提優(yōu)題型二 規(guī)律探索 復(fù)習(xí)講義（解析版）

題型二規(guī)律探索（復(fù)習(xí)講義）【考點總結(jié)|典例分析】探索實數(shù)中的規(guī)律

關(guān)于數(shù)式規(guī)律性問題的一般解題思路：

(1)先對給出的特殊數(shù)式進(jìn)行觀察、比較；

(2)根據(jù)觀察猜想、歸納出一般規(guī)律；

(3)用得到的規(guī)律去解決其他問題。

對數(shù)式進(jìn)行觀察的角度及方法：

(1)橫向觀察：看等號左右兩邊什么不變，什么在變，以及變化的數(shù)字或式子間的關(guān)系；

(2)縱向觀察：將連續(xù)的幾個式子上下對齊，觀察上下對應(yīng)位置的式子什么不變，什么在變，以及變化的數(shù)字或式子間的關(guān)系。給出一組具有某種特定關(guān)系的數(shù)、式、圖形，或是給出與圖形有關(guān)的操作變化過程，或某一具體的問題情境，要求通過觀察分析推理，探究其中蘊含的規(guī)律，進(jìn)而歸納或猜想出一般性的結(jié)論。這類問題成為探索規(guī)律性問題。主要采用歸納法解決。

1.數(shù)字猜想型:數(shù)字規(guī)律問題主要是在分析比較的基礎(chǔ)上發(fā)現(xiàn)題目中所蘊涵的數(shù)量關(guān)系，先猜想，然后通過適當(dāng)?shù)挠嬎慊卮饐栴}。

2.數(shù)式規(guī)律型:數(shù)式規(guī)律問題主要是通過觀察、分析、歸納、驗證，然后得出一般性的結(jié)論，以列代數(shù)式即函數(shù)關(guān)系式為主要內(nèi)容.

3.圖形規(guī)律型:多形規(guī)律問題主要是觀察圖形的組成、分拆等過程中的特點，分析其聯(lián)系和區(qū)別，用相應(yīng)的算式描述其中的規(guī)律，要注意對應(yīng)思想和數(shù)形結(jié)合.

4.數(shù)形結(jié)合猜想型:數(shù)形結(jié)合猜想型問題首先要觀察冬形，從中發(fā)現(xiàn)冬形的變化方式，再將冬形的變化以數(shù)或式的形式反映出來，從而得出圖形與數(shù)或式的對應(yīng)關(guān)系，數(shù)形結(jié)合總結(jié)出圖形的變化規(guī)律，進(jìn)而解決相關(guān)問題.1.已知為實數(shù)﹐規(guī)定運算：，，，，……，．按上述方法計算：當(dāng)時，的值等于（）A． B． C． D．【答案】D【分析】當(dāng)時，計算出，會發(fā)現(xiàn)呈周期性出現(xiàn)，即可得到的值．【詳解】解：當(dāng)時，計算出，會發(fā)現(xiàn)是以：，循環(huán)出現(xiàn)的規(guī)律，，，故選：D．【點睛】本題考查了實數(shù)運算規(guī)律的問題，解題的關(guān)鍵是：通過條件，先計算出部分?jǐn)?shù)的值，從中找到相應(yīng)的規(guī)律，利用其規(guī)律來解答．2.將從1開始的連續(xù)奇數(shù)按如圖所示的規(guī)律排列，例如，位于第4行第3列的數(shù)為27，則位于第32行第13列的數(shù)是（）A．2025 B．2023 C．2021 D．2019【答案】B【分析】根據(jù)數(shù)字的變化關(guān)系發(fā)現(xiàn)規(guī)律第n行，第n列的數(shù)據(jù)為：2n(n-1)+1，即可得第32行，第32列的數(shù)據(jù)為：2×32×(32-1)+1=1985，再依次加2，到第32行，第13列的數(shù)據(jù)，即可．【詳解】解：觀察數(shù)字的變化，發(fā)現(xiàn)規(guī)律：第n行，第n列的數(shù)據(jù)為：2n(n-1)+1，∴第32行，第32列的數(shù)據(jù)為：2×32×(32-1)+1=1985，根據(jù)數(shù)據(jù)的排列規(guī)律，第偶數(shù)行從右往左的數(shù)據(jù)一次增加2，∴第32行，第13列的數(shù)據(jù)為：1985+2×(32-13)=2023，故選：B．【點睛】本題考查了數(shù)字的變化類，解決本題的關(guān)鍵是觀察數(shù)字的變化尋找探究規(guī)律，利用規(guī)律解決問題．3.將字母“C”，“H”按照如圖所示的規(guī)律擺放，依次下去，則第4個圖形中字母“H”的個數(shù)是（

