甘肅省定西市、平?jīng)鍪?、酒泉市、慶陽(yáng)市2021年中考數(shù)學(xué)真題卷（含答案與解析）

甘肅省2021年初中畢業(yè)生學(xué)業(yè)考試

數(shù)學(xué)試卷

注意事項(xiàng)：

1.答題前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上，并將準(zhǔn)考證號(hào)

條形碼貼在答題卡指定位置。

2.答題時(shí)，選擇題答案，用2B鉛筆將答題卡上對(duì)應(yīng)題目的答案標(biāo)號(hào)涂黑；非選

擇題答案，用0.5毫米黑色墨水簽字筆，直接寫在答題卡上對(duì)應(yīng)的答題區(qū)域內(nèi)。

答案答在試題卷上無(wú)效。

3.考生必須保持答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。

一、選擇題：本大題共10小題，每小題3分，共30分，每小題只有一個(gè)正確選項(xiàng)。

1.3的倒數(shù)是（）

A.-3B.3C.-AD.A

33

2.2021年是農(nóng)歷辛丑牛年，習(xí)近平總書記勉勵(lì)全國(guó)各族人民在新的一年發(fā)揚(yáng)“為民服務(wù)孺

子牛、創(chuàng)新發(fā)展拓荒牛、艱苦奮斗老黃?！本瘢成鐓^(qū)也開展了''迎新春牛年剪紙展”,

下面的剪紙作品是軸對(duì)稱圖形的是（）

3.下列運(yùn)算正確的是（）

A.?+?=3B.4娓-炳=4C.73X72=76D.丘+?=4

4.中國(guó)疫苗撐起全球抗疫“生命線”！中國(guó)外交部數(shù)據(jù)顯示，截止2021年3月底，我國(guó)已

無(wú)償向80個(gè)國(guó)家和3個(gè)國(guó)際組織提供疫苗援助.預(yù)計(jì)2022年中國(guó)新冠疫苗產(chǎn)能有望達(dá)

到50億劑，約占全球產(chǎn)能的一半，必將為全球抗疫作出重大貢獻(xiàn).數(shù)據(jù)“50億”用科學(xué)

記數(shù)法表示為（）

A.5X108B.5X109C.5X1O10D.50X108

5.將直線）?=5x向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，所得直線的表達(dá)式為（)

A.y=5x-2B.y=5x+2C.y=5(x+2)D.y=5(x-2)

6.如圖，直線的頂點(diǎn)3在3尸上，若NC5F=20°，則N4￡>E=()

A.70°B.60°C.75°D.80°

7.如圖，點(diǎn)A,B,C,D,E在O。上，AB=CD,ZAOB=42°,則NCED=()

A.48°B.24°C.22°D.21°

8.我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》有“多人共車”問(wèn)題：“今有三人共車，二車空；二人共

車，九人步.問(wèn)：人與車各幾何？”其大意如下：有若干人要坐車，如果每3人坐一輛

車，那么有2輛空車；如果每2人坐一輛車，那么有9人需要步行，問(wèn)人與車各多少？

設(shè)共有x人，y輛車，則可列方程組為()

.f3(y-2)=xf3(y+2)=x

[2y-9=x\2y+9=x

p(y-2)=xj3(y+2)=x

12y+9=x12y-9=x

9.對(duì)于任意的有理數(shù)mb,如果滿足包+上=3士且，那么我們稱這一對(duì)數(shù)“，人為“相隨數(shù)

232+3

對(duì)”，記為(a,b).若(m,n)是“相隨數(shù)對(duì)”，則3旭+2[3施+(2n-1)]=()

A.-2B.-1C.2D.3

10.如圖1,在△ABC中，AB^BC,8。_￡4(?于點(diǎn)。(4。>8。).動(dòng)點(diǎn)M從A點(diǎn)出發(fā)，沿

折線AB-BC方向運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C停止.設(shè)點(diǎn)用的運(yùn)動(dòng)路程為x,△AM。的面積為y,

y與x的函數(shù)圖象如圖2,則AC的長(zhǎng)為()

二、填空題：本大題共8小題，每小題3分，共24分。

11.因式分解：4m-2加2=.

12.關(guān)于x的不等式L-的解集是

32

13.關(guān)于x的方程/-2x+k=o有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則k的值是o

14.開學(xué)前，根據(jù)學(xué)校防疫要求，小蕓同學(xué)連續(xù)14天進(jìn)行了體溫測(cè)量，結(jié)果統(tǒng)計(jì)如表:

體溫（°C）36.336.436.536.636.736.8

天數(shù)（天）233411

這14天中，小蕓體溫的眾數(shù)是℃。

15.如圖，在矩形A8CO中，￡是8C邊上一點(diǎn)，ZAED=90°,ZEAD=30°，尸是AO

邊的中點(diǎn)，EF=4an9則3E=cm.

16.若點(diǎn)A（-3,yi）,8（-4,*）在反比例函數(shù)y=3——^的圖象上，貝ijyi”.（填

X

或或“=”）

17.如圖，從一塊直徑為4而的圓形鐵皮上剪出一圓心角為90°的扇形，則此扇形的面積

18.一組按規(guī)律排列的代數(shù)式：a+2b,a2-2b3,a3+2b5,a4-2b1,則第n個(gè)式子

是

三、解答題：本大題共5小題，共26分。解答時(shí)，應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演

算步驟。

19.（4分）計(jì)算：（2021-it）°+（A）'-2cos45°.

