祖沖之與圓周率

祖沖之與圓周率祖沖之〔公元429-500年〕是我國南北朝時期，河北省淶源縣人．他從小就閱讀了許多天文、數(shù)學(xué)方面的書籍，勤奮好學(xué)，刻苦實踐，終于使他成為我國古代杰出的數(shù)學(xué)家、天文學(xué)家．祖沖之在數(shù)學(xué)上的杰出成就，是關(guān)于圓周率的計算．秦漢以前，人們以"徑一周三"做為圓周率，這就是"古率"．后來發(fā)現(xiàn)古率誤差太大，圓周率應(yīng)是"圓徑一而周三有余"，不過究竟余多少，意見不一．直到三國時期，劉徽提出了計算圓周率的科學(xué)方法--"割圓術(shù)"，用圓內(nèi)接正多邊形的周長來逼近圓周長．劉徽計算到圓內(nèi)接96邊形，求得π=3.14，并指出，內(nèi)接正多邊形的邊數(shù)越多，所求得的π值越精確．祖沖之在前人成就的根底上，經(jīng)過刻苦鉆研，反復(fù)演算，求出π在3.1415926與3.1415927之間．并得出了π分?jǐn)?shù)形式的近似值，取為約率，取為密率，其中取六位小數(shù)是3.141929，它是分子分母在1000以內(nèi)最接近π值的分?jǐn)?shù)．祖沖之究竟用什么方法得出這一結(jié)果，現(xiàn)在無從考查．假設(shè)設(shè)想他按劉徽的"割圓術(shù)"方法去求的話，就要計算到圓內(nèi)接16，384邊形，這需要化費多少時間和付出多么巨大的勞動??！由此可見他在治學(xué)上的頑強毅力和聰敏才智是令人欽佩的．祖沖之的對圓周率的巨大奉獻(xiàn)那圓周率又是怎樣的呢？2024年1月7日數(shù)學(xué)簡史7圓周率的開展圓周率圓周率，一般以π來表示，是一個在數(shù)學(xué)及物理學(xué)普遍存在的數(shù)學(xué)常數(shù)。它定義為圓形之周長與直徑之比。它也等于圓形之面積與半徑平方之比。是精確計算圓周長、圓面積、球體積等幾何形狀的關(guān)鍵。分析學(xué)上，π可定義為是最小的x>0使得sin(x)=0。2024年1月7日數(shù)學(xué)簡史9常用的π近以值包括疏率:22/7及密率:355/113。這兩項均由祖沖之給出。π約等于〔精確到小數(shù)點后第100位〕3.14159265358979323846264338327950288419716939937510582097494459230781640628620899862803482534211706802024年1月7日數(shù)學(xué)簡史10古希臘歐幾里得的《幾何原本》〔約公元前3世紀(jì)初〕中提到圓周率是常數(shù)，中國古算書《周髀算經(jīng)》〔約公元前2世紀(jì)〕中有「徑一而周三」的記載，也認(rèn)為圓周率是常數(shù)。歷史上曾采用過圓周率的多種近似值，早期大都是通過實驗而得到的結(jié)果，如古埃及紙草書〔約公元前1700〕中取π=〔4/3〕^4≒3.1604。2024年1月7日數(shù)學(xué)簡史11第一個用科學(xué)方法尋求圓周率數(shù)值的人是阿基米德，他在《圓的度量》〔公元前3世紀(jì)〕中用圓內(nèi)接和外切正多邊形的周長確定圓周長的上下界，從正六邊形開始，逐次加倍計算到正96邊形，得到(3+(10/71))<π<(3+(1/7))，開創(chuàng)了圓周率計算的幾何方法〔亦稱古典方法，或阿基米德方法〕，得出精確到小數(shù)點后兩位的π值。2024年1月7日數(shù)學(xué)簡史12中國數(shù)學(xué)家劉徽在注釋《九章算術(shù)》時〔公元263年〕只用圓內(nèi)接正多邊形就求得π的近似值，也得出精確到兩位小數(shù)的π值，他的方法被后人稱為割圓術(shù)，其中有求極限的思想。