經(jīng)濟數(shù)學(xué)（第三版） 課件 第五章 總成本和收益的計算

第五章

總成本和收益的計算目

錄CONTENTS1總收入計算問題及解決方案2使用MathStudio討論總量問題3進一步學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識:積分及其應(yīng)用ProblemsandSolutionsofGeneral

IncomeUsingMathStudiotoDiscuss

Total

AmountProblemsFurthermathematicsknowledge:IntegralandItsApplication總收入計算問題及解決方案ProblemsandSolutionsofGeneral

Income1一、問題引入已知銷售某產(chǎn)品x件的邊際收入是

(元/件)且

x=0

時，總收入為0

元。求銷售1000件時的總收入。設(shè)銷量為x

時的總收入為R(x)

解引例原函數(shù)定義

則稱函數(shù)F(x)為

f(x)在區(qū)間I上的一個原函數(shù)。

例如一、問題引入回到引例將代入上式得,即得

(元/件)函數(shù)r(x)的一個特定原函數(shù)C取不同值，得到函數(shù)r(x)的不同原函數(shù)全體原函數(shù)不定積分一、問題引入任意常數(shù)被積表達式積分號1.不定積分的定義函數(shù)

F(x)是

f(x)

的一個原函數(shù)，那么f(x)

的全體原函數(shù)F(x)+C稱為

f(x)的不定積分，記為，即

二、不定積分與基本積分法被積函數(shù)積分變量例如二、不定積分與基本積分法2.基本積分公式二、不定積分與基本積分法例1求下列不定積分解二、不定積分與基本積分法3.不定積分的運算法則

線性性質(zhì)微分和積分互為逆運算性質(zhì)2

性質(zhì)1性質(zhì)3

性質(zhì)4二、不定積分與基本積分法解原式例2求4.直接積分法二、不定積分與基本積分法注意：分項積分后，每個不定積分的結(jié)果都應(yīng)有一個積分常數(shù)，但任意常數(shù)之和仍是任意常數(shù)，因此最后結(jié)果只要寫一個任意常數(shù)即可.例3求解原式二、不定積分與基本積分法5.不定積分應(yīng)用設(shè)F(t)：t月時的客戶數(shù)

又已知F(0)=5000,所以C=5000所以F(16)=21960(戶)注意:復(fù)雜的不定積分問題，我們可以借助軟件求解

TeleCable網(wǎng)絡(luò)視頻公司估計其客戶數(shù)以每月人的速率增長，其中t表示自開播以來的月數(shù).且已知一開播就有5000位客戶,求開播16個月后的客戶數(shù)?例4解二、不定積分與基本積分法三、定積分下面橙色圖形的面積如何求？1.引例1.曲邊梯形的面積問題分析

曲邊梯形的面積問題轉(zhuǎn)化上述圖形的面積可歸結(jié)為下列兩個圖形的面積之差，即三、定積分1.曲邊梯形的面積問題分析什么是曲邊梯形？曲邊梯形是由連續(xù)曲線與三條直線所圍成的平面圖形。

三、定積分STEP4取極限解決步驟STEP1分割

STEP2近似代替STEP3求和1.曲邊梯形的面積三、定積分積分和被積表達式2.定積分的定義積分下限積分上限積分變量被積函數(shù)三、定積分0102定積分的值等于曲邊梯形面積；定積分的值等于曲邊梯形面積的負(fù)值.

3.定積分的幾何意義三、定積分利用定積分的幾何意義求畫出圖形解例5顯然,陰影部分面積根據(jù)定積分的幾何意義,有曲線

與直線

以及

軸所圍成的圖形如圖所示.三、定積分四、牛頓-萊布尼茨公式

求銷售第1001件到第2000件時所增加的收入.R(2000)－R(1000)

解引例牛頓-萊布尼茨公式

四、牛頓-萊布尼茨公式例6求定積分解例7計算解四、牛頓-萊布尼茨公式解例8已知

求

自

至的變化量.由變化量公式四、牛頓-萊布尼茨公式已知生產(chǎn)某產(chǎn)品q單位時的邊際收入為R'(q)=100-2q(元/單位),并且假定在沒有生產(chǎn)產(chǎn)品的時候,總收入為零.求生產(chǎn)40個單位產(chǎn)品時的總收入及平均收入,并求再生產(chǎn)20個單位時所增加的總收入.生產(chǎn)40個單位產(chǎn)品的總收入例9解元四、牛頓-萊布尼茨公式3.牛頓-萊布尼茨公式舉例平均收入再增加生產(chǎn)20個產(chǎn)品，總收入增加的量可見,增加生產(chǎn)量,收入不一定會增加.如何安排生產(chǎn),使得收入最大化,是值得重視的問題.元元使用MathStudio討論總量問題UsingMathStudiotoDiscuss

Total

AmountProblems2一、使用MathStudio求積分繼續(xù)討論例

9,下面介紹例

9的MathStudio求解過程.第一步：打開MathStudio，單擊【Catalog】，并選擇Integrate函數(shù)，如圖5-3所示.圖5-3

選擇定積分函數(shù)一、使用MathStudio求積分第二步：

Integrate函數(shù)中輸入被積函數(shù)，變量，下限，上限，并單擊【Solve】按鈕，可得生產(chǎn)40個單位產(chǎn)品時的總收入為2400元，如圖5-4所示

