專題02 模型構建專題：解直角三角形應用中的基本模型之六大類型（原卷版）

專題02模型構建專題：解直角三角形應用中的基本模型之六大類型【考點導航】目錄TOC\o"1-3"\h\u【典型例題】 1【類型一含特殊角（“30°，45°，60°”）的非直角三角形】 1【類型二不含特殊角的非直角三角形】 10【類型三“獨立”型】 15【類型四“背靠背”型】 19【類型五“疊合”型】 25【類型六“斜截”型】 29【典型例題】【類型一含特殊角（“30°，45°，60°”）的非直角三角形】例題：（2023·遼寧葫蘆島·統考二模）如圖，小明在游玩時想利用手中的無人機測量一山崖（垂直于地面）的高度，小明從點看向無人機的仰角為．從無人機處測得看山崖頂端的仰角為，測得看山崖底部處的俯角為，無人機與山崖的水平距離為50米．（圖中各點均在同一平面內）．

(1)求山崖的高度（結果保留根號）；(2)若點距離地面2米，求小明到山崖的水平距離（結果取整數）．（參考數據：，）【變式訓練】1．（2023秋·黑龍江哈爾濱·九年級哈爾濱德強學校校考階段練習）為了維護海洋權益，新組建的國家海洋局加強了海洋巡邏力度，如圖，一艘海監(jiān)船位于燈塔的南偏東方向，距離燈塔100海里的處，沿正北方向航行一段時間后，到達位于燈塔的北偏東方向上的處．

(1)在這段時間內，海監(jiān)船與燈塔的最近距離是多少海里？(2)在這段時間內，海監(jiān)船航行了多少海里？（結果保留根號）2．（2023·海南·統考中考真題）如圖，一艘輪船在處測得燈塔位于的北偏東方向上，輪船沿著正北方向航行20海里到達處，測得燈塔位于的北偏東方向上，測得港口位于的北偏東方向上．已知港口在燈塔的正北方向上．

(1)填空：度，度；(2)求燈塔到輪船航線的距離（結果保留根號）；(3)求港口與燈塔的距離（結果保留根號）．3．（2023春·內蒙古巴彥淖爾·九年級?？计谥校o人機在實際生活中應用廣泛．如圖所示，某人利用無人機測量大樓的高度，無人機在空中C處測得樓樓頂D處的俯角為，測得樓EF樓頂E處的俯角為．已知樓和樓之間的距離HF為90米，樓的高度為12米，從樓的E處測得樓的D處的仰角為30°，．（點A、B、C、D、E、F、H在同一平面內）．（參考數據：）

(1)求樓的高度；(2)求此時無人機距離地面的高度．4．（2023秋·海南?？凇ぞ拍昙壭？计谀┟撠毠怨ぷ髯尷习傩者^上了幸福的生活，如圖是房屋的側面示意圖，它是一個軸對稱圖形，對稱軸是房屋的高所在的直線，為了測量房屋的高度，在地面上C點測得尾頂A的仰角為35°，此時地面上C點、屋檐上E點、屋頂上A點三點恰好共線，繼續(xù)向房屋方向走到達點D時，又測得屋檐E點的仰角為60°，房屋的頂層橫梁，，交于點G（點C，D，B在同一水平線上）．（參考數據：，，，）

(1)求屋頂到橫梁的距離；(2)求房屋的高（結果精確到）．5．（2023·遼寧葫蘆島·統考二模）無人機在實際生活中應用廣泛．如圖所示，小明利用無人機測量大樓的高度，無人機在空中處，測得樓樓頂處的俯角為，測得樓樓頂處的俯角為．已知樓和樓之間的距離為米，樓的高度為10米，從樓的處測得樓的處的仰角為（點在同一平面內，參考數據：）．

(1)填空：______________度；(2)求樓的高度；(3)求此時無人機距離地面的高度（結果精確到1米）．【類型二不含特殊角的非直角三角形】例題：（2023秋·全國·九年級專題練習）如圖，在的方格中，兩條線段的夾角（銳角）為，則．

