第十屆全國高中數(shù)學優(yōu)課-球的體積

畢業(yè)答辯新疆實驗中學

祖米熱提普通高中課程標準實驗教科書（人民教育出版社A版）數(shù)學必修2§1.3.2球的體積目錄教材分析學情分析教學目標教學過程教學策略Part01教材分析本節(jié)是人民教育出版社A版《高中數(shù)學必修2》第一章第三節(jié)內(nèi)容。它被分為兩個課時：“柱體、錐體、臺體的表面積與體積”和“球的體積和表面積”。我重新安排了課時內(nèi)容：“柱體、錐體、臺體的表面積與體積”，“球的體積”和“球的表面積”。原因如下：學生在小學簡單地學過長方體、圓柱、圓錐的體積公式，初中階段雖然學過“幾何圖形初步”、“弧長和扇形面積”、“三視圖”內(nèi)容，但都沒有系統(tǒng)地講解過空間幾何體的表面積與體積公式。而在高中教材中簡短直接地給出了圓柱、圓錐、圓臺的表面積公式與柱體、椎體、臺體的體積公式。這樣對高一學生來說會顯得比較生硬和難懂。如果第一課時將圓錐、圓臺的表面積公式一一推導出來，引導他們發(fā)現(xiàn)圓柱、圓錐、圓臺的側(cè)面積公式之間的關系，緊接著利用此方法獨立推導臺體體積公式，獨立發(fā)現(xiàn)柱體、椎體、臺體體積公式之間的關系，不僅可以讓學生培養(yǎng)觀察能力與邏輯推理能力，還可以讓他們發(fā)現(xiàn)用初中學過的圓與相似三角形的知識就能推導出看似復雜的圓臺表面積和臺體體積公式，從而提高他們對高中數(shù)學學習的信心。Part01教材分析在新教材中刪去了用極限思想對球體體積與表面積的詳細證明，直接給出了相關公式。課后用“探索與發(fā)現(xiàn)”的形式介紹了“祖暅原理”?！白鏁溤怼辈粌H能讓學生明白“幾何體體積為什么與側(cè)面形狀無關”的真正原因，還能夠用來推導球的體積公式，起到承上啟下的作用。還能通過介紹我國古代數(shù)學家對幾何體體積的研究來揭示數(shù)學的發(fā)展過程，體現(xiàn)數(shù)學的人文精神，激發(fā)學生學習數(shù)學的熱情。有了球的體積公式，用“分割—近似求和—化為準確和”的方法推導球的表面

