湖北省武漢市重點中學(xué)2023-2024學(xué)年高二上學(xué)期期中聯(lián)考數(shù)學(xué)試卷（含解析）

2023-2024學(xué)年度上學(xué)期武漢市重點中學(xué)期中考試高二數(shù)學(xué)試卷考試時間：2023年11月10日試卷滿分：150分2.選擇題的作答：每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案試卷、草稿紙和答題卡上的非答題區(qū)域均無效.答題卡上的非答題區(qū)域均無效.一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分.在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的.·2.現(xiàn)有一個橡皮泥制作的圓柱，其底面半徑、高均為1,將它重新制作成一個體積與高均不變的圓錐，則該圓錐的底面積為()A.2√3πB.3πC.3π+2√3πD.3√3π解析：設(shè)圓錐的底面積為S,則Ⅱ解得S=3π3.從長度為1,3,5,7,9的5條線段中任取3條，這三條線段能構(gòu)成一個三角形的概率是()解析：從5條線段中任取3條的所有基本事件有10個，故所求概率A.4√5B.2點C到直線1的距離6.某校高二年級(1)(2)班準備聯(lián)合舉行晚會，組織者欲使晚會氣氛熱烈、有趣，策劃整場晚會以轉(zhuǎn)盤游戲的方式進行，每個節(jié)目開始時，兩班各派一人先進行轉(zhuǎn)盤游戲，勝者獲得一件獎品，負者表演一個節(jié)目.(1)班的文娛委員利用分別標有數(shù)字1,2,3,4,5,6,7的兩個轉(zhuǎn)盤(如圖所示),設(shè)計了一種游戲方案：兩人同時各轉(zhuǎn)動一個轉(zhuǎn)盤一次，將轉(zhuǎn)到的數(shù)字相加，和為偶數(shù)時(1)班代表獲勝，否則(2)班代表獲勝.兩班獲勝的概率分別是()解析：設(shè)(1)班獲勝為事件A,(2)班獲勝為事件B,,,7.2022年10月7日21時10分，中國太原衛(wèi)星發(fā)射中心在黃海海域使用長征十一號海射運載火箭，采用“一箭雙星”方式，成功將微厘空間北斗低軌導(dǎo)航增強系統(tǒng)S5/S6試驗衛(wèi)星發(fā)射升空，衛(wèi)星順利進入預(yù)定軌道，發(fā)射任務(wù)獲得圓滿成功，其中的“地球同步轉(zhuǎn)移軌道”是一個以地心(地球的中心)F?為焦點的橢圓，如圖，已知它的近地點(離地面最近的點)A距地面m天文單位，遠地點(離地面最遠的點)B距地面n解析：設(shè)橢圓方程即離心率8.四棱柱ABCD-ABC?D?中，口因為AB=BB?=1,BC=CD=2,AB所以C(0,0,0),A(1,2,0),B(0,,,則設(shè)球(,;,設(shè)4+a=t(t∈[4,5]),則此時直線CE與OB所成的角最小，則其對應(yīng)的正弦值也最小，正弦值為二、多選題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求，全部選對的得5分，部分選對的得2分，有選錯的得0分.A.橢圓離心率B.|PF|的最大值為3D.|PF|+|PF?|=2對于B中，由橢圓的幾何性質(zhì)，當(dāng)點P為橢圓的右頂點時，可所以C正確；P,Q.設(shè)OM∩PQ=N,則下列說法正確的是()A.PQ⊥OMB.存在點M,使得∠PMQ=120°因為MP,MQ為圓的切線，所以因為MP,MQ為圓的切線，所以O(shè)P⊥MP,OQ⊥MQ,,有當(dāng)|,有當(dāng)|OM最小時，∠PMO最大，即∠PMQ=2∠PMO最故B錯誤；故B錯誤；MQ:xx?+yy?=4,所以過P,Q兩點的直線為x+3y-4=0,故D錯誤.盒中有6個大小和質(zhì)地相同的球，其中2個紅球和4個黃球，顧客從A盒中不放回地隨機抽取兩次，每次兩次投擲中向上點數(shù)為3的倍數(shù)出現(xiàn)的次數(shù)等于可獲得禮物的數(shù)量.