高考數(shù)學(xué)考點總結(jié)(985,211)

高考前數(shù)學(xué)考點及知識點分析總結(jié)

同學(xué)們加油，總結(jié)10年內(nèi)的考點

看會定能21L985

加油

1.注意下列性質(zhì)：

(1)集合{a]，a?，……，aj的所有子集的個數(shù)是2%

(2)若A1B=AnB=A,AUB=B；

(3)德摩根定律：

Cu(AUB)=(CuA)n(CL,B),Cu(AnB)=(CuA)U(CuB)

2.進(jìn)行集合的交、并、補(bǔ)運算時，不要忘記集合本身和空集0的特殊情況。

注重借助于數(shù)軸和文氏圖解集合問題。

空集是一切集合的子集，是一切非空集合的真子集。

如：集合A=[lx?-2x-3=。},B={xlax=1}

若BuA,則實數(shù)a的值構(gòu)成的集合為

洛"0,J

3.對于集合，一定要抓住集合的代表元素，及元素的"確定性、互異性、無序性"。

如：集合A={xly=Igx},B={yly=Igx},C={(x,y)ly=Igx},A、B^C

中元素各表示什么？

4.你會用補(bǔ)集思想解決問題嗎？（排除法、間接法）

如：已知關(guān)于x的不等式的解集為M,若3wM月一5eM,求實數(shù)a

x-a

的取值范圍。

/a?3—5

（V3GM,J32.10

naw1,|）U（9,25））

a?5—5L

V5^M,Z.-....>0

52-a

5.可以判斷真假的語句叫做命題，邏輯連接詞有“或”（v）,“且”（△）和

“非”㈠.

若p^q為真，當(dāng)且僅當(dāng)p、q均為真

若pvq為真，當(dāng)且僅當(dāng)p、q至少有一個為真

若「p為真，當(dāng)且僅當(dāng)p為假

6.命題的四種形式及其相互關(guān)系是什么？

（互為逆否關(guān)系的命題是等價命題。）

原命題與逆否命題同真、同假；逆命題與否命題同真同假。

7.對映射的概念了解嗎？映射f:A-B,是否注意到A中元素的任意性和B中與之對

應(yīng)元素的唯一性，哪幾種對應(yīng)能構(gòu)成映射？

(一對一，多對一，允許B中有元素?zé)o原象。)

8.函數(shù)的三要素是什么？如何h昨交兩個函數(shù)是否相同？

(定義域、對應(yīng)法則、值域)

9.求函數(shù)的定義域有哪些常見類型?

例：函數(shù)y=的定義域是

愴(X-3)2----------

(答:(0,2)U(2,3)u(3,4))

10.如何求復(fù)合函數(shù)的定義域？

如：函數(shù)f(x)的定義域是[a,b],b>-a>0,則函數(shù)F(x)=f(x)+f(-x)的定

義域是____________.

(答：[a,-a])

11.求一個函數(shù)的解析式或一個函數(shù)的反函數(shù)時，注明函數(shù)的定義域了嗎？

如：f(jx+1)=e*+x,求f(x).

令t=Jx+1,則t>0

x=t~—1

.,.f(t)=e'2-1+t2-1

，f(x)=e/T+x2-1(x>0)

12.反函數(shù)存在的條件是什么？

(——對應(yīng)函數(shù))

求反函數(shù)的步驟掌握了嗎？

(①反解X;②互換x、y;③注明定義域)

fl+x(x>0)

如：求函數(shù)f(x)=,〉〈的反函數(shù)

口2(X<O)

x-1(x>1)

(答：fT(X)=')

--V-x(x<0)

13.反函數(shù)的性質(zhì)有哪些？

①互為反函數(shù)的圖象關(guān)于直線y=x對稱；

②保存了原來函數(shù)的單調(diào)性、奇函數(shù)性；

③設(shè)y=f(x)的定義域為A,值域為C,awA,bwC,則f(a)=boL(b)=a

f-1[f(a)]=f-1(b)=a,f[f-,(b)]=f(a)=b

14.如何用定義證明函數(shù)的單調(diào)性？

(取值、作差、判正負(fù))