2

2

20.（4分）先化簡(jiǎn)，再求值：（2-2）其中x=4.

x-2x2-4x+4

21.（6分）在《阿基米德全集》中的《引理集》中記錄了古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德提出的有

關(guān)圓的一個(gè)引理.如圖，已知第，C是弦AB上一點(diǎn)，請(qǐng)你根據(jù)以下步驟完成這個(gè)引理

的作圖過(guò)程.

（1）尺規(guī)作圖（保留作圖痕跡，不寫作法）；

①作線段AC的垂直平分線。E,分別交源于點(diǎn)￡>,AC于點(diǎn)E,連接AQ,CD；

②以點(diǎn)。為圓心，D4長(zhǎng)為半徑作弧，交源于點(diǎn)F（F,A兩點(diǎn)不重合），連接QF,BD,

BF.

（2）直接寫出引理的結(jié)論：線段BC,8F的數(shù)量關(guān)系.

22.（6分）如圖1是平?jīng)鍪械貥?biāo)建筑“大明寶塔”，始建于明嘉靖十四年（1535年），是明

代平?jīng)鲰n王府延恩寺的主體建筑.寶塔建造工藝精湛，與崢耐山的凌空塔遙相呼應(yīng)，被

譽(yù)為平?jīng)龉潘半p璧”.某數(shù)學(xué)興趣小組開展了測(cè)量“大明寶塔的高度”的實(shí)踐活動(dòng)，具

體過(guò)程如下：

方案設(shè)計(jì)：如圖2,寶塔CQ垂直于地面，在地面上選取A,B兩處分別測(cè)得NCA。和/

C8。的度數(shù)（4,D,B在同一條直線上）.

數(shù)據(jù)收集：通過(guò)實(shí)地測(cè)量：地面上4,B兩點(diǎn)的距離為58加，ZCAD=42°,ZCBD=58°.

問(wèn)題解決：求寶塔C。的高度（結(jié)果保留一位小數(shù)）.

參考數(shù)據(jù)：sin42°-0.67,cos420-0.74,tan420=0.90,sin58°-0.85,cos580-0.53,

tan58°七1.60.

根據(jù)上述方案及數(shù)據(jù)，請(qǐng)你完成求解過(guò)程.

圖1圖2

23.（6分）一個(gè)不透明的箱子里裝有3個(gè)紅色小球和若干個(gè)白色小球，每個(gè)小球除顏色外

其他完全相同，每次把箱子里的小球搖勻后隨機(jī)摸出一個(gè)小球，記下顏色后再放回箱子

里，通過(guò)大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)后，發(fā)現(xiàn)摸到紅色小球的頻率穩(wěn)定于0.75左右.

（1）請(qǐng)你估計(jì)箱子里白色小球的個(gè)數(shù)；

（2）現(xiàn)從該箱子里摸出1個(gè)小球，記下顏色后放回箱子里，搖勻后，再摸出1個(gè)小球，

求兩次摸出的小球顏色恰好不同的概率（用畫樹狀圖或列表的方法）.

四、解答題：本大題共5小題，共40分。解答時(shí)，應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演

算步驟。

24.（7分）為慶祝中國(guó)共產(chǎn)黨建黨100周年，某校開展了以“學(xué)習(xí)百年黨史，匯聚團(tuán)結(jié)偉

力”為主題的知識(shí)競(jìng)賽，競(jìng)賽結(jié)束后隨機(jī)抽取了部分學(xué)生成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，按成績(jī)分成4

B,C,D,E五個(gè)等級(jí)，并繪制了如下不完整的統(tǒng)計(jì)圖.請(qǐng)結(jié)合統(tǒng)計(jì)圖，解答下列問(wèn)題:

學(xué)生成績(jī)頻數(shù)分布直方圖學(xué)生成績(jī)扇形統(tǒng)計(jì)圖

等級(jí)成績(jī)x

A50?60

B60?70

C70?80

D80?90

E90?00

(1)本次調(diào)查一共隨機(jī)抽取了名學(xué)生的成績(jī)，頻數(shù)分布直方圖中m

(2)補(bǔ)全學(xué)生成績(jī)頻數(shù)分布直方圖；

(3)所抽取學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)落在等級(jí)；

(4)若成績(jī)?cè)?0分及以上為優(yōu)秀，全校共有2000名學(xué)生，估計(jì)成績(jī)優(yōu)秀的學(xué)生有多少

人？

25.(7分)如圖1,小剛家、學(xué)校、圖書館在同一條直線上，小剛騎自行車勻速?gòu)膶W(xué)校到圖

書館，到達(dá)圖書館還完書后，再以相同的速度原路返回家中(上、下車時(shí)間忽略不計(jì)).小

剛離家的距離y(相)與他所用的時(shí)間x(min)的函數(shù)關(guān)系如圖2所示.

(1)小剛家與學(xué)校的距離為，"，小剛騎自行車的速度為mlrninx

(2)求小剛從圖書館返回家的過(guò)程中，y與x的函數(shù)表達(dá)式；

(3)小剛出發(fā)35分鐘時(shí)，他離家有多遠(yuǎn)？

26.(8分)如圖，/\ABC內(nèi)接于。0,D是。。的直徑AB的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，ZDCB=ZOAC.過(guò)

圓心O作BC的平行線交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.

(1)求證：8是。0的切線；

(2)若C￡>=4,CE=6,求00的半徑及tan/OCB的值.

BD

27.(8分)問(wèn)題解決：如圖1,在矩形ABCD中，點(diǎn)E,尸分別在AB,BC邊上，DE=AF,

DELAF于點(diǎn)G.

