第一章三角形的證明單元測試卷 2020-2021學(xué)年北師大版八年級數(shù)學(xué)下冊

第一章三角形的證明單元測試卷

考試范圍：第一章；考試時間：10（）分鐘；滿分：120分命題人:

學(xué)校:姓名：班級：考號：

題號一二三總分

得分

評卷人得分

一.選擇題（共12小題，滿分36分，每小題3分）

1.（3分）如圖，AC,CE分別是△ABC的中線和角平分線，若AB=AC,NBAC=40°,則NCHQ的度數(shù)是（）

A.25°B.35°C.45°D.55°

2.（3分）下列條件中，不能判定△A8C是等腰三角形的是（）

A.。=3,b=3,c=4B.a：b：c=2：3：4

C.ZB=50°,ZC=80°D.NA：ZB：ZC=1：1：2

3.（3分）如圖，△ABC的面積為3尸平分N43C,AP_LBP于P,連接尸C,則△PBC的面積為（）

A.3cm2B.4cm2C.4.5cm2D.5cm2

4.（3分）如圖，△ABC是等邊三角形，AQ=PQ,PRLAB于點R,PSLAC于點S,PR=PS,則下列結(jié)論：①點

P在NA的角平分線上；@AS=AR；?QP//AR；④△BRPgZ^QSP.正確的有（）

AM

RPC

A.1個B.2個C.3個D.4個

5.（3分）已知△ABC的三邊a,b,c滿足（a-4）2+招工+心-4|=0,那么△A8C是（）

A.不等邊三角形B.等邊三角形

C.等腰三角形D.不能判斷

6.（3分）如圖，在等腰aABC中，A2=4C,點E為AC的中點,且C￡>=CE.若乙4=60°,EF=4cm,則。尸的

長為（）

，二

A.\2cmB.lOc/wC.Sc/nD.6cm

7.（3分）如圖，BE=CF,AELBC,DFLBC,要根據(jù)證明RtAABE^RtADCF,則還要添加一個條件是

（）

CD

工

A.AB=DCB.ZA=ZDC.NB二=ZCD.AE=BF

8.（3分）如圖，將一副學(xué)生用三角板（一個銳角為30°的直角三角形，一個銳角為45°的直角三角形）的直角頂

點重合并如圖疊放，當(dāng)NDEB=m°,則NAOC=（）

D

0C

A.30°B.Cm-15）°C.（/n+15）°D.M

9.（3分）如圖，在AABC中，分別以點A和點8為圓心，以相同的長（大于1A8）為半徑作弧，兩弧相交于點M

2

和點M作直線MN交AB于點。，交AC于點E,連接CD已知△CZ）E的面積比△C￡）B的面積小5,則△?!￡>￡的

A.5B.4C.3D.2

10.（3分）如圖，是△ABC的角平分線，CFLA8于點凡S.DE=DG,S^ADC=24,SAAED=18,則△￡>￡：/的

面積為（）

II.（3分）如圖，在△ABC中，N8=90°,C是8。上一點，BC=\0,ZADB=45°,ZACB=60°,則C￡>長

12.（3分）如圖，在△ABC中，NACB=90°,NBAC=2/B,AC平分NBAC,交BC于點Q,CELAD,DF±

AB,垂足分別為E,F,則下列結(jié)論中：①NDCE=NB：②NACE=60°；@BC-AD=DF-,④直線。F垂直平分

線段AB,正確的有（）

c

D

A.1個B.2個C.3個D.4個

評卷人得分

二.填空題（共4小題，滿分16分，每小題4分）

13.（4分）如圖，在△ABC中，AB=AC,NA=60°,BEA.ACTE,延長8C到。，使CO=CE,連接OE,若4

48c的周長是24,BE=a,則△BZJE的周長是.