如何判斷復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性？

(y=f(u),u=(p(x)，則丫=耳中5)]

(外層)(內(nèi)層)

當(dāng)內(nèi)、外層函數(shù)單調(diào)性相同時f[(p(x)]為增函數(shù)，否則f[(p(x)]為減函數(shù)。)

如：求y=log"-*?+2x)的單調(diào)區(qū)間

2

(設(shè)U=-X2+2X,由u>0則0<x<2且]og|M,u=-(x-l)2+1,如圖：

2

當(dāng)xe(O,1]時，uT,又log]uJ,?'-y

2

當(dāng)xe[l,2)時，uJ,又.*.yT

.■.……)

15.如何利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性？

在區(qū)間(a,b)內(nèi)，若總有f'(x)20則f(x)為增函數(shù)。(在個別點上導(dǎo)數(shù)等于

零，不影響函數(shù)的單調(diào)性)，反之也對，若f'(x)WO呢？

如：已知a〉0,函數(shù)f(x)=-ax在［1,+oo)上是單調(diào)增函數(shù)，則a的最大

值是()

A.0B.1C.2D.3

(令f'(x)=3x2—a=3x+g(x—咨>0

則X"JI或X2JI

由已知f(x)在［1,+8)上為增函數(shù)，則AML即a<3

..a的最大值為3)

16.函數(shù)f(x)具有奇偶性的必要(非充分)條件是什么？

(f(x)定義域關(guān)于原點對稱)

若f(-x)=-f(x)總成立<=>f(x)為奇函數(shù)O函數(shù)圖象關(guān)于原點對稱

若f(-x)=f(x)總成立of(x)為偶函數(shù)o函數(shù)圖象關(guān)于y軸對稱

注意如下結(jié)論：

(1)在公共定義域內(nèi)：兩個奇函數(shù)的乘積是偶函數(shù)；兩個偶函數(shù)的乘積是偶函數(shù)；

一個偶函數(shù)與奇函數(shù)的乘積是奇函數(shù)。

(2)若f(x)是奇函數(shù)且定義域中有原點，則f(0)=0。

如：若f(x)=丫2：+m-2為奇函數(shù),則實數(shù)a=

2+1-------

(?.,f(x)為奇函數(shù)，xeR,又OeR,Af(0)=0

又如：f(x)為定義在(-1,1)上的奇函數(shù)，當(dāng)xe(0,1)時，f(x)=----

4+1

求f(x)在(-1,1)上的解析式。

2f

(令xe(-1,0),則一xe(0,1),f(-x)=-----

4-x+l

又f(x)為奇函數(shù)，.*.f(x)=-------=------

4-x+11+4、

2XxG(-L0)

T7z?r/\4X+1X=0、

乂rf(0m)=0n,.?f(x)=<)

XG(0,1)

l4x+1

17.你熟悉周期函數(shù)的定義嗎？

(若存在實數(shù)T(T/0),在定義域內(nèi)總有f(x+T)=f(x),則f(x)為周期

函數(shù)，T是一個周期。)

如：若f(x+a)=-f(x),貝(J

(答：f(x)是周期函數(shù)，T=2a為f(x)的一個周期)

又如：若f(x)圖象有兩條對稱軸x=a,x=b(o)

即f(a+x)=f(a-x),f(b+x)=f(b-x)

則f(x)是周期函數(shù)，2|a-b|為一個周期

如：

18.你掌握常用的圖象變換了嗎？

f(x)與f(-x)的圖象關(guān)于上型對稱

￡熾)與-￡汽)的圖象關(guān)于三邂對稱

￡漢)與-￡(-刈的圖象關(guān)于里皂對稱

f(x)與ft(x)的圖象關(guān)于直線y=x對稱

f(x)與f(2a-x)的圖象關(guān)于直線x=a對稱

f(x)與-f(2a-x)的圖象關(guān)于點(a,0)對稱

將y=f(x)圖象左移a(a>0)個單位)y=f(x+a)

右移a(a>0)個單位y=f(x—a)