）A．9 B．10 C．11 D．12【答案】B【分析】列舉每個圖形中H的個數(shù)，找到規(guī)律即可得出答案．【詳解】解：第1個圖中H的個數(shù)為4，第2個圖中H的個數(shù)為4+2，第3個圖中H的個數(shù)為4+2×2，第4個圖中H的個數(shù)為4+2×3=10，故選：B．【點睛】本題考查了規(guī)律型：圖形的變化類，通過列舉每個圖形中H的個數(shù)，找到規(guī)律：每個圖形比上一個圖形多2個H是解題的關(guān)鍵．4.如圖是用黑色棋子擺成的美麗圖案，按照這樣的規(guī)律擺下去，第10個這樣的圖案需要黑色棋子的個數(shù)為（）A．148 B．152 C．174 D．202【分析】觀察各圖可知，后一個圖案比前一個圖案多2（n+3）枚棋子，然后寫成第n個圖案的通式，再取n＝10進(jìn)行計算即可求解．【解析】根據(jù)圖形，第1個圖案有12枚棋子，第2個圖案有22枚棋子，第3個圖案有34枚棋子，…第n個圖案有2（1+2+…+n+2）+2（n﹣1）＝n2+7n+4枚棋子，故第10個這樣的圖案需要黑色棋子的個數(shù)為102+7×10+4＝100+70+4＝174（枚）．故選：C．5.人們把這個數(shù)叫做黃金分割數(shù)，著名數(shù)學(xué)家華羅庚優(yōu)選法中的法就應(yīng)用了黃金分割數(shù)．設(shè)，，則，記，，…，．則____．【答案】10【分析】先根據(jù)求出（為正整數(shù)）的值，從而可得的值，再求和即可得．【詳解】解：，（為正整數(shù)），，，，，則，故答案為：10．【點睛】本題考查了二次根式的運算、分式的運算，正確發(fā)現(xiàn)一般規(guī)律是解題關(guān)鍵．6.觀察下列等式：；；；……根據(jù)以上規(guī)律，計算______．【答案】【分析】根據(jù)題意，找到第n個等式的左邊為，等式右邊為1與的和；利用這個結(jié)論得到原式＝1+1+1+…+1﹣2021，然后把化為1﹣，化為﹣，化為﹣，再進(jìn)行分?jǐn)?shù)的加減運算即可．【詳解】解：由題意可知，，＝1+1+1+…+1﹣2021＝2020+1﹣+﹣+…+﹣﹣2021＝2020+1﹣﹣2021＝．故答案為：．【點睛】本題考查了二次根式的化簡和找規(guī)律，解題關(guān)鍵是根據(jù)算式找的規(guī)律，根據(jù)數(shù)字的特征進(jìn)行簡便運算．7.觀察以下等式：第1個等式：，第2個等式：，第3個等式：，第4個等式：，……按照以上規(guī)律．解決下列問題：(1)寫出第5個等式：________；(2)寫出你猜想的第n個等式（用含n的式子表示），并證明．【答案】(1)(2)，證明見解析【分析】（1）觀察第1至第4個等式中相同位置的數(shù)的變化規(guī)律即可解答；（2）觀察相同位置的數(shù)變化規(guī)律可以得出第n個等式為，利用完全平方公式和平方差公式對等式左右兩邊變形即可證明．(1)解：觀察第1至第4個等式中相同位置數(shù)的變化規(guī)律，可知第5個等式為：，故答案為：；(2)解：第n個等式為，證明如下：等式左邊：，等式右邊：，故等式成立．【點睛】本題考查整式規(guī)律探索，發(fā)現(xiàn)所給數(shù)據(jù)的規(guī)律并熟練運用完全平方公式和平方差公式是解題的關(guān)鍵．8.正偶數(shù)2，4，6，8，10，……，按如下規(guī)律排列，24

