48導(dǎo)數(shù)在經(jīng)濟(jì)中的應(yīng)用

一、函數(shù)變化率----邊沿函數(shù)二、本錢(qián)三、收益四、函數(shù)的相關(guān)變化率----函數(shù)的彈性4.8變化率及相對(duì)變化率在經(jīng)濟(jì)中的運(yùn)用-----邊沿分析與彈性分析引見(jiàn)1、邊沿函數(shù)設(shè)函數(shù)可導(dǎo)，導(dǎo)函數(shù)也稱(chēng)為邊沿函數(shù)。 稱(chēng)為在內(nèi)的平均變化率，它表示在內(nèi)的平均變化速度。

在點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)稱(chēng)為在點(diǎn)處的變化率，也稱(chēng)為在點(diǎn)處的邊沿函數(shù)值。它表示在點(diǎn)處的變化速度。在點(diǎn)處，從改動(dòng)一個(gè)單位，相應(yīng)改動(dòng)的真值應(yīng)為。但當(dāng)x改動(dòng)的“單位〞很小時(shí)，或x的“一個(gè)單位〞與值相對(duì)來(lái)比很小時(shí)，那么有

當(dāng)時(shí)，標(biāo)志著由減少一個(gè)單位這闡明在點(diǎn)處，當(dāng)產(chǎn)生一個(gè)單位的改動(dòng)時(shí)，近似改動(dòng)個(gè)單位。在運(yùn)用問(wèn)題中解釋邊沿函數(shù)值的詳細(xì)意義時(shí)我們略去“近似〞二字例1函數(shù)，在點(diǎn)處的邊沿函數(shù)值，它表示當(dāng)時(shí),改動(dòng)一個(gè)單位，〔近似〕改動(dòng)20個(gè)單位。例2設(shè)某產(chǎn)品本錢(qián)函數(shù)C=C(Q)(C為總本錢(qián)，Q為產(chǎn)量〕，其變化率稱(chēng)為邊沿本錢(qián)。稱(chēng)為當(dāng)產(chǎn)量到達(dá)時(shí)的邊沿本錢(qián)。西方經(jīng)濟(jì)學(xué)家對(duì)它的解釋是：當(dāng)產(chǎn)量到達(dá)時(shí)，消費(fèi)前最后一個(gè)單位產(chǎn)品所增添的本錢(qián)。2、本錢(qián)某產(chǎn)品的總本錢(qián)是指消費(fèi)一定數(shù)量的產(chǎn)品所需的全部經(jīng)濟(jì)資源投入〔勞力、原料、設(shè)備等〕的價(jià)錢(qián)或費(fèi)用總額。它由固定本錢(qián)與可變本錢(qián)組成。平均本錢(qián)是消費(fèi)一定量產(chǎn)品，平均每單位產(chǎn)品的本錢(qián)。邊沿本錢(qián)是總本錢(qián)的變化率，即總本錢(qián)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)設(shè)C為總本錢(qián),為固定本錢(qián),為可變本錢(qián)，為平均本錢(qián)，為邊沿本錢(qián)，Q為產(chǎn)量，那么有總本錢(qián)函數(shù)平均本錢(qián)函數(shù)邊沿本錢(qián)函數(shù)例1知某產(chǎn)品的本錢(qián)函數(shù)為求：當(dāng)Q=10時(shí)的總本錢(qián)、平均本錢(qián)及邊沿本錢(qián)。例2例1中的商品，當(dāng)產(chǎn)量Q為多少時(shí)，平均本錢(qián)最??？3、收益總收益是消費(fèi)者出賣(mài)一定量產(chǎn)品所得到的全部收入。平均收益是消費(fèi)者出賣(mài)一定量的產(chǎn)品，平均每單位產(chǎn)品所得到的收入。即單位商品的售價(jià)。邊沿收益為總收益的變化率?？偸找妫骄找?，邊沿收益均為產(chǎn)量的函數(shù)設(shè)P為商品價(jià)錢(qián)，Q為商品量，R為總收益，為邊沿收益。那么有需求函數(shù)P=P(Q)總收益函數(shù)R=R(Q)平均收益函數(shù)邊沿收益函數(shù)需求與收益的關(guān)系有：總收益與平均收益的關(guān)系為：總收益與邊沿收益的關(guān)系為：例1設(shè)某產(chǎn)品的價(jià)錢(qián)與銷(xiāo)售量的關(guān)系為P=10-Q/5，求銷(xiāo)售量為30時(shí)的總收益、平均收益與邊沿收益。