14.（4分）已知：如圖，AB=CD,￡>E_LAC于E,BF_LAC于F,KDE=BF,ZD=60°,則NA=

15.（4分）命題“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”的逆命題是.它是

命題（填“真”或“假”）

16.（4分）如圖，在△ABC中，AB=13,AC=12,BC=5,按以下步驟作圖：

①以A為圓心，任意長為半徑作弧，分別交A8、AC于點V、N；②分別以點/、N為圓心，以大于』MN的長為

2

半徑作弧，兩弧相交于點E；③作射線AE；④以同樣的方法作射線8F,AE交BF于點、O,連接0C,則0C=—

評卷人得分

三.解答題(共10小題，滿分68分)

17.(5分)如圖，是等邊△ABC的中線，AE=AD,求NEQC的度數(shù).

18.(6分)如圖，已知等腰△ABC中，AB=AC,ZA<90Q,CD是△ABC的高，8E是△ABC的角平分線，CD與

BE交于點P.

(1)當(dāng)NA=44°時，求/8PO的度數(shù);

(2)設(shè)NA=x°,ZEPC=y°,請用含x的代數(shù)式表示y,并說明理由.

19.(6分)如圖，在△△8c中，AB^AC,NB4c=36°,3。平分NABC交AC于點。，過點4作AE〃8C,交.BD

的延長線于點E.

(1)求NAO8的度數(shù)；

(2)求證：△AOE是等腰三角形.

20.(6分)如圖，在△ABC中，AB=AC,M,N分別是AB,AC邊上的點，并且MN〃BC.

(1)ZVIMN是否是等腰三角形？說明理由；

(2)點P是MN上的一點，并且平分/ABC,CP平分/ACB.

①求證：是等腰三角形；

②若△ABC的周長為“，BC=b(a>2h),求△AMN的周長(用含“，〃的式子表示).

21.(6分)如圖，在等邊三角形ABC中，點。為8c邊上一點，DE//AB,過。作。凡LOE交AB于點凡且N

￡FD=60°,CN平分/ACB,CN分別交OE、EF于M、N兩點.

(1)求證：ACENq4EDF；

(2)求證：點N為線段EF中點.

22.(7分)如圖，中，A3的垂直平分線分別交AB,BC于點D,E,AC的垂直平分線分別交AC,BC于點

F,G,連接AE,AG.

(1)若aAEG的周長為10,求線段BC的長;

(2)若N84C=104°,求NEAG的度數(shù).

23.(7分)如圖，△ABC中，ZACB=90°,A。平分NBAC,DELAB于E.

(1)若/。EC=25°,求N8的度數(shù)；

(2)求證：直線AO是線段CE的垂直平分線.

24.(8分)教材呈現(xiàn)：如圖是華師版八年級上冊數(shù)學(xué)教材第96頁的部分內(nèi)

我們已經(jīng)知道角是軸對稱圖形，角平分線所在的直線是角

的對稱軸，如圖1354,OC是乙的平分線，P是0c上任一

點，作PZ)1CU,PE1O5垂足分別為點。和點E,將乙4。3沿OC

對折，我們發(fā)現(xiàn)PD與PE完全重合。由此即有：

角平分線的性質(zhì)定理角平分線上的點到角兩邊的距離

相等?

已知：如圖1354,OC是乙408的平分線，點尸是OC上任一

點，作PZ>1Q4,PE1O5,垂足分別為點普和點E。

求證：PD=PE

(至⑥)圖中有兩個直角三角形PD。和PE。只要證明這兩個

三角形全等，便可證得尸。=PE。

\96第13童全等三角形

容.-----------------------------------------------------------------------

定理證明：請根據(jù)教材中的分析，結(jié)合圖①，寫出“角平分線的性質(zhì)定理”完整的證明過程.

定理應(yīng)用：

如圖②，△ABC的周長是12,80、C。分別平分NABC和NACB,0DLBC于點D,若。0=3,則△ABC的面積

為_______

圖①圖②

25.(8分)如圖，在AABC中，BELAC于點E,BC的垂直平分線分別交AB、BE于點、D、G,垂足為“，CDL

AB,CD交BE于點F.

(1)求證：△BOF絲△CD4,并寫出BF與AC的數(shù)量關(guān)系.

