材料表面與界面三章

第三章第三章晶間界面的結(jié)構(gòu)與模3.1.緒論晶間界面是這些相同或不同結(jié)構(gòu)晶體的連接處。廣義的晶間界面還包含晶體材（（例如導(dǎo)電性電化學(xué)性能（如抗腐蝕或抗應(yīng)力腐蝕性（如強度，塑性和斷中界面的產(chǎn)生和遷移而形成的，因此關(guān)于界面的深入認(rèn)識對科學(xué)理解組織演化和科學(xué)調(diào)控材料組織是十分重要的。總之，界面的知識是從科學(xué)上優(yōu)化材料設(shè)（反映兩側(cè)晶體的結(jié)構(gòu)是如何過渡的（包括界面附近相對于晶內(nèi)的成分偏聚和界面不同區(qū)域的原子分布不均勻（體系由于界面的存在所發(fā)生的能量改變（特別是微觀的原子或電子遷移性質(zhì)和相關(guān)的物理、化學(xué)性質(zhì)些不同方面的知識是彼此相關(guān)的，比如界面附近的成分分布會隨界面結(jié)構(gòu)的改變而改變，界面成分的改變也會引起不同界面的結(jié)構(gòu)的出現(xiàn)。界面能量是理解這些關(guān)系的基礎(chǔ)，許多材料中的實際界面結(jié)構(gòu)主要受界面能局域最小支配。第二章中已經(jīng)介紹了界面結(jié)構(gòu)與能量的基本關(guān)系。定量聯(lián)系界面不同方面知識的深入理論尚在不斷發(fā)展。對實際應(yīng)用的材料來說，計算和測試晶間界面成分、界面能和界面性質(zhì)仍是十分有挑戰(zhàn)性的任務(wù)。同表面物理和化學(xué)相比，晶間界面的物理和化學(xué)要復(fù)雜得多，因此理論也更不成熟。相對來說，界面結(jié)構(gòu)的定量研究卻比較容易：前人已經(jīng)積累了豐富的實驗數(shù)據(jù)，并建立和驗證了一些理論模型。正如材料的性能取決于材料組織一樣，界面的性能也取決于界面的結(jié)構(gòu)。合理的界面結(jié)構(gòu)描述有助于解釋不同界面的成分、能量和性質(zhì)的差異，因結(jié)構(gòu)的O點陣模型，以及描述規(guī)則共格界面的重位點陣模型與結(jié)構(gòu)單元模型。[1-3[4,5。Sutton和luiInterfacesincrystallineaterials”6，HoweInterfacesinmaterials7]以及Bollmann著的“Crystaldefectsandcrystallineinterfacesytlttices,rfs,ms,9集（例[10]）或會議論文集（例定期召開的heInternationalConferenceonIntegranuarandIntrphaseoundariesinMaterials(iib)前沿的豐富結(jié)果。此外，在一些材料科學(xué)或固態(tài)物理涉及領(lǐng)域更廣的學(xué)術(shù)著作中也包含了有關(guān)界面知識的章節(jié)，例如Christian著的“heTheoryofransformationinMetalsandAlloyPolycrystallineAggregates[1]和PondDislocationsinsolidsineDefectsinInterfaces[12界面結(jié)構(gòu)有相當(dāng)深入的描述。中文參考書中除了與書名直接包含界面的書籍[1317]之外，也有不少相關(guān)專題的學(xué)術(shù)著作中包含了較深入描述界面結(jié)構(gòu)的章[18[19]，熊家炯[20]主編的《材料設(shè)計》中第五章黃孝瑛撰寫的“材料科學(xué)中的界新的研究進展，較為系統(tǒng)地介紹界面結(jié)構(gòu)的相關(guān)知識O點陣?yán)碚摚ǘ灰云渌鼤谐Ｓ玫腇ranck-Bilby理論）為框架來分析界面位錯，有些內(nèi)容會在一3.2.界面的類晶間界面的結(jié)構(gòu)類型與許多因素有關(guān)，合理劃分界面類型有助于正確理解界面結(jié)構(gòu)和界面性質(zhì)。界面類型的劃分方法有許多種，下面主要介紹多數(shù)人習(xí)慣按照兩側(cè)的材料類型劃分陶瓷相之間的界半導(dǎo)體相之間的界根據(jù)兩側(cè)晶體的差異劃分異相(Heterophase)界面，又稱相界：不同相之異相(Heterophase)界面，又稱相界：不同相之間的界同相(Homophase)界面：相同相之間的界小角度晶界(Small-AngleGrainBoundaries)扭轉(zhuǎn)晶界（TwistGrainBoundaries傾轉(zhuǎn)晶界（TiltGrainBoundaries，也有譯為傾斜，傾側(cè)轉(zhuǎn)軸位對稱傾轉(zhuǎn)(Symmetrical-Tilt)晶界：晶界為晶體的等價晶稱非對稱傾轉(zhuǎn)(Asymmetrical-Tilt)晶界：晶界不是等價晶Boundaries)堆垛層反相疇反演疇(Stacking(InversionDomainBoundaries)按兩側(cè)晶體的尺寸分類體內(nèi)界面(BulkInterfaces)：界面兩側(cè)晶體尺寸皆相當(dāng)大，即體材料內(nèi)界半體界面(Semi-BulkInterfaces)：界面一側(cè)晶體尺寸相當(dāng)大另一側(cè)晶基體的界面，又稱外延界面（ExpitaxialInterfaces。當(dāng)然還包括其薄膜間界面(ThinFilmInterfaces)：界面兩側(cè)晶體尺寸皆很小，這也包的特殊性，強調(diào)了表面松弛和表面張力對表面附近薄膜結(jié)構(gòu)的重要影響，例如納米晶(Nanocrystal)材料的內(nèi)界面,會更接近薄膜間界面而不是體內(nèi)界按界面的銳度劃Sutton和Balluffi[6]以界面結(jié)構(gòu)特征將界面分緩(Diffuse)界指界面兩側(cè)晶體結(jié)構(gòu)及其它特征的過渡區(qū)域相當(dāng)寬的界面（特別是當(dāng)晶體結(jié)構(gòu)基本不改變，只有其它特征變化的情況，例有序特征或磁性。結(jié)構(gòu)上緩界面往往出現(xiàn)在化學(xué)或機械不穩(wěn)定的材料系統(tǒng)，例在溶解度間（化學(xué)不穩(wěn)定能相差不大。調(diào)幅分解（SpinodalDecoposition）所得的兩相結(jié)構(gòu)本身互相接近，兩相之間的緩界面結(jié)構(gòu)呈現(xiàn)了兩相中原子分布（濃度或排列）和結(jié)構(gòu)（晶體常數(shù)）的逐漸過渡?？赡艽嬖诘慕缑嫒毕菀卜植荚谝?。也就是出現(xiàn)一定厚度的非晶態(tài)層。這主要在不同原子間的鍵差異大、方向[23-會發(fā)生相反應(yīng)，生成新相。這種情況往往出現(xiàn)在復(fù)合材料中，兩個接觸銳(Sharp)界限制在很?。?～2原子尺度）的區(qū)域，盡管界面松弛、界面缺陷、界面按界面的奇異性劃 與Balluffi[6]，在按SuttonBalluffi[6]按界面結(jié)構(gòu)的共格程度劃Christian[11]建議將相界面分共格界面（Coherent又稱全共格Fully其特征是兩側(cè)晶格的面在界面上是1a半共格(Semicoherent)界的局部區(qū)域維持（3.1b。這些共格區(qū)域由失配位錯(Misfit非共格(Incohernt)界關(guān)于共格和半共格的定義是比較清晰DD圖界面結(jié)構(gòu)按共格程度分類)))格相界[24]常定義的上述三類區(qū)分方法不能涵蓋點陣錯配較大時出現(xiàn)的奇異界面。該界(S常定義的上述三類區(qū)分方法不能涵蓋點陣錯配較大時出現(xiàn)的奇異界面。該界(SL=CoincidenceeLattice)（342.節(jié)會重點介紹這種界面結(jié)構(gòu)。近年來這類界面與界面性能和材料織構(gòu)形成的緊密關(guān)系受到許多學(xué)者的關(guān)注，有人 coherent）界錯又稱一次位錯（primarydislocations[9]；半規(guī)則共格界面上位錯不能被至少一個晶體的柏氏矢量表示,這些位錯又稱二次位錯（secondarydislocations）[9]。圖3.1d是一個具有臺階結(jié)構(gòu)的規(guī)則半共格界面的示意些共格原子之間仍然存在其它原子的斷鍵或失配圖中格子為DSC點陣，關(guān)于這個點陣將在3.4.2.節(jié)介紹。后面給出的圖3.2b中也是規(guī)則共格界界面結(jié)構(gòu)的共格程度是區(qū)別界面特征的重要依據(jù)。雖然晶界一般名義上是按位向差分類，但是實質(zhì)上是根據(jù)其結(jié)構(gòu)的共格程度來區(qū)分。比如：小角格的，甚至是共格的（即共格孿晶界，特殊大角度附近的鄰位晶界往往是按界面結(jié)構(gòu)是否有公度劃分這種界面分類是按照界面兩側(cè)的晶格是否有公度(Commensurate)分有公度(Commensurate)界面無公度(Incommensurate)界面該方法可能是表面結(jié)構(gòu)描述的開拓當(dāng)表面層只有一層或幾層原子厚時，表面結(jié)構(gòu)與基底結(jié)構(gòu)往往存在有公度(Commensurate)的關(guān)系，例如表結(jié)構(gòu)的命名法就是建立在這個基礎(chǔ)上的[16]。