專題2.3全等三角形的性質(zhì)與判定大題培優(yōu)專練-2023-2024學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期復(fù)習(xí)備考高分秘籍【人教版】（解析版）

2023-2024學(xué)年八年級(jí)數(shù)學(xué)上學(xué)期復(fù)習(xí)備考高分秘籍【人教版】專題2.3全等三角形的性質(zhì)與判定大題培優(yōu)專練班級(jí)：_____________姓名：_____________得分：_____________一．解答題（共30小題）1．（2023?綏德縣校級(jí)開學(xué)）如圖，在△ABC中，AD為△ABC的高，點(diǎn)E為AC上一點(diǎn)，BE交AD于點(diǎn)F，BF＝AC，F(xiàn)D＝CD．求證：BD＝AD．【答案】證明見解析．【分析】由AD為△ABC的高，得∠BDF＝∠ADC＝90°，然后根據(jù)直角三角形全等的判定定理“HL”證明Rt△BFD≌Rt△ACD即可得BD＝AD．【解答】證明：∵AD為△ABC的高，∴AD⊥BC，∴∠BDF＝∠ADC＝90°，在Rt△BFD和Rt△ACD中，BF=ACDF=CD∴Rt△BFD≌Rt△ACD（HL）．∴BD＝AD，【點(diǎn)評(píng)】此題重點(diǎn)考查全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理等知識(shí)，正確地找到全等三角形的對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角是解題的關(guān)鍵．2．（2023?梁溪區(qū)一模）如圖，已知AB＝DC，AB∥CD，E、F是AC上兩點(diǎn)，且AF＝CE．（1）求證：△ABE≌△CDF；（2）若∠BCE＝30°，∠CBE＝70°，求∠CFD的度數(shù)．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）由平行線的性質(zhì)得出∠BAE＝∠FCD，根據(jù)SAS可得出△ABE≌△CDF；（2）求出∠AEB＝∠BCE+∠CBE＝100°，可得出∠CFD＝∠AEB＝100°．【解答】（1）證明：∵AB∥CD，∴∠BAE＝∠FCD，∵AF＝CE，∴AE＝CF，又∵AB＝CD，∴△ABE≌△CDF（SAS）．（2）解：∵∠BCE＝30°，∠CBE＝70°，∴∠AEB＝∠BCE+∠CBE＝30°+70°＝100°，∵△ABE≌△CDF，∴∠CFD＝∠AEB＝100°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，三角形的外角和等知識(shí)，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．3．（2022秋?叢臺(tái)區(qū)校級(jí)期末）如圖，在△ABC和△AEF中，AB＝AC，AE＝AF，∠BAC＝∠EAF，BE與CF交于點(diǎn)O，與AC交于點(diǎn)D．（1）求證：BE＝CF；（2）若∠BAC＝80°，求∠BOF的度數(shù)．【答案】（1）見解析；（2）∠BOF＝100°．【分析】（1）利用SAS可以證明△BAE≌△CAF，從而可以證明結(jié)論成立；（2）根據(jù)（1）中的全等和三角形內(nèi)角和可以得到∠COD的度數(shù)，據(jù)此即可求解．【解答】（1）證明：∵∠CAB＝∠EAF，∴∠CAB+∠CAE＝∠EAF+∠CAE，∴∠BAE＝∠CAF，在△BAE和△CAF中，AB=AC∠BAE=∠CAF∴△BAE≌△CAF（SAS），∴BE＝CF；（2）解：∵△BAE≌△CAF，∴∠EBA＝∠FCA，即∠DBA＝∠OCD，∵∠BDA＝∠ODC，∴∠BAD＝∠COD，∵∠BAC＝80°，∴∠COD＝80°，∴∠BOF＝100°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形內(nèi)角和定理，解答本題的關(guān)鍵是明確題意，利用數(shù)形結(jié)合的思想解答．4．（2023?橫山區(qū)校級(jí)開學(xué)）問題背景如圖，在△ABC中，點(diǎn)D為邊AC上一點(diǎn)，連接BD，延長(zhǎng)BD至點(diǎn)E，使得BE＝AC，連接CE．問題提出（1）如圖1，若AC＝BC，∠A＝80°，∠EBC＝44°，求∠ECD的度數(shù)；問題拓展（2）如圖2，∠ECB的角平分線CF交BE于點(diǎn)F，若BD＝CD，∠A＝2∠DBC，在BC上取一點(diǎn)G，使CG＝CE，試判斷∠DBC與∠GFB是否相等，并說明理由．【答案】（1）68°；（2）相等；理由見解析．【分析】（1）根據(jù)等邊對(duì)等角可得∠A＝∠ABC＝80°，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得∠ACB＝20°，根據(jù)等邊對(duì)等角可得BE＝AC，根據(jù)三角形內(nèi)角和定理可得∠E＝∠BCE＝68°，即可求解；（2）根據(jù)角平分線的定義可得∠ECF＝∠FCB，根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)可得∠E＝∠FGC，∠A＝∠E，AB＝EC，推得∠A＝∠E＝∠FGC，結(jié)合題意可得∠FGC＝2∠DBC，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)可得∠FGC＝∠DBC+∠GFB，即可證明∠DBC＝∠GFB．【解答】（1）解：∵BC＝AC，∴∠ABC＝∠A＝80°，∴∠ACB＝180°﹣∠A﹣∠ABC＝20°，∵AC＝BE，∵BC＝BE，∴∠E=∠BCE=180°-∠EBC∴∠ECD＝∠ECB﹣∠BCD＝68°﹣20°＝48°．