下面討論最大利潤(rùn)原那么：設(shè)總利潤(rùn)為L(zhǎng)，那么L=L(Q)=R(Q)-C(Q)L(Q)獲得最大值的必要條件為：，即于是可獲得最大利潤(rùn)的必要條件是：邊沿收益等于邊沿本錢(qián)。L(Q)獲得最大值的充分條件為：即于是可獲得最大利潤(rùn)的充分條件是：邊沿收益的變化率小于邊沿本錢(qián)的變化率。例2知某產(chǎn)品的需求函數(shù)為P=10-Q/5，本錢(qián)函數(shù)為C=50+2Q,求產(chǎn)量為多少時(shí)總利潤(rùn)L最大？并驗(yàn)證能否符合最大利潤(rùn)原那么。

例3某工廠(chǎng)消費(fèi)某產(chǎn)品，固定本錢(qián)為20000元，每消費(fèi)一單位產(chǎn)品，本錢(qián)添加100元。知總收益R是年產(chǎn)量Q的函數(shù)問(wèn)每年消費(fèi)多少產(chǎn)品時(shí)，總利潤(rùn)最大？此時(shí)總利潤(rùn)是多少？4、函數(shù)的相關(guān)變化率----函數(shù)的彈性前面所談的函數(shù)改動(dòng)量與函數(shù)變化率是絕對(duì)改動(dòng)量與絕對(duì)變化率，但是從實(shí)際中可看到，僅僅研討此是不夠的。比如，商品a每單位價(jià)錢(qián)10元，漲價(jià)1元；商品b每單位價(jià)錢(qián)是1000元，也漲價(jià)1元，兩種商品價(jià)錢(qián)的絕對(duì)改動(dòng)量都是1元，但各自與其原價(jià)相比，兩者漲價(jià)的百分比卻有很大的不同，商品a漲了10%，而商品b漲了0.1%。因此有必要研討函數(shù)的相對(duì)改動(dòng)量與相對(duì)變化率。從到兩點(diǎn)間的相對(duì)變化定義4.5設(shè)函數(shù)在點(diǎn)處可導(dǎo)，函數(shù)的相對(duì)改動(dòng)量，與自變量的相對(duì)改動(dòng)量之比，稱(chēng)為函數(shù)率，或稱(chēng)為兩點(diǎn)間的彈性。當(dāng)時(shí)，的極限稱(chēng)為在處的相對(duì)變化率，也就是相對(duì)導(dǎo)數(shù)，或稱(chēng)彈性。即=記作，或?qū)ζ胀ǖ膞，假設(shè)f(x)可導(dǎo)，那么有是x的函數(shù)，稱(chēng)為f(x)的彈性函數(shù)。函數(shù)f(x)在點(diǎn)x的彈性反映隨x的變化f(x)變化幅度的大小，也就是f(x)對(duì)x變化反響的劇烈程度或靈敏度。表示在點(diǎn)處，當(dāng)x產(chǎn)生1%的改動(dòng)時(shí)，f(x)近似改動(dòng)%。在運(yùn)用問(wèn)題中解釋彈性的詳細(xì)意義時(shí)，我們也略去“近似〞二字。留意：兩點(diǎn)間的彈性是有方向性的，由于“相對(duì)性〞是對(duì)初始值而言的。例1求函數(shù)在處的彈性。例2求函數(shù)的彈性函數(shù)及例3求冪函數(shù)〔為常數(shù)〕的彈性函數(shù)。〔該函數(shù)稱(chēng)為不變彈性函數(shù)〕5、需求函數(shù)與供應(yīng)函數(shù)“需求〞指在一定價(jià)錢(qián)條件下，消費(fèi)者情愿購(gòu)買(mǎi)并且有支付才干購(gòu)買(mǎi)的商品量。消費(fèi)者對(duì)某種商品的需求是多種要素決議的,商品的價(jià)錢(qián)是影響需求的一個(gè)主要要素,但還有許多其他要素,如消費(fèi)者收入的增減,其它代用品的價(jià)錢(qián)等都會(huì)影響需求。我們?nèi)缃癫凰妓鲀r(jià)錢(qián)以外的其它要素〔把其它要素對(duì)需求的影響看作不變的〕，只研討需求與價(jià)錢(qián)的關(guān)系?！?〕需求函數(shù)設(shè)P表示商品價(jià)錢(qián)，Q表示需求量，那么有Q=f(P)(P為自變量，Q為因變量)稱(chēng)為需求函數(shù)普通說(shuō)來(lái)，商品價(jià)錢(qián)低，需求大；商品價(jià)高，需求小。