初中幾何輔助線大全1

初中幾何輔助線一克勝秘籍

等腰三角形

1.作底邊上的高，構(gòu)成兩個(gè)全等的直角三角形，這是用得最多的一種方法；

2.作一腰上的高；

3.過底邊的一個(gè)端點(diǎn)作底邊的垂線，與另一腰的延長線相交，構(gòu)成直角三角形。

梯形

1.垂直于平行邊

2.垂直于下底，延長上底作一腰的平行線

3.平行于兩條斜邊

4.作兩條垂直于下底的垂線

5.延長兩條斜邊做成一個(gè)三角形

菱形

1.連接兩對角2.做高

平行四邊形

1.垂直于平行邊

2.作對角線一一把一個(gè)平行四邊形分成兩個(gè)三角形

3.做高——形內(nèi)形外都要注意

矩形

1.對角線2.作垂線

很簡單。無論什么題目，第一位應(yīng)該考慮到題目要求，比如AB=AC+BD.…這類

的就是想辦法作出另一條AB等長的線段，再證全等說明AC+BD=另一條AB,

就好了。還有一些關(guān)于平方的考慮勾股，A字形等。

三角形

圖中有角平分線，可向兩邊作垂線（垂線段相等）。

也可將圖對折看，對稱以后關(guān)系現(xiàn)。

角平分線平行線，等腰三角形來添。

角平分線加垂線，三線合一試試看。

線段垂直平分線，常向兩端把線連。

要證線段倍與半，延長縮短可試驗(yàn)。

三角形中兩中點(diǎn)，連接則成中位線。

三角形中有中線，延長中線等中線。

解幾何題時(shí)如何畫輔助線？

①見中點(diǎn)引中位線，見中線延長一倍

在幾何題中，如果給出中點(diǎn)或中線，可以考慮過中點(diǎn)作中位線或把中線延長一倍

來解決相關(guān)問題。

②在比例線段證明中，常作平行線。

作平行線時(shí)往往是保留結(jié)論中的一個(gè)比，然后通過一個(gè)中間比與結(jié)論中的另一個(gè)

比聯(lián)系起來。

③對于梯形問題，常用的添加輔助線的方法有

1、過上底的兩端點(diǎn)向下底作垂線

2、過上底的一個(gè)端點(diǎn)作一腰的平行線

3、過上底的一個(gè)端點(diǎn)作一對角線的平行線

4、過一腰的中點(diǎn)作另一腰的平行線

5、過上底一端點(diǎn)和一腰中點(diǎn)的直線與下底的延長線相交

6、作梯形的中位線

7、延長兩腰使之相交

四邊形

平行四邊形出現(xiàn),對稱中心等分點(diǎn)。

梯形里面作高線,平移一腰試試看。

平行移動(dòng)對角線,補(bǔ)成三角形常見。

證相似，比線段,添線平行成習(xí)慣。

等積式子比例換,尋找線段很關(guān)鍵。

直接證明有困難,等量代換少麻煩。

斜邊上面作高線

初中數(shù)學(xué)輔助線的添加淺談

人們從來就是用自己的聰明才智創(chuàng)造條件解決問題的,當(dāng)問題的條件

不夠時(shí),添加輔助線構(gòu)成新圖形,形成新關(guān)系,使分散的條件集中,建立

已知與未知的橋梁,把問題轉(zhuǎn)化為自己能解決的問題,這是解決問題常用

的策略。

一.添輔助線有二種情況：

1按定義添輔助線：

如證明二直線垂直可延長使它們，相交后證交角為90。；證線段倍半關(guān)

系可倍線段取中點(diǎn)或半線段加倍；證角的倍半關(guān)系也可類似添輔助線。

2按基本圖形添輔助線：

每個(gè)幾何定理都有與它相對應(yīng)的幾何圖形，我們把它叫做基本圖形，

添輔助線往往是具有基本圖形的性質(zhì)而基本圖形不完整時(shí)補(bǔ)完整基本圖

形，因此“添線”應(yīng)該叫做“補(bǔ)圖”！這樣可防止亂添線，添輔助線也有

規(guī)律可循。舉例如下：

(1)平行線是個(gè)基本圖形：

當(dāng)幾何中出現(xiàn)平行線時(shí)添輔助線的關(guān)鍵是添與二條平行線都相交的等

第三條直線

(2)等腰三角形是個(gè)簡單的基本圖形：

當(dāng)幾何問題中出現(xiàn)一點(diǎn)發(fā)出的二條相等線段時(shí)往往要補(bǔ)完整等腰三角

形。出現(xiàn)角平分線與平行線組合時(shí)可延長平行線與角的二邊相交得等腰三

角形。

(3)等腰三角形中的重要線段是個(gè)重要的基本圖形：

出現(xiàn)等腰三角形底邊上的中點(diǎn)添底邊上的中線；出現(xiàn)角平分線與垂線

組合時(shí)可延長垂線與角的二邊相交得等腰三角形中的重要線段的基本圖形。

(4)直角三角形斜邊上中線基本圖形

出現(xiàn)直角三角形斜邊上的中點(diǎn)往往添斜邊上的中線。出現(xiàn)線段倍半關(guān)

系且倍線段是直角三角形的斜邊則要添直角三角形斜邊上的中線得直角三

角形斜邊上中線基本圖形。

(5)三角形中位線基本圖形

幾何問題中出現(xiàn)多個(gè)中點(diǎn)時(shí)往往添加三角形中位線基本圖形進(jìn)行證明

當(dāng)有中點(diǎn)沒有中位線時(shí)則添中位線，當(dāng)有中位線三角形不完整時(shí)則需補(bǔ)完

整三角形；當(dāng)出現(xiàn)線段倍半關(guān)系且與倍線段有公共端點(diǎn)的線段帶一個(gè)中點(diǎn)