上移b(b>0)個單位)y=f(x+a)+b

下移b(b>0)個單位y=f(x+a)-b

注意如下"翻折"變換：

f(x)—>|f(x)|

f(x)——>f(lxl)

如：f(x)=log2(x+l)

作出y=1og2(x+1)|及y=1(吆2,+1|的圖象

y=log2x

19.你熟練掌握常用函數(shù)的圖象和性質(zhì)了嗎？

(1)一次函數(shù)：y=kx+b(kHO)

lzk

(2)反比例函數(shù)：y=—(k^O)推廣為y=b+----(1<*0)是中心0'(2,b)

xx-a

的雙曲線。

(3)二次函數(shù)丫=2*2+6*+(:卜*0)=2卜+凹+”上土圖象為拋物線

v2a/4a

生目，對稱軸xb

頂點坐標(biāo)為

4a)2a

開口方向：a>0,向上，函數(shù)Ymin=4a：b

4ac-b2

a<0,向下，Ymax

4a

應(yīng)用：①“三個二次"(二次函數(shù)、二次方程、二次不等式)的關(guān)系——二次方程

ax2+bx+c=O,△>()時，兩根X1、X2為二次函數(shù)y=ax?+bx+c的圖象與x軸

的兩個交點，也是二次不等式ax?+bx+c〉0(<0)解集的端點值。

②求閉區(qū)間［m,n］上的最值。

③求區(qū)間定(動)，對稱軸動(定)的最值問題。

④一元二次方程根的分布問題。

A>0

如：二次方程ax?+bx+c=0的兩根都大于k<=><—>k

2a

f(k)>0

一根大于k,一根小于kof(k)<0

(4)指數(shù)函數(shù)：y=ax(a>0,ah1)

(5)對數(shù)函數(shù)y=logax(a>0,awl)

由圖象記性質(zhì)!(注意底數(shù)的限定！)

k

(6)“對勾函數(shù)"y=x+-(k>0)

X

利用它的單調(diào)性求最值與利用均值不等式求最值的區(qū)別是什么？

20.你在基本運算上常出現(xiàn)錯誤嗎？

指數(shù)運算:a°=l(aw0),a-p=—(a0)

ap

mm-a

an-Va?'(a>0),an=——(a>0)

Vam

對數(shù)運算：logaM?N=logaM+logaN(M〉0,N>0)

loga==logaM-logaN，logaVM=-logaM

Nn

對數(shù)恒等式：a嘀x=x

對數(shù)換底公式：log.,b=10gcblogbn=—log.,b

logcaam

21.如何解抽象函數(shù)問題？

（賦值法、結(jié)構(gòu)變換法）

如:(1)xeR,f(x)滿足f(x+y)=f(x)+f(y),證明f(x)為奇函數(shù)。

(先令x=y=0=>f(0)=0再令y=-x,....)

(2)xeR,f(x)滿足f(xy)=f(x)+f(y),證明f(x)是偶函數(shù)。

(先令x=y=-t=>f[(-t)(-t)]=f(t?t)

.,.f(-t)+f(-t)=f(t)+f(t)

)

(3)證明單調(diào)性：fix2)=f[(x2-xj+x2]=

22.掌握求函數(shù)值域的常用方法了嗎？

（二次函數(shù)法（配方法），反函數(shù)法，換元法，均值定理法，判別式法，利用函數(shù)

單調(diào)性法，導(dǎo)數(shù)法等。）

如求下列函數(shù)的最值：

(1)y=2x-3+V13-4x

2>/x-4

(2)y=

(3)

(4)y=x+4+j9-x2（設(shè)x=3cos?,0e[0,可）

9

(5)y=4x+—，xe（0,1]

x

23.你記得弧度定義嗎？能寫出圓心角為a,半徑為R的弧長公式和扇形面積公式嗎？

24.熟記三角函數(shù)的定義，單位圓中三角函數(shù)線的定義

sina=MP,cosa=OM,tana-AT

如：若-烏＜。＜0,則sin。，cosO,tanO的大小順序是

8

兀

又如：求函數(shù)y=Jl-&cos---x的定義域和值域。

2，

=1-V2sinx>0

sinx<—,如圖:

2

.\2k7t--

4

25.你能迅速畫出正弦、余弦、正切函數(shù)的圖象嗎？并由圖象寫出單調(diào)區(qū)間、對稱點、

對稱軸嗎？

|sinx|<1,|cosx|<1

對稱點為(k5，0)，keZ

jrjr

y=sinx的增區(qū)間為2k兀一,，2kn+—(kGZ)

減區(qū)間為2k兀+］■,2k兀+￡■(keZ)

圖象的對稱點為(km0),對稱軸為x=k)t+/(keZ)

y=cosx的增區(qū)間為［2k7i,2k兀+兀］(kGZ)

減區(qū)間為［2k7i+ic,2k兀+2兀］(kGZ)

圖象的對稱點為(k兀+^，oj,對稱軸為三J辿

y=tanx的增區(qū)間為(k兀一,ku+kGZ

26.正弦型函數(shù)y=Asin?x+(p)的圖象和性質(zhì)要熟記。[或y=Acos(cox+(p)]

(1)振幅IAl,周期T=f01JT

Icol

若f(x())=士A,則x=x0為對稱軸。

若f(x0)=0,則(x0,0)為對稱點，反之也對。

(2)五點作圖：令cox+(p依次為0,兀，~92兀，求出x與y,依點

(x,y)作圖象。

(3)根據(jù)圖象求解析式。(求A、8、邛值)

co(X])+(p=0

如圖列出兀

(o(x2)+(p=-

解條件組求M(P值

JT

△正切型函數(shù)y=Atan(cox+(p),T=一

Icol

27.在三角函數(shù)中求一個角時要注意兩個方面——先求出某一個三角函數(shù)值，再判定角

的范圍。

cos(x+￡V2

如:——,xe7t,T,求*值。

2

..371.7n71571.715兀

?兀<X<—,.——<x+—<一,??XH---.../.x=—7T)

26636412

28.在解含有正、余弦函數(shù)的問題時，你注意（到）運用函數(shù)的有界性了嗎？

如:函數(shù)y=sinx+sinlxl的值域是

(x20U寸，y=2sinxG[-2,2],x<0時、y=0,Aye[-2,2])

29.熟練掌握三角函數(shù)圖象變換了嗎？

（平移變換、伸縮變換）

平移公式：

V）才=（h，k）>p,x'=x+h

(1)點P(x,(x'，y'),則

平移至y'=y+k

（2）曲線f（x,丫）=0沿向量：=（1,

1k）平移后的方程為f（x-h,y-k）=O

如：函數(shù)y=2sin（2x-：J-l的圖象經(jīng)過怎樣的變換才能得到y(tǒng)=sinx的

圖象？

(y=2sin(2x-?J-1橫坐標(biāo)伸長到原來的2倍）y=2sin2|

.I左平移上位-X」上平檢個『y"X

2sin(x一;

縱坐標(biāo)縮短到原來的工倍

----------------------->y=sinx）

30.熟練掌握同角三角函數(shù)關(guān)系和誘導(dǎo)公式了嗎？

如：1=sin2a+cos2a=sec2a-tan2a=tana?cota=cosa,seca=tan—

4

=sin—=cosO=.......稱為1的代換。

2

"k?￡±a”化為a的三角函數(shù)——“奇變，偶不變，符號看象限”，

2

〃奇〃、〃偶〃指k取奇、偶數(shù)。

,9兀（I一等）+sin（21K）

如：cos—+tan|

又如：函數(shù)y=sEa+tana,貝叼的值為

cosa4-cota---------------

A.正值或負(fù)值B.負(fù)值C.非負(fù)值D,正值

.sina

,Sma+cosasin2a(cosa+1)、

(y=---------=—r4-----------------<>0,Va^O)

cosacosa(sina+1)

cosa+-----1)

sina

31.熟練掌握兩角和、差、倍、降幕公式及其逆向應(yīng)用了嗎？

理解公式之間的聯(lián)系：

令a=P

sin(a±p)=sinacosp±cosasinp->sin2a=2sinacosa

cos(a±p)=cosacosp+sinasinp-「。二>cos2a=cos2a-sin2a

tan(a±B)=tana±tan12cos2a-1=l-2sin2a=

14-tana?tan0

21+cos2a

Vccosa=------------

-2tana2

tan2a=------------

1-tan**a.1-cos2a

sin2a=------------

2

asina+bcosa=7a2+b2sin(a+cp),tan(p=—

sina+cosa=&sin(a+?

