畫法幾何及土木工程制圖課件

直線1

§2-1直線的投影

確定一直線只需要兩個點，故畫一直線的投影，只需知道直線上兩點的投影，即可連成直線的投影。2

直線的投影一般情形下仍為直線。點擊2次§2-2直線上的點

一、直線上的點

從屬性：直線上的點其投影必在直線的同面投影上。定比性：直線線段上一點把線段分成兩段，其長度之比，等于這兩段在同一投影面上的投影長度之比。

ac∶cb=a'c'∶c'b'=a"c"∶c"b"=AC∶CB

3

點擊2次§2-2直線上的點

例2-1

已知線段EF的兩投影，試在其上取一點K,使EK∶KF=3∶4。

解：

4動畫§2-2直線上的點

二、直線的跡點

直線與投影面的交點稱為直線的跡點。直線與H面的交點叫水平跡點，記作M;它與V面的交點叫正面跡點，記作N;它與W面的交點叫側(cè)面跡點，記作S。根據(jù)直線與投影面的傾斜狀態(tài)的不同，它可能有一個、兩個、三個跡點。5§2-2直線上的點

跡點投影的兩個特征：（1）跡點在所屬投影面上的投影就是跡點本身；（2）跡點的其他投影必在直線的相應投影與投影軸的相交處。6

直線經(jīng)過跡點到了投影面的另一側(cè)，進到了另一分角或卦角。點擊1次§2-2直線上的點

直線在其兩相鄰跡點之間的部分，必處在同一分角或卦角內(nèi)，這部分直線段上所有點的同名坐標值的正、負號相同。7§2-3直線的傾角和直線段的實長

一、傾角和實長

空間直線與某投影面的夾角，稱為直線對該投影面的傾角，分別用α

、β、γ表示

。8

直線段的真實長度稱為實長，標為TL

。

直線的各投影與投影軸的夾角一般都不反映直線的傾角，各投影也不反映線段的實長。點擊2次§2-3直線的傾角和直線段的實長

二、直角三角形法

求任意傾斜直線段的實長和傾角的基本方法是直角三角形法。下圖表示它的原理和作圖過程。9點擊2次§2-3直線的傾角和直線段的實長

例2-2

已知直線CD

的正面投影c'd'和點C

的水平投影c，且知直線CD

對H面的傾角α=30°，求作線段CD

的H

面投影。

解：

10點擊后自動演播§2-4各種位置直線的投影

一、直線與投影面的相對位置

這里的“位置”是指直線在投影面體系中對于投影面的放置狀態(tài)，并非指直線對投影面的遠近、高低等線性度量關系。11投影面平行線

投影面垂直線

一般位置直線（任意傾斜直線）鉛垂線正垂線側(cè)垂線

水平線正平線側(cè)平線

點擊3次§2-4各種位置直線的投影

投影面垂直線和投影平行線，統(tǒng)稱為特殊位置直線。

12

投影面垂直線的投影特征:

在所垂直的投影面上積聚成一點，其他兩個投影垂直于相應的投影軸，并且反映線段的實長。

二、各種類型直線的投影特征§2-4各種位置直線的投影13

α=90°

M

有傾角

β=0°

跡點

N

無

γ=0°

S

無鉛垂線（⊥H）點擊1次

§2-4各種位置直線的投影14正垂線（⊥V）

α=0°M

無傾角

β=90°跡點

N

有

γ=0°S

無點擊1次§2-4各種位置直線的投影15

α=0°M

無傾角

β=0°跡點

N

無

γ=90°S

有側(cè)垂線（⊥W）點擊1次§2-4各種位置直線的投影

在所平行的投影面上反映實長，并且反映與其他兩個投影面的真實傾角，其他兩個投影平行于相應的投影軸（同時垂直于第三條投影軸）。16投影面平行線的投影特征：點擊2次

§2-4各種位置直線的投影17a'b'∥OX軸，長度縮短ab傾斜，反映實長、β和γ角a"b"∥OYW軸，長度縮短投影特征水平線

（∥H）

α=0°M

無傾角β有跡點

N

有

γ有

S

有點擊1次

18投影特征

α有M

有傾角β=0°

跡點N

無

γ有S

有正平線

（∥V）a'b'

傾斜，反映實長、α和γ角ab

∥OX軸，長度縮短a"b"∥OZ軸，長度縮短§2-4各種位置直線的投影點擊1次§2-4各種位置直線的投影19a'b'∥OZ軸，長度縮短ab∥OYH軸，長度縮短a"b"

傾斜，反映實長、α和β角投影特征側(cè)平線

（∥W）

α有M

有傾角β=0°

跡點

N

有

γ有

S

無點擊1次§2-4各種位置直線的投影

三個投影都是縮短了的傾斜線段。20任意傾斜直線的投影特征：§2-5兩直線的相對位置

直線的相對位置關系有三種情況：平行、相交、交錯（交叉）。

21點擊3次平行相交交錯§2-5兩直線的相對位置

空間平行的兩直線，其所有的同面投影都各自保持平行關系。22

反之，若三面體系中兩直線的所有同面投影都各自保持平行關系，則空間兩直線平行。

一、兩直線平行點擊1次§2-5兩直線的相對位置

只要有一組同面投影不平行，空間兩直線就不平行。

23

注意：一般情況下，只要檢查兩組同面投影就能判斷出兩直線是否平行。對于平行于同一投影面的兩直線，則需要求出它們在該投影面上的投影，或根據(jù)兩直線共面、定比等關系才能進行判斷?！?-5兩直線的相對位置

兩直線相交，有一個共有點，即交點。所以各投影應相交，且交點是同一點的投影,故應符合點的投影規(guī)律。24二、兩直線相交

各投影都相交，投影的交點符合點的投影規(guī)律，所以AB與CD相交。雖然投影也相交，但投影的交點不符合點的投影規(guī)律，故EF和GH不相交。點擊2次§2-5兩直線的相對位置例2-3試判斷兩直線AB和CD是否相交。解：

25

各投影的交點不符合點的投影規(guī)律，所以兩直線不相交。點擊1次§2-5兩直線的相對位置

例2-4已知平行兩直線AB、CD，試作一直線KL與AB、CD都相交，且該直線距H面為10。

解：

26點擊后自動演播§2-5兩直線的相對位置

若兩直線既不平行也不相交，那必然是交錯兩直線，也稱交叉兩直線，即異面直線。下面這些都是交錯直線。27

交錯直線同面投影的交點是兩直線上一對重影點的投影，對此重影需進行可見性判斷。三、兩直線交錯§2-5兩直線的相對位置

例2-5試判斷交錯兩直線AB、CD之重影的可見性。

解：

28已知點擊后自動演播yⅡ＞yⅠ，所以2'可見，1'不可見。zⅣ>zⅢ，所以4可見，3不可見?！?-6一邊平行于投影面的直角的投影

當相交兩直線平行于同一投影面時，則它們在該投影面上的投影，反映兩直線夾角的真實大小。而當它們都是任意傾斜狀態(tài)時，兩直線間的夾角通常情況下不能在其投影上如實反映出來。