【變式訓練】1．（2023·江蘇宿遷·統考中考真題）如圖，在網格中，每個小正方形的邊長均為1，每個小正方形的頂點稱為格點．點A、B、C三點都在格點上，則．

2．（2023·全國·九年級專題練習）如圖，的三個頂點都在邊長是的小正方形的頂點上，則．3．（2023春·浙江杭州·九年級專題練習）在中，，，為銳角且．(1)求的面積；(2)求的值；(3)求的值．4．（2023秋·重慶·九年級重慶實驗外國語學校校考開學考試）如圖，在中，，點為的中點，于點，連接．已知.

(1)若，求的長度；(2)若，求．5．（2023·寧夏吳忠·?？级＃﹩栴}呈現：如圖1，在邊長為1的正方形網格中，連接格點D、N和E、C，和相交于點P，求的值．方法歸納：求一個銳角的三角函數值，我們往往需要找出（或構造出）一個直角三角形.觀察發(fā)現問題中不在直角三角形中，我們常常利用網格畫平行線等方法解獲此類問題，比如連接格點M、N，可得，則，連接DM，那么就變換到中，

問題解決：(1)求出圖1中的值；(2)如圖2，在邊長為1的正方形網格中，與相交于點P，求的值．6．（2023秋·全國·九年級專題練習）在學習完銳角三角函數后，老師提出一個這樣的問題：如圖1，在中，，，，求（用含，的式子表示）．聰明的小雯同學是這樣考慮的：如圖2，取的中點O，連接，過點C作于點D，則，然后利用銳角三角函數在中表示出，，在中表示出，則可以求出．

閱讀以上內容，回答下列問題：在中，，．(1)如圖3，，，若，則______，______；(2)請你參考閱讀材料中的推導思路，求出的表達式（用含，的式子表示）．【類型三“獨立”型】例題：（2023春·吉林長春·九年級?？茧A段練習）如圖，某校無人機興趣小組借助無人機測量教學樓的高度，無人機在離教學樓底部處米的處垂直上升米至處，測得教學樓頂處的俯角為，則教學樓的高度約為米．（結果精確到米）【參考數據：，，】

【變式訓練】1．（2023春·山東日照·九年級日照市新營中學?？茧A段練習）如圖，是垂直于水平面的建筑物，沿建筑物底端沿水平方向向左走米到達點，沿坡度（坡度坡面鉛直高度與水平寬度的比）斜坡走到點，再繼續(xù)沿水平方向向左走米到達點、、、、在同一平面內，在處測得建筑物頂端A的仰角為，已知建筑物底端與水平面的距離為米，則建筑物的高度約是參考數據：，，（

）

A．米 B．米 C．米 D．米2．（2023春·安徽淮南·九年級校聯考階段練習）如圖，甲乙兩樓相距30米，乙樓高度為36米，自甲樓樓頂A處看乙樓樓頂B處仰角為30°，則甲樓高度為米；

3．如圖，小明在公園放風箏，拿風箏線的手離地面高度為，風箏飛到處時的線長為，這時測得，求此時風箏離地面的高度．（精確到，）

【類型四“背靠背”型】例題：（2023春·山東青島·九年級統考開學考試）科技改變生活，手機導航極大方便了人們的出行，如圖，小明一家自駕到古鎮(zhèn)C游玩，到達A地后，導航顯示車輛應沿北偏西67°方向行駛4千米至B地，再沿北偏東23°方向行駛一段距離到達古鎮(zhèn)C，小明發(fā)現古鎮(zhèn)C恰好在A地的正北方向，求B，C兩地的距離（結果保留整數）（參考數據：，，，，）．

【變式訓練】1．（2023春·江蘇南通·九年級?？茧A段練習）如圖，一艘船由A港沿北偏東方向航行至B港，然后再沿北偏西方向航行至C港，C港在A港北偏東方向，則A，C兩港之間的距離為．

