專(zhuān)題4.9 一次函數(shù)章末八大題型總結(jié)（拔尖篇）（北師大版）（原卷版）

專(zhuān)題4.9一次函數(shù)章末八大題型總結(jié)（拔尖篇）【北師大版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1根據(jù)情景確定函數(shù)圖象】 1【題型2一次函數(shù)與三角形的面積綜合】 3【題型3一次函數(shù)與全等三角形】 4【題型4一次函數(shù)與等腰三角形】 6【題型5一次函數(shù)與等腰直角三角形】 8【題型6一次函數(shù)與動(dòng)點(diǎn)最值問(wèn)題】 10【題型7一次函數(shù)的圖象的應(yīng)用】 12【題型8一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用】 14【題型1根據(jù)情景確定函數(shù)圖象】【例1】（2023春·安徽宿州·八年級(jí)校考期中）如圖所示，有一個(gè)容器水平放置，往此容器內(nèi)注水，注滿為止．若用h（單位：cm）表示容器底面到水面的高度，用V（單位：cm3）表示注入容器內(nèi)的水量，則表示V與h的函數(shù)關(guān)系的圖象大致是（

）

B．

C．

D．

【變式1-1】（2023·廣西南寧·八年級(jí)?？计谥校┠虾淼朗悄蠈幨薪ǔ傻氖讞l水底隧道．一輛小汽車(chē)勻速通過(guò)南湖隧道，小汽車(chē)車(chē)身在隧道內(nèi)的長(zhǎng)度記為y米，小汽車(chē)進(jìn)入隧道的時(shí)間記為t秒，則y與t之間的關(guān)系用圖象描述大致是（

）

B．

C．

D．

【變式1-2】（2023·北京懷柔·八年級(jí)?？计谥校┬←愒缟蠌募页霭l(fā)騎車(chē)去上學(xué)，途中想起忘了帶昨天晚上完成的數(shù)學(xué)作業(yè)，于是打電話讓媽媽馬上從家里送來(lái)，同時(shí)小麗也往回騎，遇到媽媽后停下說(shuō)了幾句話，接著繼續(xù)騎車(chē)去學(xué)校．設(shè)小麗從家出發(fā)后所用時(shí)間為t，小麗與學(xué)校的距離為S．下面能反映S與t的函數(shù)關(guān)系的大致圖象是（

）．A．A B．B C．C D．D【變式1-3】（2023春·北京東城·八年級(jí)北京市第二中學(xué)分校?？计谀┤鐖D所示，一個(gè)實(shí)心鐵球靜止在長(zhǎng)方體水槽的底部，現(xiàn)向水槽勻速注水，下列圖像中能大致反映水槽中水的深度y與注水時(shí)間x關(guān)系的是（

）

A．

B．

C．

D．

【題型2一次函數(shù)與三角形的面積綜合】【例2】（2023春·四川宜賓·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，四邊形OABC是平行四邊形，四邊形ODEC為正方形，點(diǎn)C的坐標(biāo)是(0,2)，點(diǎn)A的坐標(biāo)是(2,1)，若直線l把?OABC與正方形ODEC組成的圖形分成面積相等的兩部分，則直線l的解析式是(

)

A．y=14x+54 B．y=1【變式2-1】（2023春·廣東江門(mén)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，過(guò)點(diǎn)A(-2,0)的直線l1:y=kx+b與直線l2

(1)求直線l1(2)求四邊形PAOC的面積．【變式2-2】（2023春·山東濟(jì)南·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D1所示，在△ABC中，AD是三角形的高，且AD=6cm，BC=8cm，點(diǎn)E是BC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，由點(diǎn)B向點(diǎn)C運(yùn)動(dòng)，其速度與時(shí)間的變化關(guān)系如圖

(1)由圖2知，點(diǎn)E運(yùn)動(dòng)的時(shí)間為s，速度為cm/s，點(diǎn)E停止運(yùn)動(dòng)時(shí)距離點(diǎn)Ccm．(2)求在點(diǎn)E的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，△ABE的面積y(cm2)與運(yùn)動(dòng)時(shí)間x((3)求點(diǎn)E停止運(yùn)動(dòng)后，求△ABE的面積．【變式2-3】（2023春·山西大同·八年級(jí)大同市第三中學(xué)校?？计谀┰谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系中，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A的橫坐標(biāo)為a，點(diǎn)A的縱坐標(biāo)為b，且實(shí)數(shù)a，b滿足a+42

