非平穩(wěn)金融時(shí)間序列模型課件

非平穩(wěn)金融時(shí)間序列模型2

第6章非平穩(wěn)金融時(shí)間序列模型6.1確定性趨勢(shì)模型6.2隨機(jī)性趨勢(shì)模型6.3去除趨勢(shì)的方法6.1確定性趨勢(shì)模型

所謂確定性趨勢(shì)，是指模型中含有明確的時(shí)間t變量，從而使得某一時(shí)序變量隨著時(shí)間而明確地向上增長(zhǎng)。最簡(jiǎn)單的線性確定性趨勢(shì)模型可以寫(xiě)成

(6.1)

其中表示均值為0的平穩(wěn)隨機(jī)變量。

對(duì)(6.1)兩邊同取期望，可得

(6.2)

(6.2)說(shuō)明，只要系數(shù)不為0，則序列的均值隨時(shí)間推移而不斷增大。正因?yàn)檫@個(gè)特點(diǎn)，確定性趨勢(shì)模型也稱(chēng)為“均值非平穩(wěn)”過(guò)程圖6-1中國(guó)真實(shí)GDP美國(guó)真實(shí)GDP美國(guó)真實(shí)GDP時(shí)序數(shù)據(jù)：1947年1季度—2011年1季度6.2隨機(jī)性趨勢(shì)模型6.2.1隨機(jī)趨勢(shì)模型的基本定義

考慮AR(1)模型：其中代表方差為的白噪音過(guò)程。

將模型寫(xiě)成：。

如果假設(shè)初始觀測(cè)值為

，那么通過(guò)反復(fù)迭代可以得到：

這個(gè)表達(dá)式可以看成是一種隨機(jī)常數(shù)項(xiàng)，由于每個(gè)隨機(jī)擾動(dòng)因子對(duì)

的條件均值的影響都是永久性的，所以這樣的模型經(jīng)常被稱(chēng)為隨機(jī)趨勢(shì)模型。6.2.2隨機(jī)游走模型

實(shí)際上，模型(6.8)的形式就是一個(gè)隨機(jī)游走過(guò)程。那么隨機(jī)游走過(guò)程的特點(diǎn)有哪些呢？首先，從基本定義式可以看到，隨機(jī)游走過(guò)程就是一個(gè)常數(shù)項(xiàng)為0并且自回歸系數(shù)為1的AR（1）模型。

進(jìn)一步考察隨機(jī)過(guò)程的均值和方差：根據(jù)自協(xié)方差的定義，有：進(jìn)而，可以獲得自相關(guān)函數(shù)的表達(dá)式：圖6-2隨機(jī)游走過(guò)程與

高持久性AR（1）比較6.2.3帶有截距項(xiàng)的隨機(jī)游走模型如果現(xiàn)在假設(shè)模型(6.8)中增加了一個(gè)常數(shù)項(xiàng)，即(6.16)其它假設(shè)均不變。此時(shí)的模型稱(chēng)為帶有截距項(xiàng)的隨機(jī)游走過(guò)程

RWD的均值、方差:RWD的自協(xié)方差:RWD的自相關(guān)函數(shù):圖6-3帶有截距項(xiàng)的

隨機(jī)游走過(guò)程RWD的樣本自相關(guān)函數(shù)6.3去除趨勢(shì)的方法

在實(shí)際應(yīng)用當(dāng)中，平穩(wěn)時(shí)間序列要比非平穩(wěn)時(shí)間序列具有更多吸引人的特性。另外，平穩(wěn)時(shí)間序列與非平穩(wěn)時(shí)間序列在某些重要特性方面差異明顯。

但是，含有趨勢(shì)的時(shí)間序列卻永遠(yuǎn)也不會(huì)回復(fù)到一個(gè)長(zhǎng)期的固定水平。隨機(jī)擾動(dòng)對(duì)含有趨勢(shì)的時(shí)間序列的影響將是長(zhǎng)久的，表現(xiàn)出一種長(zhǎng)期的記憶性。

如果含有趨勢(shì)成分的非平穩(wěn)時(shí)間序列參與到計(jì)量回歸中，許多經(jīng)典的回歸估計(jì)假設(shè)條件將不再滿(mǎn)足，所以就必須小心解釋相應(yīng)的統(tǒng)計(jì)檢驗(yàn)和統(tǒng)計(jì)推斷，有的情況下會(huì)出現(xiàn)所謂的“偽回歸”現(xiàn)象，而有的條件下需要應(yīng)用協(xié)整分析方法。

一般來(lái)說(shuō)，常用的去除趨勢(shì)的方法有差分法和去除趨勢(shì)法，前者主要針對(duì)隨機(jī)趨勢(shì)非平穩(wěn)時(shí)間序列，而后者主要針對(duì)含有確定性趨勢(shì)的非平穩(wěn)時(shí)間序列。

6.3.1差分法

差分法一般用來(lái)去除含有隨機(jī)趨勢(shì)的非平穩(wěn)時(shí)間序列。如果從AR模型的平穩(wěn)性條件來(lái)考慮，它非平穩(wěn)，就是因?yàn)樗奶卣鞣匠痰母幸粋€(gè)單位根。所以也被稱(chēng)為“單位根過(guò)程”，或者“一階單整過(guò)程”，記做I(1)，其中“I”表示單整，“(1)”表示單整的階數(shù)。

