經濟數學（第三版） 課件 第1、2章 經濟中常用函數的描述、增長率的計算與比較

第一章

經濟中常用函數的描述目

錄CONTENTS1市場需求問題及解決方案MarketdemandproblemsandSolutions2使用MathStudio繪制函數圖像Drawingfunctionimagesusingmathstudio3常用經濟函數Commoneconomicfunction4進一步學習的數學知識：函數Furthermathematicsknowledge:function市場需求問題及解決方案MarketdemandproblemsandSolutions1一、問題引入某城市滴滴快車收費標準如下(1)小趙7:30坐車6公里，時間35分鐘，產生的費用是多少？(2)小趙22:00后坐車6公里，時間20分鐘，產生的費用是多少？(3)小趙22:00后坐車16公里，時間42分鐘，產生的費用又是多少？時間里程費（12公里以內）里程費（12公里以外）工時費05:00~22:001.6元/公里

0.30元/分鐘22:00~次日05:001.9元/公里

全天

2.6元/公里引例一、問題引入小趙坐車費用:里程費

+工時費里程長，空置率高

→有了遠途費.具體：里程→里程費；

工時→工時費，抽象：變量x→變量y問題分析

比較問題(1)和問題(2)：分析問題(3)22:00后交通更順暢，總費用更低。進一步思考二、函數的概念1.函數的定義設X和Y是兩個集合，如果對于每一個

，按照對應法則f

,都有唯一的

與之對應，則稱X

和Y

之間存在一個函數關系f,一般記為二、函數的概念2.函數關系的表示法（1）解析法（2）表格法涵義函數關系y=f(x)(GDP與年份的關系,單位:億美元)集合年份2004200520062007200820092010XGDP19316223442680134022430264996459847Y表1-1中國2004年~2010年GDP與年份的關系二、函數的概念（3）圖像法正切函數的圖像函數圖像2.函數關系的表示法圖1-1正切函數圖像

圖1-2的圖像三、函數關系的建立例1.1某企業(yè)組裝某產品每日最多100套，其中組裝場地、組織設備占用費用為11300元，每套產品組裝人員計件工資10元、半成品成本1000元、材料費用10元，電費2元，試建立該企業(yè)產品的日生產成本函數.1.推演公式法

解

固定成本為組裝場地、組織設備占用費用11300元，每套產品增加的成本為10+1000+10+2=1022元.如果每日生產的產量為x套，則日生產產品的總成本為生產100套的成本為113500元,于是,

三、函數關系的建立車費y與里程數x

之間可以建立函數關系式如：設快車的平均車速v=48公里/小時時間里程費（12公里以內）里程費（12公里以外）工時費05:00~22:001.6元/公里

0.30元/分鐘22:00~次日05:001.9元/公里

全天

2.6元/公里引例時間里程數時長22:00到次日05:00

x推演公式法是建立函數關系的主要方法,使用推演公式法可得到三、函數關系的建立整理,得則車費y與里程數x的分段函數模型如下:里程費工時費12公里里程費12公里外的里程費工時費像這種對于自變量x的不同取值范圍,函數f(x)有不同的解析式,則稱這種函數為分段函數.三、函數關系的建立2．數據對應法例1.2建立函數的數值關系.解隨著n不斷增大，E(n)將趨向于一個無理常數e，稱為自然對數的底，如表1-2.表1-2自然對數底e的推演n1234510100100010000……E(n)22.2502.3702.4412.4882.5942.7052.7172.718……三、函數關系的建立3.趨勢模擬法例1.3某學校10年間在校學生數和教學經費如表1-3所示，試根據表中數據畫出在校學生數與教學經費的函數關系圖像，并作出簡單解釋.

表1-3在校學生數和教學經費數據表年份199920002001200220032004200520062007在校學生(人)5000600070008000900010000110001200013000教學經費(萬元)100011001200140020002600270028002850三、函數關系的建立3.趨勢模擬法解

用描點畫圖法,如圖1-3所示.

圖1-3在校學生數與教學經費的函數關系三、函數關系的建立3.趨勢模擬法

分析:

從圖1-2看出，學生規(guī)模的擴大，教學經費從緩慢增加到快速增加再到緩慢增加.