（2）解：相等；理由如下：∵CF平分∠ECB，∴∠FCB＝∠ECF，∵CG＝CE，∠ECF＝∠FCB，CF＝CF，∴△ECF≌△GCF（SAS），∴∠E＝∠FGC，∵BD＝CD，BE＝AC，∴AD＝DE，∵AD＝DE，∠ADB＝∠EDC，BD＝CD，∴△ADB≌△EDC（SAS），∴∠A＝∠E，AB＝EC，∴∠A＝∠E＝∠FGC，∵∠A＝2∠DBC，∴∠FGC＝2∠DBC，又∵∠FGC＝∠DBC+∠GFB，∴∠DBC＝∠GFB．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等邊對(duì)等角，三角形內(nèi)角和定理，角平分線的定義，全等三角形的判定和性質(zhì)，三角形的外角性質(zhì)，熟練掌握以上判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．5．（2023?惠山區(qū)校級(jí)模擬）如圖，△ABC中，AD是BC邊上的中線，E，F(xiàn)為直線AD上的點(diǎn)，連接BE，CF，且BE∥CF．（1）求證：△BDE≌△CDF；（2）若AE＝13，AF＝7，試求DE的長(zhǎng)．【答案】（1）證明見解答；（2）DE＝3．【分析】（1）利用中點(diǎn)性質(zhì)可得BD＝CD，由平行線性質(zhì)可得∠DBE＝∠DCF，再由對(duì)頂角相等可得∠BDE＝∠CDF，即可證得結(jié)論；（2）由題意可得EF＝AE﹣AF＝6，再由全等三角形性質(zhì)可得DE＝DF，即可求得答案．【解答】（1）證明：∵AD是BC邊上的中線，∴BD＝CD，∵BE∥CF，∴∠DBE＝∠DCF，在△BDE和△CDF中，∠DBE=∠DCFBD=CD∴△BDE≌△CDF（ASA）；（2）解：∵AE＝13，AF＝7，∴EF＝AE﹣AF＝13﹣7＝6，∵△BDE≌△CDF，∴DE＝DF，∵DE+DF＝EF＝6，∴DE＝3．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，難度較小，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題關(guān)鍵．6．（2023春?寬甸縣期末）如圖，點(diǎn)B、F、C、E在一條直線上，OA＝OD，AC∥FD，AD交BE于O．（1）求證：△ACO≌△DFO；（2）若BF＝CE．求證：AB∥DE．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）平行線的性質(zhì)得出∠CAO＝∠FDO，進(jìn)而利用AAS證明△ACO≌△DFO即可；（2）根據(jù)全等三角形的判定和性質(zhì)得出△ABO與△DEO全等，進(jìn)而利用全等三角形的性質(zhì)和平行線的判定解答即可．【解答】證明：（1）∵AC∥FD，∴∠CAO＝∠FDO，在△ACO與△DFO中∠CAO=∠FDO∠AOC=∠DOF∴△ACO≌△DFO（AAS）；（2）∵△ACO≌△DFO，∴OF＝OC，∵BF＝CE，∴BO＝EO，在△ABO與△DEO中BO=EO∠AOB=∠DOE∴△ABO≌△DEO（SAS），∴∠B＝∠E，∴AB∥DE．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)等知識(shí)；證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．7．（2023?裕華區(qū)開學(xué)）如圖，已知△BAC和△DAE的頂點(diǎn)A重合，∠BAC＝∠DAE，AB＝AC，AD＝AE，連接BD、CE交于點(diǎn)M．（1）證明：∠ABD＝∠ACE；（2）若∠BAC＝70°，則∠BMC的大小為70°．【答案】（1）見解答；（2）70°．【分析】（1）利用SAS證得△ABD≌△ACE，則其對(duì)應(yīng)角相等；（2）利用三角形內(nèi)角和定理求得∠DAE＝38°，【解答】（1）證明：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，即∠BAD＝∠CAE，在△ABD與△ACE中，AB=AC∠BAD=∠CAE∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE；（2）解：．由（1）知，△ABD≌△ACE，則∠BAD＝∠CAE，∴∠BAD﹣∠CAD＝∠CAE﹣∠CAD．∴∠BAC＝∠DAE＝70°．設(shè)BD與AC交于點(diǎn)F，由（1）得∠ABD＝∠ACE，在△ABF和△CMF中，∠AFB＝∠CFM，∵∠ABD+∠AFB+∠BAC＝180°，∠ACE+∠MFC+∠BMC＝180°，∴∠BMC＝∠BAC＝70°．故答案為：70°．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，對(duì)頂角相等，利用SAS證明△ABD≌△ACE是解題的關(guān)鍵．8．（2023?五華區(qū)校級(jí)開學(xué)）如圖，已知點(diǎn)A、F、E、C在同一直線上，AB∥CD，∠ABE＝∠CDF，AF＝CE．（1）求證：△ABE≌△CDF；（2）∠ACB＝60°，∠DFC＝75°，求∠EBC的度數(shù)．【答案】（1）見解析；（2）15°．【分析】（1）根據(jù)平行線的性質(zhì)得到∠BAC＝∠DCA，等量代換可得AE＝CF，再利用AAS證明即可；（2）根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到∠AEB＝∠CFD＝75°，再利用外角的性質(zhì)計(jì)算即可．【解答】（1）證明：∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠DCA，∵AF＝CE，∴AF+EF＝CE+EF，即AE＝CF．在△ABE和△CDF中，∠BAC=∠DCA∠ABE=∠CDF∴△ABE≌△CDF（AAS）．