因此，這種命名往度界面包括全規(guī)則共格界面，全共格界面，以及一些特殊半共格界面，這些晶面上位錯的周期性可以用兩側(cè)晶格的超晶格表示。而無公度界面則包括一度界面包括全規(guī)則共格界面，全共格界面，以及一些特殊半共格界面，這些晶面上位錯的周期性可以用兩側(cè)晶格的超晶格表示。而無公度界面則包括一宏觀幾何的兩個晶體之間位向關(guān)系（orientationrelationship,這里沿用徐祖耀[25]，misorientation；2）（orientation3生。人們注意到平移矢量中界面法線方向的分量是分析界面過剩自由體積（ExcesFrelume）及界面能量的重要參數(shù)[22]。對于有錯配的系統(tǒng)，界面上原子之間的相對平移是處處不同的，難以用一個參數(shù)作為界面平移特征描述。理論上，兩側(cè)晶體的相對（剛性）平移可以改變位錯的具體位置，但并不改變總體界面位錯狀態(tài)。而人們主要關(guān)心界面的整體位錯的組態(tài)，并不是位錯在一個固定坐標(biāo)系中的位置。在真實界面上，原子層次的各處原子的位置是由系統(tǒng)或局域能量的狀態(tài)決定，界面的微觀幾何實際上不能由人為調(diào)整，而宏觀幾何才是可變參數(shù)。給定材料系統(tǒng)和環(huán)境，界面宏觀幾何和界面結(jié)構(gòu)基本是一量又稱自由度(DegreesofFreedom,DOFs)。描述界面微觀幾何的參數(shù)約束了界有關(guān)晶界宏觀幾何的描述方法較多[5,22]，而不同的方法往往具有特定的面，否則稱無理界面（12代表）（n1,n2）以及面內(nèi)的轉(zhuǎn)角描述，可以表示為{DOFs}n1,n2,界面的面模式（InterfacePlaneScheme）[22]。這正好滿足界面宏觀幾何的五個自由度各包含二個自由度，轉(zhuǎn)角為另一個自由度。如數(shù)晶體矢量，角可以根據(jù)這一對矢量的夾角計算。例如孿晶界的n1與n2相}的軸角對表達法(angle–axispairdescription)直觀地描述位向差的轉(zhuǎn)面取向的矢ni也有兩個自由度，所以總共宏觀幾何有五個自由度。上述轉(zhuǎn)向關(guān)系確定了，n1和n2中一個可以通過另一個計算出來。小角度晶界的n1,n2大范圍改變時，界面性質(zhì)變化較小，因此在應(yīng)用上人們對小角度晶n1n2這時{DOFs}可以表示為{r, n1},又稱重位點陣位向差模式示，因此產(chǎn)生有限數(shù)量的晶體學(xué)等價位向關(guān)系的多重描述。對于晶界，人們往往從所有等價位向關(guān)系中選取最小轉(zhuǎn)角代表位向差（以disorientation專指最小轉(zhuǎn)角描述[9]。例如，一個立方系晶界的位向差{r=100],}等價于{r=[100],}，人們很自然選擇前者標(biāo)識位向差。因此，fcc孿晶界常以{r//<111>,60o}表示，雖然也可以用{r//<111>,180o}析特殊大角度晶界時，最小轉(zhuǎn)角可能不是晶體學(xué)最直觀的表示，例如，立方10>，90 >，～62.8}，該角度是立方系的最大轉(zhuǎn)角[26]位向關(guān)系的表示方法還與測試手段有關(guān)。電子背散射衍射（EBS）方法及相[27位向關(guān)系的表示方法還與測試手段有關(guān)。電子背散射衍射（EBS）方法及相[27EBSD方法獲得的原始數(shù)據(jù)一般是在一個參考坐標(biāo)系來表征的晶體位向，而不是位向差。參考坐標(biāo)系通常是樣品或樣品臺的特征方向，常用樣品變形特征的幾何(D：rollingdiectionDtransversedirectionND:normaldirection)，RD,TD,NDEBSDulerangles,ND（為與RD與ND,ND與RDD轉(zhuǎn)動與DNDD,29]。方法，另一個是運用羅德里格斯矢量（Rodriguesvector）描述轉(zhuǎn)動的方法，下面我們先介紹位向關(guān)系矩陣方法。位向關(guān)系矩陣M建立不同點陣（和，設(shè)為立方系）中互相平行的單位矢量（uu）之間的聯(lián)系，即uMu。位位向關(guān)系，即點陣正交基矢之間的轉(zhuǎn)動。根據(jù)線性代數(shù)的知識可知，如果和所以它具有轉(zhuǎn)動矩陣的性質(zhì)，M-1=M，即上述基之間的變換可以理解為從點參考坐標(biāo)，也就是說ai形式。那么經(jīng)轉(zhuǎn)動后點陣基矢方向在點陣坐標(biāo)系下的表示就是M的三個列向量或者說點陣基矢與在點陣坐標(biāo)系下M個基矢的矢量形成單位矩陣U，與它們平行的點陣中的三個矢量可以從下式求得：U=M-1UM,它們正好是M的三個行向量。同理可得，M矩陣的取向的測量數(shù)據(jù)都可以用來計算位向關(guān)系矩陣張明星及Kelly[30]利用透射-些平行單位矢量可以求出位向關(guān)系矩陣（M=UU，這里U矩陣含測試的rR=tg(/2)，其中r1840（[26的表達式，F(xiàn)rank26]特別提倡采用羅德里格斯矢量，因為這個矢量具有下面要介紹的巧性質(zhì)。近年來這個矢量在表述位向關(guān)系上的應(yīng)用逐步受到重視[3133]，因此下面這里稍為詳細地介紹其特點。該方法的一個重要特點是疊加轉(zhuǎn)動的直線性。也就是說，在一個坐標(biāo)系下，如果一組羅德里格斯矢量終點在一條直線上，通過轉(zhuǎn)動改變參照系之后這些的矢量的終點仍然在一條線上。同理，原坐標(biāo)系下矢量決定的面，轉(zhuǎn)動后仍然是面。這個特殊性質(zhì)是其它方式矢量表示的轉(zhuǎn)動所不具備的。由于許多晶體具有轉(zhuǎn)動對稱性，對于同相晶體的每個位向關(guān)系可以用不同的羅德里格斯矢量來等價表示。Frank[26]分析了由于對稱性所形成的羅德里格斯矢量的重復(fù)區(qū)域，剔除等價的大矢量，選擇接近原點（即轉(zhuǎn)角小的轉(zhuǎn)動fundamentalzoneoftheRmap矢量定義的基礎(chǔ)區(qū)被稱為RodrguesFran（R-F空間[31-33]的基礎(chǔ)區(qū)為多邊形，如果根據(jù)晶體的旋轉(zhuǎn)對稱軸選擇參照坐標(biāo)系，則基礎(chǔ)區(qū)形狀的對稱軸與晶體的旋轉(zhuǎn)軸相關(guān)，但對稱元素未必相等。比如對于正交系晶2He與Jonas[33uaegroups）能夠封閉的R-F空間基礎(chǔ)區(qū)的規(guī)則多邊形示意圖。andle[31應(yīng)用R-F空間分析奧氏體鋼中奧氏體晶粒之間的位向差數(shù)據(jù)，她根據(jù)立方晶體的對稱性48忽視了轉(zhuǎn)軸的晶體指數(shù)的符號和順序。不少能夠形成重位點陣關(guān)系的位向差是繞著晶體的低指數(shù)軸以不同轉(zhuǎn)角形成，在R-F空間中同一轉(zhuǎn)軸轉(zhuǎn)動的結(jié)果都落在一根直線上，因此使具有重位點陣的位向關(guān)系易于辨認(rèn)。而且，滿足重位點陣的位向差以羅德里格斯矢量描述時形式為整數(shù)比，比以轉(zhuǎn)角表示更能反映角度的特殊性（見表33。此外，小角度晶界也容易分辨，因為它們定義短羅德里格斯矢量，這些矢量自然集中在原點附近。如果選擇一對正交（或立方）的晶體（對稱）軸平行為0度，R-F（例fcc向bcc[32,33R-F是三維的，以二維圖示時必須采用投影或截面3133]，因此不如在極圖中表示位向關(guān)系的方法簡便。-F空間主要方便辨認(rèn)有規(guī)律的位向關(guān)系特征，但不太坐標(biāo)系中表示。該方法的特點是新相與母相晶體的位向關(guān)系一目了然。平行關(guān)系有用晶面或者晶向指數(shù)的。例如滲碳體（C）(A)之間的Pitsch位向4坐標(biāo)系中表示。該方法的特點是新相與母相晶體的位向關(guān)系一目了然。平行關(guān)系有用晶面或者晶向指數(shù)的。例如滲碳體（C）(A)之間的Pitsch位向4：(100)C//(5–5(010)C//(11(001)C//(–225)A和Thompson- 位向關(guān)系[35][100]C//[11[010]C//[1–1[001]C//[44–1]A描述位向關(guān)系的另一種常見方法，是根據(jù)位向關(guān)系的低指數(shù)晶面或晶向平行的特征。比如一對有理晶面平行和一（或二）對有理晶向平行，最好是用平行（的一對晶面{n,n}表示,而不一定采用晶胞的基矢。常用的組合是，在平行的g和g面中存在平行的b和bgb//b現(xiàn)或提出者命名。比如金屬材料常見的fcc(面心立方)/bcc(體心立方)系統(tǒng)的K-S[36]和N-W位向關(guān)系[37]就是根據(jù)馬氏體相變機制研究提出的兩種位向關(guān)系。表3.1列出上述兩種常用位向關(guān)系和簡單bcc/hcp(密排六方)系統(tǒng)中常見的的Burgers位向關(guān)系[38]（其中下f，b，h分別代表fcc,bcc,hcp。表3.1.