通過觀察生均教學經費表(如表1-4)和趨勢圖(如圖1-4)，生均教學經費是由下降走向上升又走向下降的，8000人左右是比較好的規(guī)模，

可以預計，13000人之后還會出現一個相對好的規(guī)模.這就是最佳規(guī)模，產生的效益叫規(guī)模經濟.三、函數關系的建立表1-4在校學生數與生均教學經費數據表年份199920002001200220032004200520062007在校學生（人）5000600070008000900010000110001200013000生均教學經費(元/人)200018331714175022222600245523332192

圖1-4生均教學經費隨規(guī)模變化趨勢圖四、初等函數基本初等函數復合函數初等函數1.基本初等函數冪函數指數函數對數函數三角函數正弦函數余弦函數正切函數四、初等函數2.復合函數

是與構成的復合函數指出下列復合函數的復合過程復合函數的分解是由外到內，逐層進行。例1.4(1)(2)

函數由和u=3x復合而成.解

函數y=ln(2x-1)由y=lnu和u=2x-1

復合而成.解四、初等函數指出下列復合函數的復合過程再看兩個例題例1.5

(1)(2)

函數解

函數解正確地分解復合函數很關鍵，它是后續(xù)課程比如復合函數求導等的基礎。復合而成由2.復合函數四、初等函數由基本初等函數和常數經過有限次四則運算及有限次復合而構成的并且只用一個解析式表示的函數稱為初等函數．如函數

是復合函數,當然也就是初等函數；

再比如是分段函數，但它可用一個解析式表示，所以它是初等函數。3.初等函數四、初等函數使用MathStudio繪制函數圖像Drawingfunctionimagesusingmathstudio2一、MathStudio軟件簡介MathStudio是一款可用于PC終端和移動終端的功能強大的數學計算工具.軟件支持常用的數學計算、解方程、求導、微分、積分、求極限、畫函數圖像等，是數學學習的很好的輔助工具.MathStudio界面簡潔，操作簡單，整個界面分為菜單區(qū)、指令區(qū)、功能區(qū)、鍵盤區(qū)，如圖1-5.一、MathStudio軟件簡介圖1-5MathStudio界面

菜單區(qū)包含Main、Catalog、Opinions和Search四個組，分別介紹如下.一、MathStudio軟件簡介Main：主要操作界面，所有計算、繪圖、腳本編寫等操作都在這里進行；Catalog：函數目錄，在這里可以找到你需要的函數，如圖1-6；Opinions：設置選項，可進行桌面顯示和數學輸出格式等設置，如圖1-7；Search：搜索，指令區(qū)所有指令都可在這里找到，并可設置是否顯示指令.圖1-6Catalog函數目錄圖1-7Opinions設置選項二、使用MathStudio繪制函數圖像1.使用Plot函數繪制直角坐標系下函數圖像

在指令框輸入函數表達式，然后點擊功能區(qū)的Plot鍵即可繪制函數圖像.點擊顏色設置還可以改變圖形顯示的顏色，點擊顯示類型設置可以切換圖形的顯示方式.例1.6使用Plot函數繪制下列函數圖像.(1),(2).解(1)在指令框輸入sin(x)，然后點擊功能區(qū)的Plot鍵，得到函數y=sinx的圖像如圖1-8.二、使用MathStudio繪制函數圖像圖1-8繪制y=sinx的圖像二、使用MathStudio繪制函數圖像函數y=sinx圖像右側有顯示類型設置和顏色設置的選項，如圖1-9.圖1-9圖像類型設置和顏色設置選項二、使用MathStudio繪制函數圖像(2)在指令框輸入x^2，然后點擊功能區(qū)的Plot鍵，圖像出來后再點擊顏色設置，選擇紅色，如圖1-10.圖1-10繪制的圖像二、使用MathStudio繪制函數圖像2.使用繪圖鍵盤繪制各種函數圖像

將MathStudio界面底部主鍵盤向下滑動即可切換至繪圖鍵盤,點擊按鍵選擇繪圖類型,如圖1-11,接下來我們介紹兩種繪圖類型.圖1-11繪圖鍵盤二、使用MathStudio繪制函數圖像(1)用Parametric函數繪制參數方程的圖形，在指令框輸入x和y關于參數

u

的方程，然后點擊功能區(qū)的Parametric鍵即可,如圖1-12.圖1-12繪制參數方程的圖像二、使用MathStudio繪制函數圖像(2)用Polar函數繪制極坐標系下函數圖像，在指令框輸入關于變量r和的極坐標方程，然后點擊功能區(qū)的Polar鍵即可，如圖1-13.圖1-13繪制極坐標系下函數圖像常用經濟函數Commoneconomicfunctions3一、需求函數和供給函數消費者的需求關系→需求函數q=f(p)