（2）解：∵△ABE≌△CDF，∴∠AEB＝∠CFD＝75°，∵∠ACB＝60°，∴∠EBC＝∠AEB﹣∠ACB＝15°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，掌握全等三角形的判定方法是解決此題的關(guān)鍵．9．（2023春?鳳翔縣期末）如圖1，油紙傘是中國(guó)傳統(tǒng)工藝品之一，起源于中國(guó)的一種紙制或布制傘．油紙傘的制作工藝十分巧妙，如圖2，傘圈D沿著傘柄AP滑動(dòng)時(shí)，總有傘骨BD＝CD，AB＝AC，從而使得傘柄AP始終平分同一平面內(nèi)兩條傘骨所成的∠BAC．請(qǐng)你說明其中的理由．【答案】證明見解析．【分析】證△ABD≌△ACD（SSS），得∠BAD＝∠CAD，即可得出結(jié)論．【解答】證明：在△ABD和△ACD中，AB=ACBD=CD∴△ABD≌△ACD（SSS），∴∠BAD＝∠CAD，∴AP平分∠BAC．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)以及角平分線定義，熟練掌握全等三角形的判定與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．10．（2022秋?碑林區(qū)校級(jí)期末）如圖，△ABC與△DCB中，AC與BD交于點(diǎn)E，且∠A＝∠D，AB＝DC．（1）求證：△ABE≌△DCE；（2）當(dāng)∠AEB＝50°，求∠EBC的度數(shù)．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）根據(jù)AAS即可推出△ABE和△DCE全等；（2）根據(jù)三角形全等得出EB＝EC，推出∠EBC＝∠ECB，根據(jù)三角形的外角性質(zhì)得出∠AEB＝2∠EBC，代入求出即可．【解答】（1）證明：在△ABE和△DCE中，∠A=∠D∠AEB=∠DEC∴△ABE≌△DCE（AAS）；（2）解：∵△ABE≌△DCE，∴BE＝EC，∴∠EBC＝∠ECB，∵∠EBC+∠ECB＝∠AEB＝50°，∴∠EBC＝25°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了三角形外角性質(zhì)和全等三角形的性質(zhì)和判定的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的推理能力．11．（2023?濱江區(qū)校級(jí)開學(xué)）如圖，∠A＝∠B＝90°，E是AB上的一點(diǎn)，且AE＝BC，∠1＝∠2．求證：△CDE是直角三角形．【答案】證明見解答過程．【分析】根據(jù)∠1＝∠2，得DE＝CE，利用“HL”可證明Rt△ADE≌Rt△BEC，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得∠ADE＝∠BEC，從而得出∠BEC+∠AED＝90°，則△CDE是直角三角形．【解答】證明：∵∠1＝∠2，∴DE＝CE，∵∠A＝∠B＝90°，在Rt△ADE和Rt△BEC中，DE=ECAE=BC∴Rt△ADE≌Rt△BEC（HL），∴∠ADE＝∠BEC，∵∠ADE+∠AED＝90°，∴∠BEC+∠AED＝90°，∴∠DEC＝90°，∴△CDE是直角三角形．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了直角三角形的判定，全等三角形的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確尋找全等三角形解決問題，屬于中考?？碱}型．12．（2023春?舞鋼市期末）如圖，池塘兩端A、B的距離無法直接測(cè)量，請(qǐng)同學(xué)們?cè)O(shè)計(jì)測(cè)量A、B之間距離的方案．小明設(shè)計(jì)的方案如圖①：他先在平地上選取一個(gè)可以直接到達(dá)A、B的點(diǎn)O，然后連接AO和BO，接著分別延長(zhǎng)AO和BO并且使CO＝AO，DO＝BO，最后連接CD，測(cè)出CD的長(zhǎng)即可．小紅的方案如圖②：先確定直線AB，過點(diǎn)B作AB的垂線BE，在BE上選取一個(gè)可以直接到達(dá)點(diǎn)A的點(diǎn)D，連接AD，在線段AB的延長(zhǎng)線上找一點(diǎn)C，使DC＝DA，測(cè)BC的長(zhǎng)即可．你認(rèn)為以上兩種方案可以嗎？請(qǐng)說明理由．【答案】見解析．【分析】分別證明△ABO≌△CDO（SAS），Rt△ABD≌Rt△CBD（HL），即可解決問題．【解答】解：以上兩種方案可以，理由如下：甲同學(xué)方案：在△ABO和△CDO中，AO=CO∠AOB=∠COD∴△ABO≌△CDO（SAS），∴AB＝CD；乙同學(xué)方案：在Rt△ABD和Rt△CBD中，DA=DCDB=DB∴Rt△ABD≌Rt△CBD（HL），∴AB＝BC．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，全等三角形的應(yīng)用，解決本題的關(guān)鍵是得到△ABO≌△CDO和Rt△ABD≌Rt△CBD．13．（2022秋?武漢期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，D、A、E三點(diǎn)都在直線m上，并且有∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝α，若DE＝8，BD＝2，求CE的長(zhǎng)．【答案】6．【分析】先根據(jù)角的加減求出∠ECA＝∠BAD，再根據(jù)AAS證明△BAD≌△ACE，再求出AD的值即可．【解答】解：∵∠AEC＝∠BAC＝α，∴∠ECA+∠CAE＝180°﹣α，∠BAD+∠CAE＝180°﹣α，∴∠ECA＝∠BAD，在△BAD與△ACE中，∠BDA=∠AEC∠BAD=∠ACE∴△BAD≌△ACE（{AAS}），∴CE＝AD，AE＝BD＝2，∵DE＝8，∴AD＝DE﹣AE＝8﹣2＝6，∴CE＝AD＝6．