68

10

1214

16

18

20……則第27行的第21個數(shù)是______．【答案】744【分析】由圖可以看出，每行數(shù)字的個數(shù)與行數(shù)是一致的，即第一行有1個數(shù)，第二行有2個數(shù)，第三行有3個數(shù)????????第n行有n個數(shù)，則前n行共有個數(shù)，再根據(jù)偶數(shù)的特征確定第幾行第幾個數(shù)是幾．【詳解】解：由圖可知，第一行有1個數(shù)，第二行有2個數(shù)，第三行有3個數(shù)，???????第n行有n個數(shù)．∴前n行共有1+2+3+?+n=個數(shù)．∴前26行共有351個數(shù)，∴第27行第21個數(shù)是所有數(shù)中的第372個數(shù)．∵這些數(shù)都是正偶數(shù)，∴第372個數(shù)為372×2=744．故答案為：744．【點睛】本題考查了數(shù)字類的規(guī)律問題，解決這類問題的關(guān)鍵是先根據(jù)題目的已知條件找出其中的規(guī)律，再結(jié)合其他已知條件求解．9.觀察下列圖形規(guī)律，當(dāng)圖形中的“○”的個數(shù)和“．”個數(shù)差為2022時，n的值為____________．【答案】不存在【分析】首先根據(jù)n=1、2、3、4時，“?”的個數(shù)分別是3、6、9、12，判斷出第n個圖形中“?”的個數(shù)是3n；然后根據(jù)n=1、2、3、4，“○”的個數(shù)分別是1、3、6、10，判斷出第n個“○”的個數(shù)是；最后根據(jù)圖形中的“○”的個數(shù)和“．”個數(shù)差為2022，列出方程，解方程即可求出n的值是多少即可．【詳解】解：∵n=1時，“?”的個數(shù)是3=3×1；n=2時，“?”的個數(shù)是6=3×2；n=3時，“?”的個數(shù)是9=3×3；n=4時，“?”的個數(shù)是12=3×4；……∴第n個圖形中“?”的個數(shù)是3n；又∵n=1時，“○”的個數(shù)是1=；n=2時，“○”的個數(shù)是，n=3時，“○”的個數(shù)是，n=4時，“○”的個數(shù)是，……∴第n個“○”的個數(shù)是，由圖形中的“○”的個數(shù)和“．”個數(shù)差為2022①，②解①得：無解解②得：故答案為：不存在【點睛】本題考查了圖形類規(guī)律，解一元二次方程，找到規(guī)律是解題的關(guān)鍵．10.“勾股樹”是以正方形一邊為斜邊向外作直角三角形，再以該直角三角形的兩直角邊分別向外作正方形，重復(fù)這一過程所畫出來的圖形，因為重復(fù)數(shù)次后的形狀好似一棵樹而得名．假設(shè)如圖分別是第一代勾股樹、第二代勾股樹、第三代勾股樹，按照勾股樹的作圖原理作圖，則第六代勾股樹中正方形的個數(shù)為______．【答案】127【分析】由已知圖形觀察規(guī)律，即可得到第六代勾股樹中正方形的個數(shù)．【詳解】解：∵第一代勾股樹中正方形有1+2=3（個），第二代勾股樹中正方形有1+2+22=7（個），第三代勾股樹中正方形有1+2+22+23=15（個），.....．∴第六代勾股樹中正方形有1+2+22+23+24+25+26=127（個），故答案為：127．【點睛】本題考查圖形中的規(guī)律問題，解題的關(guān)鍵是仔細(xì)觀察圖形，得到圖形變化的規(guī)律．11.古希臘的畢達(dá)哥拉斯學(xué)派對整數(shù)進(jìn)行了深入的研究，尤其注意形與數(shù)的關(guān)系，“多邊形數(shù)”也稱為“形數(shù)”，就是形與數(shù)的結(jié)合物．用點排成的圖形如下：其中：圖①的點數(shù)叫做三角形數(shù)，從上至下第一個三角形數(shù)是1，第二個三角形數(shù)是，第三個三角形數(shù)是，……圖②的點數(shù)叫做正方形數(shù)，從上至下第一個正方形數(shù)是1，第二個正方形數(shù)是，第三個正方形數(shù)是，……由此類推，圖④中第五個正六邊形數(shù)是______．【答案】45【分析】根據(jù)題意找到圖形規(guī)律，即可求解．