,減函數生產者的供給關系→

供給函數

q=g(p),增函數q:商品數量p:商品價格供給函數示意圖

需求函數示意圖當市場價格高于均衡價格時，將出現供過于求的現象；當市場價格低于均衡價格時，將出現供不應求的現象.市場均衡價格示意圖二、成本、收入和利潤函數平均成本是指單位產品所分攤的成本生產某產品時為消耗的生產要素所支付的費用.總成本=固定成本+可變成本成本平均成本收入函數R=R(q)：收入R是銷售量q的函數總收入為也可寫為其中價格函數是需求函數的反函數收入函數二、成本、收入和利潤函數總收入函數R(q)與總成本函數C(q)的差值，記作L(q).當R－C>0時,生產者盈利；當R－C<0時,生產者虧損；當R－C=0時,生產者盈虧平衡.利潤函數二、成本、收入和利潤函數例1.7解

生產某產品，固定成本為200元，每多生產1件產品，成本增加10元，該產品的需求函數為，試計算該產品的總成本、平均成本、收入和利潤?？偝杀竞瘮?收入函數:若將收入R表示為關于產量q的函數,則利潤函數:,同理，若將利潤L表示為關于產量q的函數，則

平均成本函數:二、成本、收入和利潤函數

某經銷商以每件100元的價格批發(fā)某種品牌的襯衫，如果客戶一次購買20件以上但不超過50件，則超出20件的部分以8折優(yōu)惠.如果客戶一次購買超過50件，則超出50件的部分以7折優(yōu)惠.試把一次成交的銷售收入R表示成銷售量q的函數.例1.8解依題意可得，當時，；當時，當時，于是，收入函數R(q)可表示為二、成本、收入和利潤函數進一步學習的數學知識:函數Furthermathematicsknowledge:function4一、函數的性態(tài)單調性奇偶性有界性周期性函數的性質包括一、函數的性態(tài)（1）單調性

f(x)

在區(qū)間I上有定義，若，恒有是增函數

f(x)

在區(qū)間I上有定義，若，恒有是減函數（2）奇偶性一、函數的性態(tài)對于任意,若f(－x)=f(x)

恒成立f(x)

為偶函數；對于任意,若f(－x)=－f(x)

恒成立f(x)為奇函數．偶函數的圖像關于y軸對稱；奇函數的圖像關于原點對稱.一、函數的性態(tài)（3）有界性若f(x)在I上有定義，，有成立則f(x)在I

上有界，否則稱無界。有界函數的圖像必介于兩條平行于x軸的直線y=M與y=－M之間。一、函數的性態(tài)

周期為（4）周期性函數f(x)在D上有定義，若存在正實數T，恒有f(x+T)=f(x)，則稱函數f(x)是周期函數，使得上述等式成立的最小正實數T，稱為函數最小正周期，簡稱周期．一、函數的性態(tài)繪制函數

y=sinx

圖像，并討論它的性質例1.9解使用MathStudio軟件,得到函數y=sinx的圖像。二、反函數

由于我們習慣用x表示自變量，用y表示因變量，因此,函數y=f(x)的反函數一般表示為．二、反函數對于反函數,有以下三個結論:1.函數存在反函數的充要條件是:x與y一一對應.2.反函數的定義域是函數y=f(x)的值域,反函數的值域是函數y=f(x)的定義域.因此,也可以說二者互為反函數．3.在同一直角坐標系下，互為反函數的兩個函數的圖像關于直線y=x對稱．例1.10求函數的反函數.解由可得，將x,y互換，即得所求的反函數為二、反函數例1.11

求函數y=x+1的反函數，并在同一平面直角坐標系中畫出它們的圖像．解由函數y=x+1可得x=y-1，將互x,y換,即得所求函數的反函數為y=x-1．它們的圖像如圖1-14所示.

圖1-14長沙民政職業(yè)技術學院通識教育中心本章結束THANKS第二章

增長率的計算與比較目

錄CONTENTS1增長率和復合增長率問題及解決方案2使用Excel討論增長率問題3進一步學習的數學知識：極限與連續(xù)GrowthrateandcompoundgrowthrateproblemsandSolutionsUsingExceltodiscussgrowthrateMathematicsknowledgeforfurtherstudy:limitandcontinuity增長率和復合增長率問題及解決方案1GrowthrateandcompoundgrowthrateproblemsandSolutions一、問題引入引例1是本金的233倍引例2465.85萬元1315萬元是原始股的4384倍投資金額：2萬元年利率：15%投資期數：40年問題：可獲得多少本息和？投資金額：3000元年均增長率：15%投資期數：60年問題：100股股票市值多少？二、增長率問題及其解決方案本金：