29§2-6一邊平行于投影面的直角的投影

對于互相垂直的二直線，只要其中之一平行于某個投影面，那么，它們在那個投影面上的投影就反映垂直關系。逆定理也成立。

30

直角投影法則:點擊1次31§2-6一邊平行于投影面的直角的投影證明：AB∥H，∴

AB⊥Bb

又

AB⊥BC，∴

AB⊥BbcC又

ab∥AB，∴ab⊥BbcC,∴ab⊥bc即

∠abc=90°§2-6一邊平行于投影面的直角的投影

直角投影法則不僅適用于相交垂直的兩直線，也適用于交錯垂直的兩直線。下面都是符合直角投影法則的投影圖。32§2-6一邊平行于投影面的直角的投影

例2-6試補全矩形ABCD的兩面投影圖。

解：33動畫已知求解過程看動畫§2-6一邊平行于投影面的直角的投影

例2-7已知點A和水平線BC的投影，試求點A至直線BC的距離。

解：34動畫ΔΔ§2-7直線的輔助投影

作輔助投影的目的：輔助投影或者它能表明形體的真實形狀、大小，或者它能簡化某些空間幾何問題的求解。

35

為求直線的輔助投影，只需求出直線上兩個點的輔助投影，將它們連接起來就得到了直線的輔助投影。

點擊2次36

在第一章里已經(jīng)解決了點的輔助投影的求法，本章需要解決的問題是如何設置輔助投影面。設置輔助投影面的原則是：輔助投影面一定要垂直于原有兩面體系中的一個投影面，且使輔助投影有利于解決預定的問題。輔助投影面的設置在投影圖上表現(xiàn)為如何選擇輔助投影軸。如何選擇輔助投影軸才能使輔助投影滿足解決問題的需要？下面就圍繞這個目標舉出一些例子。§2-7直線的輔助投影§2-7

直線的輔助投影

例2-8求任意傾斜線段AB

的實長及水平傾角α。

37

解：AB平行于V時其正面投影才能反映線段的實長和對H投影面的傾角，所以需要建立V1輔助投影面垂直于H并平行于AB，于是在投影圖上就應為O1X1與ab平行。點擊后自動演播TL§2-7直線的輔助投影

例2-9求點C到正平線AB的距離。

38

解：當AB的投影積聚成一點時，C到AB的距離可在投影圖上直接量出。為此，應建立H1投影面使垂直于V和AB，投影圖上就表現(xiàn)為作O1X1垂直于a'b'。下頁作圖§2-7直線的輔助投影39點擊3次§2-7直線的輔助投影

例2-10求點C

到任意傾斜直線AB的距離。40二、直線的復輔助投影§2-7直線的輔助投影

解：任意傾斜直線不能一次作出積聚成點的輔助投影，根據(jù)上例，應先建立輔助投影面使AB在新投影面體系中成為投影面平行線，然后再第二次建立輔助投影面，使AB成為第二個新投影面體系中的投影面垂直線，這時點C到AB的距離即可直接反映出來。41

平面42

§3-1平面的投影表示法

在投影圖上表示平面有兩種方法：

（1）用平面上幾何元素（如點、線、圖形）的投影來表示；

（2）用平面與投影面的交線（稱為跡線）來表示。43§3-1平面的投影表示法44

一、平面的幾何元素表示法

§3-1平面的投影表示法45

二、平面的跡線表示法

平面與投影面的交線稱為跡線，不平行于任一投影面的平面有三條跡線，它們分別叫水平跡線（PH）、正面跡線（PV）、側(cè)面跡線（PW）。

§3-2各種位置平面的投影46

點擊2次

這里說的“位置”其實是指平面在投影面體系中對于投影面的放置狀態(tài)，并非指平面對投影面的遠近、高低等線性度量關系。

一、平面的傾角

兩平面間的夾角由平面角來度量?！?-2各種位置平面的投影47

平面對投影面的夾角特稱傾角。對H、V、W的傾角用α、β、γ表示?！?-2各種位置平面的投影

48

二、按平面對投影面的傾斜狀態(tài)劃分平面類型

1.投影面平行面2.投影面垂直面3.任意傾斜平面§3-2各種位置平面的投影

三、各類平面的投影特征

1.投影面平行面

49

水平面（∥H）正平面（∥V）側(cè)平面（∥W）點擊1次§3-2各種位置平面的投影

平面平行于哪個投影面，它與該投影面的傾角即為0，它在該投影面上無跡線，投影反映該面上平面圖形的實形；平面與另兩個投影面必垂直，其投影與跡線重合，方向平行于相應的投影軸，且有積聚性。50§3-2各種位置平面的投影

三種投影面平行面的投影圖如下：51跡線平面平面圖形

水平面

正平面

側(cè)平面點擊3次§3-2各種位置平面的投影

2.投影面垂直面

鉛垂面（⊥H）正垂面（⊥V）側(cè)垂面（⊥W）

52§3-2各種位置平面的投影

垂直于某個投影面的平面，在該投影面上的投影積聚為斜的直線，且與投影軸的夾角反映出平面與另兩個投影面的傾角；平面以平面圖形表示時，它的另兩個投影為相仿形。53積聚相仿相仿點擊后自動演播§3-2各種位置平面的投影54

平面圖形非退化的平行投影，是原圖形的相仿形，所以相仿形是平行投影的產(chǎn)物，它保持了圖形中的平行性、定比性、邊數(shù)相同、凸凹性不變等重要特征。§3-2各種位置平面的投影55

三種投影面垂直面的投影圖如下：跡線平面平面圖形

側(cè)垂面正垂面

鉛垂面點擊3次§3-2各種位置平面的投影56

3.任意傾斜平面

任意傾斜平面對三個投影面都傾斜，在各投影面上的投影都不積聚，也不反映平面圖形的實形，而成為原圖形的相仿形。相仿形點擊1次§3-3平面上的直線和點57

一、平面上的直線和點

1.面內(nèi)（上）的直線

過面內(nèi)兩點的直線屬于已知平面（如直線ⅠⅡ）；

過面內(nèi)一點且平行于面內(nèi)另一直線的直線屬于該平面（如直線ⅠⅢ）。點擊2次§3-3平面上的直線和點58

2.面內(nèi)（上）的點

點在平面的一條直線上，則點屬于該平面。Ⅰ點在AB上，Ⅱ點在AC上，所以它們都屬于ABC；連接ⅠⅡ，則直線ⅠⅡ?qū)儆贏BC；

K點在ⅠⅡ直線上，所以它屬于ABC。但L點在不在平面上？點擊后自動演播§3-3平面上的直線和點59

3.判別點是否在平面上

對于特殊類型的平面，只要點的一個投影與面的同面積聚投影相重合，點一定屬于平面。點擊1次§3-3平面上的直線和點60L點沒有與平面上的直線相聯(lián)系，故不能認定是否在平面上。點擊1次