則可過這中點(diǎn)添倍線段的平行線得三角形中位線基本圖形；當(dāng)出現(xiàn)線段倍

半關(guān)系且與半線段的端點(diǎn)是某線段的中點(diǎn)，則可過帶中點(diǎn)線段的端點(diǎn)添半

線段的平行線得三角形中位線基本圖形。

(6)全等三角形：

全等三角形有軸對稱形，中心對稱形，旋轉(zhuǎn)形與平移形等；如果出現(xiàn)

兩條相等線段或兩個(gè)檔相等角關(guān)于某一直線成軸對稱就可以添加軸對稱形

全等三角形：或添對稱軸，或?qū)⑷切窝貙ΨQ軸翻轉(zhuǎn)。當(dāng)幾何問題中出現(xiàn)

一組或兩組相等線段位于一組對頂角兩邊且成一直線時(shí)可添加中心對稱形

全等三角形加以證明，添加方法是將四個(gè)端點(diǎn)兩兩連結(jié)或過二端點(diǎn)添平行

線

(8)特殊角直角三角形

當(dāng)出現(xiàn)30,45,60,135,150度特殊角時(shí)可添加特殊角直角三角形，

利用45角直角三角形三邊比為1：1：J2；30度角直角三角形三邊比為1：

2：J3進(jìn)行證明

二.基本圖形的輔助線的畫法

1.三角形問題添加輔助線方法

方法1：有關(guān)三角形中線的題目，常將中線加倍。含有中點(diǎn)的題目，常常利

用三角形的中位線，通過這種方法，把要證的結(jié)論恰當(dāng)?shù)霓D(zhuǎn)移，很容易地解決了

問題。

方法2：含有平分線的題目，常以角平分線為對稱軸，利用角平分線的性質(zhì)

和題中的條件，構(gòu)造出全等三角形，從而利用全等三角形的知識(shí)解決問題。

方法3：結(jié)論是兩線段相等的題目常畫輔助線構(gòu)成全等三角形，或利用關(guān)于

平分線段的一些定理。

方法4：結(jié)論是一條線段與另一條線段之和等于第三條線段這類題目，常采

用截長法或補(bǔ)短法，所謂截長法就是把第三條線段分成兩部分，證其中的一部分

等于第一條線段，而另一部分等于第二條線段。

2.平行四邊形中常用輔助線的添法

平行四邊形(包括矩形、正方形、菱形)的兩組對邊、對角和對角線都具有

某些相同性質(zhì)，所以在添輔助線方法上也有共同之處，目的都是造就線段的平行、

垂直，構(gòu)成三角形的全等、相似，把平行四邊形問題轉(zhuǎn)化成常見的三角形、正方

形等問題處理，其常用方法有下列幾種，舉例簡解如下：

(1)連對角線或平移對角線：

(2)過頂點(diǎn)作對邊的垂線構(gòu)造直角三角形

(3)連接對角線交點(diǎn)與一邊中點(diǎn)，或過對角線交點(diǎn)作一邊的平行線，構(gòu)造

線段平行或中位線

(4)連接頂點(diǎn)與對邊上一點(diǎn)的線段或延長這條線段，構(gòu)造三角形相似或等

積三角形。

(5)過頂點(diǎn)作對角線的垂線，構(gòu)成線段平行或三角形全等.

3.梯形中常用輔助線的添法

梯形是一種特殊的四邊形。它是平行四邊形、三角形知識(shí)的綜合，通過添加

適當(dāng)?shù)妮o助線將梯形問題化歸為平行四邊形問題或三角形問題來解決。輔助線的

添加成為問題解決的橋梁，梯形中常用到的輔助線有：

(1)在梯形內(nèi)部平移一腰。

(2)梯形外平移一腰

(3)梯形內(nèi)平移兩腰

(4)延長兩腰

(5)過梯形上底的兩端點(diǎn)向下底作高

(6)平移對南線

(7)連接梯形一頂點(diǎn)及一腰的中點(diǎn)。

(8)過一腰的中點(diǎn)作另一腰的平行線。

(9)作中位線

當(dāng)然在梯形的有關(guān)證明和計(jì)算中，添加的輔助線并不一定是固定不變的、單

一的。通過輔助線這座橋梁，將梯形問題化歸為平行四邊形問題或三角形問題來

解決，這是解決問題的關(guān)鍵。

作輔助線的方法

中點(diǎn)、中位線，延線，平行線。

如遇條件中有中點(diǎn)，中線、中位線等，那么過中點(diǎn)，延長中線或中位線作輔助線，使延

長的某一段等于中線或中位線；另一種輔助線是過中點(diǎn)作已知邊或線段的平行線，以達(dá)到應(yīng)

用某個(gè)定理或造成全等的目的。

二：垂線、分角線，翻整全等連。

如遇條件中，有垂線或角的平分線，可以把圖形按軸對稱的方法，并借助其他條件，而

旋轉(zhuǎn)180度，得到全等形，，這時(shí)輔助線的做法就會(huì)應(yīng)運(yùn)而生。其對稱軸往往是垂線或角的

平分線。

三：邊邊若相等，旋轉(zhuǎn)做實(shí)驗(yàn)。

如遇條件中有多邊形的兩邊相等或兩角相等，有時(shí)邊角互相配合，然后把圖形旋轉(zhuǎn)一定

的角度，就可以得到全等形，這時(shí)輔助線的做法仍會(huì)應(yīng)運(yùn)而生。其對稱中心，因題而異，有

時(shí)沒有中心。故可分“有心”和“無心”旋轉(zhuǎn)兩種。

四:造.角、平、相極,和、差、積、商見。

如遇條件中有多邊形的兩邊相等或兩角相等，欲證線段或角的和差積商，往往與相似形

有關(guān)。在制造兩個(gè)三角形相似時(shí)，一般地，有兩種方法：第一，造一個(gè)輔助角等于已知角；

第二，是把三角形中的某一線段進(jìn)行平移。故作歌訣：“造角、平、相似，和差積商見

托列米定理和梅葉勞定理的證明輔助線分別是造角和平移的代表)