簡單金屬相之間常用位向關(guān)能夠用低指數(shù)方向或面平行定義的位向關(guān)系也稱有理(rational)位向關(guān)系，與之相對應(yīng)的無理(irrational)位向關(guān)系的特點是位向關(guān)系不能全部由低指數(shù)方向或面平行來定義。隨著測試精度的提高，有些早期被認(rèn)為有理位向關(guān)系的相變系統(tǒng)，被重新測定為無理位向關(guān)系。如果有一個有理方向或面仍然平行，而另一組有偏差，則實際位向關(guān)系仍可以通過這兩組平行關(guān)系作為起始點采用軸角{，}法來表達。即平行方向（或平行面的法線）定義了旋轉(zhuǎn)軸，另一組相{111}f//{11{111}f//{11(001)h//{11<01-1>f//<-11<-110>f//<00<11-20>h//<-11偏轉(zhuǎn)角，例如馬氏體表象理論習(xí)慣用偏轉(zhuǎn)角描述位向關(guān)系偏轉(zhuǎn)角，例如馬氏體表象理論習(xí)慣用偏轉(zhuǎn)角描述位向關(guān)系]。這種方法方便理論和實驗結(jié)果對照，同時便于理解其物理意義，不過由于往往缺少對轉(zhuǎn)軸的限定，描述不夠準(zhǔn)確。此外，也可以保持其中一相的晶體指數(shù)，另一相的指數(shù)gbvir上述關(guān)系中下標(biāo)“ir”表示無理位向。這種方法既提供了精確的結(jié)果，又便于邱冬等[40]運用一相嚴(yán)格平行低指數(shù)帶軸條件下的測試結(jié)果計算位向關(guān)系矩采用面/位向關(guān)系的不唯一性。一些對稱性高的系統(tǒng)中，同一個位向關(guān)系可能采用不同的晶面//晶向表述可能意味晶體學(xué)不等價的位向關(guān)系。前一種情況較為容易理解，后一種情況容易引起誤解。如果對平行面之一進行鏡面對稱操作，面/向結(jié)合的位向關(guān)系的數(shù)學(xué)表述不發(fā)生本質(zhì)改變，但如果這個操作與晶體的對稱性不一致，位向關(guān)系實際上會不一樣。具體說，如果平行晶面是其中一個晶體的鏡面對稱面，那么對該晶面法向反轉(zhuǎn)不會造成新的位向關(guān)系。表31中幾個晶面/晶向位向關(guān)系例子中都包{110b{110}b是bcc-S(111)f孿晶bcc(110b，孿晶兩側(cè)的fcc與bcc不同變體(Varians)。也就是說如果對平行面進行鏡面對稱操作，結(jié)果得到的位向關(guān)系是晶體學(xué)等價的。當(dāng)平行的晶面不是晶體對稱操作的鏡面時，以面/向結(jié)合表述位向關(guān)系就不是唯一的。比如上述滲碳體和奧氏體之間的Pitsch位向關(guān)系和hopson-oll[010C<1–10{103}C與{111}A近似平行。即使存在嚴(yán)格平行關(guān)系，這一對晶面/晶向表述，其與位向關(guān)系的研究相比，關(guān)于界面取向的研究結(jié)果要少很多。由于 精確表征尚未得到足夠重視。這一方面是受表征方法的局限。雖然EBSD方法3.4.界面結(jié)構(gòu)的定量描探索界面結(jié)構(gòu)的研究已經(jīng)長達一個世紀(jì)。長期以來，人們不斷探索兩個晶體如何在界面處結(jié)合一起，并且提出不少界面結(jié)構(gòu)模型。由于受當(dāng)時實驗手段的局限，這些早期模型主要根據(jù)金屬材料中晶界的性能推測結(jié)構(gòu)，一部分模型以定性描述為主，例如非晶態(tài)薄膜模型，島狀好區(qū)模型，無序原子群模型等，這些模型對后期理論發(fā)展有啟發(fā)意義。關(guān)于這些早期模型的回顧可以參閱葛庭燧:晶界弛豫與晶界結(jié)構(gòu)》3]量模型。晶界結(jié)構(gòu)的定量模型的發(fā)展可以劃出兩個分支：一個是位錯模型。晶界的位錯模型大約從30年代末開始發(fā)展(引自1，定量計算的里程碑結(jié)果包括美國學(xué)者ed和Shockey的位錯間距和界面能計算公式4,英國學(xué)者Frank（FrankForula3]及ilby[44在這基礎(chǔ)上發(fā)展的位錯含量矩陣計算公式（一般稱Frank-Bilby公式，60年代末瑞士物理學(xué)家Bollmann繼承了Frank-ilby公式的長處創(chuàng)建了O點陣?yán)碚?9]Frank-ilby公式以及O點陣?yán)碚撈者m于晶界和相界上界面位錯的計算。另一個描述界面結(jié)191Friedel的共用點陣模型（引自5]。經(jīng)大量研究者的貢獻，目前重位點陣模型已經(jīng)成為描述特殊大角度晶界的常用模型。O點陣?yán)碚撌且粋€集大成的發(fā)展，它包括了小角度晶界和特殊大角度界面結(jié)構(gòu)的描述，被認(rèn)為是最普適的界面結(jié)構(gòu)幾何現(xiàn)代技術(shù)和科學(xué)使直接觀察和測量界面結(jié)構(gòu)成為可能。實驗結(jié)果表明，大多3]側(cè)的晶體結(jié)構(gòu)往往盡可能維持到交界處，因此界面附近明顯原子畸變的區(qū)域一般可限于～2層原子厚度。對于簡單金屬相（金屬固溶體）晶體而言，當(dāng)錯配較小時，界面原子具有恢復(fù)晶體結(jié)構(gòu)近鄰關(guān)系（共格）的趨勢。然而，自然典型的共格相界是p（例鈷鎳合金中馬氏體慣習(xí)面。多數(shù)材料的點陣晶體常數(shù)或界面幾何不允許的界面全部由共格結(jié)構(gòu)組forcedcoherent)的體系存在長程應(yīng)變場。如果界面本身面積較大，而且界面的錯配不大，強迫共格仍然可以在界面上足夠大面積上局部維持，這些共格區(qū)域的邊界就是位錯。許多金屬材料中小角度晶界和一些沉淀相的慣習(xí)面的實驗觀察結(jié)果支持位Read和Shockley[42]試圖應(yīng)用位錯模型描述所有晶界，但是如果計算出的位錯間距非常小，以至于位錯芯重疊，那么位錯間本來屬于“不錯”的區(qū)域失去物理意義。現(xiàn)在通常不把這種大錯配界面歸為半共格界面，也不以位錯模型描述。人們將一般大角度晶界描述為有非共格結(jié)構(gòu)，其結(jié)構(gòu)但難以用定量模型描述。不過，如果可以確保計算出來的小間距位錯之間有一個真正共格點，那么可以期望這種界面的界面能也會比較低。對于一些結(jié)構(gòu)的界面，在界面宏觀幾何五維空間中的確存在一些特殊坐標(biāo)值，對應(yīng)這些坐標(biāo)值的界面上可以計算出規(guī)則分布的高密度的共格點，即規(guī)則共格結(jié)構(gòu)。有不少自然擇優(yōu)的界面，特別是立方系中的奇異晶界可以用規(guī)則共格結(jié)構(gòu)描述。規(guī)則共格的周期性可以用重位點陣模型描述。當(dāng)點陣晶體常數(shù)或界面幾何不允許的界面全部呈現(xiàn)完全規(guī)則共格結(jié)構(gòu)時，如果偏離十分小或界面的面積很小，界面可能具有強迫完全規(guī)則共格（forcedregularlycoherent)結(jié)構(gòu)。如果偏離不大，規(guī)則共格可以存在一定尺度面積的區(qū)域中，局銳界面結(jié)構(gòu)的特征通?？梢源致缘胤殖蓛蓚€層次來描述，在較粗的層次以界面上的線缺陷來描述，線缺陷一般指界面失配位錯，有時也包括界面臺階。在較細的層次包括原子的具體位置，不同元素原子的分布，界面附近的電子密度等。位錯之間原子結(jié)構(gòu)變形的定量描述需要復(fù)雜計算。onnet及其同事曾經(jīng)采用連續(xù)柏氏矢量(Soiglianadislocation)的計算模型分析了半共格界面附近錯配應(yīng)變場和位錯應(yīng)變場的共同作用下在各個原子位置產(chǎn)生的位移[46]i3Al/Ni3/Nb[47有理界面。對于一般半共格界面，人們往往更關(guān)心位錯組態(tài)；對于規(guī)則或半規(guī)則共格界面，人們往往更關(guān)心規(guī)則結(jié)構(gòu)，在這基礎(chǔ)上才能分析位錯組態(tài)。人們在原子結(jié)構(gòu)的尺度建立了不同模型來描述界面規(guī)則結(jié)構(gòu)，并試圖建立原子尺度的模型統(tǒng)一描述不同類型的界面結(jié)構(gòu)。從較早期模型的推測到后來基于能量計算，這些模型的共同點是以原子結(jié)構(gòu)單元構(gòu)造界面結(jié)構(gòu)。這些模型為在原子層對于給定體系和界面形成條件（假設(shè)局域平衡，一旦界面的五維空間宏觀幾何是確定的，界面的較粗層次和較細層次的結(jié)構(gòu)結(jié)構(gòu)就基本確定。因此可以建立界面宏觀幾何與界面結(jié)構(gòu)特征的關(guān)較細層次的結(jié)構(gòu)的精確描述（即特征(即位錯組態(tài)和結(jié)構(gòu)單元的尺度)與界面宏觀幾何的聯(lián)系可以通過幾何計特征(即位錯組態(tài)和結(jié)構(gòu)單元的尺度)與界面宏觀幾何的聯(lián)系可以通過幾何計科研究生學(xué)習(xí)和應(yīng)用。許多相關(guān)教科書中介紹了簡單的界面位錯間距隨位向差或錯配度改變的計算公式，但那些常見公式只用于特殊界面，例如特殊取向的[48]般的界面。對于一般的情況，如何計算界面錯配？如何確定界面位錯結(jié)構(gòu)？這O,具描述三維晶間錯配場，提供了半共格（和半規(guī)則共格）界面位錯分析的簡潔計算公式。