)補(bǔ)集定義，可求得補(bǔ)集．（2）根據(jù)集合的關(guān)系，可知集合A為集合B的子集，因而可得m的取值范圍．【詳解】（1）集合在中補(bǔ)集為（2）又，實(shí)數(shù)的取值范圍是【點(diǎn)睛】本題考查了補(bǔ)集的定義，集合與集合的基本關(guān)系，屬于基礎(chǔ)題．19.已知函數(shù)在區(qū)間上的最小值為1.（1）求的值；（2）若存在使得不等式在成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）1；（2）.【解析】【分析】（1）二次函數(shù)寫出對稱軸，分，，三種情況討論即可求出最小值，根據(jù)最小值為1，寫出（2）分離參數(shù)可得，令，換元后求最小值，只需k大于最小值即可.【詳解】（1）.當(dāng)時，，解得；當(dāng)時，，解得不符合題意；當(dāng)時，，解得，不符合題意.綜上所述，.（2）因?yàn)?，可化為，令，則.因，故.故不等式在上有解.記，，故，所以的取值范圍是.【點(diǎn)睛】本題主要考查了二次函數(shù)的最值，分類討論，分離參數(shù)，不等式有解問題，屬于中檔題.20.某廠生產(chǎn)某種零件，每個零件的成本為元，出廠單價定為元，該廠為鼓勵銷售商訂購，決定當(dāng)一次訂購量超過個時，每多訂購一個，訂購的全部零件的出廠單價就降低元，但實(shí)際出廠單價不能低于元.（1）當(dāng)一次訂購量為多少個時，零件的實(shí)際出廠單價恰好降為41元？（2）設(shè)一次訂購量為個，零件的實(shí)際出廠單價為元，寫出函數(shù)的表達(dá)式；（3）當(dāng)銷售商一次訂購個零件時，該廠獲得的利潤是多少元？（工廠售出一個零件的利潤=實(shí)際出廠單價-成本）【答案】（1）（2）（3）元【解析】【分析】（1）根據(jù)實(shí)際出廠單價恰好為元列出求解；（2）根據(jù)題意求分段函數(shù)解析式；（3）根據(jù)利潤公式及分段函數(shù)入代求解即可.【小問1詳解】解：設(shè)每個零件的實(shí)際出廠價恰好降為元時，一次訂購量為個，則.【小問2詳解】當(dāng)時，；當(dāng)時，；當(dāng)時，.【小問3詳解】設(shè)工廠獲得的利潤為元，則，即銷售商一次訂購個零件時，該廠獲得的利潤是元.21.已知函數(shù)對一切實(shí)數(shù)都滿足且.（1）求的值；（2）求的解析式；（3）當(dāng)時恒成立，求的取值范圍.【答案】（1）；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）結(jié)合已知的條件，令即可求出的值；（2）根據(jù)已知等式令即可求出的解析式；（3）常變量分離，求出二次函數(shù)在閉區(qū)間上的最大值，即可求出的取值范圍.【詳解】（1）令則；（2）令，即；（3）因?yàn)椋此栽谏虾愠闪?，設(shè)，即又在上遞減，當(dāng)，，所以，故.22.設(shè)，函數(shù)．（1）若，判斷并證明函數(shù)的單調(diào)性；（2）若，函數(shù)在區(qū)間（）上的取值范圍是（），求的范圍．【答案】（1）在上遞增，證明見解析.（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)函數(shù)單調(diào)