在綜合與實踐中發(fā)展學生的數(shù)學素養(yǎng)-以“探尋神奇的幻方”為例

數(shù)學素養(yǎng)的培育不僅僅是基礎知識與基本技能的積累，更重要的是引導學生在教師組織的實踐活動中，學會用數(shù)學眼光觀察現(xiàn)實世界，用數(shù)學思維思考現(xiàn)實世界，用數(shù)學語言表達世界。在基于真實情境的學習中獲取知識、鍛煉思維、提升能力、體驗成功，這和“綜合與實踐”領域的教學目標“培養(yǎng)學生綜合運用有關的知識與方法解決實際問題，培養(yǎng)學生的問題意識、應用意識和創(chuàng)新意識，積累學生的活動經(jīng)驗，提高學生解決現(xiàn)實問題的能力”不謀而合。因此，“綜合與實踐”是數(shù)學教育教學中溝通知識學習和實踐應用的橋梁，是實現(xiàn)核心素養(yǎng)培育目標的極佳載體。本文以北師大版第一冊“綜合與實踐課”“探尋神奇的幻方”為例，就如何在課堂教學中培養(yǎng)學生的數(shù)學素養(yǎng)分享一些收獲與體會。一、合理選題，情境激趣，用數(shù)學眼光發(fā)現(xiàn)問題在明確“綜合與實踐”主題內(nèi)容這一環(huán)節(jié)，教師不僅要根據(jù)學生的經(jīng)驗背景選擇教學素材，保證教學內(nèi)容符合學生當前的知識基礎與認知水平，還要兼顧學生的興趣愛好，激發(fā)學生參與教學活動的積極性。在明確“綜合與實踐”主題內(nèi)容之后，教師在教學實踐中可以創(chuàng)設多種問題、故事、活動的實踐情境，找到教學內(nèi)容的切入點，引導學生進入情境內(nèi)容，用數(shù)學眼光觀察問題，激發(fā)學生學習數(shù)學的興趣，讓學生產(chǎn)生一種強烈的求知欲，給學生創(chuàng)造自主探索的空間，讓學生在探索中體會成功的喜悅和成就感，從而增強自信心，培養(yǎng)學生的數(shù)學學科能力和素養(yǎng)?！疤綄ど衿娴幕梅健笔潜睅煷蟀嫫吣昙壣蟽詳?shù)學教材“綜合與實踐”部分的第一個課題。一方面，相較于傳統(tǒng)教學，綜合實踐活動對學生而言是新穎的，可以激發(fā)學生的求知欲，而且學生對“幻方”也有一定的了解；另一方面，學生已經(jīng)學習了“有理數(shù)及其運算”與“整式及其加減”，對于“圖形的對稱性”也有初步認識，具備了一定的數(shù)學探究經(jīng)驗。因此，筆者選定了“幻方”這一實踐主題?！窘虒W片斷一】師：同學們好！我們中華民族擁有上下五千多年的文明史，在這個歷史長河中，我們的祖先在數(shù)學領域有許多神奇的發(fā)現(xiàn)。今天我們首先通過一個小視頻（介紹洛書），帶領大家穿越歷史，一起回到兩千多年前，探究數(shù)學的奧秘吧！圖1師：請同學們仔細觀察下，如果把這個洛書上的圖案分成九塊，你發(fā)現(xiàn)了什么？生：我發(fā)現(xiàn)這些圖案可以看成是數(shù)字。師：嗯，這些圈圈點點可以看成我們熟悉的數(shù)字，分別對應？生：492，357，816。師：好，那請同學們觀察這九個數(shù)，你能發(fā)現(xiàn)哪些相等的數(shù)量關系？每行、每列、每條對角線上的三個數(shù)之和分別是多少？生：都是15。師：好，那像這樣一個3行3列的正方形方格中，每一橫行、每一豎列和對角線上的數(shù)字和都相等，這樣的數(shù)字方陣稱為“三階幻方”，其中這個數(shù)字和稱為“幻和”……師：我國對于“幻方”的記載最早出現(xiàn)于公元前500年，而國外在公元130年，希臘人才第一次提起幻方，因此我國擁有幻方的發(fā)明權。古往今來，不少數(shù)學家對幻方進行了深入研究，我們?yōu)樽嫦鹊某删透械阶院赖耐瑫r，更應該繼承與發(fā)揚先輩們追求真理、持續(xù)探索的科學精神。本節(jié)課我們也來研究幻方，并重點研究三階幻方。在這部分教學中，筆者先以“洛書”為引，向?qū)W生介紹了幻方的背景知識，激發(fā)學生對幻方的研究興趣，從而引入課題。接著，筆者引導學生觀察洛書，發(fā)現(xiàn)其中的數(shù)學問題，引出“三階幻方”的概念。在此基礎上，筆者還設置了4×4方格、5×5方格，引導學生計算與發(fā)現(xiàn)幻方的共性規(guī)律：“每一橫行、每一豎列和對角線上的數(shù)字和都相等”，進而歸納總結(jié)出“階幻方”的一般性定義。