3.判別點是否在平面上

而對于任意傾斜平面，則需要利用面內(nèi)的輔助線進行檢查，符合點屬于線、線屬于面的規(guī)律，才能確定點屬于面?！?-3平面上的直線和點614.在面內(nèi)作點

一般需要在面內(nèi)作輔助直線。

例3-1

K屬于ABC平面，已知k，求k'。

解：過點在面內(nèi)作輔助直線AK，k'在AK的正面投影上。動畫§3-3平面上的直線和點62

例3-2

已知五邊形ABCDE上A、D、E三點的兩投影及另兩點B、C的正面投影，要求補全五邊形的水平投影。

下頁解答§3-3平面上的直線和點

解：問題的實質(zhì)是面內(nèi)作點。A、D、E確定了五邊形所在的平面，B、C是該面內(nèi)的點，利用面內(nèi)輔助直線可求出其水平投影。最后連成五邊形的水平投影。63點擊后自動演播§3-3平面上的直線和點

例3-3

在ABC平面上作出距H面為3個單位的水平線。

64

解：先作出高度為3單位的水平線KL的正面投影k'l'，根據(jù)面內(nèi)直線應通過面內(nèi)的點，再求出水平線的水平投影kl。動畫點擊1次§3-3平面上的直線和點65

例3-4

AB∥CD，點E是該面上的點，已知其水平投影e，試過點E作直線KL，使其平行于AB和CD。

解：先求出點E的正面投影e'，過e和e'按平行直線的投影特性作出kl和k'l'。點擊后自動演播§3-3平面上的直線和點66

二、平面上的投影面平行線

(1)各種類型的平面內(nèi)都存在有三個投影面的平行線；

(2)投影面平行面上的任何直線都是投影面平行線；

(3)任意傾斜平面和投影面垂直面上同一投影面的平行線是同面跡線的平行線，且彼此間互相平行，它們的同面投影保持平行。

§3-3平面上的直線和點67

在非跡線表示的平面上作投影面平行線，可先畫它的平行于投影軸的投影，然后按面內(nèi)直線的作圖要求畫出它的其余投影。

作面內(nèi)水平線時先畫正面投影

作面內(nèi)正平線時先畫水平投影點擊后自動演播§3-3平面上的直線和點68

三、平面的最大斜度線

小球從P面上自由滾下，其路徑AK是面上傾角最大的直線，其方向垂直于水平跡線。畫法幾何中把面上垂直于跡線的直線叫最大斜度線。對H面的最大斜度線特稱最大坡度線。

動畫§3-3平面上的直線和點69

平面上對某個投影面的最大斜度線，其相應的傾角反映了平面對該投影面的傾角。所以可通過求最大斜度線相應傾角的辦法求出平面的傾角。點擊后自動演播§3-4平面的輔助投影70

一、平面的輔助投影

作出確定平面的幾何要素的輔助投影，就求出了平面的輔助投影。本節(jié)需要解決的問題仍是如何選擇輔助投影面，即在投影圖上怎樣擺放輔助投影軸。

§3-4平面的輔助投影71點擊后自動演播

例3-5

△ABC

位于鉛垂面內(nèi)，求作其實形。

解：建立平行于△ABC的V1輔助投影面，作出三角形在它上面的新投影，即得所求。去35頁§3-4平面的輔助投影

例3-6

求平面ABC的水平傾角。

72

解：在面內(nèi)作對H面的最大坡度線，求出它的水平傾角即得到平面的水平傾角。這里改變一條思路：如果平面是正垂面，則平面的正面投影將積聚成直線，且直接反映出水平傾角?，F(xiàn)在ABC不是正垂面，但通過建立輔助投影面可以使它在新投影面體系中成為正垂面。去35頁下頁演示作圖過程§3-4平面的輔助投影73點擊后自動演播去35頁

在面內(nèi)作水平線AD，建立V1投影面垂直于AD,則V1能與H組成新的二投影面體系，這時ABC是新體系中的正垂面，作出ABC在V1面上的投影，則可直接獲得水平傾角。§3-4平面的輔助投影

二、平面的復輔助投影

例3-7

求任意傾斜平面△ABC的實形。

74

解：新投影面若平行于ABC，則新投影能反映實形。但與ABC平行的平面也是一般斜平面，它不能與原有的投影面組成新的投影面體系。所以這個問題可分兩步進行：下頁演播作圖過程§3-4平面的輔助投影75

（1）仿照例3-6的辦法設置輔助投影面使ABC成為新的投影面垂直面；

（2）仿照例3-5的辦法設置輔助投影面使ABC成為新的投影面平行面。點擊后自動演播76直線與平面、平面與平面的相對位置§4-1直線與平面、平面與平面平行

一、直線與平面平行

如果平面外一直線平行于平面上的任一直線，則該直線平行于該平面，如下圖。77§4-1直線與平面、平面與平面平行

在投影圖上，對于投影面垂直面，只要空間直線的一個投影與平面的相應積聚投影平行，則直線與平面就彼此平行，如圖。

78§4-1直線與平面、平面與平面平行

79

二、平面與平面平行

如果某一平面上的相交兩直線，分別平行于另一平面上的相交兩直線，則這兩個平面互相平行?！?-1直線與平面、平面與平面平行80

例4-1

試檢驗圖示的平面△ABC和□DEFG是否平行。

解：

檢查作圖結(jié)果，符合兩面平行的條件點擊后自動演播§4-1直線與平面、平面與平面平行81

如果被檢驗的兩平面，是同一投影面的垂直面，則只需視其積聚投影是否平行即可。

同面積聚投影平行，兩鉛垂面平行同面積聚投影不平行，兩鉛垂面不平行點擊2次§4-1直線與平面、平面與平面相交82

直線與平面不平行，則一定相交于一點。

平面與平面不平行，則一定交于一直線。

點擊2次§4-2直線與平面、平面與平面相交

直線與平面相交—求交點平面與平面相交—求交線

交點和交線是相交雙方的共有元素，所以相交的問題首先是求共有元素。

另外，在畫法幾何中平面圖形通常被當作是不透明的，所以在投影圖中還要表明直線被平面遮擋以及平面與平面互相遮擋的情況，即判斷其投影的可見性。

求共有元素和判斷可見性的方法，與相交元素相對于投影面的傾斜狀態(tài)有關。83

§4-2直線與平面、平面與平面相交84

一、參與相交的元素中有積聚投影的情況

直線與平面或平面與平面相交的投影圖中有積聚投影時，交點或交線的一個投影一定包含在該積聚投影中。根據(jù)交點或交線是相交元素所共有這一條件，便能直接從積聚投影中得出交點或交線的一個投影，而另一投影則可由此求得?？梢娦砸部筛鶕?jù)積聚投影直接加以判斷?！?-2直線與平面、平面與平面相交85