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角的加減和全等三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握全等三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．14．（2023?漢陽區(qū)校級(jí)一模）如圖，△ABC中，AB＝AC，∠BAC＞90°，BD⊥AC垂足為D，點(diǎn)E在AD上，BE平分∠ABD，點(diǎn)F在BD延長(zhǎng)線上，BF＝CE，延長(zhǎng)FE交BC于點(diǎn)H．（1）求證：∠CBE＝45°；（2）寫出線段BH和EH的位置關(guān)系和數(shù)量關(guān)系，并證明．【答案】（1）證明過程見解答；（2）BH⊥EH，BH＝EH，證明過程見解答．【分析】（1）由AB＝AC，得∠ABC＝∠C，可證明∠ABC＝∠C=12∠DAB，而∠ABE＝∠DBE=12∠DBA，則∠CBE=12（∠DAB（2）延長(zhǎng)BA到點(diǎn)G，使AG＝AE，連接EG，因?yàn)锳B＝AC，所以BG＝CE＝BF，即可證明△EBG≌△EBF，得∠G＝∠F，可證明∠G=12∠DAB，則∠G＝∠F＝∠C，于是∠BHE＝∠C+∠HEC＝∠F+∠DEF＝90°，得BH⊥EH，由∠HEB＝∠HBE＝45°，得BH＝【解答】（1）證明：∵BD⊥AC于D，∴∠BDC＝∠FDC＝90°，∴∠DAB+∠DBA＝90°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C，∴∠DAB＝∠ABC+∠C＝2∠ABC，∴∠ABC＝∠C=12∠∵BE平分∠ABD，∴∠ABE＝∠DBE=12∠∴∠CBE＝∠ABC+∠ABE=12（∠DAB+∠DBA）＝45（2）解：BH⊥EH，BH＝EH，證明：延長(zhǎng)BA到點(diǎn)G，使AG＝AE，連接EG，∵AB＝AC，∴AB+AG＝AC+AE，∴BG＝CE，∵BF＝CE，∴BG＝BF，在△EBG和△EBF中，BG=BF∠GBE=∠FBE∴△EBG≌△EBF（SAS），∴∠G＝∠F，∵∠G＝∠AEG，∴∠DAB＝∠G+∠AEG＝2∠G，∴∠G=12∠∴∠G＝∠C，∴∠F＝∠C，∵∠HEC＝∠DEF，∴∠BHE＝∠C+∠HEC＝∠F+∠DEF＝90°，∴BH⊥EH，∵∠HEB＝∠HBE＝45°，∴BH＝EH．【點(diǎn)評(píng)】此題重點(diǎn)考查等腰三角形的判定與性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)、三角形的一個(gè)外角等于與它不相鄰的兩個(gè)內(nèi)角的和等知識(shí)，正確地作出所需要的輔助線是解題的關(guān)鍵．15．（2023春?橫山區(qū)期末）【問題背景】直線l⊥BC于點(diǎn)B（即EB⊥BC），∠ACB＝90°，點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，一條光線從點(diǎn)A射向點(diǎn)D，反射后與直線l交于點(diǎn)E，∠ADC＝∠EDB．【問題再現(xiàn)】（1）如圖1，試說明線段BE與線段AC的數(shù)量關(guān)系；【問題推廣】（2）如圖2，連接AB交DE于點(diǎn)F，連接FC交AD于點(diǎn)H，AC＝BC．試說明線段CF與線段AD的位置關(guān)系．【答案】（1）相等，理由見解析；（2）垂直，理由見解析【分析】（1）直接利用角邊角證明△BDE≌△CDA，進(jìn)而證明即可；（2）先證明△EBF≌△CBF（SAS），再證明∠BCF＝∠CAD，再根據(jù)直角三角形兩銳角互余和三角形內(nèi)角和定理進(jìn)行證明即可．【解答】解：（1）相等，理由如下：∵EB⊥BC，∴∠EBD＝90°，∵∠ACB＝90°，∴∠EBD＝∠ACB，∵點(diǎn)D為BC的中點(diǎn)，∴BD＝CD，又∵∠ADC＝∠EDB，∴△BDE≌△CDA（ASA），∴BE＝AC；（2）垂直，理由如下：∵AC＝BC，∠ACB＝90°，∴∠ABC＝45°，∠CAD+∠ADC＝90°，∵∠EBD＝90°，BE＝AC，∴∠EBF＝45°，BE＝BC，∴∠EBF＝∠ABC，又∵BF＝BF，∴△EBF≌△CBF（SAS），∴∠BED＝∠BCF，∵△BDE≌△CDA，∴∠BED＝∠CAD，∴∠BCF＝∠CAD，∴∠BCF+∠ADC＝90°，∴∠CHD＝90°，∴CF⊥AD．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)定理，直角三角形兩銳角互余，三角形內(nèi)角和定理，熟練掌握知識(shí)點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．16．（2023春?榆林期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，BD平分∠ABC交AC于點(diǎn)D，過點(diǎn)A作AE∥BC交BD的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E．（1）若∠BAC＝40°，求∠E的度數(shù)；（2）若F是DE上的一點(diǎn)，且AF＝AD，判斷BD與EF的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．【答案】（1）35°；（2）BD＝EF，見解析．【分析】（1）根據(jù)等腰三角形兩底角相等，已知頂角，可以求出底角，再根據(jù)角平分線的定義求出∠CBD=1（2）先證明AB＝AE，再得出∠ADF＝∠AFD，∠ADB＝∠AFE，根據(jù)AAS證明△ABD≌△AEF，根據(jù)全等三角形的對(duì)應(yīng)邊相等得出結(jié)論．