(2)若DF=DG,求證：①BE平分NA8C；②CE=』BF.

2

26.(9分)如圖(1)將三角板ABC與ND4E擺放在一起，射線AE與AC重合，射線AD在三角形ABC外部，其

中NACB=30°,NB=60°,NBAC=90°,ZDA￡=45°.固定三角板ABC,將ND4E繞點A按順時針方向旋

轉(zhuǎn)，如圖(2),記旋轉(zhuǎn)角/C4E=a.

(1)當(dāng)a為60°時，在備用圖(1)中畫出圖形，并判斷4E與BC的位置關(guān)系，并說明理由;

(2)在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)0°<a<180°,ND4E的一邊與BC平行時，求旋轉(zhuǎn)角a的值;

(3)在旋轉(zhuǎn)過程中，當(dāng)0°VaW90°時，探究NCA。與NBAE之間的關(guān)系.

(溫馨提示：對于任意△4BC,都有NA+NB+/C=180°)

圖(1)圖⑵備用圖(1)備用圖Q)

第一章三角形的證明單元測試卷

參考答案

一.選擇題（共12小題，滿分36分，每小題3分）

1.（3分）如圖，A。，CE分別是△4BC的中線和角平分線，若4B=AC,N84C=40°,則NCHO的度數(shù)是（）

A.25°B.35°C.45°D.55°

【解答】解：?；AB=AC,

；.NB=NACB,

?.,/BAC=40°,

AZACB=Ax（180°-40°）=70°,

2

?.,A。是△ABC的中線，

：.AD是aABC的角平分線，

.,./C4￡>=上N8AC=20。，

2

?；CE是AABC的角平分線，

/.ZAC￡=AZACB=35°,

2

/.ZCHD^ZCAD+ZACE=55°.

故選：D.

2.（3分）下列條件中，不能判定△ABC是等腰三角形的是（）

A.。=3,b=3,c=4B.a：b：c=2：3：4

C.ZB=50°,ZC=80°D.NA：ZB：ZC=1：1：2

【解答】解：A、??Z=3,b=3,c=4,

??〃=b,

???△ABC是等腰三角形；

B、Vtz：b：c=2：3：4

??aKbWc,

...△4BC不是等腰三角形；

C、VZB=50°,/C=80°,

AZA=1800-ZB-ZC=50°,

：.ZA=ZB,

：.AC^BC,

...△ABC是等腰三角形；

D、NB：ZC=1：1：2,

'：ZA=ZB,

：.AC=BC,

...△ABC是等腰三角形.

故選：B.

3.（3分）如圖，/XABC的面積為9cm2,BP平分N4BC,AP_LBP于P,連接PC,則△P8C的面積為（）

【解答】解：延長AP交BC于E,

：BP平分NABC,

:.NABP=/EBP,

'：AP±BP,

；.NAPB=NEPB=90°,

，ZABP=ZEBP

在△A8P和aEBP中，.PB=PB

ZAPB=ZEPB

:.△ABP/AEBP(ASA),

：.AP=PE,

:?SAABP=SAEBP，SAACP—5A￡CP，

S^PBC=—S^ABC=—X9c〃P=4.5c加2,

22

故選：c.

4.（3分）如圖，△ABC是等邊三角形，AQ=PQ,于點R,PSJ_AC于點S,PR=PS,則下列結(jié)論：①點

P在NA的角平分線上；@AS=AR-,?QP//AR；④△BRPmAQSP.正確的有（）

A.1個B.2個C.3個D.4個

【解答】解：:△ABC是等邊三角形，PRLAB,PSLAC,且PR=PS,

在/A的平分線上，故①正確；

"：PA=PA,PS=PR,

：.Rt^APR^Rt/\APS（HL）,

：.AS=AR,故②正確；

'：AQ=PQ,

...NPQC=2/用C=60°=ABAC,

：.PQ//AR,故③正確；

由③得，△PQC是等邊三角形，

.,.△PQS絲△PCS,

又由②可知，④△BRP四△QSP,故④也正確，

?.?①②③④都正確，

故選：D.

