專題6.1 數(shù)據的分析【十大題型】（舉一反三）（北師大版）（解析版）

專題6.1數(shù)據的分析【十大題型】【北師大版】TOC\o"1-3"\h\u【題型1求一組數(shù)據的平均數(shù)】 2【題型2根據平均數(shù)求未知數(shù)的值】 3【題型3根據已知的平均數(shù)求相關數(shù)據的平均數(shù)】 5【題型4求一組數(shù)據的眾數(shù)、中位數(shù)】 6【題型5根據眾數(shù)、中位數(shù)求未知數(shù)的值】 10【題型6求一組數(shù)據的方差、標準差、極差】 12【題型7根據方差、標準差、極差求未知數(shù)的值】 15【題型8統(tǒng)計量的選擇】 16【題型9根據方差確定穩(wěn)定性】 18【題型10在統(tǒng)計圖中利用統(tǒng)計量做決策】 21【知識點1平均數(shù)】算術平均數(shù)：加權平均數(shù)：（、…的權分別是、…）【知識點2眾數(shù)與中位數(shù)】眾數(shù)：一組數(shù)據中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據稱為這組數(shù)據的眾數(shù)。中位數(shù)：將一組數(shù)據按由小到大(或由大到小)的順序排列。如果數(shù)據的個數(shù)是奇數(shù)，則稱處于中間位置的數(shù)為這組數(shù)據的中位數(shù)；如果數(shù)據的個數(shù)是偶數(shù)，則稱中間兩個數(shù)據的平均數(shù)為這組數(shù)據的中位數(shù)?！局R點3方差、標準差、極差】方差：方差越大，數(shù)據的波動越大；方差越小，數(shù)據的波動越小。標準差:方差的算術平方根稱為標準差.極差：一組數(shù)據中最大數(shù)據與最小數(shù)據的差.【題型1求一組數(shù)據的平均數(shù)】【例1】（2018·全國·八年級課時練習）某同學使用計算器求30個數(shù)據的平均數(shù)時，錯將其中一個數(shù)據105輸成了15，則由此求出的平均數(shù)與實際平均數(shù)的差是多少？【答案】平均數(shù)與實際平均數(shù)的差是－3.【詳解】試題分析：本題知道30個數(shù)據中的一個的相應誤差，求平均數(shù)的誤差，只需看它對平均數(shù)產生的“影響”．試題解析：該數(shù)據相差105－15＝90，∴平均數(shù)與實際平均數(shù)相差－9030＝－3答：求出的平均數(shù)與實際平均數(shù)的差是－3．【點睛】熟練掌握平均數(shù)的計算．【變式1-1】（2022·上海市羅山中學九年級期中）名額分配綜合評價是2022年上海市高中階段學校的招生錄取方式之一．市實驗性示范性高中將對入圍學生開展現(xiàn)場綜合評價并賦分，為更好保證打分的公平，將以所有打分的截尾平均數(shù)作為考生的分數(shù)，即去掉一個最高分和一個最低分以后的平均分數(shù)．如果7位高中老師的打分如表所示，那么這位學生的現(xiàn)場綜合評價得分是_____分．老師1老師2老師3老師4老師5老師6老師7打分910788910【答案】8.8【分析】先去掉一個最高分和一個最低分，再根據平均數(shù)的計算公式進行計算即可．【詳解】解：去掉一個最高分和一個最低分以后的平均分數(shù)為：15（9+10+8+8+9）＝8.8即這位學生的現(xiàn)場綜合評價得分是8.8分，故答案為：8.8．【點睛】本題考查了游戲公平性以及平均數(shù)的計算，熟練掌握平均數(shù)的計算公式是解題的關鍵．【變式1-2】（2022·湖南邵陽·七年級期末）某校評選先進班集體，從“學習”、“紀律”、“衛(wèi)生”、“活動參與”四個方面考核打分，各項滿分均為100分．七年級3班這四項得分（單位：分）如下表：項目學習紀律衛(wèi)生活動參與得分（分）90828580若把“學習”、“紀律”、“衛(wèi)生”、“活動參與”的得分按5∶2∶2∶1計算總得分，則七年級3班總得分為________．【答案】86.4【分析】根據各個方面得分的比例關系，計算出各個方面分數(shù)的加權平均數(shù)即可．