圖1圖2

(1)求證：四邊形ABCD是正方形；

(2)延長(zhǎng)C8到點(diǎn)H,使得8H=AE,判斷尸的形狀，并說(shuō)明理由.

類比遷移：如圖2,在菱形ABCD中，點(diǎn)E,尸分別在AB,BC邊上，DE與A尸相交于

點(diǎn)G,DE=AF,ZAED=60°,AE=6,BF=2,求的長(zhǎng).

28.(10分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線yul?+bx+c與坐標(biāo)軸交于4(0,-2),

2

B(4,0)兩點(diǎn)，直線2C：y=-2%+8交y軸于點(diǎn)C.點(diǎn)0為直線AB下方拋物線上一動(dòng)

點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)。作x軸的垂線，垂足為G,OG分別交直線BC,AB于點(diǎn)E,F.

(1)求拋物線)=工2+云+。的表達(dá)式；

2

(2)當(dāng)6尸=工時(shí)，連接8D,求△SO尸的面積；

2

(3)①”是)，軸上一點(diǎn)，當(dāng)四邊形BE”F是矩形時(shí)，求點(diǎn)H的坐標(biāo)；

②在①的條件下，第一象限有一動(dòng)點(diǎn)P,滿足PH=PC+2,求△P4B周長(zhǎng)的最小值.

參考答案

一、選擇題：本大題共10小題，每小題3分，共30分，每小題只有一個(gè)正確選項(xiàng)。

1.3的倒數(shù)是（）

A.-3B.3C.-AD.A

33

【分析】根據(jù)倒數(shù)的定義進(jìn)行答題.

【解答】解：設(shè)3的倒數(shù)是小則3a=1,

解得，a=l.

3

故選：D.

2.2021年是農(nóng)歷辛丑牛年，習(xí)近平總書記勉勵(lì)全國(guó)各族人民在新的一年發(fā)揚(yáng)“為民服務(wù)孺

子牛、創(chuàng)新發(fā)展拓荒牛、艱苦奮斗老黃?！本?，某社區(qū)也開展了“迎新春牛年剪紙展”,

【分析】根據(jù)軸對(duì)稱圖形的概念判斷求解.

【解答】解：A.不是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；

B.是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)符合題意；

C.不是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；

D.不是軸對(duì)稱圖形，故此選項(xiàng)不合題意；

故選：B.

3.下列運(yùn)算正確的是（）

A.?+?=3B.4泥-疵=4C.V3><V2=V6D.圾+&=4

【分析】根據(jù)二次根式的加減法對(duì)A、8進(jìn)行判斷；根據(jù)二次根式的乘法法則對(duì)C進(jìn)行

判斷；根據(jù)二次根式的除法法則對(duì)。進(jìn)行判斷.

【解答】解：A、原式=2?,所以A選項(xiàng)的計(jì)算錯(cuò)誤；

B、原式=3泥，所以8選項(xiàng)的計(jì)算錯(cuò)誤；

C、原式=JM=近，所以C選項(xiàng)的計(jì)算正確；

D、原式=/32+8=T=2,所以。選項(xiàng)的計(jì)算錯(cuò)誤.

故選：C.

4.中國(guó)疫苗撐起全球抗疫“生命線”！中國(guó)外交部數(shù)據(jù)顯示，截止2021年3月底，我國(guó)已

無(wú)償向80個(gè)國(guó)家和3個(gè)國(guó)際組織提供疫苗援助.預(yù)計(jì)2022年中國(guó)新冠疫苗產(chǎn)能有望達(dá)

到50億劑，約占全球產(chǎn)能的一半，必將為全球抗疫作出重大貢獻(xiàn).數(shù)據(jù)“50億”用科學(xué)

記數(shù)法表示為()

A.5X108B.5X109C.5X1O10D.50X108

【分析】科學(xué)記數(shù)法的表示形式為aX10"的形式，其中1W間＜10,〃為整數(shù).確定n

的值時(shí)，要看把原數(shù)變成。時(shí)，小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)了多少位，”的絕對(duì)值與小數(shù)點(diǎn)移動(dòng)的位數(shù)相

同.當(dāng)原數(shù)絕對(duì)值210時(shí)，〃是正數(shù)；當(dāng)原數(shù)的絕對(duì)值VI時(shí)，〃是負(fù)數(shù).

【解答】解：將50億用科學(xué)記數(shù)法表示為5X109.

故選：B.

5.將直線y=5x向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，所得直線的表達(dá)式為()

A.y=5x-2B.y=5x+2C.y=5(x+2)D.y=5(x-2)

【分析】根據(jù)“上加下減”的原則求解即可.

【解答】解：將直線y=5x向下平移2個(gè)單位長(zhǎng)度，所得的函數(shù)解析式為y=5x-2.

故選：A.

6.如圖，直線。RtZWBC的頂點(diǎn)3在3歹上，若NC5F=20°,則NAZ)E=()

A.70°B.60°C.75°D.80°

【分析】根據(jù)角的和差得到NABr=70°,再根據(jù)兩直線平行，同位角相等即可得解.

【解答】解：VZABC=90°,ZCBF=20°,

：.ZABF=ZABC-ZCBF=10°,

?:DE〃BF,

AZADE=ZABF=1Q°,

故選：A.

7.如圖，點(diǎn)A,B,C,D,E在OO上，AB=CD,ZAOB=42°,則NCED=()

A.48°B.24°C.22°D.21°

【分析】連接OC、OD,可得NAOB=NCOO=42°,由圓周角定理即可得NCEQ=』N

2

COD=2}°.