5.（3分）已知△ABC的三邊a,b,c滿足（a-4）?+招工+匕-4|=0,那么△ABC是（）

A.不等邊三角形B.等邊三角形

C.等腰三角形D.不能判斷

【解答】解：（?-4）2+Vb-4+k'-4|—0,

-4=0,b-4=0,c-4=0,

.??a=b=c=4,

：.^ABC的形狀是等邊三角形,

故選：B.

6.（3分）如圖，在等腰△ABC中，AB=4C,點E為AC的中點，且CO=CE.若/4=60°,EF=4cm,則。尸的

長為（）

C.SentD.6cm

【解答】解：?；AB=AC,NA=60°,

...△ABC為等邊三角形，

AZACB=60°,

"：CD=CE,

.?./皿）=/￡>=▲乙4。8=30°,

2

AZAEF=30°,

：.ZAFE=\SO°-ZA-ZAEF=90°,

"：EF^4cm,

???設(shè)AF=x,則AE=2x,

...由勾股定理得：7+42=47,

?Y--4

行

：.AF=-^,AE=-L,

V3V3

：.BF=AB-AF=2AE-4尸=基,

V3

VZD=30°,

：.BD=2BF=2^,

V3

：.DF2^BD2-8穴=38戶,

:.DF=4^F=M義阜=V2.

V3

故選：A.

7.（3分）如圖，BE=CF,AELBC,DFVBC,要根據(jù)“HL”證明RtAAB￡^RtADCF,則還要添加一個條件是

D

A.AB=DCB.ZA=Z￡>C.NB=NCD.AE=BF

【解答】解：條件是AB=CQ,

理由是：'：AELBC,DFVBC,

.?./CF￡)=/AEB=90°,

在RtA/lBE和RtADCF中，

(AB=CD,

1BE=CF'

ARtAABE^RtADCF(HL),

故選：A.

8.(3分)如圖，將一副學(xué)生用三角板(一個銳角為30°的直角三角形，一個銳角為45°的直角三角形)的直角頂

點重合并如圖疊放，當(dāng)NDEB=m°,則NAOC=()

A.30°B.Cm-15)°C.(/M+15)°D.in

【解答】解：,：NDEB=m°,

:./AEC=NDEB=m°,

VZA+ZAEC=ZC+ZAOC,ZC=45°,ZA=30°,

.,.30°+m°=45°+AAOC,

：.ZAOC=(m-15)°,

故選：B.

9.(3分)如圖，在aABC中，分別以點A和點3為圓心，以相同的長(大于iAB)為半徑作弧，兩弧相交于點M

2

和點N,作直線MN交AB于點。，交AC于點E,連接CD.已知△€1￡>￡的面積比△CCB的面積小5,則△?!￡)￡的

面積為()

A.5B.4C.3D.2

【解答】解：由尺規(guī)作圖可知，MN是線段AB的垂直平分線，

...點。是AB的中點，

:?SAADC=SABDC，

“：SABDC-S^CDE—5,

S&ADC-SACD￡-5,即AAD￡的面積為5,

故選：A.

10.（3分）如圖，AO是aABC的角平分線，DFLAB于點、F,且DE=DG,SAADG=24,SAAED=18,則△QEF的

面積為（）

【解答】解：過點。作OHLAC于”，

是△ABC的角平分線，DFVAB,DHYAC,

：.DH=DF,

在RtADEF和RtADG//中，

[DF=DH,

lDE=DG，

/.RtAD￡F^RtADG/7（HL）,

.?.△。曰5'的面積=^\。6"的面積，

設(shè)△￡>?的面積=ZkOGH的面積=S,

同理可證，RtAADF^RtAAD//,

，△4。尸的面積=△AOH的面積,

A24-S=18+S,

解得，5=3,

故選：B.