隨后介紹的重位點陣模型主要用于描述規(guī)則共格界面結(jié)構(gòu)。最后介錯配分析和O點陣的基本概念如果界面宏觀幾何允許，界面會趨于形成盡可能大區(qū)域的低能結(jié)構(gòu)。在O點陣稱之為一次擇優(yōu)態(tài)(primarypreferredstate)，其特征是兩側(cè)點陣在界面上完全連續(xù);另一類為完全規(guī)則共格的區(qū)，稱之為二次擇優(yōu)態(tài)(secondarypreferredstate)，界面（完全共格區(qū)的結(jié)構(gòu)單元與兩側(cè)晶體的結(jié)構(gòu)單元的尺寸相當(dāng)3.2是具有一次和二次擇優(yōu)態(tài)界面結(jié)構(gòu)的示意圖。圖3.2a中的界面是半共格的，圖3.2b3.2.（a）（b）間是規(guī)則共格的（GMZ=goodmatchingzone,即匹配好區(qū)）[49]。矢量未必躺在界面上。O點陣模型對位錯柏氏矢量相對于位錯和界面的取向沒”陣的平移矢量（或一側(cè)點陣的柏氏矢量，如果另一側(cè)部分原子可通過微調(diào)（shuffe）實現(xiàn)界面共格，例如一相是hcp的情況。這種情況下，界面位錯的柏氏矢量往往與晶內(nèi)位錯的一樣，所以容易理解。同理，如果位錯間是二次擇優(yōu)態(tài)結(jié)構(gòu)，該位錯稱二次位錯9]。要使相鄰區(qū)域重復(fù)實現(xiàn)二次擇優(yōu)態(tài)結(jié)構(gòu)，二次位錯的柏氏矢量也應(yīng)該來自特殊的選擇，這將在342.雜的系統(tǒng)可能在不同取向的界面出現(xiàn)不同優(yōu)態(tài)。我們先以一次擇優(yōu)態(tài)為例介紹O點陣?yán)碚摰幕靖拍頪8,9]，這些分析方法及3.3兩個正方二維點陣經(jīng)旋轉(zhuǎn)形成的二O個點陣的晶體常數(shù)和它們的位向關(guān)系。首先，選擇一個方便的公用坐標(biāo)系，將兩個點陣按位向關(guān)系擺放，并從各點陣中任選一個點，在讓它們在原點重合。假想兩個點陣的陣點按各自周期在三維空間互相穿插，那么陣點之間的匹配會在空間中形成一個變化的分布。圖33實心和空心圓分別代表不同點陣的陣點。這兩個點陣結(jié)構(gòu)相同，但它們之間存O33原點附近區(qū)域中相鄰的實心和空心圓間的錯配（對不齊）先隨離原點的距離逐漸增大然后減小，在一定方向上交替發(fā)生錯配的增加和減少?？梢杂靡粋€周期O33中心就是一個O點（以較大的空心圓表示），其嚴(yán)格定義是錯配為零的位置。OO3.3方點陣穿插形成的投影，我們可以想象在空間存在許多層同樣的二維O點陣，OOO圖34在圖3.3在圖3.3中的O點可以看成是O線的投影。一般情況稱零錯配位置為O單（O-element），它可以是點，線或面。相鄰O單元由大錯配區(qū)分開(例圖3.3中方型網(wǎng)的位置)，在三維空間這些大錯配區(qū)是面，稱為O胞壁。以O(shè)單元為中心、由O胞壁包圍區(qū)域稱為O胞。每組平行的O胞壁對應(yīng)一個特定柏氏矢量，后面會給定量關(guān)系。圖3.4是一個O線點陣中O胞壁的三維示意圖。其中每一根O線由井字形的O胞壁圍繞。OO單元和O胞壁構(gòu)成的三維錯配分布，考察一個界面上可能的位錯組態(tài)。在數(shù)學(xué)上，根據(jù)三維錯配分布可以求出任意一個截面上的錯配。不過這個錯配分布與界面位錯的關(guān)系取決于實際松弛。O點陣的構(gòu)造在本質(zhì)上是一個剛性模型，上述錯配分析是在界面兩側(cè)的兩個點陣保持原有結(jié)構(gòu)下進行的。如果讓原子自由松弛，O胞尺寸足夠大使O胞內(nèi)含一定數(shù)量的原子（圖33，在界面上O單元附近相互之間“錯開”不多的晶格點可以成為一個共格點，為兩側(cè)晶體分享。于是，在界面上O胞壁跡線包圍的區(qū)內(nèi)，會OO點陣結(jié)構(gòu)中錯配最大的區(qū)域，自然成為共格區(qū)之間失配位錯最可能的位置。按照上述分析，我們可以根據(jù)O點陣被界面截過的面上的錯配分布來計算不同柏氏矢量位錯組態(tài)。在將O胞壁的跡線計算為位錯關(guān)系中，我們強調(diào)了一個重要前提：該位錯之間必須存在一個界面截過一個O單元作為位錯間共格區(qū)的松弛中心。以圖3.4中的O點陣為例。當(dāng)界面垂直于O線時，界面截O胞壁得到正方3.3OOO一層O胞壁）時，界面截O胞壁于O線交替分布，這里O胞壁的跡線代表對稱傾轉(zhuǎn)晶界的O面截過的O線，這里O胞壁的跡線代于底邊的仍為螺位錯。早期O點陣模O胞壁的跡線計算為位錯線時，沒有強調(diào)跡線之間應(yīng)該存在O單部含O單元與O胞壁跡線交替的界面。例如，在圖3.4O點陣中，如果界有一些跡線不與O線交替分布，這些O胞壁的跡線不能代表位錯?？梢詫⑦@個界面沿含一組近O線的方式分解，所得的含臺階的界面O線與兩O胞壁的跡線交替分布，兩種O胞壁的跡線分別代表非對稱傾轉(zhuǎn)晶界上兩種柏氏矢量的O限在共格區(qū)內(nèi)，因此界面不存在長程應(yīng)變場。一般來說，如果界面只存在少于三組位錯，剛性模型的結(jié)果可能與實際界面位錯結(jié)構(gòu)相當(dāng)吻合；如果界面存在三組位錯，剛性模型的計算結(jié)果可以作為討論松弛之后位錯組態(tài)的出發(fā)點。雖然幾何做圖法直觀地演示了O點陣的主要概念及其與界面位錯的關(guān)系，實際應(yīng)用中OO點陣計O-點陣的矩陣運算基OO錯配應(yīng)變場（isfitstrainfield，簡稱錯配場O胞內(nèi)任意矢量之間的錯配。那些在共格或半共格界面上能夠成為共格點的位置，在松弛之前的剛性模型中一般對應(yīng)來自不同點陣的兩個位置相近的點，這兩個相近點之間的偏差就是錯配?？梢杂盟鼈冎g的位移表示，這就是錯配位從原點出發(fā)，以一對矢量定義中心O胞內(nèi)相近點的位置。稱這對矢量為相vectors有在中心O胞內(nèi)，由轉(zhuǎn)變矩陣A聯(lián)系的相關(guān)矢量之間的位移是錯配位移。盡管如此，下面會看到，轉(zhuǎn)變矩陣A的建立對分析空間的錯配度的重要出發(fā)點。也可以在測量或推測的基礎(chǔ)上根據(jù)擇優(yōu)判（例O線要求加以小角度取曾經(jīng)使OO胞內(nèi)錯配近鄰關(guān)系決correspondence因為在中心O胞內(nèi)相關(guān)關(guān)系總是建立在近鄰點之間，Bollmann[8]建議以最近錯配場的建立是將晶體點陣的差異，界面的宏觀幾何，及界面的擇優(yōu)態(tài)，統(tǒng)O個不共面的相關(guān)矢量，就可以計算出錯配場。如果已知錯配場可以計算，點陣之間中所有相關(guān)矢量。一般中心O胞尺寸至少應(yīng)該是柏氏矢量的若干倍，柏氏矢量一定在中心O胞內(nèi)。在選定坐標(biāo)系下，根據(jù)晶體常數(shù)、位向關(guān)系和相關(guān)關(guān)系的數(shù)據(jù)，可以定量表述任何三對不共面的相關(guān)柏氏矢量。以這些柏氏矢量的下面我們Bollmann給出的黃銅中fcc（）bcc（）紹 點陣的計算[50]。計算錯配場的三個已知數(shù)據(jù)為：兩相的晶體常W表f//(110)，[-110]f//[001]b。按照最近鄰法則選擇了三對不共面的相關(guān)柏氏矢量。將這三對矢量以列向量分別表達在兩個3×3矩陣（公式3.1）F矩陣的列向量為三個cB矩陣的相應(yīng)列向量是bccF中列向量相關(guān)的102212122122B 1F221121202關(guān)系是fcc/bcc體系著名的Bain關(guān)系的一種表示它們之間由相關(guān)矩陣C聯(lián)系：B=不能用來計算錯配，因為它聯(lián)系的矢量分別在各自的坐標(biāo)系中表示。只有在公olmnn選擇了圖350]fcc/bcc單胞分別沿y([-110]f//[001]b)，z([111]f//[110]b)S矩陣的列向量B矩陣中的三個柏氏矢量表示為S66420642060S fcc/bcc單胞分別沿y([-110]f//[001]b)，z([111]f//[110]b)S矩陣的列向量B矩陣中的三個柏氏矢量表示為S66420642060S 3 003222221202012Sa0 22AS=我們可以根據(jù)公式（3.3.中）的S和S00- A=S 00000- A=S 000為了后面推導(dǎo)方便，對于一般的情況，我們都規(guī)定轉(zhuǎn)變前點陣為，轉(zhuǎn)變后為AR代表轉(zhuǎn)動矩陣。此外，位向關(guān)系的改變也可以通過疊加轉(zhuǎn)動實現(xiàn)，即=RA0，這里A0是初始位向關(guān)系下的轉(zhuǎn)變矩陣。疊加轉(zhuǎn)動的前提是轉(zhuǎn)角不太大，有了轉(zhuǎn)變矩陣，可以求任意矢量x的相關(guān)矢量xx=Ax在錯配被位錯完全松弛的半共格界面上，只有在中心O胞范圍內(nèi)，相關(guān)矢量之間的位移才是錯配位移。在剛性模型中，當(dāng)相關(guān)矢量超過這個范圍時，相關(guān)矢量聯(lián)系的一對陣點可能相距很遠，此時相關(guān)位移不能解釋為錯配位移。