九：面積找底高，多邊變?nèi)叀?/p>

如遇求面積，（在條件和結(jié)論中出現(xiàn)線段的平方、乘積，仍可視為求面積），往往作底或

高為輔助線，而兩三角形的等底或等高是思考的關(guān)鍵。

如遇多邊形，想法割補(bǔ)成三角形；反之，亦成立。

另外，我國明清數(shù)學(xué)家用面積證明勾股定理，其輔助線的做法，即“割補(bǔ)”有二百多種，

大多數(shù)為“面積找底高，多邊變?nèi)?/p>

三角形中作輔助線的常用方法舉例

一、在利用三角形三邊關(guān)系證明線段不等關(guān)系時(shí)，若直接證不出來，可連接兩點(diǎn)

或延長某邊構(gòu)成三角形，使結(jié)論中出現(xiàn)的線段在一個(gè)或幾個(gè)三角形中，再運(yùn)用三

角形三邊的不等關(guān)系證明，如：

例1：已知如圖IT:D、E為aABC內(nèi)兩點(diǎn),求證:AB+AC>BD+DE+CE.

證明：(法一)將DE兩邊延長分別交AB、AC于MN,

在aAMN中，AM+AN>MD+DE+NE;(1)

在△BDM中，MB+MD>BD：(2)

在4CEN中，CN+NE>CE；(3)

由(1)+(2)+(3)得：

AM+AN+MB+MD+CN+NE>MD+DE+NE+BD+CE

AAB+AOBD+DE+EC

(法二：)如圖1-2,延長BD交AC于F,延長CE交BF于G,

在AABFWAGFC和AGDE中有：

AB+AF>BD+DG+GF(三角形兩邊之和大于第三邊)(1)

GF+FOGE+CE(同上)................................(2)

DG+GE>DE(同上)......................................(3)

由(1)+(2)+(3)得：

AB+AF+GF+FC+DG+GE>BD+DG+GF+GE+CE+DE

AAB+AOBD+DE+ECo

二、在利用三角形的外角大于任何和它不相鄰的內(nèi)角時(shí)如直接證不出來時(shí)，可連

接兩點(diǎn)或延長某邊，構(gòu)造三角形，使求證的大角在某個(gè)三角形的外角的位置上，

小角處于這個(gè)三角形的內(nèi)角位置上，再利用外角定理：

例如：如圖2-1；已知D為AABC內(nèi)的任一點(diǎn)，求證：NBDC>ZBAC?

呼葡：因?yàn)镹BDC與NBAC不在同一個(gè)三角形中，沒有直接的聯(lián)系，

可適當(dāng)添加輔助線構(gòu)造新的三角形，使NBDC處于在外角的位置，N

BAC處于在內(nèi)角的位置；

證法一：延長BD交AC于點(diǎn)E,這時(shí)NBDC是△￡1）（：的外角，

AZBDOZDEC,同理/DEONBAC,/.ZBDC>ZBAC

證法二：連接AD,并延長交BC于F圖2—1

ZBDF是AABD的外角

.\ZBDE>ZBAI),同理，ZCDF>ZCAD

Z.ZBDF+ZCDF>ZBAD+ZCAD

即：ZBDOZBACo

注意：利用三角形外角定理證明不等關(guān)系時(shí)，通常將大角放在某三角形的外角位置上，小角

放在這個(gè)三角形的內(nèi)角位置上，再利用不等式性質(zhì)證明。

三、有角平分線時(shí)，通常在角的兩邊截取相等的線段，構(gòu)

造全等三角形，如：

例如：如圖3-1：己知AD為的中線，且N1=N2,N3=N

4,求證;BE+CF>EF?

分析：要證BE+CFAEF,可利用三角形三邊關(guān)系定理證明，須把

BE,CF,EF移到同一個(gè)三角形中，而由已知N1=N2,N3=N4,

可在角的兩邊截坍相等的線段，利用三角形全等對應(yīng)邊相/把

EN,FN,EF移到同一個(gè)三角形中。

證明：在DA上截取DN=DB,連接NE,NF,貝UDN=DC,

在aDBE和aDNE中：

DN=03（輔助線的作法）

7-Zl=N2（已知）

￡￡>=￡￡>（公共邊）

AADBE^ADNE（SAS）

.??BE=NE（全等三角形對應(yīng)邊相等）

同理可得：CF=NF

在AEFN中EN+FN>EF（三角形兩邊之和大于第三邊）

.,.BE+CF>EF,

注意：當(dāng)證題有角平分線時(shí)，常可考慮在角的兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等三角形，然后

用全等三痢形的性質(zhì)得到對應(yīng)元素相等。

四、有以線段中點(diǎn)為端點(diǎn)的線段時(shí)，第延長加倍此線段，構(gòu)造全等三角形。

例如：如圖4-1：AD為aABC的中線，且N1=N2,N3=N4,求證：BE+CF>EF

證明：延長ED至M,使DM=DE,連接

CM,MF。在4BDE和ACDM中,

80=8（中點(diǎn)的定義）

N1=NCDM（對頂角相等）

ED="￡>（輔助線的作法）

A.ABDE^ACDM（SAS）

又,.,N1=N2,Z3=Z4（已知）

Zl+Z2+Z3+Z4=180°（平角的定義）

，/3+/2=90°,即：NEDF=90°

AZFDM=ZEDF=90°

在aEDF和aMDE中

‘E￡>=M￡>（輔助線的作法）

=（己證）

OF=。F（公共邊）

.".△EDF^AMDF（SAS）

.\EF=MF（全等三角形對應(yīng)邊相等）

:在△CMF中，CF+CM>MF（三角形兩邊之和大于第三邊）

.\BE+CF>EF

注：上題也可加倍FD,證法同上。

注意：當(dāng)涉及到有以線段中點(diǎn)為端點(diǎn)的線段時(shí)，可通過延長加倍此線段，構(gòu)造全等三角形，

使題中分散的條件集中。

五、有三角形中線時(shí)，常延長加倍中線，構(gòu)造全等三角形。

例如;如圖5-1：AD為工械的中線,求證:AB+AO2AD.