(1)如圖1，求點(diǎn)A的坐標(biāo)；(2)如圖2，過(guò)點(diǎn)A作x軸的垂線，點(diǎn)B為垂足．若將點(diǎn)A向右平移10個(gè)單位長(zhǎng)度，再向下平移8個(gè)單位長(zhǎng)度可以得到對(duì)應(yīng)點(diǎn)C，連接CA，CB，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)B，C的坐標(biāo)并求出三角形ABC的面積．(3)在（2）的條件下，記AC與x軸交點(diǎn)為點(diǎn)D，點(diǎn)P在y軸上，連接PB，PD，若三角形PBD的面積與三角形ABC的面積相等，直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)．【題型3一次函數(shù)與全等三角形】【例3】（2023春·陜西咸陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖，直線l1：y=-2x+6與過(guò)點(diǎn)B(0，3)的直線l2交于點(diǎn)C(1，m)，且直線l1與x

(1)求直線l2(2)若點(diǎn)M是直線l2上的點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)M作MN⊥y軸于點(diǎn)N，要使以O(shè)、M、N為頂點(diǎn)的三角形與△AOD全等，求所有滿足條件的點(diǎn)M【變式3-1】（2023春·河北保定·八年級(jí)校聯(lián)考期中）已知：如圖點(diǎn)A(6，8)在正比例函數(shù)圖象上，點(diǎn)B坐標(biāo)為(12,0)，連接AB，AO=AB=10，點(diǎn)C是線段AB的中點(diǎn)，點(diǎn)P在線段BO上以每秒2個(gè)單位的速度由點(diǎn)B向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)，點(diǎn)Q在線段AO上由點(diǎn)A向點(diǎn)O運(yùn)動(dòng)，P、（1）正比例函數(shù)的關(guān)系式為；（2）當(dāng)t=1秒，且SΔOPQ=6時(shí)，求點(diǎn)（3）連接CP，在點(diǎn)P、Q運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，ΔOPQ與ΔBPC是否全等？如果全等，請(qǐng)求出點(diǎn)【變式3-2】（2023春·遼寧阜新·八年級(jí)校考期末）如圖，一次函數(shù)y=﹣x+4的圖象與y軸交于點(diǎn)A，與x軸交于點(diǎn)B，過(guò)AB中點(diǎn)D的直線CD交x軸于點(diǎn)C，且經(jīng)過(guò)第一象限的點(diǎn)E（6，4）．（1）求A，B兩點(diǎn)的坐標(biāo)及直線CD的函數(shù)表達(dá)式；（2）連接BE，求△DBE的面積；（3）連接DO，在坐標(biāo)平面內(nèi)找一點(diǎn)F，使得以點(diǎn)C，O，F(xiàn)為頂點(diǎn)的三角形與△COD全等，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)F的坐標(biāo)．【變式3-3】（2023春·山東濟(jì)南·八年級(jí)統(tǒng)考期中）若直線ymx8和ynx3都經(jīng)過(guò)x軸上一點(diǎn)B，與y軸分別交于A、C．（1）寫(xiě)出A、C兩點(diǎn)的坐標(biāo)，A，C____；（2）若BC平分∠ABO，求直線AB和CB的解析式；（3）點(diǎn)D是y軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，是否存在AB上的動(dòng)點(diǎn)E，使得△ADE與△AOB全等，若存在，請(qǐng)直接寫(xiě)出點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．

【題型4一次函數(shù)與等腰三角形】【例4】（2023春·山西臨汾·八年級(jí)校聯(lián)考期中）已知正比例函數(shù)y=43x與一次函數(shù)y=3x-5的圖象交于點(diǎn)A（1）求A點(diǎn)坐標(biāo)；（2）求△AOB的面積；（3）已知在x軸上存在一點(diǎn)P，能使△AOP是等腰三角形，請(qǐng)直接寫(xiě)出所有符合要求的點(diǎn)P的坐標(biāo)．【變式4-1】（2023春·四川宜賓·八年級(jí)統(tǒng)考期中）等腰三角形中，周長(zhǎng)為20cm，設(shè)底邊為x，腰長(zhǎng)為y．