每位顧客可以隨機選擇一種方案參加活動，則下列判斷正確的是()A.方案一中顧客獲得一個禮物的概率B.方案二中顧客獲得一個禮物的概率是D:記方案二中“第一次向上點數(shù)是1”為事件E,兩次向上點數(shù)之A.MN⊥AC?設(shè)AB=AD=AA=a,即.mgc,B,A0AC=-AA+AB+AD,BD=AD-ABAC.BR=(-AA+AB+AD)AA=-AA[+A三、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分. 的最大值為則PB+PC=2PD=(-8,0),則PA+PB+PC=PA+2PD=(x-13,y),則其最大值為13+2=15.井井體積為則三棱錐S-ABC外接球的體積為的中點O,連的中點O,連接OA、OB,如下圖所示：∵SA=AC,SB=BC,且SA⊥AC所以，△SAC、△SBC均為等腰直角三角形，且,設(shè)SC=2r,可得OA=OB=r,設(shè)∠AOB=θ,∵SA=AC,O為SC的中點，則OA⊥SC,同理可得OB⊥SC,∵OA∩OB=O,OA,OBC平面OAB,∴SC⊥平面OAB,;;在△OAB中，由余弦定理可得AB2=OA2+OB2-2OA·OBcos0,可得化簡可得r?-3可得,,四、解答題：共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟.故直線l的方程為x=1.或事,甲事事,甲事乙兩人獨立來該租車點租車騎游(各租一車一次).設(shè)甲、乙不超過兩小時還車的概率分別為兩人租車時間都不會超過四小時.(1)求甲、乙兩人所付租車費用相同的概率；(2)設(shè)ξ為甲、乙兩人所付的租車費用之和，求P(ξ=4)和P(ξ=6)的值.答案：(1)小問1解析：,,,,所以甲、乙兩人超過三小時但不超過四小時還車的概率分別,記甲、乙兩人所付租車費用相同為事件A,小問2解析：若ξ=4,超過則甲不超過2小時乙超過3小時不超過4小時，或乙不超過2小時甲超過3小時不超過4小時，或甲乙都超過2小時不超過3小時，若ξ=6,則甲超過2小時乙超過3小時不超過4小時，或乙超過2小時甲超過3小時不超過4小時，19.已知ABC的頂點A(1,1),高CD所在直線方程為3x+y-12=0,角B的平分線BE所在直線方程為答案：(1)(-8,-2);(2)9x-13y+46=0.小問1解析：解：∵△ABC的頂點A(1,1),高CD所在直線方程為3x+y-12=0,角B的平分線BE所在直線方程為x-2y+4=0,∴B點坐標為(-8,-2);小問2解析：,..(舍),20.在如圖所示的試驗裝置中，兩個正方形框ABCD、ABEF的邊長都是1,且平面ABCDL平面ABEF,活動彈子M、N、G分別在正方形對角線AC和BF、AB上移動，記CM=BN,AF/平面MNG,記BG=a(O<a<1).(1)證明：MG⊥平面ABEF;答案：(1)證明見解析小問1解析：證明：因為AF//平面MNG,且AFC平面ABEF,平面ABEF∩平面MNG=NG,則AFIING,因為平面ABCD⊥平面ABEF,平面ABCD∩平面ABEF=AB,MGC平面ABCD,小問2解析：解：由(1)知，MG⊥平面ABEF,因為NGC平面ABEF,所以，MG⊥NG,則則,,設(shè)平面AMN的法向量為m=(x,y,z),則由圖可知，二面角A-MN-B為鈍角，故二面角A-MN-B的余弦值(1)求證：MN//平面ADP;(2)求證：平面MON⊥平面ABCD;(3)求直線AP與平面BCQ所成角的正弦值.答案：(1)證明見解析小問1解析：取AD中點點E,連接PE,EN,因為PQ//AB,PQ=2AB=2√2,M所以PM//AB,PM=AB,又因為AD中點為E,N為BC中點，所以EN//AB,EN=AB,所以MN//PE,因為PEC平面PAD,MNα平面PAD,小問2解析：在正三角形PAD中有AD⊥PE,易知BC⊥PE,在正方形ABCD中有BC⊥ON,因為ON∩MN=N,ON,MNC所以BC⊥平面MON,因為BCC平面ABCD,所以平面MON⊥平面ABCD.小問3解析：平面MON,以過點O作AB的垂線為x軸，ON所在的直線為y軸，OM所在的直線為z軸建立空間直角坐標系因為P