B

11.（3分）如圖,在△A8C中，NB=90°,C是80上一點，BC=10,N4QB=45°,ZACB=60°,則CD長

10A/3-10c.10-35/3D.10亞-10

【解答】解：：在△4BC中，/8=90°,/ACB=60°,

AZCAB=30°，

：.BC=^AC,

2

：.AC=2BC=20,

??AB'JAC?-BC2

"：ZADB=45Q,

：.ZDAB=45Q,

：.ZDAB=ZADB,

:.BD=AB=\O43,

:.CD=BD-BC=\QM-10,

故選：B.

12.（3分）如圖，在△ABC中，/4CB=90°,NBAC=2/B,AD平分N84C,交BC于點D,CELAD,DFA.

AB,垂足分別為E,F,則下列結(jié)論中：?ZDCE=ZB；②NACE=60°；③8C-4￡>=OF；④直線。尸垂直平分

線段A8,正確的有（）

c

D

月FB

A?1個B?2個C.3個D.4個

【解答】解：VZACB=90°,/BAC=2NB,

：.ZB=30°,ZBAC=60Q,

???AO平分N84C,

：.ZCAD=ZBAD=30°,

〈CELAD,

：.ZAEC=90°,

AZACE=90°-ZCAD=60°,故②正確；

VZACB=90°,

：.ZDCE=30°=NB,故①正確；

VZDAB=ZB=30°,

：.AD=BD,

\*DF±ABf

:.CD=DF,

：.BC-AD=DF,故③正確；

?:AD=BD,DF,LAB,

：.AF=BF,

：.直線DF垂直平分線段AB,故④正確.

故選：D.

二.填空題（共4小題，滿分16分，每小題4分）

13.（4分）如圖，在△A8C中，AB=AC,NA=60°,8E_L4c于E,延長BC到。，使。=CE,連接OE,若4

A3C的周長是24,BE=a,則△3DE的周長是3

A

/\E

BCD

【解答】解:?.?在△ABC中，AB=AC,ZA=60°,

.".△ABC是等邊三角形，

△48C的周長是24,

：.AB=AC=BC=S,

'：BELAC^E,

：.CE=^AC=4,/EBC=￡ABC=30°,

22

，8E=a=4?,

"：CD=CE,

：.ZD=ZCED,

ZACB是叢CDE的一個外角，

N￡>+/CE￡)=/ACB=60°

AZD=30°,

ZD=NEBC,

：.BE=DE=a=4g

.?.△BED周長是￡)E+BE+B￡>=a+a+(8+4)=2a+12=8b+12.

故答案為：8傷12.

14.(4分)已知：如圖，AB=CD,DELACE,BF_LAC于F,S.DE=BF,ZD=60°,則N4=30°.

【解答】解：在RtZiAB尸與RtZXCOE中，研二CD

BF=DEj

ARtA/lBF^RtACDE（HL）,

：.ZB=ZD

ZD=60°

/B=60°

ZA=90°-60°=30°

故答案為30°

15.（4分）命題“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”的逆命題是一邊上的中線等于這邊的一半的三角形

是直角三角形.它是真命題（填“真”或“假”）

【解答】解：命題“直角三角形斜邊上的中線是斜邊的一半”的逆命題是一邊上的中線等于這邊的一半的三角形是

直角三角形，為真命題，

故答案為：一邊上的中線等于這邊的一半的三角形是直角三角形；真.

16.（4分）如圖，在△ABC中，AB=13,AC=12,BC=5,按以下步驟作圖：

①以A為圓心，任意長為半徑作弧，分別交AB、AC于點/、N；②分別以點/、N為圓心，以大于工MN的長為

2

半徑作弧，兩弧相交于點E;③作射線AE：④以同樣的方法作射線2F,AE交2F于點0,連接0C,則0C=_2

由作圖可知：點。是△ABC是內(nèi)心，

：.O1=OG=OK,

：A8=13,AC^12,8C=5,

：.AB2=AC2+BC1,

AZACB=90°,

ZOGC=ZOKC=NGCK=90°,

四邊形OGCK是矩形，

'：OG=OK,

四邊形OGCK是正方形，

'：^AH-OI+--AC?OG+--BC'OK=—-AC-BC,

2222

；.0K=2,

；.0C=2后,

故答案為2M.