【詳解】解：七年級3班總得分：90×5+82×2+85×2+80故答案為：86.4【點睛】本題主要考查了加權平均數(shù)，熟練地掌握加權平均數(shù)的含義并能夠正確計算一組數(shù)據的加權平均數(shù)是解題的關鍵．【變式1-3】（2022·山東菏澤·八年級期末）若數(shù)據a，b，c的平均數(shù)是2，數(shù)據d，e平均數(shù)是4，則a，b，c，4，d，e這組數(shù)據的平均數(shù)是______．【答案】3【分析】根據平均數(shù)的定義求得a+b+c=6，d+e=8，根據平均數(shù)的求解方法求解即可．【詳解】解：由數(shù)據a，b，c的平均數(shù)是2，數(shù)據d，e平均數(shù)是4，可得a+b+c=6，d+e=8，則a，b，c，4，d，e這組數(shù)據的平均數(shù)為16故答案為：3【點睛】此題考查了求解平均數(shù)，解題的關鍵是利用平均數(shù)的求解方法正確求得a+b+c=6，d+e=8．【題型2根據平均數(shù)求未知數(shù)的值】【例2】（2020·寧夏吳忠·八年級期末）下表是某學習小組一次數(shù)學測驗的成績統(tǒng)計表：分數(shù)708090100人數(shù)13x1已知該小組本次數(shù)學測驗的平均分是85分，則x＝_____．【答案】3【分析】利用加權平均數(shù)的計算公式列出方程求解即可．【詳解】解：由題意，得70+80×3+90x+100＝85×(1+3+x+1)，解得x＝3．故答案為3．【點睛】本題考查了加權平均數(shù)的計算和列方程解決問題的能力，解題的關鍵是利用加權平均數(shù)列出方程．【變式2-1】（2022·湖南長沙·八年級期末）已知一組數(shù)據2，4，3，5，a，3的平均數(shù)是3，則a的值為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】A【分析】平均數(shù)是指在一組數(shù)據中所有數(shù)據之和再除以數(shù)據的個數(shù)．它是反映數(shù)據集中趨勢的一項指標，根據平均數(shù)的概念列式求解即可得到結論．【詳解】解：由題意可得，平均數(shù)3=16×（故選：A．【點睛】本題考查了算術平均數(shù)，正確理解算術平均數(shù)的意義及求解公式是解決問題的關鍵．【變式2-2】（2022·湖北宜昌·八年級期末）國家統(tǒng)計局2022年6月10日公布了2022年1至5月全國居民消費價格指數(shù)上漲為1.5%，其中城市上漲1.6%，農村上漲1.2%，請問在全國居民消費價格指數(shù)構成中，城市的權重為__________．（百分比）【答案】57【分析】根據城市上漲1.6%，農村上漲1.2%可得相應方程，列式計算即可．【詳解】解：設城市的權重為x，根據題意得：x=1.6故答案為：57％【點睛】本題考查權重的意義，根據權重的意義列式計算是解題的關鍵．【變式2-3】（2021·重慶巴南·八年級期末）已知某班共有學生50人，其中男生30人．若該班學生的平均身高是168cm，女生的平均身高是157.5cm，則該班男生的平均身高是a?cm，這里的【答案】175【分析】設30名男生的平均身高為acm，根據平均數(shù)的定義，列出方程即可解決問題．【詳解】解：某班共有50名學生，其中30名男生，20名女生，平均身高為168cm；設30名男生的平均身高為acm，則有：30a+20×157.550=168解得a=175（cm）．故答案為：175．【點睛】本題考查的是加權平均數(shù)的應用．本題易出現(xiàn)的錯誤是對157.5，168這兩個平均數(shù)的理解不正確．【題型3根據已知的平均數(shù)求相關數(shù)據的平均數(shù)】【例3】（2022·全國·九年級單元測試）若已知數(shù)據x1，x2，x3的平均數(shù)為a，那么數(shù)據2x1+1，2x2+1【答案】2a+1##1+2a【分析】根據平均數(shù)的性質知，要求2x1+1，2x2+1，2x【詳解】解：∵數(shù)x1、x2、x3∴數(shù)2x1+1，2=2=2a+1．故答案為2a+1．【點睛】本題考查的是樣本平均數(shù)的求法．