因此需求函數(shù)Q=f(P)是單調(diào)減少函數(shù)。因Q=f(P)單調(diào)減少，所以有反函數(shù)，也稱(chēng)為需求函數(shù)。用D來(lái)表示需求曲線(xiàn)需求函數(shù)的邊沿函數(shù)稱(chēng)為邊沿需求。例假設(shè)知需求函數(shù)為那么邊沿需求函數(shù)為當(dāng)P=4時(shí)，稱(chēng)為P=4時(shí)的邊沿需求，它的經(jīng)濟(jì)含義表示：當(dāng)價(jià)錢(qián)P=4時(shí)，價(jià)錢(qián)上漲〔或下跌〕1個(gè)單位時(shí)，需求將減少〔或添加〕4個(gè)單位。〔2〕供應(yīng)函數(shù)“供應(yīng)〞指在一定條價(jià)錢(qián)條件下，消費(fèi)者情愿出賣(mài)并且有可供出賣(mài)的商品量。供應(yīng)也是由多種要素決議的，這里略去價(jià)錢(qián)以外的其它要素，只討論供應(yīng)與價(jià)錢(qián)的關(guān)系。設(shè)P表示商品價(jià)錢(qián),Q表示供應(yīng)量,那么有(P為自變量,Q為因變量)稱(chēng)為供應(yīng)函數(shù).普通說(shuō)來(lái),商品價(jià)錢(qián)低，消費(fèi)者不情愿消費(fèi)，供應(yīng)少；商品價(jià)錢(qián)高，供應(yīng)多。因此普通供應(yīng)函數(shù)為單調(diào)添加函數(shù)。所以有反函數(shù)，也稱(chēng)為供應(yīng)函數(shù)?！?〕平衡價(jià)錢(qián)平衡價(jià)錢(qián)是市場(chǎng)上需求量與供應(yīng)量相等時(shí)的價(jià)錢(qián)，此時(shí)需求量與供應(yīng)量稱(chēng)為平衡商品量。當(dāng)時(shí)，此時(shí)消費(fèi)者購(gòu)買(mǎi)的商品量會(huì)大于消費(fèi)者情愿出賣(mài)的商品量，市場(chǎng)上出現(xiàn)“供不應(yīng)求〞，商品短缺，會(huì)構(gòu)成搶購(gòu)、黑市等情況，這種情況不會(huì)耐久，必然導(dǎo)致價(jià)錢(qián)上漲。當(dāng)時(shí)，此時(shí)消費(fèi)者購(gòu)買(mǎi)的商品量會(huì)小于消費(fèi)者情愿出賣(mài)的商品量，市場(chǎng)上出現(xiàn)“供過(guò)于求〞，商品滯銷(xiāo)。這種情況不會(huì)耐久，必然導(dǎo)致價(jià)錢(qián)下跌。總之，市場(chǎng)上的商品價(jià)錢(qián)將圍繞平衡價(jià)錢(qián)擺動(dòng)。6、需求彈性與供應(yīng)彈性定義4.6某商品需求函數(shù)在處可導(dǎo)，稱(chēng)為該商品在與兩點(diǎn)間的需求彈性。記作稱(chēng)為該商品在處的需求彈性。記作例1知某商品需求函數(shù)，求〔1〕從P=30到P=20，50各點(diǎn)間的需求彈性；〔2〕P=30時(shí)的需求彈性，并指出其經(jīng)濟(jì)含義。例2設(shè)某商品需求函數(shù)為，求〔1〕需求彈性函數(shù)；〔2〕P=3，P=5，P=6時(shí)的需求彈性，并指出其經(jīng)濟(jì)含義。定義4.7某商品供應(yīng)函數(shù)在處可導(dǎo)，稱(chēng)為該商品在與兩點(diǎn)間的供應(yīng)彈性。記作稱(chēng)為該商品在處的供應(yīng)彈性。記作7、用需求彈性分析總收益〔或市場(chǎng)銷(xiāo)售總額〕的變化總收益R是商品價(jià)錢(qián)P與銷(xiāo)售量Q的乘積，即〔1〕假設(shè)，需求變動(dòng)的幅度小于價(jià)錢(qián)變動(dòng)的幅度，此時(shí)，，遞增。即價(jià)錢(qián)上漲，總收益添加；價(jià)錢(qián)下跌，總收益減少?！?〕假設(shè)，需求變動(dòng)的幅度大于價(jià)錢(qián)變動(dòng)的幅度，此時(shí)，，遞減。即價(jià)錢(qián)上漲，