然而相關(guān)矢量之間的位移（稱之為相關(guān)位移）是分析錯配位移的基礎(chǔ)，如果x是任意xxxx這里位移的方向我們采用了O點陣及馬氏體表象理論中的習(xí)慣。當(dāng)描述某一點于是，由矢量x所定義的點（或矢量x本身）的相關(guān)位移為x=x-A-1x=TxT=I–A-1上面TOT1]因此T可以理解為定義錯配場的矩陣。作為A的函數(shù)，它同樣由晶體常數(shù)、位向關(guān)系和相倒易空間的相關(guān)位移也可以用位移矩陣T來計算根據(jù)正空間和倒易空間換的關(guān)系[11]，我們也可以從點陣的倒易空間的相關(guān)位移也可以用位移矩陣T來計算根據(jù)正空間和倒易空間換的關(guān)系[11]，我們也可以從點陣的倒易矢r(A)-1rr=r-rA-r求出其相關(guān)的倒易矢量rT注意在倒易空間中用T計算時，采用為名義點陣。只要在應(yīng)用中明確位移的O-點陣的定量描x在中心O胞內(nèi)時，它的相關(guān)位移才是錯配位移。如圖3.6所示（圖3.3.的局部放大），圖3.6.相關(guān)位移和錯配位移區(qū)的示意x的長度超越了中心O胞時它的相關(guān)矢定義的點不x所定義點的鄰近。設(shè)x點最近的點由xn來表示，它們之間位移為錯配位移，它可以寫成xmxxn任何陣點之間的平移都可以由點陣中的柏氏矢量iiL的線性組i表示i為整數(shù)，下標(biāo)i用來注明某個特定矢量）。于是，我們可以出n一般的表達Lxn=x+∑kibi將公式（3.12）帶入公式（3.11）可L=x(x+∑kibixkibLi根據(jù)錯配位移的定義， 相關(guān)的最小的位移矢量，即滿xmxmbiL在零錯配的條件下，xm=0，式（3.13）可以表達xTx=∑kibLixTx=∑kibLi點的錯配為零。根據(jù)O單元的零錯配定義，所有滿足以上條件的位置就構(gòu)成O點陣中O單元。為了直觀起見，在上面的推導(dǎo)以及圖3.6中，我們讓定義了一個陣點，單元作為數(shù)學(xué)上的嚴(yán)格的零錯配的位置，不一定是晶體點陣的格點（參考或3.6），而往往只是一個數(shù)學(xué)點。在原子結(jié)構(gòu)的層次上，每個O單元附近的中的一個點）作為原點地進行計算，所獲得O點陣結(jié)構(gòu)完全等價，所O點比鄰O胞（隔一層O胞壁）O點為原點的計算，相關(guān)關(guān)系改變了bL（i3.3）移為biL，因此xiO可以表示為：TxiObiL上式就是Bollmann著名的O點陣計算公式[8]。習(xí)慣上沒有給以上公式中矢量注下標(biāo)，但是Bollmann強調(diào)了柏氏矢量必須來自α參照點陣（rferencelattice,（3.6）要也記住xiO是來自β名義點陣。然而不難證明，不論O點以哪一個晶體點陣的名義來考察位移，都具有零錯配的性質(zhì)，交換參照點陣所得到的O點陣是一OxiOO（3.15過三個不共面biL從下公式求得三個不共面xiOT-1biLxiO|T-1|O與參照點陣單胞體積比。因此|T-1|的值越大，O胞越大為便于數(shù)值計算與做圖法構(gòu)造的O點陣相互直觀驗證，下面以圖3.3中轉(zhuǎn)動OxiOO點陣中標(biāo)出了用以上公O點陣矢量xiO以及描述它們相關(guān)的位移的兩個biL（參照放大的圖3.6。具體計算如下。我們隨機挑選實心點為點陣，空心biL（參照放大的圖3.6。具體計算如下。我們隨機挑選實心點為點陣，空心3.6，任選點陣中一個長度為r、偏x-軸為逆時針角的矢量x可以表示為xrcos,sin。這里方括號中代表列向量。x經(jīng)轉(zhuǎn)動逆時針轉(zhuǎn)動（右手定則）到x，R0通過下列矩陣公式計算的x與圖吻合，即xx=Rx=rcos(,sin(下一步將R取代公式（3.8b）中A矩陣計算T。因為z坐標(biāo)方向沒有位移，為了簡化運算我們直接用2×2矩陣，可得T11cos2sin/2sin/cos/cos/sin/2×2TT-1T1 cos(90/2)sin(90/2)2sin/2sin(90/cos(90/以圖3.6中柏氏矢量b2為例計算主O點陣矢量xO圖中可見b在y軸方向(b222T-1[0,b]，b=|b2|)b2帶入公式（3.16）Ox2=b[cos(/2),同理我們可以求出xO，從而通過平移xOxO獲得這個面上O點陣。我們112 個順時針轉(zhuǎn)動90/2疊加各向同性伸長1/(2sin/2)倍的轉(zhuǎn)變。從圖3.6可見xO的方向正好相b順時針轉(zhuǎn)90/2，圖上還可xO的長度與O胞壁跡22ib/(2sin/2)得到的O點陣結(jié)構(gòu)是一致的。在上述簡單情況中，我們選用的計算O點陣的在上述簡單情況中，我們選用的計算O點陣的坐標(biāo)系與點陣晶體坐標(biāo)系一致。但是對于較復(fù)雜的情況，例如圖3.5中，兩相的晶體坐標(biāo)軸與計算O點3.5FS中的列向量是相同矢量在不同坐標(biāo)系的表示，它們之間由坐標(biāo)變換矩陣聯(lián)系，即S=QofF。從已知的F和S可QofSF-1fcc表示的bb=Qofbf。同理，我們可以獲得從bcc到直角坐標(biāo)系的轉(zhuǎn)換矩陣QobSB-1如果需要把在公用直角坐標(biāo)系下的計算結(jié)果矢量x轉(zhuǎn)換為晶體點陣的基中，只x=Q-1x，或x= xfbg=(Qof)-1gfg=(Qob)-1gbrf=rb=Qobr在前面轉(zhuǎn)動的例子里因為z方向沒有錯配所以在三維空間O點陣為平行于z方向的O線。當(dāng)T是滿秩矩陣，存在O點的點陣，公式（3.15）可解。對應(yīng)T矩陣的秩分別為21的情況，如果公式（3.15）可解，O單元分別為O線和O面。此時xiO的解并不是唯一，O單元由所有解的集合所定義。一般來說在T為降秩矩陣的情況下，對于給定biL，公式（3.15）往往可能是三維空間到低維的投影。也就是說，位移矢量只存在T規(guī)定的二維或一維空的不變線?？梢宰C明[52]:正空間的位移分布在垂直于倒易空間不變線的平面上；倒易空間的位移分布在垂直于正空間不變線的平面上。當(dāng)T矩陣的秩為1時，A是一個具有不變面特時，A是一個具有不變面特征的變形，即經(jīng)A作用的結(jié)果，有一個面上的任何條件biL必須含T矩陣規(guī)定的位移空間里，對于一般的降秩矩T，位移空間里可能不含任biL，因此可能完全解不出周期性O(shè)單元。距嚴(yán)格相等，但面內(nèi)允許有錯配。因此周期性O(shè)線的典型例子往往是來自轉(zhuǎn)O垂直于密排面的晶界（3.33.4T矩陣的秩1時，xi有解的條件位移方向平行于一個biL。這些的三維空間布滿周期性O(shè)線或O面的結(jié)果，對的兩相系統(tǒng)中極少出現(xiàn)三維周期分布的O單元。在通常相變系統(tǒng)中，當(dāng)T矩陣的秩為1時，最多只得到一個O面；當(dāng)T矩陣的秩為2時，只有一個biL可能垂直于倒易空間不變線，因此只能得到一組周期分布的O線。為主O點陣面[49,54]。這包括O點的點陣中含兩個主O點陣矢量的面，O線點陣中含O線的面，以及含O面的面。而不包括與三維分布的O線或O面相奇異特征[49]。于是，所有主O點陣面都是擇優(yōu)界面的候選面，因為它們滿足擇優(yōu)界面的奇異性和周期性特征[49]。雖然可通過主O點陣面所含的兩個主O點陣矢量求出面法線，但更簡單的方法是用倒易矢量直接描述主O點陣面。相對于在公式（3.15）中正空間的O點陣定義，O點陣的倒易矢量xi*O可以表示為[9,11]xi*OT'gi(xi*Ogigi'A-1gIgTgg下標(biāo)I用來注明g必須聯(lián)系一次擇優(yōu)態(tài)的相關(guān)倒易矢量。上式說明O點陣的倒易矢量可以由一對相關(guān)倒易3.7.g和矢量的位移表示。這意味著，O點陣面可以像晶體的點陣面一樣通過電子衍射斑點直接測量，如圖3.7矢量的位移表示。這意味著，O點陣面可以像晶體的點陣面一樣通過電子衍射斑點直接測量，如圖3.7所示[55]。定義主O點陣面的倒易矢量又稱主gI，或gP-I。gP-L對應(yīng)的gP-面上必須含有至少兩個bi足上述條件的gP-面一般是最密排面或次密排面T是滿秩矩陣時，gP-IgP-gP-O陣面gP-I。從下面的公式可以驗證[51]，時，垂直gP-I面上會含gP面 bi相關(guān)的主O點陣矢xi（公式（3.15gP-IxiOgP-TxiOgP-biL0因此，當(dāng)界面以gP-I為法向時，界面上位錯的柏氏矢量限制在gP-面上，位錯組數(shù)正好等于gP-面上biL數(shù)目O點陣面的數(shù)量與含兩個柏氏矢量的密排面當(dāng)T不是滿秩矩陣時，公式（3.29）中位移計算總是成立的。前面已經(jīng)討論，T的降秩時，位移空間的維數(shù)隨之減少T的秩是2時，根據(jù)不變應(yīng)變線的性質(zhì)可以證明[52,56]，凡是含不變線的界面，界面上的位移只在一個方向。（3.29）式可以開拓為下面的廣義關(guān)系gP-IvgPTvgPd0也就是說，gPI面上的任一點v的位移d一定在gP面上。如果位移d還含在另一個g面上，因此gd=0，那么與這個g相關(guān)的gI也垂直于界面。如果該界面上位移平行于某個bi，這個界面會垂直于一組平行（或反平行）gP-I，L這些gP-I相關(guān)的gP都這個biL晶帶軸上T的秩是1時，所有相關(guān)位移只在一個（正或反）方向[57]，所有g(shù)PI將互相平行（或反平行）O面的法向可以用任何一個gP-I來表征。