【解答】解：（1）∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠ACB，∵∠BAC＝40°，∴∠ABC=1∵BD平分∠ABC，∴∠CBD=1∵AE∥BC∴∠E＝∠CBD＝35°；（2）∵BD平分∠ABC，∴∠CBD＝∠ABD，∵AE∥BC，∴∠AEF＝∠CBD，∴∠ABD＝∠AEF，∴AB＝AE，∵AF＝AD，∴∠ADF＝∠AFD，∵∠ADB＝180°﹣∠ADF，∠AFE＝180°﹣∠AFD，∴∠ADB＝∠AFE，在△ABD和△AEF中，∠ADB=∠AFE∠ABD=∠AEF∴△ABD≌△AEF（AAS），∴BD＝EF．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了等腰三角形的性質(zhì)，平行線的性質(zhì)，角平分線的定義，三角形全等，考核學(xué)生的推理能力，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．17．（2023春?子洲縣校級(jí)期末）如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，∠D＝90°，∠DAB的平分線與∠CBA的平分線相交于點(diǎn)P，且點(diǎn)P在線段CD上，∠CPB＝30°．（1）求∠PAD的度數(shù)；（2）試說明：PD＝PC．【答案】（1）30°；（2）詳見解析．【分析】（1）根據(jù)兩直線平行，同旁內(nèi)角互補(bǔ)，以及角平分線的定義，即可作答；（2）過點(diǎn)P作PE⊥AB于點(diǎn)E，再根據(jù)角平分線的性質(zhì)定理即可證明．【解答】解：（1）∵AD∥BC，∴∠C＝180°﹣∠D＝180°﹣90°＝90°．∵∠CPB＝30°，∴∠PBC＝90°﹣∠CPB＝60°．∵PB平分∠ABC，∴∠ABC＝2∠PBC＝120°．∵AD∥BC，∴∠DAB+∠ABC＝180°，∴∠DAB＝180°﹣120°＝60°．∵AP平分∠DAB，∴∠PAD=1（2）如圖．過點(diǎn)P作PE⊥AB于點(diǎn)E．∵AP平分∠DAB，PD⊥AD，PE⊥AB，∴PE＝PD．∵BP平分∠ABC，PC⊥BC，PE⊥AB，∴PE＝PC，∴PD＝PC．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了平行線的性質(zhì)，角平分線的性質(zhì)定理的等知識(shí)，掌握角平分線的性質(zhì)定理，是解答本題的關(guān)鍵．18．（2023春?高新區(qū)校級(jí)期末）如圖，已知四邊形ABCD中，AB＝10厘米，BC＝8厘米，CD＝12厘米，∠B＝∠C，點(diǎn)E為AB的中點(diǎn)．如果點(diǎn)P在線段BC上以3厘米/秒的速度由B點(diǎn)向C點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，同時(shí)，點(diǎn)Q在線段CD上由C點(diǎn)向D點(diǎn)運(yùn)動(dòng)，當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為多少時(shí)，能夠使△BPE與△CQP全等？【答案】3厘米/秒或154厘米/【分析】由全等三角形的判定，分兩種情況討論，即可解決問題．【解答】解：設(shè)P運(yùn)動(dòng)的時(shí)間是t秒，∴PB＝3t（厘米）PC＝（8﹣3t）厘米，∵∠B＝∠C，當(dāng)BP＝CQ，BE＝PC時(shí)，△BPE≌△CQP，∵BP＝CQ，P，Q運(yùn)動(dòng)的時(shí)間相等，∴Q的運(yùn)動(dòng)速度是3厘米/秒；當(dāng)CQ＝BE，PB＝PC時(shí)，△BPE≌△CPQ，∵E是AB中點(diǎn)，∴CQ＝BE＝5厘米，∵3t＝8﹣3t，∴t=4∴5÷43=∴當(dāng)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)速度為3厘米/秒或154厘米/秒時(shí)，能夠使△BPE與△CQP【點(diǎn)評(píng)】本題考查全等三角形的判定，關(guān)鍵是要分兩種情況討論．19．（2023春?佛山月考）已知，如圖1，在△ABC中，AD為△ABC的中線，E為AD上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)（不與點(diǎn)A，D重合）．分別過點(diǎn)E和點(diǎn)C作AB與AD的平行線交于點(diǎn)F，連AF．（1）求證：AF＝BE；（2）如圖2，延長(zhǎng)BE交AC于點(diǎn)G，若BG⊥AC，且AD＝BG，請(qǐng)判斷EG與AE的數(shù)量關(guān)系，并說明理由．?【答案】（1）見解析；（2）EG=12【分析】（1）過點(diǎn)D作DM∥AB交FC于點(diǎn)M，連接AM，證明△ABD≌△MDC（ASA），推出AB＝MD，再證明四邊形EDMF和四邊形ABEF是平行四邊形，可得結(jié)論；（2）過點(diǎn)D作DN∥BG交AC于點(diǎn)N，根據(jù)平行線分線段的性質(zhì)得CN＝GN，根據(jù)三角形中位線定理得DN=12BG，再根據(jù)直角三角形邊角的關(guān)系得∠DAN＝【解答】（1）證明：如圖1中，過點(diǎn)D作DM∥AB交FC于點(diǎn)M，連接AM，∵DM∥AB，∴∠MDC＝∠ABD，∵CF∥AD，∴∠MCD＝∠ADB，∵AD是△ABC的中線，∴BD＝DC，∴△ABD≌△MDC（ASA），∴AB＝MD，∵AB∥EF，∴EF∥DM，∵DE∥FM，∴四邊形EDMF是平行四邊形，∴DM＝EF，∴AB＝EF，∴四邊形ABEF是平行四邊形，∴AF＝BE；（2）解：EG=12理由：如圖2中，過點(diǎn)D作DN∥BG交AC于點(diǎn)N，∵BD＝CD，DN∥BG，∴CN＝GN，∴DN=12∵AD＝BG，∴DN=12∵BG⊥AC，DN∥BG，∴DN⊥AC，∴∠AND＝90°，∴∠DAN＝30°，∴EG=12【點(diǎn)評(píng)】本題屬于四邊形綜合題，考查了平行四邊形的判定和性質(zhì)，全等三角形的判定和性質(zhì)，解直角三角形等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是正確作出輔助線，構(gòu)造全等三角形解決問題．