末期價值：投資的價值增長量：投資的增長率：增長率：事物增長的數量與原來數量的百分比值例2.1解

，末期市值

依題意,基期市值所以答:該公司4年的股票市值增長率為74.9%.假如你在2015年1月1日用3000元購買了100股某公司的股票,2019年1月1日這100股的市值已達到5247.02元,試問該公司4年的經濟增長率為多少?二、增長率問題及其解決方案例2.2解,答:該股票價值在2015-2018年每年的增長率分別是20%，2%，8%，32.3%.

假如你在2015年1月1日投資了3000元股票，2016年1月1日你的股票價值增長到了3600元，2017年1月1日增長到了3672元，2018年1月1日增長到了3965.76元，2019年1月1日增長到了5247.02元，那么該股票價值在2015~2018年每年的增長率分別是多少？二、增長率問題及其解決方案三、復合增長率問題及其解決方案

復合增長率：若事物從某一年的數量開始,按照某個固定指數經過若干年增長后達到預期數量，則稱這個固定指數為復合增長率.本金：

年復合增長率：年后的末期價值：投資回報模型本金：

末期價值：年復合增長率：年復合增長率模型投資期數：例2.3解第1年第2年第3年第4年（元）因此，2019年1月1日這100股股票的市值增加到5247.02元,增長率為74.9%.

假如你在2015年1月1日用3000元購買了100股某公司的股票,如果該公司的股票市值每年以15%的速率增長(即復合增長率為15%),2019年1月1日你的這100股股票的市值將會增加到什么水平?（元）（元）（元）三、復合增長率問題及其解決方案例2.4解已知例2.5解已知2015年基期市值：3000元2019年末期市值:5247.02元問題：年復合增長率為多少?預計售價：250萬元本金：1萬元復合增長率：20%問題：多少年后可實現購車計劃？三、復合增長率問題及其解決方案解已知例2.6(元)小張現在應該投資39040.34元才能保證6年后攢夠所需旅游費用.所需費用：50000元復合增長率：4.21%問題：現在投資多少元？三、復合增長率問題及其解決方案(1)即(2)即(1)(2)(3)，那么的項無限接近于一個確定的常數就稱作數列的極限或稱數列如果當無限增大時，數列收斂于.記為或者

四、數列的極限例2.7從而初始獲得投資本金：50萬元貸款額占抵押品價值的百分比：75%問題：最多可獲得投資多少萬元？解設企業(yè)所獲投資本金為，貸款額占抵押品價值的百分比為第次投資額為,次投資與再投資的資金總和記為,最多可獲投資記為于是：第1次投資第2次投資第3次投資次投資總和為四、數列的極限使用Excel討論增長率問題2UsingExceltodiscussgrowthrate一、使用Excel討論經濟增長率問題比較2008年相對于1990、2000年經濟增長率和復合增長率。比較2005年國

家1990年2000年2005年2006年2007年2008年中

國1866899215183218211924257306300670美

國5803199515126384133989140777144414…………………印

度54914207591345855396628455380525253韓

國1866909603236086524099087438975013010239377到2008年的年度增長率。案例1一、使用Excel討論經濟增長率問題解決方案1.9國18年、8年的增長率計算與比較