【詳解】根據(jù)圖形，規(guī)律如下表：三角形3正方形4五邊形5六邊形6M邊形m11111121+21+211+2111+21111+231+2+31+2+31+21+2+31+21+21+2+31+21+21+21+2+341+2+3+41+2+3+41+2+31+2+3+41+2+31+2+31+2+3+41+2+31+2+31+2+31+2+3+4n由上表可知第n個M邊形數(shù)為：，整理得：，則有第5個正六邊形中，n=5，m=6，代入可得：，故答案為：45．【點睛】本題考查了整式--圖形類規(guī)律探索，理解題意是解答本題的關(guān)鍵．12.人們把這個數(shù)叫做黃金比，著名數(shù)學(xué)家華羅庚優(yōu)選法中的“0.618法”就應(yīng)用了黃金比．設(shè)，，記，，…，，則_______．【答案】5050【分析】利用分式的加減法則分別可求S1=1，S2=2，S100=100，???，利用規(guī)律求解即可．【詳解】解：，，，，，…，故答案為：5050【點睛】本題考查了分式的加減法，二次根式的混合運算，求得，找出的規(guī)律是本題的關(guān)鍵．13.觀察下面的等式：，，，……(1)按上面的規(guī)律歸納出一個一般的結(jié)論（用含n的等式表示，n為正整數(shù)）(2)請運用分式的有關(guān)知識，推理說明這個結(jié)論是正確的．【答案】(1)(2)見解析【分析】（1）根據(jù)所給式子發(fā)現(xiàn)規(guī)律，第一個式子的左邊分母為2，第二個式子的左邊分母為3，第三個式子的左邊分母為4，…；右邊第一個分?jǐn)?shù)的分母為3，4，5，…，另一個分?jǐn)?shù)的分母為前面兩個分母的乘積；所有的分子均為1；所以第（n+1）個式子為．（2）由（1）的規(guī)律發(fā)現(xiàn)第（n+1）個式子為，用分式的加法計算式子右邊即可證明．(1)解：∵第一個式子，第二個式子，第三個式子，……∴第（n+1）個式子；(2)解：∵右邊==左邊，∴．【點睛】此題考查數(shù)字的變化規(guī)律，分式加法運算，解題關(guān)鍵是通過觀察，分析、歸納發(fā)現(xiàn)其中各分母的變化規(guī)律．14.將從1開始的連續(xù)自然數(shù)按以下規(guī)律排列：若有序數(shù)對表示第n行，從左到右第m個數(shù)，如表示6，則表示99的有序數(shù)對是_______．【答案】【分析】分析每一行的第一個數(shù)字的規(guī)律，得出第行的第一個數(shù)字為，從而求得最終的答案．【詳解】第1行的第一個數(shù)字：第2行的第一個數(shù)字：第3行的第一個數(shù)字：第4行的第一個數(shù)字：第5行的第一個數(shù)字：…..，設(shè)第行的第一個數(shù)字為，得設(shè)第行的第一個數(shù)字為，得設(shè)第n行，從左到右第m個數(shù)為當(dāng)時∴∵為整數(shù)∴∴∴故答案為：．【點睛】本題考查數(shù)字規(guī)律的性質(zhì)，解題的關(guān)鍵是熟練掌握數(shù)字規(guī)律的相關(guān)性質(zhì)．15.如圖，∠MON＝30°，點A1在射線OM上，過點A1作A1B1⊥OM交射線ON于點B1，將△A1OB1沿A1B1折疊得到△A1A2B1，點A2落在射線OM上；過點A2作A2B2⊥OM交射線ON于點B2，將△A2OB2沿A2B2折疊得到△A2A3B2，點A2落在射線OM上；…按此作法進(jìn)行下去，在∠MON內(nèi)部作射線OH，分別與A1B1，A2B2，A3B3，…，AnBn交于點P1，P2，P3，…Pn，又分別與A2B1，A3B2，A4B3，…，An＋1Bn，交于點Q1，Q2，Q3，…，Qn．若點P1為線段A1B1的中點，OA1＝，則四邊形AnPnQnAn＋1的面積為___________________（用含有n的式子表示）．【答案】【分析】先證明△OA1P1∽△OA2P2，△OP1B1∽△OP2B2，又點P1為線段A1B1的中點，從而可得P2為線段A2B2的中點，同理可證P3、P4、Pn依次為線段A3B3、A4B4、?AnBn的中點．結(jié)合相似三角形的性質(zhì)可得△P1B1Q1的P1B1上的高與△P2A2O1的A2P2上的高之比為1∶2，所以△P1B1Q1的P1B1上的高為，同理可得△P2B2Q2的P2B2上的高為?