解決本題的關鍵是用一組數(shù)據的平均數(shù)表示另一組數(shù)據的平均數(shù)．【變式3-1】（2022·河南新鄉(xiāng)·八年級期末）x1，x2，…，x20的平均數(shù)為m，x21，x22，…，x66的平均數(shù)為n，則x1，xA．m+n B．m+n2 C．10m+33n43 D【答案】D【分析】利用平均數(shù)的定義直接求解．平均數(shù)：是指一組數(shù)據中所有數(shù)據之和再除以數(shù)據的個數(shù)．【詳解】解：∵x1，x2，…，x20的平均數(shù)為m，x21，x22，…，x66的平均數(shù)為n，∴x1，x2，…，x20的和為20m，x21，x22，…，x66的和為46n，，∴x1，x2，…，x66的平均數(shù)為20m+46n66故選D．【點睛】本題考查了求一組數(shù)據的平均數(shù)，掌握平均數(shù)的定義是解題的關鍵．【變式3-2】（2022·河北·邢臺市開元中學八年級階段練習）已知一組數(shù)據x1、x2、x3、x4、x5的平均數(shù)是5，則另一組新數(shù)組x1+1、x2+2【答案】8【分析】根據原數(shù)據的平均數(shù)為5，計算所有原數(shù)據的總和為25，即可求出新數(shù)據的平均數(shù)．【詳解】∵x1、x2、x3、x4∴x∴新數(shù)據的平均數(shù)為：x1故答案為：8．【點睛】本題考查了平均數(shù)，解題關鍵是熟記平均數(shù)公式：平均數(shù)=所有數(shù)的總和÷數(shù)的個數(shù)．【變式3-3】（2022·浙江杭州·八年級期中）已知數(shù)據1，2，3，4的平均數(shù)為k1；數(shù)據5，6，7，8的平均數(shù)為k2；k1與k2的平均數(shù)是k；數(shù)據1，2，3，4，5，6，7，8的平均數(shù)為m，那么k與A．k>m B．k=m C．k<m D．不能確定【答案】B【分析】根據平均數(shù)的定義可得1+2+3+4=4k1，5+6+7+8=4k2，從而得到【詳解】解：∵數(shù)據1，2，3，4的平均數(shù)為k1；數(shù)據5，6，7，8的平均數(shù)為k∴1+2+3+4=4k1，∴1+2+3+4+5+6+7+8=4k∴m=1∵k1與k2的平均數(shù)是∴k=1∴k=m．故選：B【點睛】本題主要考查了求平均數(shù)，熟練掌握平均數(shù)等于數(shù)據的總和除以數(shù)據的個數(shù)是解題的關鍵．【題型4求一組數(shù)據的眾數(shù)、中位數(shù)】【例4】（2021·四川省成都市七中育才學校八年級期末）為增強學生的身體素質，教育行政部門規(guī)定學生每天參加戶外活動的平均時間不少于1小時，為了了解學生參加戶外活動的情況，學校對部分學生參加戶外活動的時間進行了抽樣調查，并將調查結果繪制成如下兩幅不完整的統(tǒng)計圖，請根據圖中提供的信息解答下列問題：（1）本次調查中共調查了多少名學生？（2）本次調查中戶外活動時間為1.5小時的人數(shù)為______人，請補全條形統(tǒng)計圖；（3）本次調查中戶外活動時間的眾數(shù)是______小時，中位數(shù)是______小時．【答案】（1）100名；（2）30；圖形見解析；（3）1，1．【分析】（1）用0.5小時的人數(shù)除以其所占百分比可得調查的總人數(shù)；（2）用總人數(shù)減去各時間段人數(shù)，進而得出戶外活動時間為1.5小時的人數(shù)；（3）利用條形統(tǒng)計圖以及眾數(shù)與中位數(shù)定義得出答案．【詳解】解：（1）調查的總人數(shù)是：20÷20%=100（人)，答：本次調查中共調查了100名學生；（2）本次調查中戶外活動時間為1.5小時的人數(shù)為：100-20-40-10=30（人)，如圖所示：，故答案為：30；（3）∵由條形統(tǒng)計圖得出參加戶外活動1小時的人數(shù)最多，∴本次調查中戶外活動時間的眾數(shù)是1小時，∵按大小排列后100個數(shù)據的中間是第50和第51個數(shù)據的平均數(shù)，而第50和第51個數(shù)據都是1小時，∴中位數(shù)是1小時．故答案為：1，1．