2．（2023春·海南省直轄縣級單位·九年級統考期中）某校舉辦以“測量”為主題的數學實踐活動，該校數學興趣小組準備借助無人機來測量小區(qū)內的一座大樓高度．如圖所示，無人機從地面點A處沿著與地面垂直的方向上升，至點B處時，測得大樓底部C的俯角為30°，E測得大樓頂部D的仰角為45°．無人機保持航向不變繼續(xù)上升50米到達點E處，此時測得大樓頂部D的俯角為60°．已知A、C兩點在同一水平線上．

(1)填空：＝_________度，＝_________度；(2)求A、C兩點間的距離：（結果保留根號）(3)求這座大樓的高度．（結果保留根號）3．（2023·黑龍江大慶·統考一模）如圖，某無人機興趣小組在操場上展開活動，此時無人機在離地面30米的D處，無人機測得操控者A的俯角為，測得教學樓頂端點C處的俯角為，又經過人工測量測得操控者A和教學樓之間的距離為57米．（點A，B，C，D都在同一平面上，結果保留根號）

(1)填空：______度，______度；(2)求此時無人機與教學樓之間的水平距離的距離；(3)求教學樓的高度．【類型五“疊合”型】例題：（2023春·河南駐馬店·九年級統考階段練習）文峰塔位于河南省安陽市古城內西北隅，因塔建于天寧寺內，又名天寧寺塔；文峰塔建于五代后周廣順二年，已有一千余年歷史，風格獨特，具有上大下小的特點．由下往上一層大于一層，逐漸寬敞，是傘狀形式，這種平臺、蓮座、遼式塔身、藏式塔剎的形制世所罕見．活動課上，數學社團的學生計劃測量文峰塔的高度．如圖所示，先在點C處用高1.6m的測角儀測得塔尖A的仰角為37°，向塔的方向前進12m到達F處，在F處測得塔尖A的仰角為45°，請你相關數據求出文峰塔的高度．（結果精確到1m，參考數據：，，，．）

【變式訓練】1．（2023秋·山東聊城·九年級聊城市實驗中學?？茧A段練習）如圖，小明為了測量小河對岸大樹的高度，他在點A測得大樹頂端的仰角為，沿斜坡走米到達斜坡上點，在此處測得樹頂端點的仰角為，且斜坡的坡比為，，A，在同一水平線上．

(1)求小明從點A到點的過程中，他上升的高度．(2)大樹的高度約為多少米參考數據：，，2．（2023·江蘇蘇州·?？级＃┤鐖D，某中學數學課題學習小組在“測量物體高度”的活動中，欲測量一棵古樹的高度，他們在這棵古樹的正前方一平房頂點處測得古樹頂端的仰角為，在這棵古樹的正前方處，測得古樹頂端的仰角為，在點處測得點的俯角為，已知為米，且、、三點在同一條直線上．

(1)求平房的高度；(2)請求出古樹的高度．（根據以上條件求解時測角器的高度忽略不計）【類型六“斜截”型】例題：（2023春·遼寧阜新·九年級?？茧A段練習）如圖，在南北方向的海岸線上，有A，B兩艘巡邏船，現均收到故障船C的求救信號，已知A，B兩船相距海里，船C在船A的北偏東方向上，船C在船B的東南方向上，上有一觀測點D，測得船C正好在觀測點D的南偏東方向上．

(1)求出A與C之間的距離．(2)已知距觀測點D處100海里范圍內有暗礁．若巡邏船A沿直線去營救船C，在去營救的途中有無觸暗礁危險？（參考數據：，）【變式訓練】1．（2023·內蒙古·統考中考真題）某數學興趣小組借助無人機測量一條河流的寬度．如圖所示，一架水平飛行的無人機在處測得河流左岸處的俯角為，無人機沿水平線方向繼續(xù)飛行12米至處，測得河流右岸處的俯角為，線段米為無人機距地面的鉛直高度，點，，在同一條直線上，其中．求河流的寬度（結