20．（2023?金東區(qū)三模）如圖，在△ABC中，∠BAC的平分線交BC于點(diǎn)D，E為AC上一點(diǎn)，AE＝AB，連結(jié)DE．（1）求證：△ABD≌△AED．（2）已知AB＝9，△CDE周長(zhǎng)為15，求△ABC的周長(zhǎng)．【答案】（1）證明過程見解答；（2）33?．【分析】（1）根據(jù)角平分線的定義可得∠BAD＝∠CAD，然后利用“邊角邊”證明即可；（2）根據(jù)全等三角形對(duì)應(yīng)邊相等可得DE＝BD，根據(jù)△CDE周長(zhǎng)＝BC+CE＝15，進(jìn)而可以得到△ABC的周長(zhǎng)．【解答】（1）證明：∵AD是∠BAC的平分線，∴∠BAD＝∠CAD，在△ABD和△AED中，AB=AE∠BAD=∠CAD∴△ABD≌△AED（SAS）；（2）解：∵△ABD≌△AED，∴DE＝BD，∴△CDE周長(zhǎng)＝DE+CD+CE＝BD+CD+CE＝BC+CE＝15，∵AE＝AB＝9，∴△ABC的周長(zhǎng)＝AB+AC+BC＝AB+AE+CE+BC＝9+9+15＝33．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)，解決本題的關(guān)鍵是得到△ABD≌△AED．21．（2023春?渠縣校級(jí)期末）如圖，在△ABC中，AD是∠BAC的平分線，且∠B＝∠ADB，過點(diǎn)C作CM垂直于AD的延長(zhǎng)線，垂足為M．（1）若∠DCM＝α，試用α表示∠BAD；（2）求證：AB+AC＝2AM．【答案】（1）∠BAD＝2α；（2）證明見解答．【分析】（1）由CM⊥AD，可得∠CMD＝90°，根據(jù)直角三角形性質(zhì)即可得出答案；（2）如圖，延長(zhǎng)AM至E，使ME＝AM，則AE＝2AM，根據(jù)線段垂直平分線性質(zhì)可得：CE＝AC，再由AD平分∠BAC，可得出∠E＝∠BAD，運(yùn)用平行線判定定理可得CE∥AB，運(yùn)用平行線性質(zhì)可得∠ECD＝∠B，即可證得結(jié)論．【解答】（1）解：∵CM⊥AD，∴∠CMD＝90°，∴∠CDM＝90°﹣∠DCM＝90°﹣α，∴∠B＝∠ADB＝∠CDM＝90°﹣α，∴∠BAD＝180°﹣（∠B+∠ADB）＝2α；（2）證明：如圖，延長(zhǎng)AM至E，使ME＝AM，則AE＝2AM，∵M(jìn)E＝AM，CM⊥AM，∴CE＝AC，∴∠E＝∠CAD，∵AD平分∠BAC，∴∠BAD＝∠CAD，∴∠E＝∠BAD，∴CE∥AB，∴∠ECD＝∠B，∵∠B＝∠ADB＝∠EDC，∴∠ECD＝∠EDC，∴ED＝CE，∴ED＝AC，∵∠B＝∠ADB，∴AD＝AB，∵AE＝ED+AD，∴AE＝AC+AB，∴AB+AC＝2AM．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了角平分線定義，平行線判定和性質(zhì)，直角三角形性質(zhì)，線段垂直平分線性質(zhì)，等腰三角形判定和性質(zhì)等，解題關(guān)鍵是合理添加輔助線：延長(zhǎng)AM至E，使ME＝AM．22．（2023春?漳州期末）如圖，在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D，E分別在邊AC，BC上，連接AE，BD交于點(diǎn)F，∠BAC＝∠BFE＝2∠AEB．（1）說明：∠EAC＝∠ABD；（2）若BD平分∠ABC，BE＝15，AF＝6，求△BEF的面積；（3）判斷EF，BF，AF之間的數(shù)量關(guān)系，并加以說明．【答案】（1）見解析；（2）△BEF的面積為45；（3）2AF＝BF﹣EF；理由見解析．【分析】（1）根據(jù)∠BAE+∠EAC＝∠BAC，∠BAE+∠ABD＝∠BDC，∠BAC＝∠BFE，即可證明結(jié)論；（2）過點(diǎn)F作FG⊥BC于點(diǎn)G，求出∠ABE+∠AEB＝90°，得出∠BAE＝180°﹣90°＝90°，證明FA⊥AB，根據(jù)角平分線的性質(zhì)得出FG＝AF＝6，根據(jù)三角形面積公式求出S△BEF（3）在BD上截取BH＝AE，連接AH，證明△ABH≌△CAE（SAS），得出∠AHB＝∠AEC，∠C＝∠BAH，證明∠HAF＝∠AHF，得出AF＝FH＝BF﹣BH＝BF﹣AE＝BF﹣AF﹣EF，即可證明結(jié)論．【解答】（1）證明：∵∠BAE+∠EAC＝∠BAC，∠BAE+∠ABD＝∠BDC，又∵∠BAC＝∠BFE，∴∠BAE+∠EAC＝∠BAE+∠ABD，∴∠EAC＝∠ABD；（2）解：過點(diǎn)F作FG⊥BC于點(diǎn)G，如圖所示：∵AB＝AC，∴∠ABE＝∠C，∴∠BAC＝180°﹣2∠ABE，∴∠AEB=1∴∠ABE+∠AEB＝90°，∴∠BAE＝180°﹣90°＝90°，∴FA⊥AB，∵BD平分∠ABC，F(xiàn)G⊥BC，∴FG＝AF＝6，∴S△BEF（3）解：2AF＝BF﹣EF；理由如下：在BD上截取BH＝AE，連接AH，如圖所示：在△ABH和△CAE中，AB=AC∠ABH=∠CAE∴△ABH≌△CAE（SAS），∴∠AHB＝∠AEC，∠C＝∠BAH，∴∠AHF=∠AEB=1根據(jù)解析（2）可知，∠BAE＝90°，∴∠HAF＝90°﹣∠BAH＝90°﹣∠C，∴∠HAF＝∠AHF，∴AF＝FH＝BF﹣BH＝BF﹣AE＝BF﹣AF﹣EF，∴2AF＝BF﹣EF．