分析；.要證AB+AO2AD,「由圖想到：AB+BD>AD,AC+CD

>AD,所以有AB+AC+BD+CD>AD+AD=2AD,左邊比要證

結(jié)論多BD+CD,故不能直接證出世&國由2AD想到要構(gòu)造2AD,即加倍中線，把所要證的

線段轉(zhuǎn)移到同一個(gè)三角形中去。

證明：延長AD至E,使DE=AD,連接BE,則AE=2AD

：AD為△ABC的中線（已知）

；.BD=CD（中線定義）

在4ACD和4EBD中

8。=8（已證）

（對頂角相等）圖5-1

AQ=ED（輔助線的作法）

.,.△ACD^AEBD（SAS）

???BE-CA（全等三角形對應(yīng)邊相等）

ViSAABE中有：AB+BEAAE（三角形兩邊之和大于第三邊）

.?.AB+AC>2ADo

（常延長中線加倍，構(gòu)造全等三角形）

圖5—2

練習(xí)：已知△ABC,AD是BC邊上的中線，分別以AB邊、AC邊為直角邊各向形外作等腰直角

三甭形，如圖5-2,求證訐=2AD。

六、截長補(bǔ)短法作輔助線。

例如：已知如圖6-1：在AABC中，AB>AC,N1=N2,P為AD上任一點(diǎn)。求證：AB-AC

>PB-PC?

分析：要證：AB-AOPB-PC,想到利用三角形三邊關(guān)系定

理會(huì)之，因?yàn)橛C的是線毯之差，故用西邊之差少于第三邊,/

從而想到構(gòu)造第三邊AB-AC,故可在AB上截取AN等于AC,

得.AB—AC=BNi畀迂接PN貝1LPC=PN,…又在ZXPNB.中，.PB

-PN<BN,即：AB-AC>PB-PC。圖61M

證明：（截長法）

在AB上截取AN-AC連接PN,在AAPN和AAPC中

AN=AC（輔助線的作法）

V.Z1=N2（已知）

AP=AP（公共邊）

.,.△APN^AAPC(SAS)

，PC=PN（全等三角形對應(yīng)邊相等）

?..在4BPN中，有PB-PNVBN（三角形兩邊之差小于第三邊）

.,.BP-PC<AB-AC

證明：（補(bǔ)短法）延長AC至M,使AM=AB,連接PM,

在4ABP和aAMP中

=（輔助線的作法）

?:■Zl=N2（己知）

AP=AP（公共邊）

.".△ABP^AAMP（SAS）

；.PB=PM（全等三角形對應(yīng)邊相等）

又?.?在APCM中有：CM>PM-PC（三角形兩邊之差小于第三邊）

.,.AB-AC>PB-PC?

七、延長已知邊構(gòu)造三角形：

例如:如圖7-1：已知AC=BD,AD_LAC于A,BCJ_BD于B,求證：AD=BC

分析：欲證AD=BC,先證分別含有AD,BC的三角形全等.有幾種方案：Z\ADC與ABCD,

△AOD^ABOC,AABD與^BA與但根據(jù)現(xiàn)有條件，為無法延全等，差角的相等，因此.可設(shè)

法作出新的角，且讓此角作為兩個(gè)三角形的公共角。

證明：分別延長DA,CB,它們的延長交于E點(diǎn),

VAD1ACBC±BD（已知）

AZCAE=ZDBE=90°（垂直的定義）

在ADBE與4CAE中

NE=NE（公共角）

NDBE=NCAE（已證）

30=AC（已知）

/.△DBE^ACAE(AAS)

AED=ECEB=EA(全等三角形對應(yīng)邊相等)

，ED-EA=EC-EB

即：AD=BC?