【點睛】本題考查的是條形統(tǒng)計圖和扇形統(tǒng)計圖的綜合運用，解題的關鍵是讀懂統(tǒng)計圖，從不同的統(tǒng)計圖中得到必要的信息，同時要知道條形統(tǒng)計圖能清楚地表示出每個項目的數(shù)據；扇形統(tǒng)計圖直接反映部分占總體的百分比大?。咀兪?-1】（2022·山東德州·八年級期末）一組從小到大排列的數(shù)據為：1，5，x，y，2x，12的平均數(shù)與中位數(shù)都是7，則這組數(shù)的眾數(shù)是________．【答案】5【分析】根據平均數(shù)與中位數(shù)的定義可以先求出x，y的值，進而就可以得出這一組數(shù)，最后求眾數(shù)即可．【詳解】∵1，5，x，y，2x，12的平均數(shù)與中位數(shù)都是7，∴1∴x=5∴這一組數(shù)據為：1，5，5，9，10，12∴這一組數(shù)據為1，5，5，9，10，12眾數(shù)為5故答案為：5【點睛】本題主要考查平均數(shù)、眾數(shù)與中位數(shù)的定義，平均數(shù)是指在一組數(shù)據中所有數(shù)據之和再除以數(shù)據的個數(shù)．中位數(shù)是將一組數(shù)據從小到大（或從大到小）重新排列后，最中間的那個數(shù)（最中間兩個數(shù)的平均數(shù)），叫做這組數(shù)據的中位數(shù)，如果中位數(shù)的概念掌握得不好，不把數(shù)據按要求重新排列，就會出錯．一組數(shù)據中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據叫做眾數(shù)．【變式4-2】（2022·全國·九年級單元測試）小明統(tǒng)計了某校八年級（3）班五位同學每周課外閱讀的平均時間，其中四位同學每周課外閱讀時間分別是5小時、8小時、10小時、4小時，第五位同學每周的課外閱讀時間既是這五位同學每周課外閱讀時間的中位數(shù)，又是眾數(shù)，則第五位同學每周課外閱讀時間是（

）A．5小時 B．8小時 C．5或8小時 D．5或8或10小時【答案】C【分析】利用眾數(shù)及中位數(shù)的定義解答即可．【詳解】解：當?shù)谖逦煌瑢W的課外閱讀時間為4小時時，此時五個數(shù)據為4,4,5,8,10，眾數(shù)為4，中位數(shù)為5，不合題意；當?shù)谖逦煌瑢W的課外閱讀時間為5小時時，此時五個數(shù)據為4,5,5,8,10，眾數(shù)為5，中位數(shù)為5，符合題意；當?shù)谖逦煌瑢W的課外閱讀時間為8小時時，此時五個數(shù)據為4,5,8,8,10，眾數(shù)為8，中位數(shù)為8，符合題意；當?shù)谖逦煌瑢W的課外閱讀時間為10小時時，此時五個數(shù)據為4,5,8,10,10，眾數(shù)為10，中位數(shù)為8，不合題意；故第五位同學的每周課外閱讀時間為5或8小時．故答案為C．【點睛】本題考查了眾數(shù)及中位數(shù)的概念，解題的關鍵是根申請題意，并結合題意分類討論解答．【變式4-3】（2022·陜西·武功縣教育局教育教學研究室九年級階段練習）2022年8月14日，青海玉樹雜多縣發(fā)生5.9級地震，為救助災區(qū)，某校學生會向全校學生發(fā)起了愛心捐款活動，為了解捐款情況，學生會隨機調查了部分學生的捐款金額，并用得到的數(shù)據繪制了如下不完整的統(tǒng)計圖1和圖2．請根據相關信息，解答下列問題：(1)本次抽取的學生捐款的眾數(shù)是______元，中位數(shù)是______元，并補全條形統(tǒng)計圖；(2)求本次抽取的學生捐款的平均金額；(3)若該校有1800名學生，根據以上信息，估計該校本次活動捐款金額為20元的學生有多少人．【答案】(1)10，15，圖見解析(2)16元(3)360人【分析】（1）從兩個統(tǒng)計圖中可以得到捐款5元的4人占調查人數(shù)的8%，即可求出調查人數(shù)，再算出扣款15元的人數(shù)，再根據眾數(shù)、中位數(shù)的意義，可以得出中位數(shù)、眾數(shù)，最后補全條形統(tǒng)計圖；（2）根據統(tǒng)計圖可以得到本次調查獲取的樣本數(shù)據的平均數(shù)；（3）根據眾數(shù)、中位數(shù)的意義，可以得出中位數(shù)、眾數(shù)；（4）用1800乘以32%可得出結果．