三.解答題（共10小題，滿分68分）

17.（5分）如圖，AO是等邊△力BC的中線，AE=AD,求NEOC的度數(shù).

【解答】解：是等邊△ABC的中線，

：.AD±BC,ZBAD=ZCAD=^ZBAC=^X60°=30°,

22

AZADC=90a,

'：AD=AE,

NADE=NAED=1&0°一/CAD=75。,

2

AZEDC=ZADC-ZADE=90°-75°=15°.

18.（6分）如圖，已知等腰△ABC中，AB=AC,ZA<90°,CO是△ABC的高，BE是△ABC的角平分線，CD與

BE交于點P.

（1）當(dāng)/4=44°時，求/BP。的度數(shù)；

（2）設(shè)NA=x°,NEPC=y°,請用含x的代數(shù)式表示y,并說明理由.

【解答】解：（1）'：AB=AC,NA=44°,

：.ZABC=ZACB=（180-44）04-2=68°,

'JCDX.AB,

：.NBDC=90°,

；BE平分乙ABC,

:.NABE=NCBE=34°,

AZBPD=90°-34°=56°；

(2)：/A=x°，

：.ZABC=(180-x)°+2=(90-A)°,

2

由(1)可得：ZABP=^ZABC=(45-三)°,ZBDC=90°,

24

AZEPC=y°=NBPD=90°-(45-三)°=(45+三)°,

44

即y與x的關(guān)系式為y=45+三.

4

19.(6分)如圖，在△ABC中，AB=AC,ZBAC=36°,B4平分/ABC交AC于點O,過點A作AE〃BC,交BD

的延長線于點E.

(1)求NAOB的度數(shù)；

(2)求證：是等腰三角形.

【解答】(1)解：'：AB^AC,/BAC=36°,

.?.N4BC=/C=2(180°-ZBAC)=72°,

2

平分NABC,

AZDBC=-^ZABC=36°,

2

AZADB=ZC+ZDBC=120+36°=108°；

(2)證明："AE//BC,

.?./EAC=/C=72°,

VZC=72°,NOBC=36°,

：.ZADE=ZCDB=180°-72°-36°=72°,

：.ZEAD=ZADE,

：.AE=DE,

.?.△AOE是等腰三角形.

D

BC

20.(6分)如圖，在△ABC中，AB=ACfM,N分別是A5,AC邊上的點，并且MN〃5C.

(1)ZiAMN是否是等腰三角形？說明理由；

(2)點P是MN上的一點，并且8尸平分NA8C,CP平分NAC8.

①求證：△3PM是等腰三角形；

②若△ABC的周長為mBC=b(a>2b),求△AMN的周長(用含m匕的式子表示).

【解答】(1)解：△AMN是是等腰三角形,

理由如下：

VAB=AC,

???ZABC=NAC8,

，：MN〃BC,

：.ZAMN=ZABC,ZANM=ZACB,

：.ZAMN=/ANM,

：.AM=AN,

???△AMN是等腰三角形；

(2)①證明：

平分NABC,

，NPBM=NPBC,

?：MN〃BC,

：.ZMPB=ZPBC

：./PBM=/MPB,

：.MB=MP,

.?.△BPM是等腰三角形；

②由①知MB=MP,

同理可得：NC=NP,

：./\AMN的周長=AM+MP+NP+AN=AM+MB+NC+AN=A8+AC,

「△ABC的周長為a,BC=b,

AB+AC+b=a,

.'.AB+AC=a-b

△AMN的周長=a-b.

21.(6分)如圖，在等邊三角形ABC中，點。為BC邊上一點，DE//AB,過。作。￡LOE交48于點凡且/

EFD=60°,CN平分NACB,CN分別交DE、EF于M、N兩點.

(1)求證：ZkCEN絲△EQF；

(2)求證：點N為線段EF中點.