，從而＝﹣，以此類推來求，從而找到的面積規(guī)律．【解析】解：由折疊可知，OA1＝A1A2＝，由題意得：A1B1//A2B2，∴△OA1P1∽△OA2P2，△OP1B1∽△OP2B2，∴＝＝＝，又∵點P1為線段A1B1的中點，∴A1P1＝P1B1，∴A2P2＝P2B2，則點P2為線段A2B2的中點，同理可證，P3、P4、?Pn依次為線段A3B3、A4B4、?AnBn的中點．∵A1B1//A2B2，∴△P1B1Q1∽△P2A2O1，∴＝＝，則△P1B1Q1的P1B1上的高與△P2A2O1的A2P2上的高之比為1∶2，∴△P1B1Q1的P1B1上的高為，同理可得△P2B2Q2的P2B2上的高為，，由折疊可知A2A3＝，A3A4＝，∵∠MON＝30°，∴A1B1＝tan30°×OA1＝1，∴A2B2＝2，A3B3＝4，，∴＝﹣＝﹣＝，同理，＝﹣＝﹣＝，＝﹣＝＝＝．故答案為：．【點睛】本題考查了規(guī)律型：圖形的變化類，相似三角形的判定與性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，銳角三角函數(shù)等知識，解決本題的關(guān)鍵在根據(jù)圖形的變化找到規(guī)律．16.如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，點在直線上，過點作，交軸于點；過點作軸，交直線于點；過點作，交軸于點；過點作軸，交直線于點；…；按此作法進(jìn)行下去，則點的坐標(biāo)為_____________．【答案】（，0）.【分析】根據(jù)題目所給的解析式，求出對應(yīng)的坐標(biāo)，然后根據(jù)規(guī)律求出的坐標(biāo)，最后根據(jù)題目要求求出最后答案即可.【詳解】解：如圖，過點N作NM⊥x軸于M將代入直線解析式中得∴，45°∵90°∴∵∴∴的坐標(biāo)為（2，0）同理可以求出的坐標(biāo)為（4，0）同理可以求出的坐標(biāo)為（8，0）同理可以求出的坐標(biāo)為（，0）∴的坐標(biāo)為（，0）故答案為：（，0）.【點睛】本題主要考查了直線與坐標(biāo)軸之間的關(guān)系，解題的關(guān)鍵在于能夠發(fā)現(xiàn)規(guī)律.17.如圖，直線y=-3x+b與y軸交于點A，與雙曲線y=kx在第三象限交于B、C兩點，且AB?AC＝16．下列等邊三角形△OD1E1，△E1D2E2，△E2D3E3，…的邊OE1，E1E2，E2E3，…在x軸上，頂點D1，D2，D3，…在該雙曲線第一象限的分支上，則k＝，前25【分析】設(shè)直線y=-3x+b與x軸交于點D，作BE⊥y軸于E，CF⊥y軸于F．首先證明∠ADO＝60°，可得AB＝2BE，AC＝2CF，由直線y=-3x+b與雙曲線y=kx在第一象限交于點B、C兩點，可得-3x+b=kx，整理得，-3x2+bx﹣k＝0，由韋達(dá)定理得：x1x2=【解析】設(shè)直線y=-3x+b與x軸交于點D，作BE⊥y軸于E，CF⊥y軸于F∵y=-3x+b∴當(dāng)y＝0時，x=33b，即點D的坐標(biāo)為（33b當(dāng)x＝0時，y＝b，即A點坐標(biāo)為（0，b），∴OA＝﹣b，OD=-33∵在Rt△AOD中，tan∠ADO=OA∴∠ADO＝60°．∵直線y=-3x+b與雙曲線y=kx在第三象限交于B∴-3x+b=整理得，-3x2+bx﹣k＝0由韋達(dá)定理得：x1x2=33k，即EB?FC=∵EBAB=cos60°∴AB＝2EB，同理可得：AC＝2FC，∴AB?AC＝（2EB）（2FC）＝4EB?FC=433k解得：k＝43．由題意可以假設(shè)D1（m，m3），∴m2?3=43∴m＝2∴OE1＝4，即第一個三角形的周長為12，設(shè)D2（4+n，3n），∵（4+n）?3n＝43，解得n＝22-2∴E1E2＝42-4，即第二個三角形的周長為122-設(shè)D3（42+a，3a由題意（42+a）?3a＝43解得a＝23-22，即第三個三角形的周長為123-12…，∴第四個三角形的周長為124-123∴前25個等邊三角形的周長之和12+12