（當(dāng)條件不足時(shí)，可通過添加輔助線得出新的條件，為證題創(chuàng)造條件。）

八、連接四邊形的對角線，把四邊形的問題轉(zhuǎn)化成為三角形來解決。

例如：如圖8T：AB〃CD,AD〃BC求證：AB=CD。

分析：圖為四邊形，我們只學(xué)了三角形的有關(guān)知識(shí)，必須把它轉(zhuǎn)化為三角形來解決。

證明：連接AC（或BD）

VAB/7CDAD//BC（已知）

二/1=/2,Z3-Z4

在△ABC與4CDA中

Z1=/2（已證）

：＜AC=C4（公共邊）

Z3=N4（己證）

.,.△ABC^ACDA（ASA）

/.AB=CD（全等三角形對應(yīng)邊相等）

九、有和角平分線垂直的線段時(shí)，通常把這條線段延長。

例如：如圖9-1：在RtaABC中，AB=AC,NBAC=90°,N1=N2,CE_LBD的延長于E

求證：BD=2CE

分析：要證BD=2CE,想到要構(gòu)造線段2CE,同時(shí)CE與

NABC的平分線垂直,想到要將其延長。

證明：分別延長BA,CE交于點(diǎn)F。

VBE1CF（已知）

.,.ZBEF=ZBEC=90°（垂直的定義）

在ABEF與4BEC中，

Z1=/2（已知）

；，BE=BE（公共邊）

NBEF=/BEC（已證）

AABEF^ABEC（ASA）ACE=FE=-CE（全等三角形對應(yīng)邊相等）

2

VZBAC=90°BE1CF（己知）

.,.ZBAC=ZCAF=90°Zl+ZBDA=90°Zl+ZBFC=90°

，ZBDA=ZBFC

在4ABD與AACF中

N3AC=NCAF（已證）

<NBDA=ZB/C（已證）

A3=AC（已知）

.,.△ABD^AACF（AAS）；.BD=CF（全等三角形對應(yīng)邊相等），BD=2CE

十、連接已知點(diǎn)，構(gòu)造全等三角形。

例如：已知：如圖10T；AC、BD相交于0點(diǎn)，且AB=DC,AC=BD,求證：NA=ND。

分析：要證NA=ND,可證它們所在的三角形△ABO和△DCO全等，而只有AB=DC和對頂角

兩個(gè)條件,一差二個(gè)條件,，―難以證其全等,K有另尋其它的二■角杉全等，…由.AB=DC,AC=BD,

若連接BC,則aABC和4DCB全等，所以，證得NA=ND。

證明：連接BC,在AABC和4DCB中

AB=OC（已知）

,AC=￡>8（已知）

BC=C8（公共邊）

.,.△ABC^ADCB（SSS）

二/A=ZD（全等三角形對應(yīng)邊相等）

-I-一、取線段中點(diǎn)構(gòu)造全等三有形。

例如：如圖11-1：AB=DC,NA=ND求證：ZABC=ZDCB?

分析:，由AB=DC,NA=ND,想到如取AD的中點(diǎn)N,連接NB,NC,再由SAS公理有4ABN

且ZkDCN,故BN=CN,NABN=NDCN。下面只需證NNBC=NNCB,再取BC的中點(diǎn)M,連接

MN,則由SSS公理有△NBMWZkNCM,所以NNBC=NNCB。問題得證。

證明：WAD,BC的中點(diǎn)N、M,連接NB,NM,NC。則AN=DN,BM=CM,在AABN和4DCN

AN=￡W（輔助線的作法）

中；<ZA=（已知）

AB=3c（已知）

AABN^ADCN（SAS）

圖11一1

AZABN=ZDCNNB=NC（全等三角形對應(yīng)邊、角相等）

在△NBM與△NCM中

N3=NC（已證）

,?二8M=CM（輔助線的作法）

（公共邊）

/.△NMB^ANCM,（SSS）/.ZNBC-ZNCB（全等三角形對應(yīng)角相等）/.ZNBC+ZABN=/

NCB+ZDCN即NABC=NDCB。

巧求三角形中線段的比值

例1.如圖1,在AABC中，BD：DC=1：3,AE：ED=2；3,求

AF：FC。

解：過點(diǎn)D作DG〃AC,交BF于點(diǎn)G

所以DG：FC=BD：BC

因?yàn)锽D：DC=1：3所以BD：BC=1：4

BPDG：FC=1：4,FC=4DG

因?yàn)镈G：AF=DE：AE又因?yàn)锳E：ED=2：3

所以DG：AF=3：2

22

AF=-DG-DG

即3所以AF：FC=3：4DG=

例2.…如圖2,BC=CD,AF=FC,求EF：FD

解：過點(diǎn)C作CG〃DE交AB于點(diǎn)G,則有EF：GC=AF：AC

因?yàn)锳F=FC所以AF：AC=1：2

EF=-GC

即EF：GC=1：2,2

因?yàn)镃G：DE=BC：BD又因?yàn)锽C=CD

所以BC：BD=1：2CG：DE=1：2即DE=2GC.

2GC--GC=-GC/Nt

因?yàn)镕D=ED-EF=22所以EF：FD=G//\

-GC：-GC=1：3/t—

228c

小結(jié)：以上兩例中，輔助線都作在了“已知”條件中出現(xiàn)的兩條已知線段的交點(diǎn)

無，且葩作的藉助灸:結(jié)論》畝現(xiàn)盛為段）行。請浮冒兩例，￡裹們看受永中的

奧妙！

例3.如圖3BD：DC=1：3,AE：EB=2：3,求AF：FD。

解：過點(diǎn)B作BG〃AD,交CE延長線于點(diǎn)G。

所以DF：BG=CD：CB

因?yàn)锽D：DC=1：3所以CD：CB=3：4

3

DF=-BG

即DF：BG=3：4,4

因?yàn)锳F：BG=AE：EB又因?yàn)锳E：EB=2：3

2

AF=-BG

所以AF：BG=2：3即3

23

-5G：-5G=8：9

所以AF：DF=34

例4.BD：DC=1：3,AF=FD,求EF：FC。

解：過點(diǎn)D作DG〃CE,交AB于點(diǎn)G/

所以EF：DG=AF：加

因?yàn)锳F=FD所以AF：AD=1：2Z-_1_A圖4

ot)

EF='DG

即EF：DG=1：22

因?yàn)镈G：CE=BD：BC,又因?yàn)锽D：CD=1：3,所以BD：BC=1：4

即DG：CE=1：4,CE=4DG

17

4DG--DG=-DG

因?yàn)镕C=CE—EF=22

7

-￡)(7：-DG

所以EF：FC=22=1：7

練習(xí)：

A

1.如圖5,BD=DC,,4E：ED=1：,5,…求他:FB。

2.如圖6,AD：DB=1：3,AE：EC=3：1,求BF：FC。

BD(,

A答案：1、1：10；2.9：1

RFC

初中幾何輔助線

初中幾何常見輔助線口訣

人說幾何很困難，難點(diǎn)就在輔助線。輔助線，如何添？把握定理和概念。

還要刻苦加鉆研，找出規(guī)律憑經(jīng)驗(yàn)。

三角形

圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。也可將圖對折看，對稱以后關(guān)系現(xiàn)。