隨機(jī)趨勢(shì)非平穩(wěn)過(guò)程可以通過(guò)差分法變?yōu)槠椒€(wěn)過(guò)程。如果是I(1)，則一次差分即可實(shí)現(xiàn)，而對(duì)于I(2)過(guò)程，則可以通過(guò)兩次差分獲得平穩(wěn)過(guò)程。

以隨機(jī)游走過(guò)程為例，一階差分就是指使用原過(guò)程獲得一次差分項(xiàng)

的表達(dá)式，其中“

”表示差分符號(hào)。所以：

（5.22）

從模型（6.22）可以看出，基于隨機(jī)游走過(guò)程的一次差分

是一個(gè)平穩(wěn)的隨機(jī)時(shí)序變量，因?yàn)?/p>

等于平穩(wěn)白噪音過(guò)程。圖6-4RWD及其

一次差分后序列

以上處理方法很容易拓展到高階單整序列。例如，假設(shè)

是一個(gè)I(2)過(guò)程，那么對(duì)其二次差分就可以獲得平穩(wěn)序列，即：

其中：“

”表示二次差分符號(hào)。依此類(lèi)推，“

”表表示三次差分符號(hào)，而“

”表示n次差分符號(hào)。對(duì)于ARIMA(p,1,q)來(lái)說(shuō)，

雖然我們這里討論的是一階單整形式的ARIMA模型，但二階或者其他高階ARIMA模型可以運(yùn)用類(lèi)似的思路獲得平穩(wěn)的差分序列。概括地說(shuō)，一個(gè)ARIMA(p,d,q)過(guò)程，經(jīng)過(guò)d次差分后就可以獲得對(duì)應(yīng)的平穩(wěn)過(guò)程。6.3.2去除趨勢(shì)法

當(dāng)然，如果不能確定時(shí)間趨勢(shì)成分是否僅為一次冪的形式，還可以采用更一般的確定性趨勢(shì)非平穩(wěn)序列的模型形式，如：

。

然后可以通過(guò)OLS回歸，運(yùn)用“向下檢驗(yàn)法”的原則或者信息準(zhǔn)則法確定出

的階數(shù)，最終獲得平穩(wěn)序列

的估計(jì)值即可。6.3.3去除趨勢(shì)的方法比較

前面小節(jié)討論了差分法和去除時(shí)間趨勢(shì)法，并且認(rèn)識(shí)到不同的趨勢(shì)非平穩(wěn)序列需要采用不同的去除趨勢(shì)成分的方法。實(shí)際上，去除含有趨勢(shì)成分的非平穩(wěn)時(shí)間序列的方法還有很多濾波方法。常見(jiàn)的有HP濾波、卡爾曼濾波，以及近年來(lái)新發(fā)展起來(lái)的BK濾波和CF濾波。圖6-5去除線性時(shí)間趨勢(shì)法

獲得的序列去除線性時(shí)間趨勢(shì)法

獲得的差分序列的ACF圖圖6-6差分法獲得的序列差分法獲得的序列的ACF圖

本小節(jié)開(kāi)始我們還提到過(guò)其他一些常用的濾波法，利用這些方法也可以獲得非平穩(wěn)時(shí)間序列的平穩(wěn)序列成分。HP濾波就是很常用的一種。

假定一個(gè)非平穩(wěn)序列

可以分解為趨勢(shì)成分

和平穩(wěn)成分()，HP濾波使用下列算法來(lái)求解趨勢(shì)成分

，即最小化下列函數(shù)：

(6.33)其中:T是樣本大小，被稱(chēng)為懲罰系數(shù)，用來(lái)控制平穩(wěn)成分()的平滑程度,（

）越大，該序列越平滑。

從模型(6.33)不難看出，當(dāng)

時(shí)，最小化模型(6.33)的結(jié)果給出的是,即

序列的趨勢(shì)成分等于其本身。而如果在另一極端情況

下

，那么最小化(6.33)的結(jié)果給出的是

。

也就是說(shuō)，在

情況下，趨勢(shì)的變化幅度是恒定的，從而趨勢(shì)成分就是一個(gè)線性時(shí)間趨勢(shì)，因?yàn)?/p>

。

注意，因?yàn)槟Ｐ?6.33)中的T并不影響函數(shù)最小化過(guò)程的實(shí)質(zhì)性結(jié)果，所以有的教材可能會(huì)使用最小化下面的表達(dá)式來(lái)代替模型(6.33)，即：

另外，既然懲罰系數(shù)

對(duì)HP濾波的結(jié)果至關(guān)重要，在實(shí)際應(yīng)用中應(yīng)該如何設(shè)定它的值呢？

已有研究表明，對(duì)于不同頻率的數(shù)據(jù)，可以參考下列規(guī)則來(lái)設(shè)定

的值：

實(shí)際上，這里介紹的是傳統(tǒng)的雙側(cè)HP濾波，在分析某些問(wèn)題的過(guò)程中，可能還會(huì)使用到所謂的單側(cè)HP濾波。單側(cè)HP濾波的算法過(guò)程是利用卡爾曼濾波估計(jì)出以下模型中的趨勢(shì)成分

，即：

(6.35)

其中：

和

是互不相關(guān)的白噪音序列。

和二者的方差滿(mǎn)足下列關(guān)系：