最后通過告訴同學們本節(jié)課重點——研究三階幻方，引入本節(jié)課的主要內(nèi)容，開啟三階幻方性質(zhì)和構造方法的探究之旅。在教學過程中，學生學習的積極性與參與度較高，用幻方的文化背景作為課堂引入，不僅可以幫助學生了解數(shù)學文化，堅定民族自信，提高審美情趣，也可以激發(fā)學生的求知欲望與探究熱情，從被動學習轉(zhuǎn)向自主探究，在發(fā)現(xiàn)問題、探索規(guī)律的過程中欣賞數(shù)學之美。二、設問質(zhì)疑，合作學習，用數(shù)學思維分析問題數(shù)學是一門動態(tài)發(fā)展的科學，是一門以問題為驅(qū)動、不斷探索并發(fā)展的學科，“綜合與實踐”是從現(xiàn)實背景出發(fā)，以問題為載體、以學生為中心開展的活動課程，符合數(shù)學學科的本質(zhì)特征。在綜合與實踐教學中，教師要引導學生圍繞核心問題的解決展開學習過程，通過自主參與、實踐探究、合作交流等方式進行學習，將數(shù)學知識與其他學科或日常生活實際建立起緊密聯(lián)系，鼓勵學生從情境中發(fā)現(xiàn)、提出、分析、解決問題，親歷思考、試誤、反思、調(diào)整的全過程，積累綜合運用知識、技能、方法的數(shù)學活動經(jīng)驗，發(fā)展數(shù)學思維與數(shù)學素養(yǎng)?！窘虒W片段二】師：請同學們一起玩?zhèn)€填數(shù)游戲，請同學們六人為一小組合作：將1～9九個自然數(shù)填入下圖的九個方格里，使每行、每列、每條對角線上的三個數(shù)的和都相等。請準備好的小組派代表展示在黑板上。（教師進入小組引導）。生：小組展開熱烈討論，交流做法和想法。對于該部分教學，筆者引導學生開展小組合作來填寫三階幻方，目的是以問題為驅(qū)動，讓學生經(jīng)歷解決問題的初步實踐，推動實現(xiàn)素養(yǎng)導向的教學目標?；趩栴}解決的實踐經(jīng)歷是學生學習過程中必不可少的活動，學生在探索開放性、挑戰(zhàn)性問題的過程中，對于真實情境中的背景知識進行綜合分析、推理，將不同領域的知識之間建立聯(lián)系，產(chǎn)生富有創(chuàng)造性的想法。同時，學生在問題驅(qū)動的學習過程中，也能體驗發(fā)現(xiàn)問題的喜悅、迷茫和困惑，進一步激發(fā)探究與交流的熱情?！窘虒W片段三】教師集中展示已經(jīng)完成的成果，讓學生檢查驗證，并將正確案例供大家參考研究。請學生從正確的案例中發(fā)現(xiàn)規(guī)律并進行提煉和說明。生1：發(fā)現(xiàn)“5”應該填寫在最中間位置。生2：角格上都是偶數(shù)，邊格上都是奇數(shù)。生3：有“成對的數(shù)”：4和6，9和1，2和8，7和3。生4：可以將洛書那組數(shù)進行旋轉(zhuǎn)得到其他組數(shù)據(jù)。師：基于以上的交流成果，或者你們小組的研討，你還能就以上的規(guī)律或結(jié)論給出怎樣合理的解釋？生1：設三階幻方中的數(shù)字分別為a，b，c，d，e，f，g，h，i，則（a＋b＋c＋d＋e＋f＋g＋h＋i）＋3e＝60，45＋3e＝60，解得e＝5。生2：因為奇數(shù)奇數(shù)偶數(shù)，奇數(shù)偶數(shù)奇數(shù)，偶數(shù)偶數(shù)偶數(shù)，如果“5”不在中間位置將無法滿足題意。當把“5”填入中間格時，如果4個角上填奇數(shù)，則其他4格填偶數(shù)，我們可以看到第一行、第三行、第一列、第三列的和都得偶數(shù)，而根據(jù)題目所求，3個數(shù)之和為15，15是奇數(shù)，所以與題意不符。如果4個角上填1對奇數(shù)1對偶數(shù)，則剩下的4個格中也應該為1對奇數(shù)1對偶數(shù)，此時第一行、第三行的和都為偶數(shù)，同樣與題意不符。如果4個角上都填偶數(shù)，剩下的4個格填奇數(shù)則符合題意。圖2該部分教學，筆者先將學生的案例全部展示出來，要求學生從正確的案例中發(fā)現(xiàn)規(guī)律、提取經(jīng)驗，充分發(fā)揮學生在合作問題解決中的主體作用。學生小組之間相互闡述觀點，集思廣益，進一步理解三階幻方的填寫方法，在動手操作中體驗和發(fā)現(xiàn)三階幻方的對稱性特征，明晰數(shù)字5處于幻方最中間的原因。