例4-2

試求直線MN

和△ABC

的交點K，并判斷直線投影的可見性。

解：△ABC

是鉛垂面，水平投影有積聚性，…點擊后自動演播§4-2直線與平面、平面與平面相交

同一投影面的兩垂直面相交，兩平面積聚投影的交點，就是它們的交線的積聚投影。該交線垂直于兩已知平面所垂直的投影面。右圖中交線KL為鉛垂線，平面各部分的可見性可通過觀察兩平面的積聚投影的相對位置予以判斷。86

動畫§4-2直線與平面、平面與平面相交

任意傾斜平面與投影面垂直面相交，交線KL的水平投影kl是鉛垂面的具有積聚性的水平投影的一部分。

從水平投影中可以看出：△abc位于交線投影kl右前方的部分，在正面投影中是可見的。87

動畫點擊1次§4-2直線與平面、平面與平面相交

當鉛垂面用跡線PH表示時，因跡線平面沒有明確的范圍，所以也可模糊區(qū)分可見性。88

§4-2直線與平面、平面與平面相交

二、參與相交的元素中均無積聚投影的情況

任意傾斜的直線與平面或平面與平面相交時，因各投影都沒有積聚性，所以它們的共有元素(交點或交線)不能從投影圖中直接確定。此時常用的解決辦法，是引入一個能產(chǎn)生積聚投影的輔助平面（投影面垂直面或投影面平行面）作為媒介，從而作出所求的共有元素。這種方法可稱為輔助平面法?？梢娦詥栴}，也因原投影圖中沒有積聚投影可以利用，通常要借助交錯直線的重影點來解決。89

§4-2直線與平面、平面與平面相交

1.任意傾斜直線與任意傾斜平面相交

90

利用輔助平面求交點的方法：包含已知直線MN作輔助鉛垂面P，則P與△ABC就構(gòu)成右圖所示的情況，可直接作出它們的交線ⅠⅡ，此交線與同屬輔助平面P的已知直線MN相交于一點K，點K就是已知直線與平面的交點。動畫§4-2直線與平面、平面與平面相交91

點擊3次

（1）包含已知直線MN作輔助鉛垂面P

；

求任意傾斜直線MN與任意傾斜平面△ABC交點K的作圖三步驟：

（2）求輔助平面P與已知平面

△ABC的交線DE（de，d'e'）；

（3）直線MN與交線DE的交點K（k，k′）即為所求的交點；動畫§4-2直線與平面、平面與平面相交92

點擊后自動演播

上例，利用交錯直線的重影點判斷直線各段的可見性:§4-2直線與平面、平面與平面相交93

上例，利用交錯直線的重影點判斷直線各段的可見性:點擊后自動演播§4-2直線與平面、平面與平面相交

2.兩任意傾斜平面相交

在相交兩平面都是任意傾斜的情況下，不能直接確定其交線，也要借助于輔助平面。兩平面的交線是一條直線，只要求得直線上的兩點即可確定該交線，而這些點可以看作是一個平面上的直線與另一平面的交點。這樣便把求平面與平面的交線問題，轉(zhuǎn)化為求直線與平面的交點問題。

94

§4-2直線與平面、平面與平面相交

下圖表示求兩任意傾斜平面△ABC與△DEF的交線KL的作圖過程以及判斷可見性的方法。

95

已知求DF與ABC的交點K求DE與ABC的交點L，并連KL點擊2次§4-2直線與平面、平面與平面相交96

動畫判別可見性判別可見性整理成圖點擊3次§4-2直線與平面、平面與平面相交

由以上作圖可知：在求直線與平面的交點時所選擇的兩條直線，位于同一平面上還是分別在兩個平面上，對最后結(jié)果沒有影響；判斷各投影的可見性，需分別進行，各投影中皆以交線投影為可見與不可見的分界線，在分界線的任何一側(cè)只需選一重影即可。另外，由于作圖線較多，為避免差錯，對作圖過程中的各點最好加以標記。97

§4-2直線與平面、平面與平面相交

求相交兩平面的共有點，除利用直線與平面的交點外，還可利用三面共點的原理來作出屬于兩平面的共有點。

98

作輔助平面P，此平面與兩已知平面交出直線AB和CD，它們的交點K就是兩已知平面的共有點。同法可作出另一共有點L。直線KL就是兩已知平面的交線?！?-2直線與平面、平面與平面相交

通常以水平面或正平面作為輔助平面。下圖無需判斷可見性。99

動畫§4-3直線與平面、平面與平面垂直

直線與平面垂直、平面與平面垂直，是相交的特殊情況。

100

一、直線與平面垂直

一直線如果同時垂直（含相交垂直和交錯垂直）于平面上的相交兩直線，則該直線與平面垂直。

MN垂直于平面P

MN垂直于平面P

MN不垂直于平面P

點擊3次§4-3直線與平面、平面與平面垂直

反之，若直線垂直于平面，則該直線垂直于平面上的所有直線，當然也包括于平面上的投影面平行線。圖中直線AK垂直于平面P，垂足是點K

。過垂足K在平面P上作水平線BC和正平線DE。則，直線AK垂直于BC和DE。101

§4-3直線與平面、平面與平面垂直

但根據(jù)直角投影法則，在水平投影中ak應垂直于bc或PH；在正面投影中a'k'應垂直于d'e'或PV。結(jié)論：垂直于一平面的直線，其投影垂直于該平面上投影面平行線的相應投影，因而也垂直于該平面的同面跡線。

102

§4-3直線與平面、平面與平面垂直

例4-3

過△ABC外一點M，作直線MN垂直于該平面。

解：作平面內(nèi)的水平線AD和正平線CE，則mn應垂直于ad，m'n'應垂直于c'e'。103

動畫點擊后自動演播§4-3直線與平面、平面與平面垂直

例4-3

過△ABC外一點M，作直線MN垂直于該平面。

解：作平面內(nèi)的水平線AD和正平線CE，則mn應垂直于ad，m'n'應垂直于c'e'。104

動畫點擊后自動演播§4-3直線與平面、平面與平面垂直

如果已知平面是特殊位置平面，則過已知點所作的垂線也必定是特殊位置直線。例如：105

鉛垂面的垂線是水平線正垂面的垂線是正平線正平面的垂線是正垂線§4-3直線與平面、平面與平面垂直

例4-4

已知直線MN及直線外一點A，試過點A作一平面，使該平面與已知直線MN相垂直，并求出垂足K。

106

點擊2次§4-3直線與平面、平面與平面垂直107

例4-4

已知直線MN及直線外一點A，試過點A作一平面，使該平面與已知直線MN相垂直，并求出垂足K。

解：

動畫點擊后自動演播§4-3直線與平面、平面與平面垂直108

例4-4

已知直線MN及直線外一點A，試過點A作一平面，使該平面與已知直線MN相垂直，并求出垂足K。

解：

動畫點擊后自動演播§4-3直線與平面、平面與平面垂直

二、平面與平面垂直

如果某平面包含一條垂直于另一平面的直線，則該兩平面互相垂直。

109

直線KL⊥平面Q，則包含KL直線的所有平面如P1、P2、P3等，都垂直于平面Q。反之，與平面Q垂直的任何平面，如P1，一定包含有與平面Q垂直的直線，如KL?！?-3直線與平面、平面與平面垂直