【解答】解：連接OC、OD,

AZAOB=ZCOD=42°,

：.ZC￡D=AZCOD=21°.

2

故選：D.

8.我國(guó)古代數(shù)學(xué)著作《孫子算經(jīng)》有“多人共車”問(wèn)題：“今有三人共車，二車空；二人共

車，九人步.問(wèn)：人與車各幾何？”其大意如下：有若干人要坐車，如果每3人坐一輛

車，那么有2輛空車；如果每2人坐一輛車，那么有9人需要步行，問(wèn)人與車各多少？

設(shè)共有x人，y輛車，則可列方程組為()

Af3(y-2)=xRf3(y+2)=x

\2y-9=x(2y+9=x

/3(y-2)=xf3(y+2)=x

12y+9=x12y-9=x

【分析】設(shè)共有x人，y輛車，根據(jù)“如果每3人坐一輛車，那么有2輛空車；如果每2

人坐一輛車，那么有9人需要步行”，即可得出關(guān)于x,y的二元一次方程組，此題得解.

【解答】解：設(shè)共有x人，y輛車，

依題意得：（3?-2）=x.

⑵+9=x

故選：C.

9.對(duì)于任意的有理數(shù)小b,如果滿足包+2=空也，那么我們稱這一對(duì)數(shù)a,6為“相隨數(shù)

232+3

對(duì)“，記為（a,b）.若（〃?，〃）是“相隨數(shù)對(duì)"，則3m+2[3〃?+（2H-1）]=（）

A.-2B.-1C.2D.3

【分析】根據(jù)（相，n）是“相隨數(shù)對(duì)”得出9m+4/?=0,再將原式化成9加+4〃-2,最后

整體代入求值即可.

【解答】解：???（仙〃）是“相隨數(shù)對(duì)”,

?ni+ri=mjn

一彳2^3，

???3-m--+-2n--—--m-+n,

65

即9m+4〃=0,

，3m+2[3團(tuán)+（2/?-1）]

=3m+2[3m+2n-1]

=3團(tuán)+6加+4〃-2

=9〃計(jì)4〃-2

=0-2

=-2,

故選：A.

10.如圖1,在△A8C中，AB=BC,BOJ_AC于點(diǎn)。（AO>8O）.動(dòng)點(diǎn)M從A點(diǎn)出發(fā)，沿

折線ABfBC方向運(yùn)動(dòng)，運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)C停止.設(shè)點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)路程為x,△4〃￡）的面積為y,

y與x的函數(shù)圖象如圖2,則AC的長(zhǎng)為（）

【分析】先根據(jù)AB=8C結(jié)合圖2得出AB=J石，進(jìn)而利用勾股定理得，AD+BD=13,

再由運(yùn)動(dòng)結(jié)合△4￡>〃的面積的變化，得出點(diǎn)用和點(diǎn)8重合時(shí)，△AOW的面積最大，其

值為3,即」工?！?。=3,進(jìn)而建立二元二次方程組求解，即可得出結(jié)論.

2

【解答】解：由圖2知，AB+BC=25，

"：AB^BC,

.?.A8=F，

"：AB=BC,BDLBC,

：.AC^2AD,ZADB=90°,

在中，AD^+BD2

設(shè)點(diǎn)M到AC的距離為h,

'.S^ADM—^AD'h,

2

:動(dòng)點(diǎn)M從A點(diǎn)出發(fā)，沿折線AB-BC方向運(yùn)動(dòng)，

當(dāng)點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)8時(shí)，△AOM的面積最大，即〃=8￡>,

由圖2知，△AOM的面積最大為3,

:.1AD-BC=3,

2

②，

①+2X②得，AD2+B￡>2+2AD.BD=13+2X6=25,

：.(AD+BD)2=25,

：.AD+BD^5(負(fù)值舍去)，

：.BD=5-AD@,

將③代入②得，AO(5-AO)=6,

；.4。=3或AQ=2,

"：AD>BD,

：.AD=3,

：.AC=2AD=6,

故選：B.

二、填空題：本大題共8小題，每小題3分，共24分。

11.因式分解：4成-2川=2m(2-/").

【分析】提取公因式進(jìn)行因式分解.

【解答】解：4m-2m2=2m(2-ni),

故答案為：2m(2-m).

12.關(guān)于x的不等式1>工的解集是x>l.

322—

【分析】根據(jù)解一元一次不等式基本步驟：移項(xiàng)、合并同類項(xiàng)、系數(shù)化為1可得.

【解答】解：移項(xiàng)，得：lr>l+X

32

合并同類項(xiàng)，得：工>3,

32

系數(shù)化為1,得：x>l,

2

故答案為：尤>9.

2

13.關(guān)于x的方程/-2r+k=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，則無(wú)的值是1。

【分析】根據(jù)根的判別式△=(),即可得出關(guān)于k的一元一次方程，解之即可得出左值.

【解答】解：?.?關(guān)于x的方程f-2x+k=0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，

.，.△=(-2)2-4X1X仁0,

解得:k=l.

故答案為：1.

14.開學(xué)前，根據(jù)學(xué)校防疫要求，小蕓同學(xué)連續(xù)14天進(jìn)行了體溫測(cè)量，結(jié)果統(tǒng)計(jì)如表：

體溫(七)36.336.436.536.636.736.8

天數(shù)(天)233411

這14天中，小蕓體溫的眾數(shù)是36.6

【分析】根據(jù)眾數(shù)的定義就可解決問(wèn)題.