圖5-4

生產(chǎn)40個單位產(chǎn)品時的總收入一、使用MathStudio求積分

第三步：在輸入欄中輸入“2400/40”可得每單位的平均收入為

60元.圖5-5

每單位產(chǎn)品的平均收入一、使用MathStudio求積分第四步：如果再增加生產(chǎn)20個單位，即積分區(qū)間為[40,60]，在輸入欄中輸入“Intergate(100-2*x,x,40,60)”并單擊【Solve】可得總收入增加量為0，如圖5-6所示.圖5-6

生產(chǎn)量增加時的總收入增加量一、使用MathStudio求積分例

10計算不定積分.第一步：打開MathStudio，向左滑動數(shù)字鍵盤，并單擊不定積分符號，如圖5-7所示.圖5-7選擇不定積分函數(shù)一、使用MathStudio求積分第二步：單擊鍵盤上的sin和exp按鈕輸入被積函數(shù)和積分變量，并單擊【Solve】按鈕，如圖5-8所示.圖5-8

計算結(jié)果經(jīng)計算可得二、總成本函數(shù)問題典型問題1

已知邊際成本(美元/臺)x

表示日生產(chǎn)量,C(0)=800

(美元/天)(1)C(x)

(1)求

C(x)解(2)求

C(300)

(3)求

C(300)－C(200)(2)

C(300)=0.0001·(300)3－0.06·(300)2+20·(300)+800=4100(美元)

C(x)=0.0001x3－0.06x2+20x+800.(1)求

C(x)(2)求

C(300)

(3)求

C(300)－C(200)典型問題1

已知邊際成本(美元/臺)x

表示日生產(chǎn)量,C(0)=800

(美元/天)二、總成本函數(shù)問題解=900(美元)三、總收益函數(shù)問題已知邊際收入函數(shù)其中x是銷售量典型問題2

(1)求R(x)

R(x)

（1）

(2)求出需求函數(shù)(銷售數(shù)量和銷售單價的關(guān)系)

故所求需求函數(shù)為

于是得

（2）

解四、需求與供給函數(shù)問題典型問題3

已知需求q是價格p的函數(shù),邊際需求函數(shù)

其中最大需求量是100，求q(p)

又因為q(0)=100

,所以

解五、資本現(xiàn)值的相關(guān)問題典型問題4

現(xiàn)對某企業(yè)給予一筆投資

A,經(jīng)測算,該企業(yè)在

T年中可以按每年

a元的均勻收益率獲得收入,若年利率為

r,試求:(1)該投資純收入的貼現(xiàn)值;(2)收回該筆投資的時間是多長?借助MathStudio,求得解故投資所獲得的純收入的貼現(xiàn)值為(1)因收益率為a,年利率為r,故投資后的T年的總收入的現(xiàn)值為五、資本現(xiàn)值的相關(guān)問題(2)收回投資即總收入的現(xiàn)值等于投資.得由例如

若對某企業(yè)投資

A=800萬元,年利率

r=5%,設(shè)在20年中的均勻收益率

a=200萬元/年,則投資回收期為由此可知,該投資在20年內(nèi)可得的純利潤約為1728.48萬元,投資回收期約為4.46年.=20ln1.25≈4.46(年)進一步學(xué)習(xí)的數(shù)學(xué)知識：積分及其應(yīng)用Furthermathematicsknowledge:IntegralandItsApplication3一、不定積分的積分法1.直接積分法.

利用積分基本公式和性質(zhì)，同時結(jié)合一些技巧(如合并，去分母，加一個量減一個量，公式恒等變形等)求不定積分的方法叫做直接積分法.例10

求不定積分解例11

求不定積分解一、不定積分的積分法

2．換元積分法利用直接積分法可以求出一些簡單的不定積分，但對于較復(fù)雜的積分，必須設(shè)法將它變形，使其成為能利用基本積分公式進行求解.下面介紹求不定積分的常用方法之一：換元積分法.定理5.2如果則其中是

x的任意一個可導(dǎo)函數(shù)．1.第一換元積分法(湊微分法）湊微分

第一換元積分法步驟一、不定積分的積分法例12

求不定積分解一、不定積分的積分法例13

求不定積分解一、不定積分的積分法例14

求不定積分解一、不定積分的積分法2.第二換元積分法第二類換元積分法與第一類換元積分法正好相反，后者用的是代換

，而前者則是

，變化的過程是一、不定積分的積分法例15

求不定積分解令則，一、不定積分的積分法例16

求不定積分解令則設(shè)函數(shù)與具有連續(xù)導(dǎo)數(shù)，由兩個函數(shù)乘積的導(dǎo)數(shù)公式移項，得兩邊積分得即上述公式叫作分部積分公式.3.分部積分法一、不定積分的積分法一、不定積分的積分法例17

求不定積分解令一、不定積分的積分法例18

求不定積分解令二、定積分的積分法定積分的積分法其本質(zhì)仍然是換元積分法和分部積分法.在這里我們可以簡單地處理.第一步：求定積分所對應(yīng)的不定積分;第二步：代入牛頓—萊布尼茨公式.例19

求定積分解因為二、定積分的積分法例20

求定積分解因為二、定積分的積分法三、微元法及其應(yīng)用1.微元法(1)近似代替(2)取極限圖5-4yfx)dx（1）由曲線y=f(x),y=g(x)與直線x=a