例4-5

試過點M作平面垂直于△ABC平面。

110

2.包含此直線任作一平面，則所作平面必與已知平面垂直。包含直線MN的平面MND、MNE、MNF都垂直于已知平面△ABC。

解：

1.過點M作一直線垂直于已知平面（MN⊥△ABC

）。點擊2次

111多面體

§5-1棱柱和棱錐

由若干平面所圍成的立體稱為多面體，多面體的每個表面都是平面多邊形。最常見的多面體是棱柱、棱錐和棱臺。112點擊1次

一、棱柱

在一個多面體中，如果有兩個面相互平行，而其余每相鄰兩個面的交線都相互平行，這樣的多面體稱為棱柱。兩互相平行的面叫底面，其余的面叫棱面，相鄰兩棱面的交線叫棱線。棱線垂直于底面的棱柱稱為直棱柱，棱線與底面斜交的稱為斜棱柱。底面是正多邊形的直棱柱稱為正棱柱。

§5-1棱柱和棱錐113

下圖是正五棱柱在三個投影面上的投影。圖中五棱柱的底面平行于H面，后面的棱面平行于V面?！?-1棱柱和棱錐

下圖是斜三棱柱及其在兩投影面上的投影，該棱柱的底面為水平面，棱柱向上、向右、向前傾斜。

114§5-1棱柱和棱錐

二、棱錐

如果多面體有一個面是多邊形，其余各面是具有一個公共頂點的三角形，這樣的多面體稱為棱錐。這個多邊形是棱錐的底面，各個三角形就是棱錐的棱面。如果棱錐的底面是一個正多邊形，而且頂點與正多邊形底面的中心的連線垂直于該底面，這樣的棱錐就稱為正棱錐。

115§5-1棱柱和棱錐

下圖是正三棱錐及其三面投影圖。圖中三棱錐的底面平行于H面，其后面的棱面垂直于W面。116§5-1棱柱和棱錐

三、棱臺

棱錐被平行于其底面的平面截割，截面與底面間的部分為棱臺。所以，棱臺的兩個底面彼此平行且相似，所有的棱線延長后相交于一點。

右圖是以矩形為底面的四棱臺的水平投影和正面投影。

117§5-1棱柱和棱錐118

這里展示出根據(jù)已知棱臺的兩投影作出其側(cè)面投影的情況。

點擊后自動演播§5-1棱柱和棱錐119

這里展示出根據(jù)已知棱臺的兩投影作出其側(cè)面投影的情況。

點擊后自動演播§5-2多面體表面上的點

根據(jù)立體表面上點的一個投影，利用面內(nèi)定點的方法，可以作出它的其他投影。凡是在投影圖中位于立體可見面上的點都是可見的，否則是不可見的。120

例5-1

已知三棱柱ABC表面上點D的水平投影和點E的正面投影，求作它們的其余兩投影。

解：點擊后自動演播§5-2多面體表面上的點

根據(jù)立體表面上點的一個投影，利用面內(nèi)定點的方法，可以作出它的其他投影。凡是在投影圖中位于立體可見面上的點都是可見的，否則是不可見的。121

例5-1

已知三棱柱ABC表面上點D的水平投影和點E的正面投影，求作它們的其余兩投影。

解：點擊后自動演播§5-2多面體表面上的點

例5-2

已知三棱錐SABC的兩投影sabc和s'a'b'c'，以及該立體表面上的點D的正面投影d'，試作出該三棱錐的側(cè)面投影和點D的其余兩投影。122點擊后自動演播§5-2多面體表面上的點

例5-2

已知三棱錐SABC的兩投影sabc和s'a'b'c'，以及該立體表面上的點D的正面投影d'，試作出該三棱錐的側(cè)面投影和點D的其余兩投影。

解：123點擊后自動演播§5-2多面體表面上的點

例5-3

已知斜四棱柱ABCD的兩投影及其表面上線段EFG的水平投影efg，求作該線段的正面投影e'f'g'。

解：124點擊后自動演播§5-2多面體表面上的點

例5-3

已知斜四棱柱ABCD的兩投影及其表面上線段EFG的水平投影efg，求作該線段的正面投影e'f'g'。

解：125點擊后自動演播§5-3平面與多面體表面相交截平面、截交線、截斷面:

平面與立體相交，在立體表面上產(chǎn)生交線。與立體相交的平面稱為截平面，所產(chǎn)生的交線就叫截交線。截平面截切立體所得的由截交線圍成的圖形則稱為截斷面或斷面。

126

截交線是封閉的多邊形。多邊形的各邊是截平面與多面體棱面及底面的交線，多邊形的各頂點則是截平面與多面體棱線和底邊的交點。求作平面與多面體截交線的問題可歸結(jié)為求多面體棱線及底邊與截平面的交點問題，或求多面體棱面及底面與截平面的交線問題。動畫點擊1次§5-3平面與多面體表面相交