第一步:在H5欄輸入公式“=(G5/B5-1)*100%”,得出中國2008年相對于1990年的GDP增長率為1510.6%。一、使用Excel討論經濟增長率問題第二步：將鼠標置于H5欄右下角,按住“+”型符號往下拖(即使用Excel的句柄填充功能),直至H13欄,出現美國、日本、俄羅斯、英國、法國、德國、印度、韓國2008年相對于1990年的經濟增長率。一、使用Excel討論經濟增長率問題第三步：類似于18年GDP增長率計算方法,可求各國2008年相對于2000年的GDP增長率。一、使用Excel討論經濟增長率問題第四步：選定各國8年和18年GDP增長率(包括9國國名),雙擊圖表窗口出現圖表導向,選擇柱形圖,順序點擊至“完成”,做適當修飾后(使圖更清晰),即完成9國8年和18年GDP增長率的比較柱形圖,如圖2-4所示.可以看出,中國18年GDP增長率最高,俄羅斯8年GDP增長率最高,印度和韓國排在中、俄之后和西方發(fā)達國家之前。一、使用Excel討論經濟增長率問題2.2005~2008年的年度增長率計算與比較第一步：在J5欄輸入公式“=(E5/D5-1)*100%”,選定J5欄,按住“+”型符號,然后利用Excel的句柄填充功能,先從J5拖至L5,然后選定J5至L5欄,按住“+”型符號再拖至L13,得到各國2006-2008年每年相對于上一年的GDP增長率。一、使用Excel討論經濟增長率問題第二步：選定中國、美國、日本、俄羅斯、英國、法國、德國、印度、韓國9國2006-2008年每年GDP增長率(包括9國國名),雙擊圖表窗口出現圖表導向,選擇柱形圖,順序點擊至“完成”,即完成9國2006-2008年每年GDP增長率的比較柱形圖,如圖2-6所示.可以看出,這三年俄羅斯每年GDP增長率最高,中國第二,印度第三。一、使用Excel討論經濟增長率問題3.各國18年、8年的GDP復合增長率計算與比較第一步：建立計算公式一、使用Excel討論經濟增長率問題第二步：計算各國18年GDP復合增長率.在M5欄輸入公式“=POWER(G5/B5，1/18)-1”,計算出中國2008年相對于1990年18年的GDP復合增長率為16.7%,選定M5欄拖至M13欄,得到美國、日本、俄羅斯、英國、法國、德國、印度、韓國的1990-2008年的GDP復合增長率。一、使用Excel討論經濟增長率問題第三步：仿第二步，計算8年GDP復合增長率。一、使用Excel討論經濟增長率問題第四步：作圖比較9國1990-2008年和2000-2008年的GDP復合增長率.如圖2-9所示,從圖上比較可以看出,1990年以來,中國經濟增長最快,印度緊追其后;2000年以來,俄羅斯經濟增長最快,中國緊追其后.但2000年以來,除法國、俄羅斯GDP增長加快之外,其他國家均有所放慢。二、高技術產業(yè)銷售收入增長分析高技術產業(yè)銷售收入增長分析試通過年度增長率和復合增長率分析比較各產業(yè)的增長情況。行業(yè)20022003200420052006醫(yī)藥制造業(yè)2279.982750.7330334019.834718.82航空航天器制造業(yè)499.9547.2498.4781.37798.88電子及通信設備制造業(yè)7658.679927.1413819.116646.2521068.86電子計算機.辦公設備制造業(yè)3441.676305.979192.710722.1512634.18醫(yī)療設備及儀器儀表制造業(yè)734.04880.4813031752.182363.82案例2二、高技術產業(yè)銷售收入增長分析解決方案借助Excel軟件，求得年度增長率和復合增長率如下表。產業(yè)年度增長率復合增長率2003年2004年2005年2006年醫(yī)藥制造業(yè)0.20650.10260.32540.17390.1994航空航天器制造業(yè)0.0946-0.08920.56780.02240.1243電子及通信設備制造業(yè)0.29620.39210.20460.26570.2879電子計算機及辦公設備制造業(yè)0.83220.45780.16640.17830.3842醫(yī)療設備及儀器儀表制造業(yè)0.19950.47990.34470.34910.3396二、高技術產業(yè)銷售收入增長分析進一步作出增長率趨勢比較圖如下圖。三、中美兩國GDP差距發(fā)展趨勢分析中美兩國GDP差距發(fā)展趨勢分析試分析兩國之間GDP差距發(fā)展趨勢，并采用2010年相對1978年的年均增長率討論未來差距發(fā)展趨勢。年份美國中國年份美國中國1978年229472164.6081995年739777279.8111979年256332612.6051996年781698561.054………………1993年665746132.2282010年146241.859847.071994年707225592.052案例3三、中美兩國GDP差距發(fā)展趨勢分析解決方案第一步：借助Excel軟件，計算中國和美國在1978-2010期間的GDP復合增長率分別為11.1%、6%，以及1979-2010年GDP的年度增長率。第二步:求得中國和美國1978年~2010年GDP差距，如下表。年份美國中國差距年份美國中國差距1978年229472164.6120782.41995年739777279.8166697.21979年256332612.6023020.41996年781698561.0569608.0……………………1993年665746132.2360441.82010186394.71994年707225592.0565130.0三、中美兩國GDP差距發(fā)展趨勢分析趨勢圖三、中美兩國GDP差距發(fā)展趨勢分析第三步:根據中國和美國在1978-2010期間的GDP復合增長率，計算中國和美國2010年以后GDP及其差距走勢預測趨勢圖。進一步學習的數學知識：極限