因為在衍射斑中聯(lián)系低指數(shù)的gP-I是容易辨識，可以運用透射電子顯微鏡精確測量gP-I來表征界面。當(dāng)界面垂直于一個gP-I時，界面含二或三組位錯；當(dāng)界面垂直于多個線性相關(guān)的gP-I時，界面只含一組位錯；當(dāng)界面垂直于三個非線性相關(guān)的gP-I時，界面不含位錯。表3.2總結(jié)了T的秩、O單元的形狀、位移空間維數(shù)、主O點陣面?zhèn)€數(shù)、法向、及面上的位移的關(guān)系。OOTTOOO3O3gP-⊥gP-2O2gP-Ii&gP-（gP-Ii=gP-//b采用gP-I表示界面除了它方便測量的優(yōu)點之外，該矢量還含其它有用信采用gP-I表示界面除了它方便測量的優(yōu)點之外，該矢量還含其它有用信息。對于O點的點陣的情況，gP-I的相對長度還代表面上的陣點密度。垂直于模較長gP-I的界面含較低密度O點和圍繞O點的位錯，所以可能被擇優(yōu)[54]。不過當(dāng)位錯間距較小時，一般難以通過倒易矢量gP-I代表的面有一個特殊的性質(zhì)，這為Moiré面(或譯為波紋面)，如圖3.8所示。我3.8.O點陣面平行于其相關(guān)兩個點陣面上一一匹配。的位置。當(dāng)相關(guān)面不平行時，在由主O點陣面定義的界面上這些相關(guān)面會一匹配。當(dāng)主O點陣面垂直于多個gP-I時，所有與這些gP-I相關(guān)的成對晶面組，都會在由主O點陣面定義的界面上一一匹配。這些匹配關(guān)系有助于分析界面的（3.31）轉(zhuǎn)界面的特殊的例子里，界面垂直于O胞壁，所以O(shè)胞壁的距離與位錯的距離（O胞壁跡線距離）相等。此外可以證明，對于旋轉(zhuǎn)二維轉(zhuǎn)變的情況，O胞正好垂直于二維模型給出的主O點陣矢量于是O錯間距與主O點陣矢量長度正好相等：D|x2b/(2sin/2)（公式（3.21。因此，在這個特殊的例里，以O(shè)胞壁跡線計算的位錯間距與一般教科書小角度晶界模型計算結(jié)果是吻合的[48]。在一般情況下O胞壁不一定垂直于主O點陣矢量并且界面不一定垂必須先定量描述O胞壁的幾何。3.9.O由于O胞壁上的錯配位移相對于兩側(cè)的O單元是完全對稱的，可以根據(jù)這所定義）的O胞壁為例考察錯配位移。在含原點的O胞內(nèi)任意矢量x錯配位gP-Ii&gP---1O1一組（所有位移b所有g(shù)P-0所有g(shù)P-為|Tx||TxbL|；在含Ox為|Tx||TxbL|；在含OxO的O胞內(nèi)矢量x的錯配位移為|T(x≤|Tx|（這里恢復(fù)下標(biāo)的使用以澄清位移分析中的名義點陣和參照點陣。落O胞壁的矢xc必須滿足等錯配位移條（3.9(a)）：|Txc|＝|T(xcxO)|示為圖3.9(b)中的等腰三角形，圖上可見TxcbL方向的投影關(guān)系：(bL/|bL|)(Txc)＝上公式與Bollmann[8]在一般坐標(biāo)系下的O胞公式是等價的，但直角坐標(biāo)系下的投影關(guān)系更簡單。正如Bollmann注意到，xO/2xc的一個特解[8]O胞壁必須經(jīng)過xO/2，因為它對應(yīng)的錯配位移正好為bL/2。一般不以bL/2，而是以bL表征一個（或平行于它的一組）O胞壁的特征柏氏矢量。以xO相連的O點之O胞壁，與xO的相關(guān)位移相同。當(dāng)界面截過不同組O胞壁時，界面上每一根O胞壁的跡線所代表的位錯對應(yīng)該O胞壁的特征柏氏矢量因此在為了方便O胞壁計算，我們定義點陣的一個倒易柏氏矢量bi*為Lbi*biL/|bi|該矢量代表點陣的一組垂直于bi的維格納賽茲（Wigner-Seitz）原胞的胞壁L利用上述定義，公式(3.32)可改寫bi*Txc=1/2O胞壁的倒易矢量表達為ciOTbi*1/(2|cO|)，這個式子意味著所iii滿足于公式(3.32)的xc都落在垂直于ciO1/(2|ciO|)3.9(a)O的方向表示了O向。因為O胞壁以原點對稱，1/|ciO|正好是這一組O胞壁的面間距341O的跡線能夠代表位錯的條件，即跡線之間必須存在界面截過的O單元，以確保位錯之間有一個以O(shè)n條件，在計算位錯之前我們需要知道界面截過哪些O胞壁。如圖34的例子比較簡單，一般情況下，三維空間中每個O胞壁的尺寸是有限的。必須用界面實際上截過的O胞壁計算位錯組態(tài)。界面截過的O胞壁可以通過界面上的xiO來(n+1/2xiniOOxiO方向時，界面必截過相應(yīng)的一組O胞壁。而且界xiO方向時，界面必截過相應(yīng)的一組O胞壁。而且界面上O胞壁跡線與被ObiLO個或三個xiOxiO對應(yīng)的一個biL可以確定用哪些ciO計算它們法向為n的O氏矢量為biL的位錯組態(tài)的通用計算公式i=nciO Di1/|i|公式（3.35-3.37）可統(tǒng)一用于計算含1，2，或3組位錯的位錯組態(tài)。在存在O胞壁在一定方向的尺寸可以看成是無限的（圖3.4，如果可以用曲面方程近k為整數(shù)，聯(lián)合求解得到位錯的空間組態(tài)。前面已經(jīng)知道，O點陣的結(jié)構(gòu)是不因參照點陣的選擇而改變[8]。但是，同一，OciO=其中bi*=biL/|biL|2為點陣的倒易柏氏矢量。在一般情況ciO，所ciO=[Tbi*+(AT)bi*]/2比較公式（3.10）和（3.35）可以注意到，ciObi*的相關(guān)位移。雖和bi是相關(guān)柏氏矢量，但是bi*和bi*未必是倒易空間的相關(guān)矢量。不過，當(dāng)界面含一組或兩組位錯時，位錯計算結(jié)果不受名義點陣的影響[58]組位錯網(wǎng)狀結(jié)構(gòu)時，界面松弛結(jié)果可能使位錯的方向偏離以任一個名義點陣計算O胞壁跡線，這種情況下進行看似更準(zhǔn)確但又較復(fù)雜的名義點陣校正沒有太OOi（按O。當(dāng)兩個點陣由一些特殊轉(zhuǎn)變聯(lián)系時，bi*bi*O胞結(jié)ciObi*bi*bi*計算對于這些ciObi*bi*bi*計算對于這些特殊錯配場及其疊加O胞壁可以用矢量形式(公式(3.40))計算。如果界面正好與O胞壁垂直，位錯的間距就由以下簡單式子表示Di1/|bi*|biLDLLLLLDi= /[(bαi)+(bβi)–其中為bαiL和bi之間的夾角，bαi=|bαi =|bi|。對于扭轉(zhuǎn)或?qū)ΨQ傾 小角度()晶界上的位錯間距(bαiLbiL)，可利用了bαiL，biL，bαibi構(gòu)成 等腰三角形，直接從公式（3.41）得到Di＝(bαiL)2/|bαibi|＝bαi Di＝bαi/L 0)，從公式（3.41）也可直接LLDi＝1/|1/bαiL1/bi|＝|bαi其中是相對點陣的錯配度，由下式定義bibi)/bi上述對于簡單界面的位錯間距公式與教科書上的結(jié)果是一致的[48]，這可以看成對O胞壁計算方法的一個驗證。這些界面的錯配場簡單，人們可以對具體界面分別進行簡單的幾何分析，得到位錯間距的結(jié)果。而O胞壁跡線方法是普適的，該方法的優(yōu)勢主要在于可以計算更復(fù)雜的錯配場條件下的位錯結(jié)構(gòu)。即使對于簡單錯配場的界面，由于特殊條件允許的簡化，根據(jù)O胞壁簡化的表達3411）一般界面上位錯的組OOOOO線一定滿足代表性條件?？墒牵诖硇詶l件不滿足的一般界面上，位錯組態(tài)如何計算？假設(shè)存在OOOO（即沿該界面的階梯。臺階的單元高度為主O點陣面間距（1/|g沿該界面的階梯。臺階的單元高度為主O點陣面間距（1/|g|。即使只有一個1/g-I|單元高度的連續(xù)臺階，也是一個窄的主O點陣面9。于是，相應(yīng)主O點陣面上的位錯結(jié)構(gòu)，提供了不同部位刻面或臺階上失配位錯的位置及其柏氏矢量，這些結(jié)構(gòu)的組合就大致給出了一般界面整體位錯結(jié)構(gòu)的描述。當(dāng)存在OOOO單元OOO自然滿足代表性條件。在含不變線但不含O線的界面上，O胞壁跡線不滿足代表性條件，同樣可以將這個界面分解為沿不同主OLLT不是滿秩矩陣的情況下（3.15）式求O單元卻未必可解，但（3.35）式等O胞壁計算公式總是成立如果所計算的O（假設(shè)仍然稱之為O胞壁）之間不存在O單元，任何界面上O胞壁的跡線就不能代表位錯。由于實際材料晶體常數(shù)的限制，一般兩相系統(tǒng)中只可能存在一個含周期性O(shè)線或O面。這種情況下，除了上述的那個面外，其它所有面上O胞壁跡線之間都沒有O單元。下界面松弛的結(jié)果仍然可能實現(xiàn)局部共格區(qū)。比如一個含不變線但不含O線的小時，這種雙重周期不一定被觀察到[40,61]。這種雙重周期界面結(jié)構(gòu)的計算不能直接應(yīng)用O點陣方法分析，但可以用近重位點位置的作圖方法[62]，或錯配位移分析或面錯配分析法計算[61,63]。因為這種情況較為復(fù)雜，這里不作詳細2）關(guān)于錯配場度量的不唯一關(guān)位移。如果改變名義點陣，得到的錯配場大小會有差異，但是O點陣的構(gòu)（3.44）計算位錯間距時，錯配度是針對名義點陣。當(dāng)錯配度較大時，名義分別為和，結(jié)果和同理，有人認(rèn)為采用一個參照點陣描述柏氏矢量不合理，建議用bibi)/2表示柏氏矢量。