【解答】解：36.6出現(xiàn)的次數(shù)最多有4次，所以眾數(shù)是36.6.

故答案為：36.6.

15.如圖，在矩形ABC3中，E是BC邊上一點(diǎn)，ZA￡D=90°,ZEAD=30°，尸是4。

邊的中點(diǎn)，EF=4cm,則BE=6cm.

【分析】先利用直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，求出AD長(zhǎng)，再根據(jù)矩形的

性質(zhì)得出AO〃8C,N8=90°,然后解直角三角形ABE即可.

【解答】解：???NAED=90°E是AO邊的中點(diǎn)，EF=4,

：.AD=2EF=89

*：ZEAD=3O0,

AAE=AD*cosZ30°=8義退=4百

2

又???四邊形ABCO是矩形，

：.AD//BC,ZB=9Q°,

：.ZBEA=ZAED=30Q,

在中，

8E=AE?cos/BE4=4?Xcos300=4/義通=6(。機(jī))，

2

故答案為：6.

2口

16.若點(diǎn)A(-3,yi),8(-4,”)在反比例函數(shù)y=^——i■的圖象上，則yiV(填

x

或“V”或“=”)

2口

【分析】反比例函數(shù)y=7L的圖象在一、三象限，在每個(gè)象限內(nèi)，y隨x的增大而減

X

小，判斷出)，的值的大小關(guān)系.

【解答】解：?.?左=〃2+]>(),

，反比例函數(shù)y=7L的圖象在一、三象限，且在每個(gè)象限內(nèi)y隨x的增大而減小，

x

??,點(diǎn)A(-3,yi),B(-4,")同在第三象限，且-3>-4,

；?yiV)%

故答案為V.

17.如圖，從一塊直徑為4,加的圓形鐵皮上剪出一圓心角為90°的扇形，則此扇形的面積

為2ndm2.

【分析】連接AC,根據(jù)圓周角定理得出AC為圓的直徑，解直角三角形求出A5,根據(jù)

扇形面積公式求出即可.

【解答】解：連接AC,

:從一塊直徑為4癡的圓形鐵皮上剪出一個(gè)圓心角為90°的扇形，即/ABC=90°,

；.AC為直徑，即AC=4而?，AB=BC（扇形的半徑相等），

VAB2+BC2=22,

'.AB=BC=2yp2^m,

???陰影部分的面積是％"兀"2&）2=2（（端）.

360

故答案為：2n.

18.一組按規(guī)律排列的代數(shù)式：a+2b,a2-2/,a3+2b5,a4-2b7,,,,）則第n個(gè)式子是a"+

（_］）.

【分析】根據(jù)已知的式子可以得到每個(gè)式子的第一項(xiàng)中。的次數(shù)是式子的序號(hào)：第二項(xiàng)

的符號(hào)：第奇數(shù)項(xiàng)是正號(hào)，第偶數(shù)項(xiàng)是負(fù)號(hào)；第二項(xiàng)中b的次數(shù)是序號(hào)的2倍減1,據(jù)此

即可寫出.

【解答】解:觀察代數(shù)式,得到第〃個(gè)式子是:/+（-1）"%2廬廠】.

故答案為:〃"+（-1嚴(yán)?2廬7.

三、解答題：本大題共5小題，共26分。解答時(shí)，應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演

算步驟。

19.（4分）計(jì)算：（2021-ir）°+（工）1-2cos45°.

2

［分析］根據(jù)零指數(shù)基，負(fù)整數(shù)指數(shù)事,特殊角的三角函數(shù)值計(jì)算即可.

【解答】解:原式=1+2-2X返

2

=3-V2.

2

20.（4分）先化簡(jiǎn)，再求值：（2-①）=4其中》=4.

2

x-2X-4X+4

【分析】首先將分式的分子與分母進(jìn)行分解因式進(jìn)而化簡(jiǎn)，再將x的值代入求出答案.

［解答］解：原式=_&）?，（X?2_士

x-2x-2（x+2）（x-2）x-2x+2x+2

當(dāng)x=4時(shí)，原式=-…4_=-2.

4+23

21.（6分）在《阿基米德全集》中的《引理集》中記錄了古希臘數(shù)學(xué)家阿基米德提出的有

關(guān)圓的一個(gè)引理.如圖，已知第，C是弦AB上一點(diǎn)，請(qǐng)你根據(jù)以下步驟完成這個(gè)引理

的作圖過(guò)程.

（1）尺規(guī)作圖（保留作圖痕跡，不寫作法）；

①作線段AC的垂直平分線OE,分別交定于點(diǎn)。，4c于點(diǎn)E,連接AO,CD；

②以點(diǎn)。為圓心，D4長(zhǎng)為半徑作弧，交源于點(diǎn)尸（凡A兩點(diǎn)不重合），連接ORBD,

BF.

（2）直接寫出引理的結(jié)論：線段BC,B尸的數(shù)量關(guān)系.

【分析】（1）①根據(jù)要求作出圖形即可.

②根據(jù)要求作出圖形即可.

（2）證明△OF8絲/XCCB可得結(jié)論.

【解答】解：（1）①如圖，直線。E,線段4力,線段CO即為所求.

②如圖，點(diǎn)F,線段即為所求作.

（2）結(jié)論：BF=BC.

