第27課時-圖形的相似與位似

第27課 圖形的相似與位似考點(diǎn)2考點(diǎn)3

比例的相關(guān)概念及性質(zhì)相似三角形的判定及性質(zhì)(必考)考點(diǎn)1平行線分線段成比例相似多邊形考點(diǎn)4

考點(diǎn)5位似圖形本節(jié)內(nèi)容考綱要求考查相似三角形的性質(zhì)和判定，是初中數(shù)學(xué)的難點(diǎn)內(nèi)容。近5年試題規(guī)律：相似三角形通常與平行四邊形、解直角三角形、圓、二次函數(shù)等問題綜合考查，但選擇、填空題往往是簡單的?？记榉治隹键c(diǎn)1

平行線分線段成比例基本事實(shí)：兩條直線被一組平行線所截，所得的對應(yīng)線段成比例．如圖，兩條直線AC，DF被三條互相平行的直線l1，l2，l3所截，則知識清單結(jié)論：平行于三角形一邊的直線截其他兩邊(或兩邊的延長線)，所得的對應(yīng)線段成比例．如圖，因?yàn)镈E∥BC，所以也可以說還可以說知識清單考點(diǎn)2

比例的相關(guān)概念及性質(zhì)線段的比：兩條線段的比是兩條線段的長度之比．比例中項(xiàng)：如果即b2＝____，我們就把b

叫做a，c的比例中項(xiàng)．a(chǎn)c知識清單3.比例的性質(zhì)性質(zhì)1＝?______＝bc(a，b，c，d≠0)性質(zhì)2如果，那么＝______性質(zhì)3如果(b＋d＋…＋n≠0)，則＝______ad知識清單4.黃金分割：如果點(diǎn)C把線段AB分成兩條線段，使那么點(diǎn)C叫做線段AB的黃金分割點(diǎn)，

AC是BC與AB的比例中項(xiàng)，AC與AB的比叫做黃金比．知識清單1.定義：三個角分別相等，三條邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形，相似三角形對應(yīng)邊的比叫做相似比．2.性質(zhì)：(1)相似三角形的對應(yīng)角_______；

(2)相似三角形的對應(yīng)線段(邊、高、中線、角平分線)_______；

(3)相似三角形的周長比等于________，面積比等于

_____________．考點(diǎn)3

相似三角形的判定及性質(zhì)(必考)相等成比例相似比相似比的平方知識清單3．判定：(1)_______對應(yīng)相等，兩三角形相似；(2)兩邊對應(yīng)成比例且_______相等，兩三角形相似；(3)三邊_____________，兩三角形相似；(4)兩直角三角形的斜邊和一條直角邊對應(yīng)成比例，兩直角三角形相似．兩角夾角對應(yīng)成比例知識清單1.定義：各角對應(yīng)相等，各邊對應(yīng)成比例的兩個多邊形叫做相似多邊形，相似多邊形對應(yīng)邊的比叫做它們的相似比．2.性質(zhì)：(1)相似多邊形的對應(yīng)邊________；(2)相似多邊形的對應(yīng)角______；(3)相似多邊形周長的比______相似比，相似多邊形面積的比等于________________．考點(diǎn)4

相似多邊形成比例相等等于相似比的平方知識清單1.定義：如果兩個圖形不僅是相似圖形而且每組對應(yīng)點(diǎn)所在的直線都經(jīng)過同一個點(diǎn)，那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形，這個點(diǎn)叫做位似中心，相似比叫做位似比．2.性質(zhì)：(1)在平面直角坐標(biāo)系中,如果位似變換是以原點(diǎn)為中心,相似比為k，那么位似圖形對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)的比等于k或－k；(2)位似圖形上任意一對對應(yīng)點(diǎn)到位似中心的距離之比等于

________．考點(diǎn)5

位似圖形位似比知識清單3.找位似中心的方法：將兩個圖形的各組對應(yīng)點(diǎn)連接起來，若它們所在的直線相交于一點(diǎn)，則該點(diǎn)即是位似中心．4.畫位似圖形的步驟：(1)確定位似中心；(2)確定原圖形的關(guān)鍵點(diǎn)；(3)確定位似比，即要將圖形放大或縮小的倍數(shù)；(4)作出原圖形中各關(guān)鍵點(diǎn)的對應(yīng)點(diǎn)；(5)按原圖形的連接順序連接所作的各個對應(yīng)點(diǎn).知識清單1.(2016河北)如圖-1，△ABC中，∠A＝78°，AB＝4，AC＝6.