（1）共調查了4÷8%=50人，50×24%=12人，捐款10元有16人，出現(xiàn)次數(shù)最多，因此眾數(shù)為10元，從大到小排列后處在第25、26位的數(shù)都是15元，因此中位數(shù)是15元，補全條形統(tǒng)計圖如圖所示：故答案為：10，15，（2）本次抽取的學生捐款的平均金額為5×4+10×16+15×12+20×10+30×84+16+12+10+8（3）1800×10答：估計該校本次活動捐款金額為20元的學生有360人．【點睛】考查條形統(tǒng)計圖、扇形統(tǒng)計圖的制作方法和特點、眾數(shù)、中位數(shù)的意義，以及樣本估計總體的統(tǒng)計方法，理解統(tǒng)計圖中數(shù)量之間的關系是解決問題的關鍵．【題型5根據眾數(shù)、中位數(shù)求未知數(shù)的值】【例5】（2020·浙江·溫州外國語學校八年級階段練習）有11個正整數(shù)，平均數(shù)是10，中位數(shù)是9，眾數(shù)只有一個8，問最大的正整數(shù)最大為（

）A．25 B．30 C．35 D．40【答案】C【分析】最大數(shù)出現(xiàn)的條件就是前面10個數(shù)的和盡可能小，而它們的和是110，中間的是9，則其它的越小，剩下的就越大，但是8的個數(shù)要多于其它的，可分8的個數(shù)分別是2，3，4，5時，討論寫出符合條件的數(shù)據即得答案．【詳解】解：∵有11個正整數(shù)，平均數(shù)是10，∴這11個數(shù)的和為110，由于中位數(shù)是9，眾數(shù)只有一個8，如有兩個8，則其他數(shù)至多1個，符合條件的數(shù)據可以是：1，2，3，8，8，9，10，11，12，13，x；如有3個8，9是中位數(shù)，則其他數(shù)至多2個，符合條件的數(shù)據可以是：1，1，8，8，8，9，9，10，10，11，x；如有4個8，則其他數(shù)至多3個，符合條件的數(shù)據可以是：1，8，8，8，8，9，9，9，10，10，x；如有5個8，則其他數(shù)至多4個，符合條件的數(shù)據可以是：8，8，8，8，8，9，9，9，9，10，x；再根據其和為110，比較上面各組數(shù)據中哪個x更大即可，通過計算x分別為33，35，30，24，故最大的正整數(shù)為35．故選：C．【點睛】本題主要考查了眾數(shù)、平均數(shù)以及中位數(shù)的運用，解題時注意：一組數(shù)據中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)據叫做眾數(shù)．將一組數(shù)據按照從小到大（或從大到?。┑捻樞蚺帕?，則處于中間位置的數(shù)（或中間位置的兩個數(shù)的平均數(shù)）就是這組數(shù)據的中位數(shù)．【變式5-1】（2022·江蘇·九年級專題練習）五個正整數(shù)，中位數(shù)是4，眾數(shù)是6，則這五個正整數(shù)的平均數(shù)是______．【答案】195或4或【分析】首先根據眾數(shù)與中位數(shù)的意義，推出這五個數(shù)據，再由平均數(shù)的意義得出結果．【詳解】解：據題意得，此題有三個數(shù)為4，6，6；又因為一組數(shù)據由五個正整數(shù)組成，所以另兩個為1，2或2，3或1，3；所以這五個正整數(shù)的平均數(shù)是1+2+4+6+65或1+3+4+6+65或2+3+4+6+65故答案為：195或4或21【點睛】本題為統(tǒng)計題，考查平均數(shù)、眾數(shù)與中位數(shù)的意義，解題時要注意理解題意，要細心，不要漏解．平均數(shù)：是指一組數(shù)據中所有數(shù)據之和再除以數(shù)據的個數(shù)；中位數(shù)：把一組數(shù)據按從小到大的順序排列，在中間的一個數(shù)字(或者兩個數(shù)字的平均值)叫做這組數(shù)據的中位數(shù)；眾數(shù)：在一組數(shù)據中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)．