2024年1月7日數(shù)學(xué)簡史13南北朝時代的數(shù)學(xué)家祖沖之利用割圓術(shù)進(jìn)一步得出精確到小數(shù)點后7位的π值〔公元466年〕，給出缺乏近似值3.1415926和過剩近似值3.1415927，還得到兩個近似分?jǐn)?shù)值，密率355/113和約率22/7，這一紀(jì)錄在世界上保持了一千年之久。為紀(jì)念祖沖之對中國圓周率開展的奉獻(xiàn)，將這一推算值用他的名字被命名為“祖沖之圓周率〞，簡稱“祖率〞。2024年1月7日數(shù)學(xué)簡史14其中的密率在西方直到1573才由德國人奧托得到，1625年發(fā)表于荷蘭工程師安托尼斯的著作中，歐洲稱之為安托尼斯率。阿拉伯?dāng)?shù)學(xué)家卡西在15世紀(jì)初求得圓周率17位精確小數(shù)值，打破祖沖之保持近千年的紀(jì)錄。德國數(shù)學(xué)家柯倫于1596年將π值算到20位小數(shù)值，后投入畢生精力，于1610年算到小數(shù)后35位數(shù)，該數(shù)值被用他的名字稱為魯?shù)婪驍?shù)。2024年1月7日數(shù)學(xué)簡史15除π的數(shù)值計算外，它的性質(zhì)探討也吸引了眾多數(shù)學(xué)家。1761年瑞士數(shù)學(xué)家蘭伯特第一個證明π是無理數(shù)。1794年法國數(shù)學(xué)家勒讓德又證明了π2也是無理數(shù)。到1882年德國數(shù)學(xué)家林德曼首次證明了π是超越數(shù)，由此否認(rèn)了困惑人們兩千多年的「化圓為方」尺規(guī)作圖問題。還有人對π的特征及與其它數(shù)字的聯(lián)系進(jìn)行研究。如1929年蘇聯(lián)數(shù)學(xué)家格爾豐德證明了eπ是超越數(shù)等等。2024年1月7日數(shù)學(xué)簡史16在歷史上,有不少數(shù)學(xué)家都對圓周率作出過研究,當(dāng)中著名的有阿基米德、托勒密、張衡、祖沖之等。他們在自己的國家用各自的方法,辛辛苦苦地去計算圓周率的值。下面,就是世上各個地方對圓周率的研究成果。2024年1月7日數(shù)學(xué)簡史17研究圓周率歷史的幾個階段接2024年1月7日數(shù)學(xué)簡史18起【起】即為圓周率的起源，那究竟是誰先發(fā)現(xiàn)它？古巴比倫人從計算周界發(fā)現(xiàn)：一塊出土于1936年的黏土塊上記載，在古巴比倫時期(約公元前1900-1600年)，巴比倫人相信六邊形的周界為0;57,36(以底數(shù)60計，亦即=96/100=24/25)乘以它的外接圓的周界：六邊形周界=24/25′其外接圓周界=24/25′π′直徑由此，得出相信是最古老的圓周率的近似值：π〔巴比倫〕=25/8=3.1252024年1月7日數(shù)學(xué)簡史19承【承】是承繼安提豐和布賴森的「窮舉法」而開展的一個時期：以「多邊形」找尋圓周率的值2024年1月7日數(shù)學(xué)簡史20古希臘西那庫斯的阿基米德〔ArchimedesofSyracuse，公元前287-212年〕，是第一個有系統(tǒng)地找出圓周率的近似值和圓周率的上下限的數(shù)學(xué)家。他采用了安提豐和布賴森的「窮舉法」，但他的研究重點那么在多邊形的周界。阿基米德在《圓的度量》〔TheMeasurementoftheCircle〕中，提出三個有關(guān)圓的定理。即：3.14084...<π<3.14285...2024年1月7日數(shù)學(xué)簡史21劉徽是獨立開創(chuàng)以多邊形面積迫近圓面積的窮舉法－「割圓術(shù)」來找出圓周率的值的。最后，劉徽更求得正3072邊形的面積，從而得出：