(1)求y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；(2)求自變量x的取值范圍；(3)在平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出函數(shù)的圖象．【變式4-2】（2023春·江蘇鹽城·八年級(jí)?？计谀┤鐖D是8×8的正方形網(wǎng)格，每個(gè)小方格都是邊長(zhǎng)為1的正方形，A、B是格點(diǎn)（網(wǎng)格線的交點(diǎn)）．以網(wǎng)格線所在直線為坐標(biāo)軸，在網(wǎng)格中建立平面直角坐標(biāo)系xOy，使點(diǎn)A坐標(biāo)為（－2，4）．(1)在網(wǎng)格中，畫(huà)出這個(gè)平面直角坐標(biāo)系；(2)在第二象限內(nèi)的格點(diǎn)上找到一點(diǎn)C，使A、B、C三點(diǎn)組成以AB為底邊的等腰三角形，且腰長(zhǎng)是無(wú)理數(shù)，則點(diǎn)C的坐標(biāo)是______；(3)點(diǎn)D為x軸上一動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)△ABD的周長(zhǎng)最小時(shí)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為_(kāi)________．【變式4-3】（2023春·山東青島·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，直線l1：y1=-x+2與x軸，y軸分別交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)P(m，3)為直線l?1上一點(diǎn)，另一直線l2：y2=12x+b過(guò)點(diǎn)P（1）求點(diǎn)P坐標(biāo)和b的值；（2）若點(diǎn)C是直線l2與x軸的交點(diǎn)，動(dòng)點(diǎn)Q從點(diǎn)C開(kāi)始以每秒1個(gè)單位的速度向x軸正方向移動(dòng)至A，設(shè)點(diǎn)Q的運(yùn)動(dòng)時(shí)間為t秒．①請(qǐng)寫(xiě)出當(dāng)點(diǎn)Q在運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，△APQ的面積S與t的函數(shù)關(guān)系式；②是否存在t的值，使△APQ面積為△APC的一半？若存在，請(qǐng)求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．③是否存在t的值，使△APQ為以AQ為底的等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出t的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．【題型5一次函數(shù)與等腰直角三角形】【例5】（2023春·廣東深圳·八年級(jí)統(tǒng)考期中）如圖1，已知直線y＝﹣2x+2與y軸、x軸分別交于A、B兩點(diǎn)，以B為直角頂點(diǎn)在第一象限內(nèi)作等腰Rt△ABC．（1）A（）；B（）；（2）求BC所在直線的函數(shù)關(guān)系式；（3）如圖2，直線BC交y軸于點(diǎn)D，在直線BC上取一點(diǎn)E，使AE＝AC，AE與x軸相交于點(diǎn)F．①求證：BD＝ED；②在直線AE上是否存在一點(diǎn)P，使△ABP的面積等于△ABD的面積？若存在，直接寫(xiě)出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，說(shuō)明理由．【變式5-1】（2023春·遼寧大連·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，等腰Rt△AOB在平面直角坐標(biāo)系xOy上，∠B=90°,?OA=4．點(diǎn)C從原點(diǎn)O出發(fā)，以每秒1個(gè)單位的速度沿x軸的正方向運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)C作直線l⊥OA，直線l與射線OB（1）點(diǎn)B的坐標(biāo)為_(kāi)___________；（2）點(diǎn)C的運(yùn)動(dòng)時(shí)間是t秒．①當(dāng)2?t?4時(shí)，△AOB在直線l右側(cè)部分的圖形的面積為S，求S（用含t的式子表示）；②當(dāng)t>0時(shí)，點(diǎn)M在直線l上且△ABM是以AB為底的等腰三角形，若CN=32CM【變式5-2】（2023春·廣東茂名·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，在平面直角坐標(biāo)系第一象限內(nèi)，直線y=x與y=2x的交角內(nèi)部作等腰Rt△ABC，使∠ABC=90°，邊BC//x軸，AB//y軸，點(diǎn)A1,1在直線y=x上，點(diǎn)C在直線y=2x上，CB的延長(zhǎng)線交直線y=x于點(diǎn)A1，作等腰Rt△A1B1C1，使∠A【變式5-3】（2023春·天津和平·八年級(jí)天津市第五十五中學(xué)?？计谀┤鐖D1，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線y=kx+8分別交x軸，y軸于A、B兩點(diǎn)，已知A點(diǎn)坐標(biāo)(6,0)，點(diǎn)C在直線AB上，橫坐標(biāo)為3，點(diǎn)D是x軸正半軸上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接CD，以CD為直角邊在右側(cè)構(gòu)造一個(gè)等腰Rt△CDE，且∠CDE=90°(1)求直線AB的解析式以及C點(diǎn)坐標(biāo)；(2)設(shè)點(diǎn)D的橫坐標(biāo)為m，試用含m的代數(shù)式表示點(diǎn)E的坐標(biāo)；(3)如圖2，連接OC，OE，請(qǐng)直接寫(xiě)出使得△OCE周長(zhǎng)最小時(shí)，點(diǎn)E的坐標(biāo)．【題型6一次函數(shù)與動(dòng)點(diǎn)最值問(wèn)題】【例6】（2023春·四川成都·八年級(jí)成都實(shí)外?？计谥校┰谄矫嬷苯亲鴺?biāo)系xOy中，對(duì)任意兩點(diǎn)A(x1，y1)與B(x2，y若|x1-x2|≥|y1-y2|，則點(diǎn)A(x1若|x1-x2|<|y1-y2|，則點(diǎn)A(x1如圖，已知點(diǎn)C(12,-1)，點(diǎn)D是直線l:y=34x-3圖象上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)C與點(diǎn)D的“YY距離”的最小值是