但是將這些貌似更合理的參數(shù)用于計算D就未必方便。從以下形式表達bibi/bibi|的D可見兩個點陣互換并不影響D的結(jié)果相反如果刻意將D表達成bibi)/2的函數(shù)，不但是舍簡就繁，而且可能由于不正確的取識，用哪一個點陣或平均點陣都不影響可比性。因為O點陣不受名義點陣選擇的影響，計算中往往用某一個點陣簡潔方便33）小O點陣?yán)碚撌欠治鼍w間錯配分布和界面位錯結(jié)構(gòu)的普適工具將兩套晶體點陣虛擬穿插之后，可能形成空間中錯配變化的分布，O單元作為零錯配的位置是低錯配區(qū)的中心。位移矩陣T是描述錯配場和計算O點陣的關(guān)鍵矩陣，它取決于界面兩側(cè)晶體的晶體常數(shù)、位向關(guān)系、以及錯配相關(guān)關(guān)系。對應(yīng)T的秩為3，2，1，所計算的O單元可能為O點、O線和O面。在一次擇優(yōu)態(tài)下，O點陣又稱一次O點陣其物理意義在于界面上的O單元可以代表半共格界面上共格區(qū)的中心界面上O單元兩側(cè)的O胞壁跡線的位置代表了共格區(qū)兩旁失配位錯的位置在存在O點的點陣情況下可以讓界面分解為沿主O點陣面延續(xù)，根據(jù)每個局部主O點陣面上的周期性位錯結(jié)構(gòu)，獲得界面上全方位位錯網(wǎng)結(jié)構(gòu)的整體描述。在存在O線和O面單元的情況，一般不能得到三維O點陣，界面上全方位位錯結(jié)構(gòu)的描述需要一些更深入的計算[61,63]。3.4.2.重位點陣模模型和重位點陣模型。上節(jié)介紹基于O點陣?yán)碚摰慕缑嫖诲e計算方法。位錯模尺度，共格區(qū)不能成片維持，位錯模型失去意義。但是，O點陣模型仍然可以應(yīng)用。設(shè)想如果此時每個O點是一個共格點，界面上仍然存在可以由O點陣描述的錯配變化，這就是一次O點陣方法與下面介紹重位點陣模型的一個關(guān)系，人們發(fā)現(xiàn)，當(dāng)界面上存在規(guī)則分布的、較密的共格點（重位點）時界面能也會比較低，這就是ollmann9]所稱的二次擇優(yōu)態(tài)。這是一次擇優(yōu)態(tài)的共格區(qū)不能在足夠大的面積上形成時的自然擇優(yōu)結(jié)構(gòu)，因此它存在于晶格（或原子之間錯配較大的系統(tǒng)。對于同相系統(tǒng)它出現(xiàn)于大角度晶界上，對于異相系統(tǒng)它往往出現(xiàn)于兩相晶格常數(shù)相差很大的界面上。重位點陣模型建立了界面宏觀幾何與空間或界面上重位點密集度和分布之間的關(guān)系。它主要發(fā)展于早期對大角度晶界的研究，特別是關(guān)于立方晶系金屬材料中的晶界，后來開拓到其它規(guī)則含大面積二次擇優(yōu)態(tài)結(jié)構(gòu)的規(guī)則共格界面的性能，往往會有很不同于只存在隨機分布的共格點的非共格界面的性能。當(dāng)大角度晶界具有特殊性能時，它們時常被稱為特殊大角度晶界。因為早期這個稱呼是基于界面性能的，它們與界面結(jié)構(gòu)和能量的一對一的關(guān)系尚不能充分確定，因此在學(xué)術(shù)研究上，后來更6的特殊性及其的特殊性及其工程應(yīng)用意義,此種類型的界面倍受研究者的重視[41,64]。下面我們先以同相界面的二維模型介紹重位點陣的基本計算方法。第一步是計算什么位向關(guān)系能夠滿足獲得較高密度的重位點。類似O點陣的構(gòu)造方法先讓兩個點陣穿插，并各自取一個陣點在原點重合（為了與前面的討論連續(xù)，這里仍然稱和點陣，有人沿用對稱群理論中采用的顏色對稱性操作，稱兩個點陣為白黑點陣，稱穿插結(jié)果的圖像為雙色圖（dichromaticpattern）1]。所謂重位點就是兩個點陣的陣點重復(fù)的位置，因此原點是一個重位點。只有在特殊指數(shù)方向。舉最簡單的簡單立方的轉(zhuǎn)軸為例，經(jīng)一個非對稱性旋轉(zhuǎn)（否則點陣不變，只要將點陣中某個晶體平移矢量（例[mn0]，m和n為整數(shù)，因mn0]，就獲得一個重位點。這個轉(zhuǎn)動的結(jié)果同時使點陣的[n-m0]與點陣的[-n-m0]相重。因為這兩組矢量相互垂直，正好可以得到一個四方形的格子。這些重合的矢量就定義了一個重位點陣的平移矢量（但不一定是最小矢量。由于這個面上[100[010為對角線的矩形來認(rèn)識它們轉(zhuǎn)動。這個矩形可以看成由001n個正方形單胞為單元組合而成。在轉(zhuǎn)動之前，點陣與點陣夾角為0，在兩個矩形x-軸鏡面對稱，對角線原來交x-軸的夾角為tg(/n)，將2tg-1(n/m)圖中較粗的虛線示意兩個矩形對角線重合性，表征位向差的轉(zhuǎn)動是不唯一的。由于（）也是滿足重位點形成的實可以直接通過m=2，n=1求出改變m和n的值可以計算出以這個轉(zhuǎn)2相對水平取向的晶格136.87，CSL單胞體CSL單胞體如果簡單立方二維模型的例子延到三維，因為重位點陣和晶體點陣在垂直于等于面上重位單胞與晶體點陣單胞面積之比。讓晶+n2，不過體點陣單胞面積為1，重合矢量作為邊長得到的正方形面積個面積未必是重位點陣單胞的面積。當(dāng)這個面積的值為偶數(shù)時，面積的中心一個重位點，所得的面積不是重位點陣的單胞面積。前人發(fā)現(xiàn)立方系只能是數(shù)，所以如m2n2為奇數(shù)則m2+n2，否則=(m2+n2)/2k（k為正整數(shù)[65]。根據(jù)這些關(guān)系，可得到3.10例子中的重位點陣對應(yīng)=5，或直接寫5。這表明點陣中每5個陣點中有一個與點陣的陣點重合，顯然點陣中也含1/5的重位點。立方系5晶界是最常用來介紹的重位點陣模型的例子。根據(jù)上述在（001）面上以正方形格子為單元的分析（Frank的講座Ranganathan[65]推導(dǎo)了在立方系中，轉(zhuǎn)軸垂直于一般有理面（hkl）上的可能 l-k]和[-(k2l2)hk的矩形，兩邊長度比例為h2k2l2。取上述小矩形為單元，分別以mn個2tg-1(nh2k2l2=(m2(h2k2l2)n2)/2k和除以2的倍數(shù)得到。從以上的計算公式可見，獲得低值重位點陣的前提是轉(zhuǎn)軸平行于低指數(shù)m<10rR正好可以表示為<hkl>n/m，因為轉(zhuǎn)軸的單位矢量r<hkl>/h2k2l2和組合矩形的構(gòu)造幾何。表3.3給出立方系的重位點陣位向差的羅德里格斯矢量描述及轉(zhuǎn)角值,這里正好所有和組合矩形的構(gòu)造幾何。表3.3給出立方系的重位點陣位向差的羅德里格斯矢量描述及轉(zhuǎn)角值,這里正好所有n=1，更高值的重位點陣要用到n>1。可見絕大多數(shù)低值的重位點陣以<100>,<110>,<111>為轉(zhuǎn)軸R-F空間中這些同轉(zhuǎn)軸的轉(zhuǎn)動自然位于同一直線上。如果將實驗數(shù)據(jù)在R-F空間表示，上述表 Warrington和Bufalini[66]認(rèn)為上述低指數(shù)轉(zhuǎn)軸的計算方法會遺漏一些低值的系中滿足重位點陣的位向關(guān)系可以由下列形式的轉(zhuǎn)動矩陣描述，即R=(ri)/，該矩陣的組元必須是整數(shù)，而且沒有公約數(shù)。R的三個列向量是單位矢,ri,ri3<ri,ri,rin2n2r2r2r2。當(dāng)r,r,r為互質(zhì)的整數(shù)時，n。以可能的低及2 r2+r2關(guān)系可以方便地建立轉(zhuǎn)動矩陣。比如5的轉(zhuǎn)動矩陣三個列向量分別為 00]，[043]，[034]?？梢酝ㄟ^常規(guī)幾何公式從轉(zhuǎn)動矩陣求轉(zhuǎn)軸和轉(zhuǎn)角。根據(jù)為多少才稱為低值是一個經(jīng)驗估計。從前面的討論已知，高密度重位點的存在是形成二次擇優(yōu)態(tài)結(jié)構(gòu)的前提，也是重位點陣模型應(yīng)用于解釋奇異界面的3579為特殊界面分析材料中特殊界面對性能的影響。他們能夠通過控制藝，獲得很高比例的特殊界面，并因此獲得材料的優(yōu)異性能，成功證明了晶界工以作為一個初步判據(jù)，小周期重復(fù)的規(guī)則結(jié)構(gòu)才是低能界面的結(jié)構(gòu)特征。這與既然所有重位點陣點是零錯配的點（O點是和點陣內(nèi)坐標(biāo)重合的點位點陣應(yīng)該是一次O點陣的亞點陣。在求出滿足重位點陣的轉(zhuǎn)動矩陣之后，可以通過解一次主O點陣矢量的方法計算描述重位點陣的基矢。不過只有在晶體點陣位置上的O點才能定義重位點陣的格點。通過對主O點陣矢量進行線性組合，得到最短的、以整數(shù)指數(shù)描述的O點陣矢量，就是重位點陣的基矢9]?？梢岳脇-|是O值推導(dǎo)出重位點占O點的比例，并以之驗證所獲得的重位點陣基矢。根據(jù)這個計算，Bollmann[9]列HP當(dāng)界面上二次擇優(yōu)態(tài)由某高密度重位點陣面代表時，只有特定位向關(guān)系和特定取向的界面可以完全含理想的二次擇優(yōu)結(jié)構(gòu)，即獲得完全規(guī)則共格。