【變式5-2】（2022·全國·九年級單元測試）已知一組從小到大排列的整數(shù)：x，3，y，2x，4，有唯一的眾數(shù)4，則這組數(shù)據的中位數(shù)是______．【答案】4【分析】根據題意，可假設x分別為0、1、2、3，代入原數(shù)中判斷即可得出答案．【詳解】∵這列數(shù)都為整數(shù)，且已從小到大排列，有唯一眾數(shù)4，∴假設x＝0、1、2、3，當x＝0時，原數(shù)分別為0，3，y，0，4，不符合題意；當x＝1時，原數(shù)分別為1，3，y，2，4，不符合題意；當x＝2時，原數(shù)分別為2，3，y，4，4，符合題意，此時中位數(shù)為y，①當y＝3時，原數(shù)分別為2，3，3，4，4，不符合題意；②當y＝4時，原數(shù)分別為2，3，4，4，4，符合題意；當x＝3時，原數(shù)分別為3，3，y，6，4，不符合題意．故答案為：4．【點睛】本題考查眾數(shù)與中位數(shù)，一列數(shù)據中，出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)是眾數(shù)；一組數(shù)據從小到大排列，當數(shù)據是奇數(shù)個時，中間的那個數(shù)是中位數(shù)，當數(shù)據是偶數(shù)個時，中間的兩個數(shù)的平均數(shù)就是中位數(shù)，熟練掌握相關概念并正確理解題意是解題的關鍵．【變式5-3】（2019·江西·八年級期末）若五個整數(shù)由小到大排列后，中位數(shù)為4，唯一的眾數(shù)為2，則這組數(shù)據之和的最小值是_____．【答案】19【分析】根據“五個整數(shù)由小到大排列后，中位數(shù)為4，唯一的眾數(shù)為2”，可知此組數(shù)據的第三個數(shù)是4，第一個和第二個數(shù)是2，據此可知當?shù)谒膫€數(shù)是5，第五個數(shù)是6時和最小.【詳解】∵中位數(shù)為4∴中間的數(shù)為4，又∵眾數(shù)是2∴前兩個數(shù)是2，∵眾數(shù)2是唯一的，∴第四個和第五個數(shù)不能相同，為5和6，∴當這5個整數(shù)分別是2，2，4，5，6時，和最小，最小是2+2+4+5+6=19，故答案為19.【點睛】本題考查中位數(shù)和眾數(shù)，能根據中位數(shù)和眾數(shù)的意義進行逆向推理是解決本題的關鍵.在讀題時需注意“唯一”的眾數(shù)為2，所以除了兩個2之外其它的數(shù)只能為1個.【題型6求一組數(shù)據的方差、標準差、極差】【例6】（2020·浙江溫州·八年級期中）已知數(shù)據x1,x2,?,xn的平均數(shù)是2A．2,1.6 B．2,2105 C．6,0.4 D．【答案】D【分析】根據平均數(shù)和方差公式直接計算即可求得．【詳解】解：∵x∴1nS2S=0.1×16=1.6，∴S4x-2故選：D．【點睛】本題考查了方差和平均數(shù)，靈活利用兩個公式，進行準確計算是解答的關鍵．【變式6-1】（2019·山東·八年級課時練習）一組數(shù)據-8，-4，5，6，7，7，8，9的極差是______，方差是_____，標準差是______．【答案】

17

34

34【分析】根據極差的定義、方差及標準差的計算公式解答即可.【詳解】數(shù)據-8，-4，5，6，7，7，8，9的極差是：9-（-8）=17；數(shù)據-8，-4，5，6，7，7，8，9的平均數(shù)是：18（-8-4+5+6+7+7+8+9）=15方差為：S2=標準差為：S=34.故答案為17；34；34.【點睛】本題考查了極差、方差及標準差的計算，熟記極差的定義、方差及標準差的計算公式是解決問題的關鍵.【變式6-2】（2019·湖北鄂州·八年級期末）一組數(shù)據：3、4、4、5，若添加一個數(shù)4，則發(fā)生變化的統(tǒng)計量是(