【變式6-1】（2023春·四川內(nèi)江·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖所示，已知點(diǎn)C（2，0），直線y=-x+6與兩坐標(biāo)軸分別交于A、B兩點(diǎn)，D、E分別是AB、OA上的動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)ΔCDE的周長(zhǎng)取最小值時(shí)，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（

）A．（2，1） B．（3，2） C．（73，2） D．（103，【變式6-2】（2023春·四川成都·八年級(jí)?？计谥校┤鐖D，一次函數(shù)y=kx+b的圖象與x軸交于點(diǎn)A，與y軸交于點(diǎn)B0,2，與正比例函數(shù)y=32（1）求k和b的值．（2）如圖1，點(diǎn)P是y軸上一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，當(dāng)PA-PC最大時(shí)，求點(diǎn)P的坐標(biāo)．（3）如圖2，設(shè)動(dòng)點(diǎn)D，E都在x軸上運(yùn)動(dòng)，且DE=2，分別連結(jié)BD，CE，當(dāng)四邊形BDEC的周長(zhǎng)取最小值時(shí)直接寫(xiě)出點(diǎn)D和E的坐標(biāo)．【變式6-3】（2023春·河北衡水·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖1，在平面直角坐標(biāo)系中，直線l1：y=2x+8與坐標(biāo)軸分別交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)C在x正半軸上，且OA=OC．點(diǎn)P為線段AC（不含端點(diǎn)）上一動(dòng)點(diǎn)，將線段OP繞點(diǎn)O逆時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°，得線段OQ（見(jiàn)圖2）（1）分別求出點(diǎn)B、點(diǎn)C的坐標(biāo)；（2）如圖2，連接AQ，求證：∠OAQ=45°；（3）如圖2，連接BQ，試求出當(dāng)線段BQ取得最小值時(shí)點(diǎn)Q的坐標(biāo)．【題型7一次函數(shù)的圖象的應(yīng)用】【例7】（2023春·重慶·八年級(jí)重慶市求精中學(xué)校?？计谥校┰谝淮稳の哆\(yùn)動(dòng)會(huì)中，“搶種搶收”的比賽規(guī)則如下：全程50米的直線跑道，在起點(diǎn)和終點(diǎn)之間，每隔10米放置一個(gè)小桶，共四個(gè)，參賽者用手托著放有4個(gè)乒乓球的盤(pán)子，在從起點(diǎn)跑到終點(diǎn)的過(guò)程中，將四個(gè)乒乓球依次放入4個(gè)小桶中（放入時(shí)間忽略不計(jì)），如果中途乒乓球掉出小桶，則需要返回將乒乓球放回桶中，率先到達(dá)終點(diǎn)者獲勝．小明和小亮同時(shí)從起點(diǎn)出發(fā)，以各自的速度勻速跑步前進(jìn)，小明在放入第二個(gè)乒乓球后，乒乓球跳出了小桶，落在了第二個(gè)桶的旁邊，且落地后不再移動(dòng)，但他并未發(fā)現(xiàn)，繼續(xù)向前跑了一段距離，被裁判員提醒后立即原速返回?fù)烨?，并迅速放回桶中（撿球時(shí)間忽略不計(jì)），為了趕超小亮，小明將速度提高了1米/秒，小明和小亮之間的距離y（米）和出發(fā)時(shí)間x（秒）之間的函數(shù)關(guān)系如圖所示，則小明在掉出乒乓球后又繼續(xù)跑了米后開(kāi)始返回．【變式7-1】（2023春·江蘇鹽城·八年級(jí)統(tǒng)考期末）如圖，一束光線從點(diǎn)O射出，照在經(jīng)過(guò)A(-2,0)、B(0,2)的鏡面上的點(diǎn)D，經(jīng)AB反射后，反射光線又照到豎立在y軸位置的鏡面，經(jīng)y軸反射后的光線恰好通過(guò)點(diǎn)A，則光線OD所在直線的函數(shù)表達(dá)式為．