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了等腰三角形的判定和性質(zhì)，三角形內(nèi)角和定理，三角形全等的判定和性質(zhì)，角平分線性質(zhì)，三角形面積的計(jì)算，解題的關(guān)鍵是作出輔助線，構(gòu)造全等三角形，證明∠BAE＝90°，△ABH≌△CAE．23．（2023春?沈陽月考）如圖，在△ABC中，AB＝AC，D為△ABC外一點(diǎn)，且∠ABD＝60°，∠BDC+2∠ADB＝180°，請(qǐng)寫出線段BD，CD與AB之間的數(shù)量關(guān)系，并證明你的結(jié)論．【答案】BD+CD＝AB，證明見解答．【分析】延長(zhǎng)CD到點(diǎn)E，使ED＝BD，連接AE，由∠BDC+2∠ADB＝180°，得∠ADB＝90°-12∠BDC，所以∠ADE＝180°﹣（90°-12∠BDC）﹣∠BDC＝90°-12∠BDC，則∠ADE＝∠ADB，即可證明△ADE≌△ADB，得AE＝AB，∠E＝∠ABD＝60°，而AB＝AC，所以AE＝AC，則△ACE是等邊三角形，所以CE＝AC＝AB，即可證明【解答】解：BD+CD＝AB，證明：延長(zhǎng)CD到點(diǎn)E，使ED＝BD，連接AE，∵∠BDC+2∠ADB＝180°，∴∠ADB＝90°-12∠∴∠ADE＝180°﹣（90°-12∠BDC）﹣∠BDC＝90°-1∴∠ADE＝∠ADB，在△ADE和△ADB中，ED=BD∠ADE=∠ADB∴△ADE≌△ADB（SAS），∴AE＝AB，∠E＝∠ABD＝60°，∵AB＝AC，∴AE＝AC，∴△ACE是等邊三角形，∴CE＝AC＝AB，∵CE＝ED+CD＝BD+CD，∴BD+CD＝AB．【點(diǎn)評(píng)】此題重點(diǎn)考查全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)，正確地作出所需要的輔助線是解題的關(guān)鍵．24．（2023春?渠縣校級(jí)期末）（1）如圖1，在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，CD平分∠ACB，BE⊥CD，垂足為E，試探究線段BE和CD之間的數(shù)量關(guān)系，并寫出你的理由．（2）如圖2，把條件改為：“在△ABC中，AB＝AC，∠BAC＝90°，點(diǎn)D在BC上，∠EDB=12∠C，BE⊥ED，DE與AB相交于F點(diǎn)，則線段BE和【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）如圖，作輔助線；證明△ADC≌△AFB，得到DC＝BF；證明EF＝BE，即可解決問題．（2）如圖，作輔助線；△HFD≌△HGB，得到DF＝BG；證明△EGD≌△EBD，得到BE＝GE，即可解決問題．【解答】解：CD＝2BE；理由如下：如圖1，∵∠BAC＝90°，∠E＝90°，∴∠FED+∠FAD＝180°，∴∠ADE+∠F＝180°，∵∠ADE+∠ADC＝180°，∴∠ADC＝∠F，在△ADC與△AFB中，∠DAC=∠FAB∠ADC=∠F∴△ADC≌△AFB（AAS），∴DC＝BF；在△EFC與△EBC中，∠FEC=∠BECEC=EC∴△EFC≌△EBC（ASA），∴EF＝BE，∴CD＝2BE．（2）DF＝2BE．理由如下：如圖，作DG∥AC，交BE的延長(zhǎng)線于點(diǎn)G；則∠BDG＝∠C；∵∠EDB=12∠∴DE平分∠BDG；∵DG∥AC，∴∠BHD＝∠A＝90°，而∠HBD＝45°，故∠HDB＝45°，∴BH＝DH；∵∠GEF+∠GHF＝180°，同理得∠HFD＝∠G；在△HFD與△HGB中，∠FHD=∠GHB∠HFD=∠G∴△HFD≌△HGB（AAS），∴DF＝BG；在△EGD與△EBD中，∠GED=∠BEDDE=DE∴△EGD≌△EBD（ASA），∴EG＝BE，∴DF＝2BE．【點(diǎn)評(píng)】該題主要考查了全等三角形的判定及其性質(zhì)的應(yīng)用問題；解題的關(guān)鍵是作輔助線，構(gòu)造全等三角形．25．（2023春?榮成市期末）已知在△ABC中，AC＝BC，分別過A，B兩點(diǎn)作互相平行的直線AM，BN，過點(diǎn)C的直線分別交直線AM，BN于點(diǎn)D，E．（1）如圖1，若AM⊥AB，求證：CD＝CE；（2）如圖2，∠ABC＝∠DEB＝60°，判斷線段AD，DC與BE之間的關(guān)系，并說明理由．【答案】見試題解答內(nèi)容【分析】（1）延長(zhǎng)AC交BN于點(diǎn)F，證明△ADC≌△FEC（ASA），即可得出結(jié)論；（2）在EB上截取EH＝EC，連接CH，證明△DAC≌△HCB（AAS），得出AD＝CH，DC＝BH，即可得出結(jié)論．【解答】（1）證明：如圖1，延長(zhǎng)AC交BN于點(diǎn)F，∵AC＝BC，∴∠CAB＝∠CBA，又∵AB⊥AM，∴∠BAM＝90°，又∵AM∥BN，∴∠BAM+∠ABN＝180°，∴∠ABN＝90°，∴∠BAF+∠AFB＝90°，∠ABC+∠CBF＝90°，∴∠CBF＝∠AFB，∴BC＝CF，∴AC＝FC，又∵AM∥BN，∴∠DAF＝∠AFB，在△ADC和△FEC中，∠DAC=∠EFCAC=FC∴△ADC≌△FEC（ASA），∴DC＝EC；（2）解：AD+DC＝BE；理由如下：如圖2，在EB上截取EH＝EC，連接CH，∵AC＝BC，∠ABC＝60°，∴△ABC為等邊三角形，∵∠DEB＝60°，∴△CHE是等邊三角形，∴∠CHE＝60°，∠HCE＝60°，∴∠BHC＝120°，∵AM∥BN，∴∠ADC+∠BEC＝180°，∴∠ADC＝120°，∴∠DAC+∠DCA＝60°，又∵∠DCA+∠ACB+∠BCH+∠HCE＝180°，∴∠DCA+∠BCH＝60°，∴∠DAC＝∠BCH，在△DAC與△HCB中，∠DAC=∠HCB∠ADC=∠CHB∴△DAC≌△HCB（AAS），∴AD＝CH，DC＝BH，又∵CH＝CE＝HE，∴BE＝BH+HE＝DC+AD，即AD+DC＝BE．