角平分線平行線，等腰三角形來添。角平分線加垂線，三線合一試試看。

線段垂直平分線，常向兩端把線連。線段和差及倍半，延長縮短可試驗(yàn)。

線段和差不等式，移到同一三角去。三角形中兩中點(diǎn)，連接則成中位線。

三角形中有中線，延長中線等中線。

四邊形

平行四邊形出現(xiàn)，對稱中心等分點(diǎn)。梯形問題巧轉(zhuǎn)換，變?yōu)椤骱涂凇?/p>

平移腰，移對角，兩腰延長作出高。如果出現(xiàn)腰中點(diǎn)，細(xì)心連上中位線。

上述方法不奏效，過腰中點(diǎn)全等造。證相似，比線段，添線平行成習(xí)慣。

等積式子比例換，尋找線段很關(guān)鍵。直接證明有困難，等量代換少麻煩。

斜邊上面作高線，比例中項(xiàng)一大片。

切勿盲目亂添線，方法靈活應(yīng)多變。分析綜合方法選，困難再多也會(huì)減。

虛心勤學(xué)加苦練，成績上升成直線。

二由角平分線想到的輔助線

口訣:

圖中有角平分線，可向兩邊作垂線。也可將圖對折看，對稱以后關(guān)系現(xiàn)。

角平分線平行線，等腰三角形來添。角平分線加垂線，三線合一試試看。

角平分線具有兩條性質(zhì)：a、對稱性；b、角平分線上的點(diǎn)到角兩邊的距離相

等。對于有角平分線的輔助線的作法，一般有兩種。

①從角平分線上一點(diǎn)向兩邊作垂線；

②利用角平分線，構(gòu)造對稱圖形（如作法是在一側(cè)的長邊上截取短邊）。

通常情況下，出現(xiàn)了直角或是垂直等條件時(shí)，一般考慮作垂線；其它情況下

考慮構(gòu)造對稱圖形。至于選取哪種方法，要結(jié)合題目圖形和已知條件。

與角有關(guān)的輔助線

（一）、截取構(gòu)全等

幾何的證明在于猜想與嘗試，但這種嘗試與c

猜想是在一定的規(guī)律基本之上的，希望同學(xué)們能圖HFB

掌握相關(guān)的幾何規(guī)律，在解決幾何問題中大膽地

去猜想，按一定的規(guī)律去嘗試。下面就幾何中常見的定理所涉及到的輔助線作以

介紹。

如圖1-L,ZAOC=ZBOC,如取OE=OF,并連接DE、DF,則有aOED且△OFD,

從而為我們證明線段、角相等創(chuàng)造了條件。

A,八

例1.如圖1-2,AB〃CD,BE平分NBCD,]D

CE平分NBCD,點(diǎn)E在AD上，求證：BC=AB+CD。//

分析：此題中就涉及到角平分線，可以利

用角平分線來構(gòu)造全等三角形，即利用解平分B:'

線來構(gòu)造軸對稱圖形，同時(shí)此題也是證明線段

的和差倍分問題，在證明線段的和差倍分問題中常用到的方法是延長法或截取法

來證明，延長短的線段或在長的線段長截取一部分使之等于短的線段。但無論延

長還是截取都要證明線段的相等，延長要證明延長后的線段與某條線段相等，截

取要證明截取后剩下的線段與某條線段相等，進(jìn)而達(dá)到所證明的目的。

簡證：在此題中可在長線段BC上截取BF=AB,再證明CF=CD,從而達(dá)到證明

的目的。這里面用到了角平分線來構(gòu)造全等三角形。另外一個(gè)全等自己證明。此

題的證明也可以延長BE與CD的延長線交于一點(diǎn)來證明。自己試一試。

例2.已知：如圖1-3,AB=2AC,NBAD=NCAD,DA=DB,求證DCLAC

分析：此題還是利用角平分線來構(gòu)造全等三角形。構(gòu)造的方法還是截取線段

相等。其它問題自己證明。

例3.已知：如圖1-4,在AABC中，NC=2NB,AD平分NBAC,求證：AB-

AC=CD

分析：此題的條件中還有角的平分線，在證明

中還要用到構(gòu)造全等三角形，此題還是證明線段的

和差倍分問題。用到的是截取法來證明的，在長的

線段上截取短的線段，來證明。試試看可否把短的

延長來證明呢？

練習(xí)

1.已知在AABC中，AD平分NBAC,ZB=

2ZC,求證:AB+BD=AC

2.已知：在aABC中，ZCAB=2ZB,AE平分NCAB交BC于E,AB=2AC,

求證:AE=2CE

3.已知：在AABC中，AB〉A(chǔ)C,AD為NBAC的平分線，M為AD上任一點(diǎn)。

求證：BM-CM>AB-AC

4.已知：D是aABC的NBAC的外角的平分線AD上的任一點(diǎn)，連接DB、

DCo求證:BD+CD>AB+ACo

（二）、角分線上點(diǎn)向角兩邊作垂線構(gòu)全等

過角平分線上一點(diǎn)向角兩邊作垂線，利用角平分線上的點(diǎn)到兩邊距離相等的性質(zhì)來證明

問題。

例1.如圖2-1,已知AB>AD,ZBAC=ZFAC,CD=BC0

求證：ZADC+ZB=180

分析：可由C向NBAD的兩邊作垂線。近而證NADC與NB之和為平角。

例2.如圖2-2,在AABC中，ZA=90，AB=AC,ZABD=ZCBDo

求證：BC=AB+AD

分析：過D作DE_LBC于E,則AD=DE=CE,則構(gòu)造出

全等三角形，從而得證。此題是證明線段的和差倍分問題,

從中利用了相當(dāng)于截取的方法。

圖2-2

例3.已知如圖2-3,AABC的角平分線BM、CN相交于點(diǎn)P。求證:ZBAC

的平分線也經(jīng)過點(diǎn)Po

分析：連接AP,證AP平分NBAC即可，也就是證P到AB、

AC的距離相等。

圖2-3

練習(xí):

1.如圖2-4NA0P=NB0P=15，PC//0A,PD10

A,

如果PC=4,則PD=()