一、特殊位置截平面與多面體相交

當截平面處于特殊位置時，截平面的具有積聚性的投影必與截交線在該投影面上的投影重合。這相當于知道了截交線的一個投影，其余的投影可用表面定點的方法作出。127

例5-4

已知五棱柱和垂直于V面的截平面P，求作被截后棱柱的三面投影和截斷面的實形。

解：看動畫動畫§5-3平面與多面體表面相交128

注意:棱柱被截后，側(cè)面投影中b"5"和b"1"這兩段圖線應予除去；棱線投影a"4"應畫成虛線。

提示:求截斷面實形時，是以截斷面投影的邊線23和截斷面實形的邊線2131作為基準線進行作圖的。

§5-3平面與多面體表面相交

例5-5

已知正三棱錐SABC和水平面P、正垂面Q，求作此三棱錐被P、Q兩平面截割后的三面投影圖。

解：

129動畫點擊后自動演播§5-3平面與多面體表面相交

例5-5

已知正三棱錐SABC和水平面P、正垂面Q，求作此三棱錐被P、Q兩平面截割后的三面投影圖。

解：

130點擊后自動演播§5-3平面與多面體表面相交

二、任意傾斜截平面與多面體相交

當截平面處于任意傾斜狀態(tài)時，通常可作出多面體各棱線和底邊與截平面的交點，然后連成截交線。131

例5-6

求作一般位置截平面△DEF與三棱錐SABC的交線?！?-3平面與多面體表面相交132

提示:可作出輔助投影使截平面的輔助投影積聚成直線。求出棱錐棱線及底邊與截平面的交點，即可連成截交線。最后，要分清投影中各線段的可見性。

§5-4直線與多面體表面相交

直線與多面體表面相交，產(chǎn)生交點，稱為貫穿點。對于凸多面體來說，有兩個貫穿點。

一、直線或多面體表面的投影具有積聚性的情況

當直線與多面體表面相交而多面體表面的投影具有積聚性時，則在具有積聚性的那個投影上，可直接定出貫穿點的一個投影。

133

例5-7

作出直線AB與四棱柱CDEF的貫穿點。

解：看動畫

動畫§5-4直線與多面體表面相交134

例5-8

已知三棱錐SABC和正垂線DE的三投影，求作貫穿點。

解：貫穿點K、M的V投影與直線的V投影重合，利用表面定點可作出它們的其余投影。§5-4直線與多面體表面相交

二、直線和多面體表面的投影均無積聚性的情況

在直線和多面體表面的投影均無積聚性的情況下，解決問題的思路跟求直線與平面的交點問題時一樣，要過已知直線作輔助平面，作出輔助平面與多面體表面的截交線，已知直線與截交線的交點就是所求的貫穿點。可以用投影面垂直面作為輔助平面。135

例5-9

作出直線DE與三棱柱ABC的貫穿點?！?-4直線與多面體表面相交

提示:本例選用過直線DE作的正垂面

R為輔助面。

136動畫

例5-9

作出直線DE與三棱柱ABC的貫穿點。

解：看動畫§5-5兩多面體表面相交

一、概述

兩立體表面相交，產(chǎn)生交線，稱為相貫線。立體相交的問題主要就是作出它們的相貫線。全貫:

一個立體全部貫穿另一個立體互貫:

兩個立體互相貫穿137點擊1次§5-5兩多面體表面相交

兩個凸多面體相貫，在一般情況下，相貫線是封閉的空間折線，也可能是平面多邊形。全貫時，通常有兩條相貫線；互貫時，則有一條相貫線。特殊情況下相貫線可能是不封閉的。求兩多面體相貫線的問題可歸結(jié)為求直線與平面的交點和求兩平面交線的問題。

注意:兩立體相貫后應把它們視為一個整體，因而一立體位于另一立體內(nèi)的部分是不存在的，不應畫出。138相貫線不封閉

§5-5兩多面體表面相交

二、作圖舉例

例5-10

已知三棱錐SABC和三棱柱DEF的三投影，求作它們的相貫線。

（解題過程請翻頁看動畫）139§5-5兩多面體表面相交140動畫§5-5兩多面體表面相交

例5-11

作出三棱錐SEFG與四棱柱ABCD的相貫線。141動畫

解：看動畫§5-5兩多面體表面相交

利用圖解展開圖進行連點和區(qū)分相貫線各段可見性的方法:

將棱柱各棱面的展開示意圖豎直地畫出，該圖是假定沿棱柱的B棱剖開后畫出的，所以圖中B棱出現(xiàn)兩次；將棱錐的展開示意圖橫著疊畫在棱柱的展開圖上。然后把求得的點畫到這個圖的棱線和對應的棱面上。連點時只有位于同一四邊形格子內(nèi)的點才能相連。利用該圖還能判別可見性。142動畫§5-6同坡屋頂畫法

在坡屋頂中，如果每個屋面對水平面的傾角相同，而且房屋四周的屋檐同高，那么，由這種屋面所構(gòu)成的屋頂稱為同坡屋頂。

143§5-6同坡屋頂畫法同坡屋頂具有下列一些特點：(1)如屋檐平行的兩屋面相交，它們一定相交于水平的屋脊，其水平投影與兩屋檐的水平投影等距。(2)凡是屋檐相交的兩屋面必相交于傾斜的屋脊或天溝，其水平投影應通過兩屋檐水平投影的交點而且是它們的角平分線。如果兩屋檐正交，則在水平投影中斜脊或天溝成為與屋檐成45°角的直線。(3)當屋頂上有兩條交線時，表明這是由三個平面相交而得出的，而三相交平面的三條交線必共點，所以過兩交線的交點一定有第三條直線存在。當相鄰兩屋檐相交成直角時，連續(xù)三條屋檐中必有兩條屋檐相互平行，所以在一般情況下，上述三條交線中一定有一條是水平的屋脊，另兩條為傾斜的斜脊或天溝。144§5-6同坡屋頂畫法

例5-12

已知同坡屋頂四周屋檐的水平投影及各屋面的水平傾角α，試作出該同坡屋頂?shù)乃酵队昂驼嫱队啊?/p>

解：看動畫145動畫點擊2次§5-6同坡屋頂畫法146錯誤畫法

147點

§1-1點在兩投影面體系中的投影

一、點的投影

空間點在投影面上的投影仍是點。在正投影中只有點的一個投影不能確定該點在空間的位置。148

規(guī)定：表示空間的點用大寫字母標記，如A；表示點的投影用相應的小寫字母標記，如a

。動畫

從本章起，如不特別聲明，講到“投影”，一律是指正投影。點擊1次§1-1點在兩投影面體系中的投影

多面正投影法中，至少要用兩個互相垂直的投影面，構(gòu)建兩投影面體系，作出點的兩個投影，來確定該點在空間的位置。149點擊1次

二、兩投影面體系及空間直角坐標系§1-1點在兩投影面體系中的投影

150

水平放置的投影面稱為水平投影面，常標以“H”。

豎直放置的與H

面垂直的投影面稱為正立投影面，常標以“V”。

點擊2次

二、兩投影面體系及空間直角坐標系§1-1點在兩投影面體系中的投影

二、兩投影面體系及空間直角坐標系

151

H面和V面構(gòu)成兩投影面體系（簡稱兩面體系），它包含了確定空間點所必須的三個向度，即左右、前后、上下三個方向上的尺度。

在兩投影面體系中建立空間直角坐標系,空間點的位置用三個坐標（x，y，z）表示。

點擊1次§1-1點在兩投影面體系中的投影

152

投影面是可以無限擴展的，若把H面向后、V面向下擴展出H0

和V0

，整個空間便被分成了四部分，每一部分稱為一個分角，依次編為第Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ分角。點擊1次