理由：垂直平分線段AC,

：.DA=DC,

J.ZDAC^ZDCA,

'：AD=DF,

：.DF=DC,^）=DF,

：.ZDBC=ZDBF,

'：ZDFB+ZDAC=\SO°.ZDCB+ZDCA=\SO°,

NDFB=ZDCB,

在△￡??和aocB中，

,ZDFB=ZDCB

>ZDBF=ZDBC,

DF=DC

/\DFB^ADCfi（AA5）,

：.BF=BC.

22.（6分）如圖1是平?jīng)鍪械貥?biāo)建筑“大明寶塔”，始建于明嘉靖十四年（1535年），是明

代平?jīng)鲰n王府延恩寺的主體建筑.寶塔建造工藝精湛，與蟀響山的凌空塔遙相呼應(yīng)，被

譽(yù)為平?jīng)龉潘半p璧”.某數(shù)學(xué)興趣小組開展了測(cè)量“大明寶塔的高度”的實(shí)踐活動(dòng)，具

體過(guò)程如下：

方案設(shè)計(jì)：如圖2,寶塔CD垂直于地面，在地面上選取A,B兩處分別測(cè)得NCAO和N

CBD的度數(shù)（A,D,B在同一條直線上）.

數(shù)據(jù)收集：通過(guò)實(shí)地測(cè)量：地面上A,B兩點(diǎn)的距離為58如NC4￡>=42°,ZCBD=5SQ.

問(wèn)題解決：求寶塔C。的高度（結(jié)果保留一位小數(shù)）.

參考數(shù)據(jù)：sin42°弋0.67,cos420=0.74,tan42°七0.90,sin58°七0.85,cos580弋0.53,

tan58"?1.60.

根據(jù)上述方案及數(shù)據(jù)，請(qǐng)你完成求解過(guò)程.

圖1圖2

【分析】設(shè)設(shè)CD=x”"，在RtaACD中，可得出AO=——皿——，在RtZ\ACD中,8。

tanZCAD

=一4一，再由AQ+BO=AB,列式計(jì)算即可得出答案.

tanZCBD

【解答】解：設(shè)CD=xcvn,

在Rt/XACD中，40=————=————^―,

tan/CADtan4200.9

在RtAACD中,BQ=——"——=————

tan/CBDtan5801.6

"：AD+BD=AB,

?XXuc

"'oT?'T?-58,

解得，x^33.4.

答：寶塔的高度約為33.4〃?.

23.（6分）一個(gè)不透明的箱子里裝有3個(gè)紅色小球和若干個(gè)白色小球，每個(gè)小球除顏色外

其他完全相同，每次把箱子里的小球搖勻后隨機(jī)摸出一個(gè)小球，記下顏色后再放回箱子

里，通過(guò)大量重復(fù)實(shí)驗(yàn)后，發(fā)現(xiàn)摸到紅色小球的頻率穩(wěn)定于0.75左右.

（1）請(qǐng)你估計(jì)箱子里白色小球的個(gè)數(shù)；

（2）現(xiàn)從該箱子里摸出1個(gè)小球，記下顏色后放回箱子里，搖勻后，再摸出1個(gè)小球，

求兩次摸出的小球顏色恰好不同的概率（用畫樹狀圖或列表的方法）.

【分析】（1）設(shè)白球有x個(gè)，根據(jù)多次摸球試驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)，摸到紅球的頻率穩(wěn)定在0.75左

右可估計(jì)摸到紅球的概率為0.75,據(jù)此利用概率公式列出關(guān)于x的方程，解之即可；

（2）畫樹狀圖列出所有等可能結(jié)果，從中找到符合條件的結(jié)果數(shù)，再根據(jù)概率公式求解

即可.

【解答】解：（1）??,通過(guò)多次摸球試驗(yàn)后發(fā)現(xiàn)，摸到紅球的頻率穩(wěn)定在0.75左右，

估計(jì)摸到紅球的概率為0.75,

設(shè)白球有x個(gè)，

根據(jù)題意，得：旦=0.75,

3+x

解得x—1,

經(jīng)檢驗(yàn)x=l是分式方程的解，

...估計(jì)箱子里白色小球的個(gè)數(shù)為1;

（2）畫樹狀圖為：

開始

共有16種等可能的結(jié)果數(shù)，其中兩次摸出的球恰好顏色不同的結(jié)果數(shù)為6,

...兩次摸出的小球顏色恰好不同的概率為&=3.

168

四、解答題：本大題共5小題，共40分。解答時(shí)，應(yīng)寫出必要的文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演

算步驟。

24.（7分）為慶祝中國(guó)共產(chǎn)黨建黨100周年，某校開展了以“學(xué)習(xí)百年黨史，匯聚團(tuán)結(jié)偉

力”為主題的知識(shí)競(jìng)賽，競(jìng)賽結(jié)束后隨機(jī)抽取了部分學(xué)生成績(jī)進(jìn)行統(tǒng)計(jì)，按成績(jī)分成A,

B,C,D,E五個(gè)等級(jí)，并繪制了如下不完整的統(tǒng)計(jì)圖.請(qǐng)結(jié)合統(tǒng)計(jì)圖，解答下列問(wèn)題:

學(xué)生成績(jī)頻數(shù)分布直方圖學(xué)生成績(jī)扇形統(tǒng)計(jì)圖

等級(jí)成績(jī)X

A50?60

B60?70

C70Wx〈80

D80Wx<90

E90WxW100

（1）本次調(diào)查一共隨機(jī)抽取了200名學(xué)生的成績(jī),頻數(shù)分布直方圖中，〃=16

（2）補(bǔ)全學(xué)生成績(jī)頻數(shù)分布直方圖;

（3）所抽取學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)落在C等級(jí):

（4）若成績(jī)?cè)?0分及以上為優(yōu)秀，全校共有2000名學(xué)生，估計(jì)成績(jī)優(yōu)秀的學(xué)生有多少

人？

【分析】（1）由8等級(jí)人數(shù)及其所占百分比可得被調(diào)查的總?cè)藬?shù)，總?cè)藬?shù)乘以4等級(jí)對(duì)

應(yīng)百分比可得，”的值；

（2）總?cè)藬?shù)乘以C等級(jí)人數(shù)所占百分比求出其人數(shù)即可補(bǔ)全圖形；

（3）根據(jù)中位數(shù)的定義求解即可；

（4）總?cè)藬?shù)乘以樣本中。、E等級(jí)人數(shù)和所占比例即可.