A4B3C2D1

2.已知在AABC中,ZC=90,AD平分NCAB,CD=L5,DB=2.5.求AC。

3.已知:如圖2-5,ZBAC=ZCAD,AB>AD,CE±AB,

￡

AE=2(AB+AD).求證：ZD+ZB=180□

4.已知:如圖2-6,在正方形ABCD中,E為CD的中點(diǎn),

F為BC

上的點(diǎn)，ZFAE=ZDAEo求證：AF=AD+CF。

5.已知：如圖2-7,在Rt^ABC中，ZACB=90,CD±AB,垂足為D,A

E平分NCAB交CD于F,過F作FH〃AB交BC于H。求證CF=BH。

圖2-6圖2-7

（三）:作角平分線的垂線構(gòu)造等腰三角形

從角的一邊上的一點(diǎn)作角平分線的垂線,使之與角的兩邊相交，則截得一個(gè)等腰三角形,

垂足為底邊上的中點(diǎn)，該角平分線又成為底邊上的中線和高，以利用中位線的性質(zhì)與等腰三

角形的三線合一的性質(zhì)。（如果題目中有垂直于角平分線的線段，則延長該線段與角的另一

邊相交）。

例1.已知：如圖3-1,ZBAD=ZDAC,AB>AC,CD_LAD于D,H是BC中點(diǎn)。

求證：DH=；（AB-AC）A

分析：延長CD交AB于點(diǎn)E,則可得全等三角形。問題可證。/\c

圖示3TF

例2.已知：如圖3-2,AB=AC,ZBAC=90，AD為NA

BC的平分線，CEJ_BE.求證：BD=2CEo

分析：給出了角平分線給出了邊上的一點(diǎn)作角平分線的

垂線，可延長此垂線與另外一邊相交，近而構(gòu)造出等腰三角

例3.已知：如圖3-3在4ABC中，AD、AE分另UNBAC的內(nèi)、外角平分線,

過頂點(diǎn)B作BFAD,交AD的延長線于F,連結(jié)FC并延長/

交AE于M。

求證：AM=MEoB/J

分析：由AD、AE是NBAC內(nèi)外角平分線，可得EAF.

±AF,從而有BF〃AE,所以想到利用比例線段證相等。

例4.已知：如圖3-4,在aABC中，AD平分NBAC,AD=AB,CMLAD交AD

延長線于M。求證：AM=-(AB+AC)

2

分析：題設(shè)中給出了角平分線AD,自然想到以AD為軸作對稱變換，作aAB

D關(guān)于AD的對稱AAED,然后只需證DM=1EC,另外A

1

由求證的結(jié)果AM=-(AB+AC),即2AM=AB+AC,也可/\

嘗試作Z\ACM關(guān)于CM的對稱△FCM,然后只需證DF=C\一?

F即可。V^-4

練習(xí)：

1.已知：在aABC中，AB=5,AC=3,D是BC中點(diǎn)，AE是NBAC的平分

線，且CELAE于E,連接DE,求DE。

2.已知BE、BF分別是4ABC的NABC的內(nèi)角與外角的平分線，AF1BF

于F,AELBE于E,連接EF分別交AB、AC于M、N,求證MN=，BC

2

(四)、以角分線上一點(diǎn)做角的另一邊的平行線

有角平分線時(shí)，常過角平分線上的一點(diǎn)作角的一邊的平行線，從而構(gòu)造等腰

三角形?；蛲ㄟ^一邊上的點(diǎn)作角平分線的平行線與另外一邊的反向延長線相交，

從而也構(gòu)造等腰三角形。如圖4-1和圖4-2所示。

例4如圖，AB>AC,Z1=Z2,求證：AB-AOBD-CDo

B

例5如圖，BOBA,BD平分NABC,且AD=CD,求證:NA+N如180。

例6如圖，AB〃CD,AE、DE分另U平分NBAD各NADE,求證：AD=AB+CD。

練習(xí):

1.已知，如圖，ZC=2ZA,AC=2BC?求證：AABC是直角三角形。

2.已知：如圖，AB=2AC,Z1=Z2,DA=DB,求證：DC1AC

BD

3.已知CE、AD是aABC的角平分線，ZB=60°,求證：AC=AE+CD

4.已知：如圖在AABC中，ZA=90°,AB=AC,BD是NABC的平分線，求證:

BC=AB+AD

C

三由線段和差想到的輔助線

口訣：

線段和差及倍半，延長縮短可試驗(yàn)。線段和差不等式，移到同一三角去。

遇到求證一條線段等于另兩條線段之和時(shí)，一般方法是截長補(bǔ)短法：

1、截長：在長線段中截取一段等于另兩條中的一條，然后證明剩下部分等

于另一條；

2、補(bǔ)短：將一條短線段延長，延長部分等于另一條短線段，然后證明新線

段等于長線段。

對于證明有關(guān)線段和差的不等式，通常會(huì)聯(lián)系到三角形中兩線段之和大于第

三邊、之差小于第三邊，故可想辦法放在一個(gè)三角形中證明。

一、在利用三角形三邊關(guān)系證明線段不等關(guān)系時(shí)，如直接證不出來，可

連接兩點(diǎn)或廷長某邊構(gòu)成三角形，使結(jié)論中出現(xiàn)的線段在一個(gè)或幾個(gè)三角形中，

再運(yùn)用三角形三邊的不等關(guān)系證明，如：

例1、已知如圖1-1：D、E為^ABC內(nèi)兩點(diǎn)，求證:AB+AOBD+DE+CE.