將△ABC沿圖中的虛

線剪開，剪下的陰

影三角形與原三角

形不相似的是()C圖-1真題再現(xiàn)A，B選項(xiàng)利用“兩角對應(yīng)相等的兩個三角形相似”可判定兩三角形相似．D選項(xiàng)利用“兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等的兩個三角形相似”可判定兩三角形相似．C選項(xiàng)無法判定兩三角形相似，故選C.真題再現(xiàn)2．(2016巴中)如圖，點(diǎn)D，E分別為△ABC的邊

AB，AC的中點(diǎn)，則△ADE的面積與四邊形

BCED的面積的比為(

)

A．1∶2

B．1∶3C．1∶4D．1∶1B真題再現(xiàn)3．(2016臨沂)如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E，F(xiàn)

分別在AB，AC，BC上，DE∥BC，EF∥AB.若

AB＝8，BD＝3，BF＝4，則FC的長為____

．真題再現(xiàn)1.(2016烏魯木齊二模)如圖，不等長的兩對角線AC，BD相交于點(diǎn)O，且將四邊形ABCD分成甲、乙、丙、丁四個三角形，若OA∶OC＝OB∶OD＝1∶2，則關(guān)于這四個三角形的關(guān)系，下列敘述中正確的是()A．甲、丙相似，乙、丁相似

B．甲、丙相似，乙、丁不相似

C．甲、丙不相似，乙、丁相似

D．甲、丙不相似，乙、丁不相似題型一相似三角形的證明及性質(zhì)的相關(guān)計(jì)算B題型訓(xùn)練2.(2016唐山模擬)如圖，在平行四邊形ABCD中，

EF∥AB交AD于E，交BD于F，DE∶EA＝3∶4，

EF＝3，則CD的長為()A．4

B．7C．3D．12B題型訓(xùn)練2依題意，有△ADE∽△ABC.因?yàn)椤鰽DE與△ABC的周長之比為2∶3，所以由AD＝4，得AB＝6，所以DB＝6－4＝2.3．(2016樂山)如圖，在△ABC中，D，E分別是邊AB，

AC上的點(diǎn)，且DE∥BC，若△ADE與△ABC的周長之比為2∶3，AD＝4，則DB＝____．題型訓(xùn)練4.(2015南京)如圖，△ABC中，CD是邊AB上的高，且

(1)求證：△ACD∽△CBD；

(2)求∠ACB的大?。?/p>

(1)∵CD是邊AB上的高，∴∠ADC＝∠CDB＝90°.

又∵∴△ACD∽△CBD.(2)∵△ACD∽△CBD，∴∠A＝∠BCD，在△ACD中,∵∠ADC＝90°,∴∠A＋∠ACD＝90°,∴∠BCD＋∠ACD＝90°，即∠ACB＝90°.證明：解：題型訓(xùn)練5.(2016洛陽模擬)如圖，在△ABC中，∠ABC＝90°，

BC＝3，D為AC延長線上一點(diǎn)，AC＝3CD，過點(diǎn)D

作DH∥AB，交BC的延長線于點(diǎn)H.(1)求BD·cos∠HBD的值；

(2)若∠CBD＝∠A，求AB的長．題型訓(xùn)練(1)∵DH∥AB，∴∠BHD＝∠ABC＝90°，又∵∠ACB＝∠DCH，∴△ABC∽△DHC，∴∵AC＝3CD，BC＝3，∴CH＝1，∴BH＝BC＋CH＝4.

在Rt△BHD中，cos∠HBD＝∴BD·cos∠HBD＝BH＝4.解：題型訓(xùn)練(2)∵△ABC∽△DHC，∴∴AB＝3DH.∵∠A＝∠CBD，∠ABC＝∠BHD，∴△ABC∽△BHD，∴∴DH＝2，∴AB＝6.題型訓(xùn)練規(guī)律點(diǎn)撥判定兩個三角形相似的四種方法：(1)當(dāng)圖形中有平行線時，多用兩角對應(yīng)相等判定；(2)當(dāng)已知兩個三角形的一組角相等時，可以再找一組角，嘗試證明相等，或是證明夾相等的這組角的兩邊對應(yīng)成比例；(3)當(dāng)已知兩個三角形中三邊的長度時，可以用三組邊的比相等來證明兩個三角形相似；(4)當(dāng)條件中給出比例式時，可考慮證三邊對應(yīng)成比例，或者用兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等的兩個三角形相似證明．題型訓(xùn)練1.(2016煙臺)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，正方形ABCD

與正方形BEFG是以原點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，且相似比為點(diǎn)A，B，E在x軸上，若正方形BEFG的邊長為6，則C點(diǎn)坐標(biāo)為()A．(3，2)

B．(3，1)C．(2，2)D．(4，2)題型二位似圖形A題型訓(xùn)練∵正方形ABCD與正方形BEFG是以原點(diǎn)O為位似中心的位似圖形，且相似比為∴∵BG＝6，∴AD＝BC＝2.∵AD∥BG，∴△OAD∽△OBG，∴∴解得：OA＝1，∴OB＝3，∴C點(diǎn)坐標(biāo)為(3，2)．題型訓(xùn)練2.(2016連云港一模)如圖，將△ABC的三邊分別擴(kuò)大一倍得到△A1B1C1(頂點(diǎn)均在格點(diǎn)上)，它們是以P點(diǎn)為位似中心的位似圖形，則P點(diǎn)的坐標(biāo)是()A．(－4，－3)B．(－3，－3)C．(－4，－4)D．(－3，－4)A題型訓(xùn)練3．(2016咸