【解答】證明：（1）;△ABC是等邊三角形,

：.ZA=ZB=ZACB=60°,

".'DE//AB,

.?./￡>EC=/A=60°,NEDC=NB=60°,

：./\DEC是等邊三角形，

：.EC=ED=CD,

：CN平分NACB,

：.ZECN=ZDCN=30°,

"：EF±AC,

:.NFED=NECN=30°,

在△￡■￡）廠和△CEN中，

"ZFED=ZECN

<ED=EC，

ZEDF=ZNEC=90°

：.2EDF也叢CEN(AS4)；

(2)'：^EDF^/XCEN,

：.EN=DF,

VZFED=30°,NEDF=9Q°,

：.EF=2DF,

：.EF=2EN,

...點N為線段EF中點.

22.(7分)如圖，△ABC中，AB的垂直平分線分別交AB,8c于點O,E,AC的垂直平分線分別交AC,8C于點

F,G,連接AE,AG.

(1)若aAEG的周長為10,求線段8C的長；

(2)若/BAC=104°,求NEAG的度數(shù).

【解答】解：(1)垂直平分A3,G/垂直平分4C,

：.EA=EB,GA=GC,

「△AEG的周長為10,

：.AE+EG+AG=W,

:.BC=BE+EG+GC=AE+EG+GC=10；

(2)；NB4C=104°,

AZB+ZC=180°-104°=76°,

,:EA=EB,GA=GC,

：.4EAB=4B,/GAC=/C,

/.ZEAB+ZGAC^ZB+ZC=76°,

.\ZEAG=ZBAC-(ZEAB+ZGAC)=104°-76°=28°.

23.(7分)如圖，△ABC中，ZACB=90°,AQ平分NBAC,DELABE.

(1)若N￡>EC=25°,求的度數(shù)；

(2)求證：直線AQ是線段CE的垂直平分線.

【解答】解：（1）,.?/ACB=90°,A。平分/BAC,DE1.AB,

：.DE=DC,

：.ZDEC=ZDCE=25°,

ZBDE=50°,

又；DELAB,

中，ZB=90°-NBDE=90°-50°=40°；

(2)'.,DEA.AB,

：.ZAED=900-ZACB,

又,：DE=DC,AD=AD,

：.^\AED^/\ACD(HL),

??AE—AC>

.?.點D在CE的垂直平分線上，點A在CE的垂直平分線上,

直線AD是線段CE的垂直平分線.

24.(8分)教材呈現(xiàn)：如圖是華師版八年級上冊數(shù)學(xué)教材第96頁的部分內(nèi)

3.角平分線

回憶

我們已經(jīng)知道角是軸對稱圖形，角平分線所在的直線是角

的對稱軸，如圖1354,OC是乙的平分線，P是0c上任一

點，作PZ）1CU,PE1O5垂足分別為點。和點E,將乙4。3沿OC

對折，我們發(fā)現(xiàn)PD與PE完全重合。由此即有：

角平分線的性質(zhì)定理角平分線上的點到角兩邊的距離

相等?

已知：如圖1354,OC是乙408的平分線，點尸是OC上任一

點，作PZ>1Q4,PE1O5,垂足分別為點普和點E。

求證：PD=PE

（至⑥）圖中有兩個直角三角形PD。和PE。只要證明這兩個

三角形全等，便可證得尸。=PE。

96第13童全等三角形

容.

定理證明：請根據(jù)教材中的分析，結(jié)合圖①，寫出“角平分線的性質(zhì)定理”完整的證明過程.

定理應(yīng)用：

如圖②，△ABC的周長是12,80、C。分別平分NABC和NACB,0DLBC于■點、D,若。0=3,則△ABC的面積

為18.

【解答］定理證明：；0C是NA0B的角平分線,

二ZAOP=/BOP,

'JPDLOA,PELOB,

：.PE=PD,

在△(?￡：「和△OOP中,

rZBOC=ZAOC

ZPEO=ZPDO>