積學生就能更容易理解并接受，而這種極限思想對后面的數(shù)學學習也有幫助。在這種課程安排下，學生不僅會背公式和用公式，還可以通過推導公式的過程了解先輩們的數(shù)學思想與方法，對空間幾何體的體積與表面積有更深層次的理解。Part02學情分析授課對象是普通高中高一的學生，數(shù)學基礎一般，具備了一定的運算能力。由于平時思考問題不深入，攝入信息量比較狹窄，導致學生空間想象力和思維能力薄弱。學習態(tài)度良好，在教師的引導下愿意思考問題，有一定的合作意識。會配合參與課堂活動。學生已學過相似三角形相關知識，認識空間幾何體，會識別簡單空間幾何體三視圖所表示的立體模型；知道“點動成線，線動成面，面動成體”，但不知道“祖暅原理”；有部分學生可能知道球的體積公式，但沒有經(jīng)歷過公式的推導過程，也不了解公式背后的數(shù)學歷史。Part03教學目標《普通高中數(shù)學課程標準》（2017年版2020年修訂）在“立體幾何初步”單元學習中要求“知道球、棱柱、棱錐、臺的表面積和體積的計算公式，能用公式解決簡單的實際問題?！碧貏e在【教學提示】中提出：“可以使用信息技術展示空間圖形，為理解和掌握圖形幾何性質(zhì)（包括證明）提供直觀”，“可以組織學生收集、閱讀幾何學發(fā)展的歷史資料，結合內(nèi)容撰寫報告，論述幾何學發(fā)展過程中的重要結果、主要任務、關鍵事件及其對人類文明的貢獻?！盤art03教學目標根據(jù)此標準，制定本節(jié)課教學目標如下：1.了解劉徽根據(jù)“截面積之比”研究“體積之比”的思想，學會用這種思想思考問題并發(fā)現(xiàn)問題，提高學習數(shù)學的自信心。2.理解祖暅原理的含義，經(jīng)歷用祖暅原理推導球體體積公式的過程，培養(yǎng)用已知探究未知的數(shù)學思想。3.通過了解我國對球的體積問題的研究歷史，讓學生感受數(shù)學家，認識到數(shù)學家們敢于質(zhì)疑，善于思考，勤于解決問題的精神，激發(fā)學生的民族自豪感。重點難點Part04教學策略學生對球體并不陌生，也有可能早就知道球的體積公式。在這種情況下我選擇用提出歷史問題的方法來吸引學生的注意力。然后順著球的體積公式進步的歷史軌跡，不斷向?qū)W生拋出問題，讓他們學會主動思考，合作交流，解決問題。對本節(jié)課的教學難點——利用祖暅原理推導球的體積公式，我根據(jù)學生的數(shù)學思維發(fā)展程度，選擇用簡單實驗驗證祖暅原理，并結合課件提問引導，幫助學生觀察思考，分層解決問題。必要時用動畫演示讓學生更好地理解“同高處的截面積總相等”，從而有效突破教學難點。Part05教學過程創(chuàng)設情境，引入新課問題引領，合作探究知識應用，課堂練習知識梳理，課堂小結知識拓展，課堂延伸用簡單實際問題引入球的體積，激勵學生關注生活，培養(yǎng)知識應用意識.尋求球的體積公式進步的歷史軌跡:(1)讓學生了解一個公式的推導有時候需要很多結論的支撐；(3)讓學生學會遇到問題不僅要會用公式，還要學會換個角度思考問題,同時為“祖暅原理”的提出做鋪墊；(2)讓學生了解偉大數(shù)學家認真學習的態(tài)度和敢于質(zhì)疑的精神，從而敢于提出問題，提高學習的自覺性；尋求球的體積公式進步的歷史軌跡:(4)讓學生學會用相同的思想與方法去分析新問題，總結歸納出新的結論.借助動畫演示觀察幾何體，有利于發(fā)現(xiàn)截面面積的變化，從而幫助學生突破難點；尋求球的體積公式進步的歷史軌跡:(5)讓學生看到一個偉大的數(shù)學家絕不會止步于發(fā)現(xiàn)問題，他會拼盡全力解決問題。任何一門科學都是在這種執(zhí)著的探究精神下得以進步的；同時順利引出“祖暅原理”尋求球的體積公式進步的歷史軌跡:“冪勢既同，則積不容異”祖沖之(429年－500年)祖暅(456年—536年)夾在兩個平行平面間的兩個幾何體，被平行于這兩個平面的任意平面所截，如果截得的兩個截面的面積總相等，那么這兩個幾何體的體積相等。祖暅原理通過簡單實驗讓學生加深對祖暅原理的理解.祖暅原理涉及到兩個幾何體、高度、截面積等諸多因素。因此在推導球體體積公式時，通過分解問題，逐步解釋，針對引導，及時概括，讓學生理解此過程.用動畫演示幫助學生理解祖暅原理中的“同高處”和“恒相等”，從而有效地突破教學難點.展示上一屆學生構造的幾何體，讓學生了解構造的幾何體可以是多樣的，進一步加深對祖暅原理的理解，并調(diào)動學生思考問題的積極性.應用球的體積公式，解決一開始提出的實際問題，培養(yǎng)知識應用意識.結合三視圖，解決簡單組合體體積相加型問題，鍛煉空間想象能力.讓學生學會觀察球體，通過球心的位置，找到球的半徑（或直徑），從而解決球的體積問題.給喜歡