【解答】解：（1）一共調(diào)查學(xué)生人數(shù)為40?20%=200,A等級(jí)人數(shù)相=200X8%=16,

故答案為:200,16；

（2）/C等級(jí)人數(shù)為200X25%=50,

補(bǔ)全頻數(shù)分布直方圖如下：

學(xué)生成績(jī)頻數(shù)分布直方圖

101個(gè)數(shù)據(jù)的平均數(shù)，而第100,101

個(gè)數(shù)據(jù)都落在C等級(jí),

所以所抽取學(xué)生成績(jī)的中位數(shù)落在C等級(jí);

故答案為：C.

（4）估計(jì)成績(jī)優(yōu)秀的學(xué)生有2000義2也=940（人）.

200

25.（7分）如圖1,小剛家、學(xué)校、圖書館在同一條直線上，小剛騎自行車勻速?gòu)膶W(xué)校到圖

書館，到達(dá)圖書館還完書后，再以相同的速度原路返回家中（上、下車時(shí)間忽略不計(jì)）.小

剛離家的距離y（，"）與他所用的時(shí)間x（而〃）的函數(shù)關(guān)系如圖2所示.

（1）小剛家與學(xué)校的距離為3000〃?，小剛騎自行車的速度為200m/min；

(2)求小剛從圖書館返回家的過(guò)程中，)，與x的函數(shù)表達(dá)式;

(3)小剛出發(fā)35分鐘時(shí)，他離家有多遠(yuǎn)？

【分析】(1)根據(jù)函數(shù)圖象和題意可以求得小剛家與學(xué)校的距離為3000小，小剛騎自行

車的速度為200m/min；

(2)先求出小剛從圖書館返回家的時(shí)間，進(jìn)而得出總時(shí)間，再利用待定系數(shù)法即可求出

y與x之間的函數(shù)關(guān)系式；

(3)把x=35代入(2)的結(jié)論解答即可.

【解答】解：⑴由題意得，小剛家與學(xué)校的距離為3000m,

小剛騎自行車的速度為：(5000-3000)-M0=200(.mimin'),

故答案為：3000；200；

(2)小剛從圖書館返回家的時(shí)間：50004-200=25(.min),

總時(shí)間：25+20=45(加〃),

設(shè)小剛從圖書館返回家的過(guò)程中，y與尤的函數(shù)表達(dá)式為y=kx+b,

把(20,5000),(45,0)代入得：

f20k+b=5000>解得［k=-200

I45k+b=0lb=9000

；.y=-200x+9000(20WxW45)；

(3)小剛出發(fā)35分鐘時(shí)，即當(dāng)x=35時(shí)，

y=-200X35+9000=2000.

答：此時(shí)他離家2000〃?.

26.(8分)如圖，/XABC內(nèi)接于O。,D是00的直徑AB的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，ZDCB^ZOAC.過(guò)

圓心O作BC的平行線交DC的延長(zhǎng)線于點(diǎn)E.

(1)求證：C￡>是OO的切線；

(2)若CD=4,CE=6,求。。的半徑及tan/OCB的值.

【分析】(1)由等腰三角形的性質(zhì)與己知條件得出,NOC4=NOCB,由圓周角定理可得

NACB=90°,進(jìn)而得到/OC￡)=90°,即可得出結(jié)論；

(2)根據(jù)平行線分線段成比例定理得到四=型=2,設(shè)2O=2x,則0B=0C=3x,0￡>=

OBCE3

O8+8O=5x,在RtZ\OCD中，根據(jù)勾股定理求出x=1,即。0的半徑為3,由平行線的性

質(zhì)得到/OCB=/EOC,在Rtz^OCE中，可求得tan/EOC=2,即tan/OCB=2.

【解答】(1)證明：；。4=OC,

：.ZOAC=ZOCA,

ZDCB^ZOAC,

：.ZOCA^ZDCB,

是。。的直徑，

.'.ZACB=90°,

：.ZOCA+ZOCB=90Q,

：.ZDCB+ZOCB=90a,

即NOCD=90°,

.'.OC±DC,

；OC是00的半徑，

...(7。是。0的切線；

(2)解：,：OE//AC,

?BD=CD

*'0BCE'

VCD=4,CE=6,

?BD_4=2

OB63

設(shè)BO=2x,則0B=0C=3x,0D=OB+BD=5x,

'：OC±DC,

...△OCO是直角三角形，

在RtZXOCZ)中，OCZ+CD2：。。2，

(3X)2+42=(5X)2,

解得，x=],

...OC=3x=3,即。。的半徑為3,

,JBC//OE,

：.ZOCB^ZEOC,

在RtZ\OCE中，tanNEOC=12=2=2,

0C3

tanZOCB—tanZEOC—1.