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定與性質(zhì)、等邊三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的判定與性質(zhì)等知識(shí)；熟練掌握等腰三角形的判定與性質(zhì)，證明三角形全等是解題的關(guān)鍵．26．（2022秋?大足區(qū)期末）如圖1，△ABC中，AD為△ABC的中線，點(diǎn)E在AD上，且∠CED＝∠BAD．（1）求證：AB＝CE．（2）如圖2，連接BE，若BC＝AC＝2DE，∠ABE＝14°，求∠DAC的度數(shù)．【答案】（1）證明見詳解；（2）28°．【分析】（1）如圖1，延長(zhǎng)AD到F，使DF＝AD，連接CF，由“SAS”可證△ADB≌△FDC，可得CF＝BA，∠F＝∠BAD，由等腰三角形的性質(zhì)可得結(jié)論；（2）由等腰三角形的性質(zhì)可得∠DEB＝∠DBE，可得∠DAB＝∠DEB﹣14°，∠CAB＝∠ABC＝∠DEB+14°，即可求解．【解答】（1）證明：如圖1，延長(zhǎng)AD到F，使DF＝AD，連接CF，∵AD為△ABC的中線，∴CD＝BD，在△ADB與△FDC中，CD=BD∠ADB=∠FDC∴△ADB≌△FDC（SAS），∴CF＝BA，∠F＝∠BAD，∵∠CED＝∠BAD，∴∠CED＝∠F，∴CE＝CF，∴CE＝BA；（2）解：∵2DE＝BC，AD為△ABC的中線，∴DE＝BD＝DC，∴∠DEB＝∠DBE，∴∠ABC＝∠DBE+∠ABE＝∠DEB+14°，∵∠DEB＝∠DAB+∠ABE，∴∠DAB＝∠DEB﹣14°，∵AC＝CB，∴∠CAB＝∠ABC＝∠DEB+14°∴CAD＝∠CAB﹣∠DAB＝28°．【點(diǎn)評(píng)】本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，外角的性質(zhì)，添加輔助線構(gòu)造全等三角形是本題的關(guān)鍵．27．（2022秋?忠縣期末）如圖，已知△BAC和△DAE的頂點(diǎn)A重合∠BAC＝∠DAE，AB＝AC，AD＝AE，連接BD、CE交于點(diǎn)M．（1）證明：∠ABD＝∠ACE；（2）若∠ADE＝71°，求∠BMC的大?。敬鸢浮浚?）證明過程見解答；（2）38°．【分析】（1）利用SAS證得△ABD≌△ACE，則其對(duì)應(yīng)角相等；（2）利用三角形內(nèi)角和定理求得∠DAE＝38°，【解答】（1）證明：∵∠BAC＝∠DAE，∴∠BAC+∠CAD＝∠DAE+∠CAD，即∠BAD＝∠CAE，在△ABD與△ACE中，AB=AC∠BAD=∠CAE∴△ABD≌△ACE（SAS），∴∠ABD＝∠ACE；（2）解：∵AD＝AE，∠ADE＝71°，∴∠DAE＝180°﹣2∠ADE＝38°．由（1）知，△ABD≌△ACE，則∠BAD＝∠CAE，∴∠BAD﹣∠CAD＝∠CAE﹣∠CAD．∴∠BAC＝∠DAE＝38°．設(shè)BD與AC交于點(diǎn)F，由（1）得∠ABD＝∠ACE，在△ABF和△CMF中，∠AFB＝∠CFM，∵∠ABD+∠AFB+∠BAC＝180°，∠ACE+∠MFC+∠BMC＝180°，∴∠BMC＝∠BAC＝38°．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查全等三角形的判定與性質(zhì)，三角形的內(nèi)角和定理，對(duì)頂角相等，利用SAS證明△ABD≌△ACE是解題的關(guān)鍵．28．（2023春?本溪期末）在△ABC中，AB＝AC，點(diǎn)D在射線BA上，點(diǎn)E在AC的延長(zhǎng)線上，且BD＝CE．連接DE，DE與BC邊所在的直線交于點(diǎn)F．（1）當(dāng)點(diǎn)D在線段BA上時(shí)，如圖所示，求證：DF＝EF．（2）過點(diǎn)D作DH⊥BC交直線BC于點(diǎn)H．若BC＝4，CF＝1，求BH的長(zhǎng)是多少？【答案】（1）證明見解析過程（2）1或3．【分析】（1）過點(diǎn)D作DG∥AC，交BC于點(diǎn)G，利用平行線的性質(zhì)和等邊對(duì)等角證明∠DGB＝∠B，得到BD＝GD，進(jìn)而推出GD＝CE，再證明△DGF≌△ECF，即可證明DF＝EF；（2）分當(dāng)點(diǎn)D在線段AB上時(shí)，過點(diǎn)E作EO⊥BC，交BC延長(zhǎng)線于O，當(dāng)點(diǎn)D在BA的延長(zhǎng)線上時(shí)，過點(diǎn)E作EO⊥BC交BC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)O，先證明△DHB≌△EOC，得到BH＝CO，進(jìn)而求出HO＝4，再證明△DHF≌△EOF，得到HF＝OF＝2，再根據(jù)線段之間的關(guān)系求出BH的長(zhǎng)即可．【解答】（1）證明：過點(diǎn)D作DG∥AC，交BC于點(diǎn)G．∴∠DGB＝∠ACB，∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB，∴∠DGB＝∠B，∴BD＝GD，∵BD＝CE，∴GD＝CE，∵DG∥AC，∴∠GDF＝∠CEF，∠DGF＝∠ECF，在△DGF和△ECF中∠GDF=∠CEFGD=CE∴△DGF≌△ECF（ASA），∴DF＝EF；（2）解：如圖所示，當(dāng)點(diǎn)D在線段AB上時(shí)，過點(diǎn)E作EO⊥BC，交BC延長(zhǎng)線于O，∵AB＝AC，∴∠B＝∠ACB＝∠OCE，又∵∠DHB＝∠EOC＝90°，BD＝CE，∴△DHB≌△EOC（AAS），∴BH＝CO，∴HO＝HC+CO＝HC+HB＝BC＝4，∵∠DHF＝∠EOF＝90°，∠DFH＝∠EFO，DF＝EF（由第一小問已經(jīng)證明），∴△DHF≌△EOF（AAS），∴HF=OF=1∵CF＝1，∴BH＝CO＝O