π=3927/1250=3.1416

即π的值準(zhǔn)確至小數(shù)后三個位，后人稱為「徽率」。2024年1月7日數(shù)學(xué)簡史22祖沖之運用了劉徽的「割圓術(shù)」及他無比的耐性與堅持〔當(dāng)時并沒有算盤等計算工具，只能靠小竹子幫助計算，但他實質(zhì)的計算方法那么無從確定〕，算到:3.1415926<π<3.1415927他還發(fā)現(xiàn)了「約率」：祖沖之更取π=22/7〔=3.14...〕作為「約率」「密率」：π=355/113〔=3.1415929〕作為「密率」，以表示圓周率的近似值?！缸媛省梗菏菆A周率的值準(zhǔn)確至小數(shù)后7個位，后稱3.1415926。2024年1月7日數(shù)學(xué)簡史23轉(zhuǎn)【轉(zhuǎn)】是尋求圓周率的一個轉(zhuǎn)折點。圓周率的計算有了新的突破－以解析表達(dá)式表示及求出圓周率的值。2024年1月7日數(shù)學(xué)簡史24接「接」是緊接著以上發(fā)現(xiàn)的很多計算圓周率值的公式所延伸的一個時期：隨著科技的突飛猛進(jìn)，計算機的創(chuàng)造，令圓周率的計算速度有了新的突破。2024年1月7日數(shù)學(xué)簡史25圓周率的研究方法古人計算圓周率，一般是用割圓法。即用圓的內(nèi)接或外切正多邊形來逼近圓的周長。Archimedes用正96邊形得到圓周率小數(shù)點后3位的精度；劉徽用正3072邊形得到5位精度；LudolphVanCeulen用正262邊形得到了35位精度。這種基于幾何的算法計算量大，速度慢，吃力不討好。隨著數(shù)學(xué)的開展，數(shù)學(xué)家們在進(jìn)行數(shù)學(xué)研究時有意無意地發(fā)現(xiàn)了許多計算圓周率的公式。下面挑選一些經(jīng)典的常用公式加以介紹。除了這些經(jīng)典公式外，還有很多其它公式和由這些經(jīng)典公式衍生出來的公式，就不一一列舉了。2024年1月7日數(shù)學(xué)簡史261、Machin公式：

這個公式由英國天文學(xué)教授JohnMachin于1706年發(fā)現(xiàn)。他利用這個公式計算到了100位的圓周率。Machin公式每計算一項可以得到1.4位的十進(jìn)制精度。因為它的計算過程中被乘數(shù)和被除數(shù)都不大于長整數(shù)，所以可以很容易地在計算機上編程實現(xiàn)。2024年1月7日數(shù)學(xué)簡史272、Ramanujan公式：

1914年，印度數(shù)學(xué)家SrinivasaRamanujan在他的論文里發(fā)表了一系列共14條圓周率的計算公式，這是其中之一。這個公式每計算一項可以得到8位的十進(jìn)制精度。1985年Gosper用這個公式計算到了圓周率的17,500,000位。2024年1月7日數(shù)學(xué)簡史283、AGM(Arithmetic-GeometricMean)算法：Gauss-Legendre公式：初值：重復(fù)計算：最后計算：2024年1月7日數(shù)學(xué)簡史294、Borwein四次迭代式：初值：重復(fù)計算：

最后計算：這個公式由JonathanBorwein和PeterBorwein于1985年發(fā)表，它四次收斂于圓周率。2024年1月7日數(shù)學(xué)簡史305、Bailey-Borwein-Plouffe算法：

這個公式簡稱BBP公式，由DavidBailey,PeterBorwein和SimonPlouffe于1995年共同發(fā)表。它打破了傳統(tǒng)的圓周率的算法，可以計算圓周率的任意第n位，而不用計算前面的n-1位。這為圓周率的分布式計算提供了可行性。1997年，F(xiàn)abriceBellard找到了一個比BBP快40％的公式：

2024年1月7日數(shù)學(xué)簡史31圓周率的新紀(jì)錄圓周率的最新計算紀(jì)錄由兩位日本人DaisukeTakahashi和YasumasaKanada所創(chuàng)造。他們在日本東京大學(xué)的IT中心，以Gauss-Legendre算法編寫程序，利用一臺每秒可執(zhí)行一萬億次浮點運算的超級計算機，從日本時間1999年9月18日19:00:52起，計算了37小時21分04秒，得到了圓周率的206,158,430,208(3*236)位十進(jìn)制精度，之后和他們于1999年6月27日以Borwein四次迭代式計算了46小時得到的結(jié)果相比，發(fā)現(xiàn)最后45位小數(shù)有差異，因此他們?nèi)⌒?shù)點