證明：(法一)

將DE兩邊延長分別交AB、AC于M、N,

在2XAMN中,AM+AN>MD+DE+NE;(1)

在中，MB+MD>BD；(2)

在4CEN中，CN+NE>CE；(3)

由(1)+(2)+(3)得：

AM+AN+MB+MD+CN+NE>MD+DE+NE+BD+CE

AAB+AOBD+DE+EC

(法二:圖1-2)

延長BD交AC于F,廷長CE交BF于G,在4ABF和

△GFCflAGDE中有：

AB+AF>BD+DG+GF（三角形兩邊之和大于第三邊）…

(1)

GF+FOGE+CE（同上）（2）

DG+GE>DE（同上）（3）

由（1）+（2）+（3）得：

AB+AF+GF+FC+DG+GE>BD+DG+GF+GE+CE+DE

AAB+AOBD+DE+ECo

圖2-1

二、在利用三角形的外角大于任何和它不相鄰的內(nèi)

角時(shí)如直接證不出來時(shí)，可連接兩點(diǎn)或延長某邊，構(gòu)造三角形，使求證的大角在

某個(gè)三角形的外角的位置上，小角處于這個(gè)三角形的內(nèi)角位置上，再利用外角定

理:

例如:如圖2-1：己知D為AABC內(nèi)的任一點(diǎn),求證:/BDO/BAC。

因?yàn)镹BDC與NBAC不在同個(gè)三角形中，沒有直接的聯(lián)系，可適當(dāng)

添加輔助線構(gòu)造新的三角形，使NBDC處于在外角的位置，NBAC處于在內(nèi)角

的位置；

證法一：延長BD交AC于點(diǎn)E,這時(shí)NBDC是AEDC的外角，

/.ZBDOZDEC,同理NDEONBAC,/.ZBDOZBAC

證法二：連接AD,并廷長交BC于F,這時(shí)NBDF是4ABD的

外角，...NBDFANBAD,同理，ZCDF>ZCAD,/.ZBDF+

ZCDF>ZBAD+ZCAD,即：ZBDOZBACo

注意：利用三角形外角定理證明不等關(guān)系時(shí)，通常將大角放在某三角形的外

角位置上，小角放在這個(gè)三角形的內(nèi)角位置上，再利用不等式性質(zhì)證明。

三、有角平分線時(shí)，通常在角的兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全等三角形,

如：

例如：如圖3-1：已知AD為AABC的中線,且Nl=

N2,N3=N4,求證:BE+CF>EFO

殛I：要證BE+CF〉EF,可利用三角形三邊關(guān)系定

理證明，須把BE,CF,EF移到同一個(gè)三角形中，而由

已知N1=N2,

N3=N4,可在角的兩邊截取相等的線段，利用三角形全等對應(yīng)邊相等，把

EN,FN,EF移到同個(gè)三角形中。

證明：在DN上截取DN=DB,連接NE,NF,則DN=DC,

在4DBE和ANDE中：

DN=DB（輔助線作法）

Z1=Z2（已知）

ED=ED（公共邊）

AADBE^ANDE(SAS)

/.BE=NE（全等三角形對應(yīng)邊相等）

同理可得：CF=NF

在4EFN中EN+FN>EF（三角形兩邊之和大于第三邊）

.?.BE+CF>EFo

注意：當(dāng)證題有角平分線時(shí)，?？煽紤]在角的兩邊截取相等的線段，構(gòu)造全

等三角形，然后用全等三角形的對應(yīng)性質(zhì)得到相等元素。

四、截長補(bǔ)短法作輔助線。

例如：已知如圖67：在△ABC中，AB>AC,Z1=Z2,P為AD上

任一點(diǎn)

求證:AB-AC>PB-PCO

歷明：要證：AB-AOPB-PC,想到利用三角形三邊關(guān)系，定理證之，因?yàn)?/p>

欲證的線段之差，故用兩邊之差小于第三邊，從而想到構(gòu)造第三邊AB-AC,故可

在AB上截取AN等于AC,得AB-AC=BN,再連接PN,則PC=PN,又在aPNE中，

PB-PN<BN,

即：AB-AC>PB-PCo

證明：（截長法）

在AB上截取AN二AC連接PN,在4APN和4APC中

'AN二AC（輔助線作法）

N1=N2（已知）

AP=AP（公共邊）

AAAPN^AAPC（SAS）,.*.PC=PN（全等三角形對應(yīng)邊相等）

\?在△BPN中，有PB-PN0N（三角形兩邊之差小于第三邊）

二.BP-PC<AB-AC

證明：（補(bǔ)短法）樂

延長AC至M,使AM二AB,連接PM,/L2X

在Z\ABP和“MP中

,AB=AM（輔助線作法）

N1=N2（已知）

AP=AP（公共邊）

.,.△ABP^AAMP（SAS）

.*.PB=PM（全等三角形對應(yīng)邊相等）

又\?在△PCM中有：CM>PM-PC（三角形兩邊之差小于第三邊）

AAB-AOPB-PCo

例1.如圖，AC平分NBAD,CE±AB,且NB+ND=180°,求證：AE=AD+BE?

例2如圖，在四邊形ABCD中，AC平分/BAD,CEJ_AB于E,AD+AB=2AE,

求證:BC=AB+DCo

例4如圖，已知Rtz^ABC中，ZACB=90°,AD是NCAB的平分線，DM±AB

于M,且AM=MB。求證：CD=2DBo

1.如圖，AB〃CD,AE、DE分別平分/BAD各/ADE,求證：AD=AB+CD0

AB

2.如圖，Z\ABC中，ZBAC=90°,AB=AC,AE是過A的一條直線，且B,C

在AE的異側(cè)，

BD_LAE于D,CE_LAE于E。求證：BD=DE+CE

四由中點(diǎn)想到的輔助線

口訣:

三角形中兩中點(diǎn)，連接則成中位線。三角形中有中線，延長中線等中線。

在三角形中，如果已知一點(diǎn)是三角形某一邊上的中點(diǎn)，那么首先應(yīng)該聯(lián)想到

三角形的中線、中位線、加倍延長中線及其相關(guān)性質(zhì)（直角三角形斜邊中線性質(zhì)、

等腰三角形底邊中線性質(zhì)），然后通過探索，找到解決問題的方法。

（一）、中線把原三角形分成兩個(gè)面積相等的小三角

形

1

即如圖1,AD是AABC的中線，則SAAB