【變式7-2】（2023春·遼寧沈陽(yáng)·八年級(jí)沈陽(yáng)市第一三四中學(xué)?？计谀┯幸豢萍夹〗M進(jìn)行了機(jī)器人行走性能試驗(yàn)．在試驗(yàn)場(chǎng)地有A、B、C三點(diǎn)順次在同一筆直的賽道上，甲、乙兩機(jī)器人分別從A、B兩點(diǎn)同時(shí)同向出發(fā)，歷時(shí)7分鐘同時(shí)到達(dá)C點(diǎn)，乙機(jī)器人始終以60米/分鐘的速度行走，如圖是甲、乙兩機(jī)器人之間的距離y（米）與他們的行走時(shí)間x（分鐘）之間的函數(shù)圖像，請(qǐng)結(jié)合圖像，回答下列問(wèn)題：(1)A、B兩點(diǎn)之間的距離是______米，甲機(jī)器人前2分鐘的速度為_(kāi)_____米/分；(2)已知線段FG∥x軸，前3分鐘甲機(jī)器人的速度不變．①在3~4分鐘的這段時(shí)間，甲機(jī)器人的速度為_(kāi)_____米/分，F(xiàn)的坐標(biāo)是______；②在整個(gè)運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，兩機(jī)器人相距30m時(shí)x的值______．【變式7-3】（2023春·河北衡水·八年級(jí)?？计谥校┘住⒁覂扇藦南嗑?千米的兩地同時(shí)、同向出發(fā)，乙每小時(shí)走4千米，小狗隨甲一起同向出發(fā)，小狗追上乙的時(shí)候它就往甲這邊跑，遇到甲時(shí)又往乙這邊跑，遇到乙的時(shí)候再往甲這邊跑…就這樣一直勻速跑下去．如圖，折線A-B-C，A-D-E分別表示甲、小狗在行進(jìn)過(guò)程中，離乙的路程ykm與甲行進(jìn)時(shí)間x(h)

(1)求AB所在直線的函數(shù)解析式；(2)小狗的速度為_(kāi)_____km/h；求點(diǎn)E的坐標(biāo)；(3)小狗從出發(fā)到它折返后第一次與甲相遇的過(guò)程中，求x為何值時(shí)，它離乙的路程與離甲的路程相等？【題型8一次函數(shù)的實(shí)際應(yīng)用】【例8】（2023春·湖北襄陽(yáng)·八年級(jí)統(tǒng)考期末）倡導(dǎo)垃圾分類(lèi)，共享綠色生活，為了對(duì)回收的垃圾進(jìn)行更精準(zhǔn)的分類(lèi)，某機(jī)器人公司研發(fā)出A型和B型兩款垃圾分揀機(jī)器人，已知2臺(tái)A型機(jī)器人和5臺(tái)B型機(jī)器人同時(shí)工作2h共分揀垃圾3.6噸，3臺(tái)A型機(jī)器人和2臺(tái)B型機(jī)器人同時(shí)工作5h共分揀垃圾(1)1臺(tái)A型機(jī)器人和1臺(tái)B型機(jī)器人每小時(shí)各分揀垃圾多少噸？(2)某垃圾處理廠計(jì)劃向機(jī)器人公司購(gòu)進(jìn)一批A型和B型垃圾分揀機(jī)器人，這批機(jī)器人每小時(shí)一共能分揀垃圾20噸，設(shè)購(gòu)買(mǎi)A型機(jī)器人a臺(tái)（10≤a≤45），B型機(jī)器人b臺(tái)，請(qǐng)用含a的代數(shù)式表示b；(3)機(jī)器人公司的報(bào)價(jià)如下表：型號(hào)原價(jià)購(gòu)買(mǎi)數(shù)量少于30臺(tái)購(gòu)買(mǎi)數(shù)量不少于30臺(tái)A型20萬(wàn)元/臺(tái)原價(jià)購(gòu)買(mǎi)打九折B型12萬(wàn)元/臺(tái)原價(jià)購(gòu)買(mǎi)打八折在（2）的條件下，設(shè)購(gòu)買(mǎi)總費(fèi)用為w萬(wàn)元，問(wèn)如何購(gòu)買(mǎi)使得總費(fèi)用w最少？請(qǐng)說(shuō)明理由．【變式8-1】（2023春·北京海淀·八年級(jí)?？计?/p>