sina+6cosa=2sin[a+]

應(yīng)用以上公式對三角函數(shù)式化簡。(化簡要求：項數(shù)最少、函數(shù)種類最少，分母中

不含三角函數(shù)，能求值，盡可能求值。)

具體方法：

(1)角的變換：如P=(a+P)-a,=—身一(羨一口).....

(2)名的變換：化弦或化切

(3)次數(shù)的變換：升、降幕公式

(4)形的變換：統(tǒng)一函數(shù)形式，注意運用代數(shù)運算。

如：已知sinacosa=行tan(a-p)=--,求tan((3-2a)的值。

1-cos2a3

(由已知得:sinacosa_cosa/.tana」

2sin2a2sina2

7

又tan(p-a)=-

2_J_

tan(p-a)-tana

I.tan(p-2a)=tan[(P-a)-a]=3-2=1)

1+tan(p-a)?tana/J8

32

32.正、余弦定理的各種表達(dá)形式你還記得嗎？如何實現(xiàn)邊、角轉(zhuǎn)化，而解斜三角形？

K.222

余弦定理：a2=b24-c2-2bccosA=cosA=———----

2bc

(應(yīng)用：已知兩邊一夾角求第三邊；已知三邊求角。)

fa2RsinA

正弦定理：一一=-^-='=2R='b

2RsinB

sinAsinBsinC

c2RsinC

S=—a?bsinC

A2

*.*A+B+C=Ji,A+B=K—C

.A+BC

/.sin（A+B）=sinC,sin-------=cos-

22

A_i_R

如AABC中，2sin2-------+cos2C=l

2

(1)求角C；

（2）^a2=b2,求cos2A-cos2B的值。

2

（（1）由已知式得：l-cos（A+B）+2cos2C

又A+B=兀一C,/.2cos2C+cosC-1=0

1?cosC=，或cosC=-1（舍）

2

IT

又0<C<7T,，C='

3

（2）由正弦定理及a?=b2+'c2得：

2

2sin2A-2sin2B=sin2C=sin2—--

34

3

1cos2A—1+cos2B——

4

3、

cos2A-cos2B=——）

4

33.用反三角函數(shù)表示角時要注意角的范圍。

反正弦：arcsinxG,x￡卜1,1]

反余弦：arccosxG[0,可，xe[-L1]

r5(xeR)

反正切:arctanxG-

34.不等式的性質(zhì)有哪些？

c>0=>ac>be

(1)a>b,

c<0=>ac<be

(2)a>b,c>d=>a+c>b+d

(3)a>b>0,c>d>0nac>bd

(4)a〉b>oU,a<b<0^->-

abab

(5)a>b>0=>an>bn,Va>Vb

(6)lxl<a(a>0)o-a<x<a,1x1>a=x<-a或x〉a

如：若!<工<0,則下列結(jié)論不正確的是()

ab

A.a2<b2B.ab<b2

ab

C.lal+lbl>la+blD.-+->2

ba

答案：C

35.利用均值不等式：

a2+b2>2ab(a,beR+)；a+b>2Vab;abW,；求最值時，你是否注

意到“a,beR+”且“等號成立”時的條件，積(ab)或和(a+b)其中之一為定

值？(一正、二定、三相等)

注意如下結(jié)論：

疝2篝(a,beR+)

當(dāng)且僅當(dāng)a=b時等號成立。

a12+b2+c2>ab+bc+ca(a,bGR)