二、兩投影面體系及空間直角坐標系§1-1點在兩投影面體系中的投影

三、點的兩面投影及其投影圖畫法

153

將點A

放在第Ⅰ分角中進行投射，向H面投射得a，稱為點A

的水平投影或H

面投影。將點A向V

面投射得a′，稱為點A

的正面投影或V

面投影。

動畫§1-1點在兩投影面體系中的投影

三、點的兩面投影及其投影圖畫法

154

畫法幾何中規(guī)定：標記V

面投影，要在小寫字母的右上角加一撇，如a′；H面投影則不加一撇，如a

。

點A在空間的位置被其兩個投影a和a′唯一確定，因為兩個投影反映了三個方向的坐標(xA，yA，zA)。點A可表述為A(a，a′)。

§1-1點在兩投影面體系中的投影

三、點的兩面投影及其投影圖畫法

155

畫投影圖時，需要把互相垂直的兩個投影面展開成一個平面。畫法幾何規(guī)定兩面體系的展開方法是：V

面不動，H

面繞OX

軸向下旋轉(zhuǎn)90°角。動畫§1-1點在兩投影面體系中的投影

156

由于投影面是無限大的，在投影圖中毋須畫出其邊界線。

投影面展開后，點A的兩投影a和a′處于同一條垂直于OX

軸的直線上，此線稱為投影連線，即

a

a′⊥OX。

點擊3次§1-1點在兩投影面體系中的投影

點的兩面投影規(guī)律：

157

(1)兩投影的連線垂直于投影軸，即aa′⊥OX

。

(2)空間點的某一投影到投影軸的距離，等于該點到另一投影面的距離,即

aaX=Aa′=yA，a′aX=Aa=zA

。點擊3次§1-1點在兩投影面體系中的投影

158

例1-1

點A

的坐標xA、yA、zA

分別為5、3、4個單位，試畫出點A的兩面投影圖。分時點擊3次

解：§1-1點在兩投影面體系中的投影

例1-2

159

試畫出例1-1中點A

的立體示意圖。

點擊1次§1-2點在三投影面體系中的投影

確定點在空間的位置，如前所述，有兩個投影就夠了。但對于一些較復雜的形體，只有兩個投影往往不能確定其形狀。解決的辦法是設置第三個投影面，構(gòu)建三投影面體系，作出形體的第三個投影。160§1-2點在三投影面體系中的投影

一、三投影面體系的建立

在兩面體系的基礎上，包含OY

軸和OZ

軸作出第三個投影面—側(cè)立投影面（簡稱側(cè)面），又稱W

面。W

面與H、V

面相互垂直并一起構(gòu)成三投影面體系，簡稱三面體系。W

面能反映前后、上下兩個方向的尺度。

161§1-2點在三投影面體系中的投影

二、八個卦角

在擴展H、V

面的基礎上，再擴展W

面，得到V

面后的W

面的擴展部分W0，從而把空間分成八個卦角（也稱卦限）。W、W0

面的左方為第Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ

卦角，右方為第Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ卦角，投影軸的指向即坐標軸的正方向。

162點擊1次§1-2點在三投影面體系中的投影

三、點的三面投影

把點A放在第Ⅰ卦角中進行投射。在H、V

面上得到了a、a′，又從左向右投射，在W

面上得到點A的第三投影a″，稱為側(cè)面投影或W

面投影。a″反映了點A的y和z坐標，即a″（yA，zA）。163動畫§1-2點在三投影面體系中的投影

三、點的三面投影

a′aZ=aaY=Aa″=xA，反映點A到W

面的距離；

a″aZ=aaX=Aa′=yA，反映點A到V

面的距離；

a″aY=a′aX=Aa=zA，反映點A到H

面的距離。

用三個投影表達點A

的位置時，可寫成A（a，a′，a″）。164點擊4次§1-2點在三投影面體系中的投影

三、點的三面投影

與兩面體系一樣，實際畫投影圖時需要把三個投影面展開成一個平面。V

面不動，H

面繞OX

軸向下旋轉(zhuǎn)90°角，W

面繞OZ

軸向右旋轉(zhuǎn)90°角。此時OY

軸被“一分為二”，隨H

面的軸記為OYH，隨

W

面的軸記為OYW

。

165點擊1次§1-2點在三投影面體系中的投影

三、點的三面投影

給出空間點的三個坐標，就可按前述點的投影規(guī)律畫出點的三面投影圖；反之，由點的三面投影圖應能想象出點的空間的位置。點在三投影面體系中的位置有：在各卦角間、在各投影面內(nèi)和在各投影軸上等情況，它們都遵守相同的投影規(guī)律。

166點擊2次§1-2點在三投影面體系中的投影

四、由點的兩個投影求作第三投影

167

分析點A的三個投影a(xA,yA)、a'(xA,zA)、a"(yA,zA)可知，三個投影中的任意兩個，都包含有確定該點空間位置所必需的x、y、z

三個坐標，因此，由點的兩個投影可以作出第三投影。點擊1次§1-2點在三投影面體系中的投影例1-3

如圖所示，已知點A的兩個投影a及a′，求作a″。

168已知點擊2次求解—利用分規(guī)量距離求解—利用圓規(guī)畫弧§1-2點在三投影面體系中的投影例1-3

如圖所示，已知點A的兩個投影a及a′，求作a″。

169求解—利用45°分角線或45°上斜線作圖點擊后自動演播§1-3兩點的相對位置和無軸投影圖

一、兩點的相對位置

通常判別兩個點在空間的相對位置，是將其中一點作為基準點，判斷另一點（即比較點）在基準點之左（或右）、之前（或后）、之上（或下）多少距離。反映在投影圖中，是在確定了基準點的前提下，找出兩點在同一投影面上投影的同名坐標值的代數(shù)差Δx、Δy、Δz。

170§1-3兩點的相對位置和無軸投影圖例1-4已知兩點的投影，試判斷兩點的相對位置。

解：

選定A(a,a′,a″)為基準點，B

為比較點，則有：Δx為正值，點B

在點A

之左；Δy為負值，點B

在點A

之后；Δz為正值，點B

在點A

之上。

171一、兩點的相對位置點擊2次§1-3兩點的相對位置和無軸投影圖二、點的重影及其可見性判斷

172

當空間兩點處在對某一投影面的同一條投射線上時，它們在該投影面上的投影便重合在一起?？臻g的這些點，稱為對該投影面的重影點，重合在一起的投影稱為重影。右圖中，點A、B

是對H

面的重影點，a、b

則是它們的重影。點擊1次§1-3兩點的相對位置和無軸投影圖二、點的重影及其可見性判斷

173

在投影圖中需要判斷并標明重影的可見性，即標明沿投射方向“看”去，哪個點的投影是可見的，哪個點的投影是被遮擋而不可見的。重影a、b的可見性是從V面（或W

面）上的投影判斷出來的：a'高于b'，所以a

可見，b不可見。通常在不可見的投影標記上加上括號。

點擊1次§1-3兩點的相對位置和無軸投影圖

三、無軸投影圖

174

在辨認兩點的相對位置時，起重要作用的是兩點同面投影的坐標差，而與投影軸的位置無關。因此，對于不涉及點到投影面距離的作圖問題，便可不畫出投影軸。這種圖就稱為無軸投影圖。點擊1次§1-3兩點的相對位置和無軸投影圖