實際材料中，當(dāng)晶體常數(shù)或位向關(guān)系稍微偏離形成重位點陣的嚴(yán)格要求，或界面稍微偏離高密度重位點陣面取向時，二次擇優(yōu)態(tài)仍然可以在一定面積內(nèi)維持，這些DSC為了定量描述二次位錯的柏氏矢量，必須引入另一個重要點陣，即SC點olmnn9]CopletePatternShiftLattice完整圖形平移點陣，前人曾經(jīng)將之譯為完整型位移點陣或全同位移點陣，因為難以用簡短詞將意思準(zhǔn)確翻譯，我們直接使用DSC點陣（這與葛庭燧3]的選擇一樣DSC點陣的點陣平移矢量由界面兩側(cè)點陣（和的陣點間位移構(gòu)3.115DSC短平移矢量連接最近鄰的點陣和DSC點陣的平移矢量（簡稱DSCL矢量）平移，重位點陣的圖形保持不變（即原始名稱中的維持完整圖形平移的特征）。如果將311(a)中由空心圓代表的點陣按某L矢量（箭號所指）點成為新的重位點3.11(b)點成為新的重位點3.11(b)，而原以非DSCL矢量相對移動，其結(jié)不論實際二次擇優(yōu)態(tài)是否呈現(xiàn)重位點陣描述的圖形，只要是界面結(jié)構(gòu)以同一種低能結(jié)構(gòu)重3.11DSC點陣的示意圖。圖中實心點和空心點分實心圓之間相對移動了一個DSCL（箭號所指構(gòu)一致，這兩個區(qū)域之間的二次位錯的柏氏矢量就必須來自DSCL矢量。因此正確構(gòu)造C點陣對于分析界面上的二次位錯是很重要的。DSCimmer[69SC點陣之間的倒易關(guān)系。當(dāng)重位點陣存在于正空間時，自然也存在于倒易空間。它們SC點陣互為倒易關(guān)系，正空間的DSC點陣與倒易空間的重位點陣互為倒易關(guān)系。人們往往更關(guān)心正空間的重位點陣和SC點陣，上述倒易關(guān)系可以用來計算或驗證正空間的SC點陣，避免由于二維構(gòu)圖時產(chǎn)生的誤判。人們習(xí)慣第一步先計算正空間的重位點陣，根據(jù)已知*L關(guān)系=I可以解出正空間的DSC點陣，即矩陣VDSCL中的列向量。應(yīng)上述方法，Bollmann[9]計算了對應(yīng)不同重位點陣的DSC點陣的基矢，并與低值），因為正空間與倒易空間結(jié)構(gòu)等價，所以正空間中重位點陣和SC點陣的SCDSC和SC(sublattice)；而和點陣包含所有重位點的陣點，所以重位點陣是和DSCDSC9重位點密度。從倒易點陣的性質(zhì)已知，倒易矢量長度與陣點面密度呈反比關(guān)系，那么求含高密度重位點界面就可以通過考察倒易空間DSCL矢量（g）的長度進行判斷[70]。垂直于最小的g的界面上重位點密度最高。在倒易空間一個重位點陣單胞內(nèi)可以求得所有短DSLg都垂直于低指數(shù)面正好對應(yīng)較短的g，其中最短的g正好垂直于{113}孿晶界[70]。實際材料中晶粒之間的位向差不一定精確滿足嚴(yán)格重位點陣要求理論值（如表33中的特殊的轉(zhuǎn)角），這里有測試誤差的影響，也有實際位向差的偏離。那么界面位向差在一個值理論位向關(guān)系的什么偏差范圍內(nèi)，才可以算為具有該值界面的性質(zhì)？晶界研究中廣泛采用的是以下randon提出的最大偏差角度判2：max-式中是小角度晶界的上限判據(jù)一般取15°歸類為（半）規(guī)則共格界面，或晶界工程領(lǐng)域所稱的特殊界面，并可以用重位次位錯是否出現(xiàn)作為界面保持二次擇優(yōu)態(tài)的一二次位錯觀察的一個重要研究結(jié)果來自BabcockBalluffi[76]對金和銀的（001）扭轉(zhuǎn)圖3.12.金的（）扭轉(zhuǎn)晶界上位錯窮。3.12圖驗證了以低值重位點陣代表的擇優(yōu)態(tài)（這里包括1，5，13，17，25，29，些位錯的間距與其柏氏矢量和偏離角之間的關(guān)系與根據(jù)公式（3）畫的實線吻合得很好。這些二次位錯的實驗結(jié)果有力證明了低值重位點陣代表的擇優(yōu)態(tài)。不過二次位錯的柏氏矢量小，而位錯芯可能寬，因此在電鏡下襯度可能較弱，是否看見位錯可能與電鏡的質(zhì)量和操作者的技能有關(guān)。隨著二次位錯距離識如果將可測到位錯距離的偏差角范圍，作為維持相應(yīng)max識如果將可測到位錯距離的偏差角范圍，作為維持相應(yīng)max，從圖3.12看，max的確是隨值的增加而減少，這與Brandon判據(jù)[72]是一致的。不過實驗結(jié)果的max較小，比如偏差最大的max3°，而根據(jù)公式（3.48）計算max約為6.5°。我們以下面的分析粗略推導(dǎo)max的關(guān)系。根據(jù)簡化的位錯間距公式b/D=(公式（3.43b）)，偏差角CSL與二次這里bII必須是一個DSCL矢量（可能為基矢），一般DSCL基矢可以用某個體平移矢量|vL|的分?jǐn)?shù)表示：|vL|/（例如bII為<210>/5，見圖DD所以|vL|/(DIICSL。另一方面，可以把小角度晶界角度上限判據(jù)b/D<D粗略看成是位錯之間結(jié)構(gòu)單元個數(shù)判據(jù)D/b1/（對應(yīng)15°，D4b） L|（C3.11），C>4，即二次擇優(yōu)態(tài)區(qū)域至少存在個好區(qū)結(jié)構(gòu)單元）。我們=|vL|/作為的下限帶入位錯間距的表達式，可以獲得最大的偏差角： max|vL|/(|vL|，或（|vL|/|vL|）。如果以立方系考慮DC 位點陣矢量和DSCL，對于（100）面上扭轉(zhuǎn)晶界，max/，應(yīng)用于晶界的max約為3°?？梢娺@個基于簡單推導(dǎo)結(jié)果與的實驗數(shù)據(jù)更吻合該結(jié)果與早和Mclean[77]的分析結(jié)果一致LL過這里定量關(guān)系更嚴(yán)密。對于一般轉(zhuǎn)軸，|vD|通常大于|vC|[9]，故。因統(tǒng)計的來看max/Palumbo和Aust[73]L|是晶DC柏氏矢量的倍成比例，得出max，但是忽略了系數(shù)的討論，結(jié)果也是max稍大于/，并獲得實驗結(jié)果的支持。陣的偏離不僅有位向關(guān)系還有晶體常數(shù)方面的影響也如HCP晶體材料中的晶稱強制重位點陣(constrainedCSL)。構(gòu)造合適的強制重位點陣是建模的關(guān)鍵，什二次位錯的出現(xiàn)有下列兩種典型的情況。第一種情況出現(xiàn)在系統(tǒng)偏離重位點陣的位向關(guān)系要求時。第二種情況出現(xiàn)在系統(tǒng)滿足重位點陣的位向關(guān)系要求，第一種情況下，二次位錯與一次失配位錯的功能一樣。可以用O點陣計算類似公式（3.5）就解出了AII，并且可計算描述二次錯配場的二次位移矩陣，TII=IAII)-1。前面已經(jīng)介紹，二次位錯的柏氏矢量必須來自DSC點陣。可以根據(jù)倒易關(guān)系，從倒易空間建立的強制重位點陣計算正空間的DSC點陣。正如一次O點陣計算，參照點陣的柏氏矢量與其相關(guān)矢量是不同的，二次II=II。以TIIbII取代公式（3.15）TbLO- O可逆，可以解出對應(yīng)每個bII（biII）的二次主點陣矢量（xiO-II=(TII)-1biII）。如是降秩矩陣，也可以應(yīng)用一次O周期性二次位錯的界面必須平行于二次主O點陣面二次主O點陣面同樣由倒易矢量gP-II代表，同一次主O點陣面類似，與gP-II相關(guān)的g所定義的面上必須含二次主O點陣面上位錯的柏氏矢量。界面垂直的gP-II為0，1，2，3（線2氏矢量共面10。要注意二次主O點陣面與含高密度強制重位點的面不一定平行。此外，即使含所需要的柏氏矢量的強制DSC點陣面與含高密度強制重況下的界面結(jié)構(gòu)在系統(tǒng)滿足重位點陣的位向關(guān)系的情況下，如果在系統(tǒng)滿足重位點陣的位向關(guān)系的情況下，如果界面取向偏離面。3.13a是11bcc晶界的示意圖，這個著名例子來Brandon[72]早期重位點陣對大角度晶界的應(yīng)這個臺階與以O(shè)點陣面作為臺面的臺階類似，但是連接以O(shè)點陣3.13bcc晶界上臺階結(jié)構(gòu)（a）純（c）引入二次位錯的臺階結(jié)構(gòu)的臺面上不可能具有等價的重位點結(jié)構(gòu)，如圖3.13b所示。為了實現(xiàn)臺階兩側(cè)的整體平移例圖3.13c中虛線畫的方框內(nèi)原子移動整體這個位移正好等于圖這是一個DSCL矢量。這種局部位移引起的不連續(xù)性同與晶體內(nèi)部產(chǎn)生一個位如果存在位向關(guān)系或晶體常數(shù)的偏差，使得無法定義理想的重位點陣，那么如果存在位向關(guān)系或晶體常數(shù)的偏差，使得無法定義理想的重位點陣，那么就可能不存在不帶長程應(yīng)變的純臺階。如果系統(tǒng)的確存在平行于某個面的二次擇優(yōu)結(jié)構(gòu)，同時又存在晶體常數(shù)的偏差和界面位置的偏差，對這樣的系統(tǒng)不妨假設(shè)沒有長程應(yīng)變場，則可以統(tǒng)一應(yīng)用二次O點陣計算可能的界面二次位錯。在特殊位向關(guān)系和界面條件下，所有二次失配位錯可以與界面臺階重合，并且使臺階處二次位錯的位移正好抵消臺面的錯配。這種特殊臺階結(jié)構(gòu)存在于一些相界面體系（例滲碳體/奧氏體等兩相晶格常數(shù)相差很大的系統(tǒng)中自然擇優(yōu)慣[24,79]1位點陣面與主二次O點陣面不同取向[24]