當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c時取等號。

a>b>0,m>0,n>0,則

bb+m?a+na

—<-------<1<-------<一

aa+mb+nb

4

如：若x〉0,2-3x——的最大值為

x-------------

(設(shè)y=2—(3x+&)<2—2配=2—46

當(dāng)且僅當(dāng)3x=&,又x>0,.力二冬叵時，ymax=2-473)

x3

又如：x+2y=l,則2*+4，的最小值為

(V2X+22y>272x+2y=2A/F,.?.最小值為2尤)

36.不等式證明的基本方法都掌握了嗎？

(比較法、分析法、綜合法、數(shù)學(xué)歸納法等)

并注意簡單放縮法的應(yīng)用。

如：證明1+1+4■+…+二<2

2232n2

111,111

(1HyH—彳+....H彳<1H---------1--------F.......+7------\-

2232n21x22x3(n-l)n

,1111

1+1——+-—F....+

223n-1n

2--<2)

n

37.解分式不等式黑〉a(aH0)的一般步驟是什么？

(移項通分,分子分母因式分解，x的系數(shù)變?yōu)?,穿軸法解得結(jié)果。)

38.用“穿軸法"解高次不等式——"奇穿，偶切"，從最大根的右上方開始

1是偶重根

如：(x+l)(x-l)2(x-2)3<0

39.解含有參數(shù)的不等式要注意對字母參數(shù)的討論

如：對數(shù)或指數(shù)的底分a>1或0<a<1討論

40.對含有兩個絕對值的不等式如何去解？

(找零點，分段討論，去掉絕對值符號，最后取各段的并集。)

例如：解不等式lx—3l-|x+q<l

(解集為卜lx>g})

41.會用不等式匕1-由《匕±村(也1+舊證明較簡單的不等問題

如：設(shè)f(x)=X、一x+13,實數(shù)a滿足lx-al<l

求證：|f(x)-f(a)|<2(lal+l)

證明.If(x)-f(a)l=l(x2-x+13)-(a2-a+13)l

=l(x-a)(x+a-l)l(vlx-al<1)

=lx-allx+a-ll<lx+a-II

<lxl+lal+l

Xlxl-lal<lx-al<l,Alxklal+l

.".|f(x)-f(a)|<2lal+2=2(lal+l)

(按不等號方向放縮)

42.不等式恒成立問題，常用的處理方式是什么？(可轉(zhuǎn)化為最值問題，或問題)

如:a<f(x)恒成立oa<f(x)的最小值

a>f(x)恒成立<=>a>f(x)的最大值

a>f(x)能成立oa>f(x)的最小值

例如：對于一切實數(shù)x,若|x-3|+|x+2]>a恒成立，貝Ua的取值范圍是

(設(shè)u=|x-3|+|x+2],它表示數(shù)軸上到兩定點-2和3距離之和

umin=3-(-2)=5,，5〉a,即a<5

或者：|x-3|+|x+2|>|(x-3)-(x+2)|=5,Aa<5)

43.等差數(shù)列的定義與性質(zhì)

定義：an+1-an=d(d為常數(shù))，an=a,+(n-l)d

等差中項：x,A,y成等差數(shù)列=2A=x+y

?工十(a.+a?)nn(n-1)

前n項和Sn=」一L=na+△——

22

性質(zhì)：｛a,J是等差數(shù)列

⑴若m+n=p+q,貝％+a0=ap+aq；

（2）數(shù)列包2｝,｛a?J，｛ka_+b｝仍為等差數(shù)列;

S.,S2n-Sn,S3n-S2n……仍為等差數(shù)列；

（3）若三個數(shù)成等差數(shù)列，可設(shè)為a-d,a,a+d；

（4）若an,b.是等差數(shù)列S0,Tn為前n項和，則齷=且叢；

11II11IIfVI

DmA2m-1

（5）｛an｝為等差數(shù)列0sli=an?+bn（a,b為常數(shù)，是關(guān)于n的常數(shù)項為

0的二次函數(shù)）

S.的最值可求二次函數(shù)Sn=an2+bn的最值；或者求出｛a0｝中的正、負(fù)分界

項，即：

a>0

當(dāng)為>0,d<0,解不等式組n~八可得Sn達(dá)到最大值時的n值。

an+1<0

a""1可得S0達(dá)到最小值時的n值。

當(dāng)a1<0,d>0,由《

an+1>0

a+a+a

如：等差數(shù)列｛aj,Sn=18,nn-ln-23,S3=1,則n=

+an-2

(由a0+an_,3n3an_,=3,?.an_I=1

a.+aj.1

:

又S3------?3=3a)=1,..a9=-

2223

1+ln

??+ajna?+a「J?n

-——=18

222

n=27)

44.等比數(shù)列的定義與性質(zhì)

n

定義：&±L=q(q為常數(shù)，q^O),an=a1q-'

a”

等比中項：x、G、y成等比數(shù)列=>G?=xy,或6=歹

na,(q=1)

n

前n項和：Sn=a,(l-q)(要注意!)

―;--------(q*1)

Ii-q

性質(zhì)：｛aj是等比數(shù)列

⑴若m+n=p+q,貝%?an=ap?aq

(2)S0，S2n-Sn,S3n-S2n……仍為等比數(shù)列

45.由S.求a”時應(yīng)注意什么？

(n=l時，aI=S],nN2時，an=Sn-Sn_,)

46.你熟悉求數(shù)列通項公式的常用方法嗎？

例如：(1)求差(商)法

如：｛aj滿足;a|+(a2+……+^an=2n+5<1>

n=l時，—a,=2x1+5,/.a,-14

解：2

nN2時，^ai+^a2+.......+^7Tan-i=2n-l+5<2>

<1>一<2>得：=2

???a—z

14(n=l)

.?an=v?

[2n+l(n>2)

［練習(xí)］

數(shù)列｛aj滿足Sn+S用=|a向，a,=4,求2?

s

(注意到3"I=5田-511代入得：9=4

又之=4,，｛Sn｝是等比數(shù)列，Sn=4"

n

n>2時，an=Sn-Sn_1=............=3,4-'

(2)疊乘法

例如：數(shù)列｛aj中，a1=3,冬紅=」-,求a,

ann+1

a

a2.^3....n1.2...n-i_,，匕」

解：a〕a?a”-123na〕n

13

又a1=3,.*.a=—

nn

(3)等差型遞推公式

由a0-ae=f(n),a,=a0,求a”，用迭加法

nN2時，a2-a1=f(2)'

-｝兩邊相加，得:

a

n-an_,-f(n)

an-a,=f(2)+f(3)+……+f(n)

??.a“=a0+f(2)+f(3)+……+f(n)

［練習(xí)］

數(shù)列｛aj,a,=1,an=3"T+an_i(n22),求a”

(4)等比型遞推公式

an=Can-I+d(c、d為常數(shù)，cwO,CRI,dwO)

可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列，設(shè)a_+x=c(an->+X)

=>an=Can-I+(c-l)x

令(c-l)x=d,/.x=----

c-1

,Id是首項為為+”—,c為公比的等比數(shù)列

?a+―-

nc-1c-1

ddn-1

..a”+a'+c^T?c

c-1

d

aa+cn

-??='c^Tc^T

［練習(xí)］

數(shù)列｛aj滿足為9,3an+1+an=4,求a”

(a“=8(—gn-1

+1)

(5)倒數(shù)法

2an

例如：a,=Lan+1---—,求a

an+2

由已知得：—匚=4上2=工+-1

a

n+i2an2an

112

a2

n+ia”

為等差數(shù)列，—=1,公差為工

lanja.2

=1+v(n-1)7,—=—V(n+1)

an22'

47.你熟悉求數(shù)列前n項和的常用方法嗎？

例如：（1）裂項法：把數(shù)列各項拆成兩項或多項之和，使之出現(xiàn)成對互為相反數(shù)的項。

如：｛aj是公差為d的等差數(shù)列,求Z」一

k=lakak+l

,111(||>

由----=-----------二—-——-(d/O)

akak+l^

解：-ak+1ak(ak+d)d

???￡,=斗

k=l^k^k+lk=l^k+1

Lrnc+n

一」+……

d|_ka］a；<aVaa；J

22a3>nn+］

if11、

dla,an+1；

［練習(xí)］

求和：1+」一+——-——+?…1

-+,

1+21+2+31+2+3+....+n

l-)