例1-5已知點A

的三個投影，如圖所示，有一點B

在其右3、其前3、其下2個單位處，試畫出點B

的三個投影。

解：Δx=-3,Δy=3,Δz=-2,…175點擊1次§1-4點的輔助投影176

對于復雜的形體常需設置側(cè)立投影面W，畫出形體在W

面上的投影，以便更充分、準確地表明形體的形狀。

用H、V

和W

各面投影仍不足以準確表明形體的形狀時，可以設置只與已知兩投影面體系中的一個投影面相垂直的輔助投影面，作出形體在輔助投影面上的投影，稱之為輔助投影。點擊1次輔助投影面§1-4點的輔助投影

一、點的輔助投影

177

在基本的

兩投影面體系V/H中，有一個點A(a,a')

。設置一個與H投影面垂直的輔助投影面

V1。V1面與H面交于O1X1。O1X1

稱為輔助投影軸。V1面和H面也構(gòu)成一個兩投影面體系。將A點向V1

面作正投影，得V1面上的投影a'1，a'1

是A點的輔助投影。動畫點擊1次§1-4點的輔助投影

一、點的輔助投影

178

有兩個兩投影面體系，一個是原有的體系(V/H

)，其投影軸是OX;另一個是新設置的體系(V1/H),

其投影軸是輔助投影軸O1X1，它們共有投影面H。

O1X1的位置視輔助投影面V1的位置而定。輔助投影圖上有：aa'1⊥O1X1,ax1a'1=axa'。

點擊1次§1-4點的輔助投影

根據(jù)點的原有投影作出其輔助投影的方法，可以表述如下：

179

自輔助投影面所垂直的原投影面上的投影，向輔助投影軸作垂線，與輔助投影軸交于一點，自交點起在垂線上截量一段距離，使等于原有的另一投影到原有投影軸的距離，即得點的輔助投影。這個關系習慣上簡單說成是新投影到新軸的距離等于老投影到老軸的距離。點擊后自動演播a1'§1-4點的輔助投影

如果設置輔助投影面H1

垂直于V

面，則輔助投影面H1與V面構(gòu)成新的兩投影面體系(V/H1)，新舊兩體系共有投影面V。這時作點的輔助投影，仍要遵循前面所表述的作圖規(guī)律。180

§1-4點的輔助投影

二、點的復輔助投影

181

在基本的(V/H)體系中設置輔助投影面V1后，再在(V1/H)體系中設置第二個輔助投影面H2

垂直于V1

，H2

稱之為復輔助投影面。點擊1次§1-4點的輔助投影182

把A點正投射到H2面上，就得到了A點的復輔助投影a2。在(V1/H2)體系中根據(jù)(a,a'1)作a2

時仍然要遵循前面所表述的作輔助投影的規(guī)律。

§1-4點的輔助投影183

當然也可以先設置輔助投影面H1垂直于V，構(gòu)成投影面體系(V/H1)，然后設置復輔助投影面V2⊥H1，求復輔助投影的方法與前述類似。直線由兩個點確定，平面由不在一直線上的三個點確定，求直線、平面的輔助投影和復輔助投影都可以歸結(jié)為求點的輔助投影或復輔助投影。因此應透徹理解求點的輔助投影和復輔助投影的原理和熟練掌握其作圖方法。點擊1次

曲線和曲面184

§6-1曲線

一、曲線的形成和分類

曲線可以看作是由以下三種方式形成的：

(1)不斷改變方向的點連續(xù)運動的軌跡。

(2)曲面與曲面或曲面與平面相交的交線。

(3)直線族或曲線族的包絡。

185點的運動軌跡曲表面的交線包絡曲線點擊3次§6-1曲線

曲線的分類：曲線可分為規(guī)則曲線與不規(guī)則曲線，例如圓是規(guī)則曲線，地面等高線是不規(guī)則曲線；曲線又可分為平面曲線和空間曲線，曲線上所有的點都位于一個平面上，這樣的曲線叫平面曲線；連續(xù)四個點不在同一平面上的曲線叫空間曲線。圓柱螺旋線就是空間曲線的例子。186§6-1曲線

二、曲線的投影187

畫出曲線上一系列點的投影，可得到曲線的投影。為了準確地表示曲線，一般應畫出曲線上特殊點的投影，以便控制好曲線的形狀。

曲線的投影性質(zhì)：

(1)曲線的投影一般仍為曲線，特殊情形下平面曲線的投影可能退化成直線。

點擊1次§6-1曲線188

(2)曲線的切線在某投影面上的投影仍與曲線在該投影面上的投影相切，而且切點的投影仍為切點。

(3)二次曲線的投影一般仍為二次曲線，例如圓的投影一般為橢圓?！?-1曲線

189

平面曲線的投影，其形狀視平面與投影面的傾斜狀態(tài)而定。當平面平行于投影面時，曲線的投影反映曲線的實形；當平面垂直于投影面時，曲線的投影重合為直線；當平面傾斜于投影面時，曲線的投影為變了形的曲線。反映實形重合成直線變了形的曲線點擊1次§6-1曲線

三、圓的投影

190

1.投影面垂直面上的圓

圓在所垂直的那個投影面上的投影為直線段，線段的長度等于圓的直徑，圓的另外兩投影為橢圓，橢圓的長軸長度等于圓的直徑?！?-1曲線

例6-1

已知直徑為d

的圓位于鉛垂面內(nèi)，并知圓心O和PH的位置，試作出其投影。

191

解：圓的水平投影為線段，長度等于d，重合在PH上；正面投影和側(cè)面投影為橢圓，長軸豎直，長度等于d，短軸水平，長度根據(jù)水平投影作出。利用圓的輔助投影可作出橢圓上的一些中間點。翻頁看作圖演播§6-1曲線192作圖過程演播點擊后自動演播§6-1曲線193作圖過程演播點擊后自動演播§6-1曲線

194

2.一般斜平面上的圓

圓所在的平面傾斜于三個投影面時，圓的任一投影都是橢圓，橢圓長軸的長度總是等于圓的直徑d?！?-1曲線

例6-2

半徑為r的圓位于一般傾斜平面□ABCD上，并知圓心O的位置，試作出其投影。

195

解：首先，在水平投影中作橢圓的長短軸：長軸的方向為面內(nèi)水平線的水平投影的方向，長度等于圓的直徑2r。短軸垂直于長軸，長度利用直角三角形法求出。點擊6次§6-1曲線

其次，求出水平投影中長短軸在正面投影中的投影，它們是一對共軛直徑1'2'、3'4'。根據(jù)共軛直徑可求出橢圓上的其余四個點5'、6'、7'、8'，用八點法畫出正面投影橢圓。196§6-1曲線

最后，利用平面上定點的方法求出水平投影中的5、6、7、8四點，從而畫出水平投影橢圓。197§6-1曲線

四、螺旋線的投影

198

1.圓柱螺旋線的形成

點P沿圓柱面上的一條直母線作等速移動，該母線又繞柱軸作等速轉(zhuǎn)動，點P的軌跡為圓柱螺旋線。

動畫§6-1曲線

2.螺旋線的投影

199

螺旋線軸線為鉛垂線時，螺旋線的水平投影為圓。把圓周等分（例如12等分），分點按旋