同時，筆者也鼓勵學生積極發(fā)表不同見解，肯定學生的正確想法，并鼓勵學生對于已經(jīng)獲得的結(jié)論進行質(zhì)疑與驗證，從不同角度思考并探尋新的解題策略。在輕松愉快的課堂氛圍中，學生運用數(shù)學符號語言進行交流與表達，體會“從特殊到一般”的數(shù)學思想方法，感悟數(shù)學探究的樂趣，增強應用意識與創(chuàng)新意識。在引導學生成功探索的基礎上，筆者深切體會到“授之以漁”的重要性，正如錢偉長先生所言：“教師的教主要不是把知識教給學生，而是把處理知識的能力教給學生?！比⒎此继釤?，拓展創(chuàng)新，用數(shù)學的語言表達問題數(shù)學素養(yǎng)的發(fā)展有一個循序漸進的過程，初中是基礎教育的重要階段，在學生發(fā)展中起著承上啟下的作用，初中教學對于學生數(shù)學素養(yǎng)的培育具有重要意義。因此，教師在教學活動中應結(jié)合數(shù)學學科本質(zhì)，讓學生理解數(shù)學概念，把握數(shù)學思想，感悟數(shù)學思維，追求數(shù)學精神，注重真實情境的創(chuàng)設，以問題解決為導向，為學生提供“從做中學”的機會，要求學生打破思維定式，綜合運用各種知識和技能進行探究學習，引導學生開展自主探究與合作來解決現(xiàn)實情境中的問題，為學生創(chuàng)造解決自主問題的空間，使學生成為知識建構的主體，以落實發(fā)展學生數(shù)學素養(yǎng)的教育目標?！窘虒W片段四】師：在下列方格中，從1～9中選擇合適的數(shù)填寫，使橫行、豎列及兩條對角線上三個數(shù)的和都相等。生：答案不唯一，可以沿著對角線對稱。師：如果我再給你一個數(shù)呢？已知這樣的三個數(shù)呢？寫出來的是唯一的幻方嗎？生：唯一的。從上往下，從左往右分別填：7、9、1、4、3、8。師：小結(jié)，整理所獲。圖3圖4教師提示：（1）知道了什么是幻方；（2）弄清了三階幻方的本質(zhì)；（3）學會了構造三階幻方。生：經(jīng)過小組討論，很快形成思路，即第一步確定“中心數(shù)”，第二步配對，第三步分析奇偶性。教師追問“中心數(shù)”如何確定，學生加以補充，最終形成五步法：①計算九數(shù)之和；②計算幻和（÷3）；③確定“中心數(shù)”（÷3÷3）；④配對；⑤定奇偶。師：最少需要已知幾個數(shù)字，使得我們可以確定幻方中的其他數(shù)字呢？師：以小組為單位，撰寫關于“幻方”的研究報告。成果要求：①嘗試解決問題；②需要利用代數(shù)式、方程等知識；③以小組為單位分工合作，手寫或用軟件等撰寫研究報告；④對于小組提出的個性化研究問題，可以在報告中闡述研究思路、研究過程與研究結(jié)論（選做作業(yè)）。此部分教學，首先，通過運用所學知識解決填數(shù)習題，檢驗學生的研究成果、鞏固學生的研究方法，讓學生對構造唯一的三階幻方所需條件有了初步的思考，也給學生創(chuàng)設遇到困難返回案例進行規(guī)律再研究的機會。其次，讓學生思考本節(jié)課所獲，就是要學生摒棄小學時對幻方的機械記憶，在了解幻方實質(zhì)的基礎上，形成自己對三階幻方性質(zhì)的認識及構造三階幻方的方法，培養(yǎng)學生歸納總結(jié)創(chuàng)新能力。最后，撰寫關于“幻方”的研究性報告，使得學生課后要對“幻方”進行更深入的研究，這一任務對學生“用字母表示數(shù)”的應用能力也有著更高要求，在撰寫中同學們會遇到各種困難和不理解，這就要求教師教授綜合與實踐課程時，除了安排好課前和課上的內(nèi)容，更不能忽視課后對學生的引導和幫助。這節(jié)課到此落下帷幕，但課后我們的探索還在繼續(xù)。荷蘭數(shù)學家弗賴登塔爾認為，“數(shù)學學習是一種活動，這種活動與游泳、騎自行車一樣，不經(jīng)過親身體驗，僅僅從書中靠聽講或觀察他人的演示是學不到的”。在真實情境中開展綜合與實踐活動已成為今后數(shù)學教學的趨勢，其意義不僅在于有效激發(fā)學生的數(shù)學學習興趣，還在于讓學生在自主探究過程中加深對數(shù)學知識的理解，摒棄機械記憶與思維定式，學會知識的遷移與綜合運用，進而提升問題解決能力。因此，教師應引導學生關注現(xiàn)實生活，嘗試用數(shù)學的眼光發(fā)現(xiàn)并提出問題，用數(shù)學方法思考并解決問題，讓數(shù)學教學過程脫離抽象符號與理論的桎梏，引導學生從“做”中學，在親身實踐中體會數(shù)學知識的價值與數(shù)學文