27.(8分)問(wèn)題解決：如圖1,在矩形ABCQ中，點(diǎn)E,F分別在AB,BC邊上，DE=AF,

DE_LAF于點(diǎn)G.

圖1圖2

(1)求證：四邊形ABCD是正方形；

(2)延長(zhǎng)C8到點(diǎn)使得8H=AE,判斷尸的形狀，并說(shuō)明理由.

類比遷移：如圖2,在菱形ABCD中，點(diǎn)E,尸分別在AB,BC邊上，OE與AF相交于

點(diǎn)G,DE=AF,ZA￡￡>=60°,AE=6,BF=2,求的長(zhǎng).

【分析】(1)根據(jù)矩形的性質(zhì)得/D48=NB=90°,由等角的余角相等可得/AOE=N

BAF,利用A45可得△/!￡>￡?絲尸(A4S),由全等三角形的性質(zhì)得AD^AB,即可得

四邊形ABCO是正方形；

(2)根據(jù)矩形的性質(zhì)得/D4B=NA8H=90°,AB=D4,利用SAS可得△DABgZXAB”

(SAS),由全等三角形的性質(zhì)得AH=DE,由已知OE=AF可得AH=AF,即可得△AHF

是等腰三角形；

(3)延長(zhǎng)CB到點(diǎn)H,使BH=AE=6,連接AH,利用SAS可得△D4E堂△A8H(SAS),

由全等三角形的性質(zhì)得A4=￡>E,NA/B=/Z)EA=60°,由已知QE=A尸可得A”=AF,

可得△AHF是等邊三角形，則AH=HF="B+BF=AE+BF=6+2=8,等量代換可得OE

=AH=S.

【解答】(1)證明：???四邊形ABCQ是矩形，

：.NDAB=/B=90°,

?：DEA.AF,

：.ZDAB=ZAGD=90°,

：.ZBAF+ZDAF=90°,ZADE+ZDAF=9Q°,

：.NADE=NBAF,

"：DE=AF,

：.^ADE^/XBAF(A4S),

：.AD=AB,

?.?四邊形A8CO是矩形，

四邊形ABC。是正方形；

圖1

(2)解：△A/7F是等腰三角形，

理由：???四邊形ABC0是矩形，

...N/MB=NA8H=90°,AB=DA,

?；BH=AE,

:.LDAB9/\ABH(SAS),

：.AH=DE,

'：DE=AF,

：.AH=AF,

...△AH尸是等腰三角形；

(3)解：延長(zhǎng)CB到點(diǎn)4,使B"=AE=6,連接47,

AD

圖2

???四邊形ABC。是菱形，

：.AD//BC,AB=AD,

：.NABH=ZBAD,

,:BH=AE,

:.△DAE"/\ABH(SAS),

：.AH=DE,NA”B=NDE4=60°,

\"DE=AF,

：.AH=AF,

...△A4尸是等邊三角形，

，AH=HF=HB+BF=AE+BF=6+2=8,

：.DE=AH=S.

28.(10分)如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線)，=2/+笈+。與坐標(biāo)軸交于A(0,-2),

2

B(4,0)兩點(diǎn)，直線8C：y=-2x+8交y軸于點(diǎn)C.點(diǎn)O為直線4B下方拋物線上一動(dòng)

點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)。作x軸的垂線，垂足為G,OG分別交直線BC,AB于點(diǎn)E,F.

(1)求拋物線yuM+bx+c的表達(dá)式；

2

(2)當(dāng)GF=2時(shí)，連接BO,求△8OF的面積；

2

(3)①”是)，軸上一點(diǎn)，當(dāng)四邊形BE”F是矩形時(shí)，求點(diǎn)”的坐標(biāo)；

②在①的條件下，第一象限有一動(dòng)點(diǎn)P,滿足PH=PC+2,求△PHB周長(zhǎng)的最小值.

【分析】(1)利用待定系數(shù)法求解即可.

(2)求出點(diǎn)。的坐標(biāo)，可得結(jié)論.

(3)①過(guò)點(diǎn)H作HMLEF于例,證明△EMHgZkf'GB(AAS),推出加，=68,￡70=尸6,由

HM=OG,可得OG=GB=2O8=2,由題意直線AB的解析式為y=L-2,設(shè)E(a,-

22

2a+8),F(a,la-2),根據(jù)MH=BG,構(gòu)建方程求解，可得結(jié)論.

②因?yàn)椤鱌HB的周長(zhǎng)=P4+PB+HB=PC+2+PB+5=PC+PB+7,所以要使得的周長(zhǎng)

最小，只要PC+PB的值最小，因?yàn)镻C+P52BC,所以當(dāng)點(diǎn)尸在BC上時(shí)，PC+PB=BC

的值最小.

【解答】解：(1)：拋物線丫=1>+弧+，過(guò)A(0,-2),B(4,0)兩點(diǎn)，

2

.(c=-2

18+4b+c=0

\_3

解得1b-T,

c=-2

(2)VB(4,0)4(0,-2),

08=4,04=2,

???GF_Lx軸，OA_Lx軸，

在RtABOA和RtZ\8G/中，tan/A80=?a=gL,

OBGB

工

即2=上_,

4GB

，GB=l,

：.OG=OB-GB=4-1=3,

當(dāng)x=3時(shí)，yn=Lx9-3x3-2=-2,

22

.\Z)(3,-2),B|JGD=2,

:.FD=GD-GF=2-A=J.,

22

?*.S/\BDF=A,DF*