凡-....-.....,S-2

nnFl

(2)錯位相減法：

若｛aj為等差數(shù)列，｛bn｝為等比數(shù)列，求數(shù)列｛a。、｝（差比數(shù)列）前加頁

和，可由Sn-qS.求S_,其中q為他｝的公比。

2311_1

如：Sn=l+2x+3x+4x+....+nx<1>

234n-111

x,Sn=x+2x+3x+4x+....+(n-l)x+nx<2>

211-1n

<1>-<2>：(1-x)Sn=1+x+x+....+x-nx

x=l時，Sn=1+2+3+....+n=n(n+D

2

(3)倒序相加法：把數(shù)列的各項順序倒寫，再與原來順序的數(shù)列相加。

相力口

-an+an,,++a2+aj

2sli-(a1+an)+(a2+an_,)+"+(a(+aj

［練習(xí)］

已知f(x)=工r,則f(D+f(2)+ff-Vf(3)+ig)+f(4)+C)

1+x2\2J

22

(、jnx(x)x

(由f(X)+f—2+/、2—2f

1x71+x2Ji11+x

???原式=f⑴+f(2)+f(j+寅3)+《?-?一f(4)+fg)

48.你知道儲蓄、貸款問題嗎？

A零存整取儲蓄(單利)本利和計算模型：

若每期存入本金p元，每期利率為r,n期后，本利和為：

S0=P(l+r)+p(l+2r)+.......+p(l+nr)=pn+“(二」r........等差問題

△若按復(fù)利，如貸款問題一按揭貸款的每期還款計算模型(按揭貸款——分期等

額歸還本息的借款種類)

若貸款(向銀行借款)p元，采用分期等額還款方式，從借款日算起，一期(如一

年)后為第一次還款日，如此下去，第n次還清。如果每期利率為r(按復(fù)利)，那么每

期應(yīng)還x元，滿足

p(l+r)n=x(l+r)n1+x(l+r)n2+.......+x(l+r)+x

[l-(l+r)Jr

.Pr(l+r)”

.?x=-------------

(l+r)=1

p一貸款數(shù),r——利率，n——還款期數(shù)

49.解排列、組合問題的依據(jù)是：分類相加，分步相乘，有序排列，無序組合。

(1)分類計數(shù)原理：N=ni]+m2+........+mn

(nij為各類辦法中的方法數(shù))

分步計數(shù)原理：N=m,?m2.......mtl

(m,為各步驟中的方法數(shù))

(2)排列：從n個不同元素中，任取m(m<n)個元素，按照一定的順序排成一

列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列，所有排列的個數(shù)記為A)

I

A?=n(n-l)(n-2).......(n-m+1)=-?(m<n)

(n-m)!

規(guī)定：0!=l

(3)組合：從n個不同元素中任取m(m<n)個元素并組成一組,叫做從n個

不同元素中取出m個元素的一個組合，所有組合個數(shù)記為C)

"=綃=n(n-l)……(n-m+l)=n!

“A?m!m!(n-m)!

規(guī)定：C：=1

(4)組合數(shù)性質(zhì)：

m=Ccn-mCz-tm+.Ccm-lC廠mC+C1.+................+....Co2n

Cnn-nn=n+Pnnn=

50.解排列與組合問題的規(guī)律是：

相鄰問題捆綁法；相間隔問題插空法；定位問題優(yōu)先法；多元問題分類法；至多至

少問題間接法；相同元素分組可采用隔板法，數(shù)量不大時可以逐一排出結(jié)果。

如：學(xué)號為1,2,3,4的四名學(xué)生的考試成績

Xje{89,90,91,92,93卜(i=l,2,3,4)且滿足x1<x24X3<x4，

則這四位同學(xué)考試成績的所有可能情況是()

A.24B.15C.12D.10

解析：可分成兩類：

(1)中間兩個分?jǐn)?shù)不相等,

□□□□

Xj<x2<x3<x4

有C；=5(種)

(