)A．平均數(shù) B．眾數(shù) C．中位數(shù) D．標準差【答案】D【分析】依據平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、標準差的定義和公式分別計算新舊兩組數(shù)據的平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、標準求解即可．【詳解】原數(shù)據的3，4，4，5的平均數(shù)為3+原數(shù)據的中位數(shù)為4+原數(shù)據的眾數(shù)為4，標準差為S=新數(shù)據3，4，4，4，5的平均數(shù)為3+新數(shù)據3，4，4，4，5的中位數(shù)為4，新數(shù)據3，4，4，4，5的眾數(shù)為4，新數(shù)據3，4，4，4，5的標準差為S=∴添加一個數(shù)據4，標準差發(fā)生變化，故選D．【點睛】本題主要考查的是眾數(shù)、中位數(shù)、方差、平均數(shù)，熟練掌握相關概念和公式是解題的關鍵．【變式6-3】（2022·江蘇·九年級專題練習）已知一組數(shù)據x1，x2，x3，x4，x5的方差是14，那么另一組數(shù)據2x1－2，2x2－2，2x3－2，2x4－2，2x5－2的方差是____________【答案】1【分析】根據方差的變化規(guī)律可得：數(shù)據2x1－2，2x2－2，2x3－2，2x4－2，2x5－2的方差是22【詳解】解：∵x1，x2，x3，x4，x5的方差是:14∴另一組數(shù)據2x1，2x2，2x3，2x4，2x5的方差是:22∴另一組數(shù)據2x1－2，2x2－2，2x3－2，2x4－2，2x5－2的方差是:1；故答案為：1．【點睛】本題考查了方差的知識，掌握當數(shù)據都加上一個數(shù)（或減去一個數(shù)）時，方差不變，即數(shù)據的波動情況不變；當數(shù)據都乘以一個數(shù)（或除以一個數(shù)）時，方差變?yōu)檫@個數(shù)的平方倍是解題的關鍵．【題型7根據方差、標準差、極差求未知數(shù)的值】【例7】（2020·內蒙古農業(yè)大學附屬秋實中學八年級階段練習）已知一組數(shù)據x,y,8,9,10的平均數(shù)為9，方差為2，則xy的值為__________．【答案】77【分析】根據平均數(shù)和方差的計算公式得到關于x、y的等式，再經過一定的變形可以得到解答．【詳解】解：由題意，8+9+10+x+y5=9,所以x+y+27=45又由題意，(x-9)2+y-9所以，x2+所以，xy=(x+y)故答案為77．【點睛】本題考查平均數(shù)和方差的綜合應用，靈活運用平均數(shù)和方差的計算公式是解題關鍵．【變式7-1】（2019·江蘇宿遷·九年級階段練習）如果一組數(shù)據－2，0，1，3，x的極差是7，那么x的值是___________．【答案】5或-4，【分析】根據極差的定義求解．分兩種情況：x為最大值或最小值．【詳解】一組數(shù)據－2，0，1，3，x的極差是7，當x為最大值時，x-（-2）=7，解得x=5；當x是最小值時，3-x=7，解得：x=-4．故答案為5或-4．【點睛】此題主要考查了極差的定義，正確理解極差的定義，能夠注意到應該分兩種情況討論是解決本題的關鍵．【變式7-2】（2021·湖南長沙·九年級專題練習）小明用s2=110【答案】60【分析】先根據方差的計算公式可得這組數(shù)據的平均數(shù)，再利用平均數(shù)的計算公式即可得．【詳解】由題意得：這組數(shù)據的平均數(shù)為6，則x1解得x1故答案為：60．【點睛】本題考查了方差與平均數(shù)的計算公式，熟記公式是解題關鍵．【變式7-3】（2022·江蘇宿遷·一模）已知一組數(shù)據的方差S2＝15[（6﹣10）2+（9﹣10）2+（a﹣10）2+（11﹣10）2+（b﹣10）2]＝6.8，則a2+b2的值為_____【答案】296【分析】先根據方差公式得出平均數(shù)為10，進而求出a+b=24，再根據方程公式計算得到a-102【詳解】解：∵一組數(shù)據的方差S2＝15[（6﹣10）2+（9﹣10）2+（a﹣10）2+（11﹣10）2+（b﹣10）2]＝6.8∴這組數(shù)據的的平均數(shù)是10，∴6+9+a+11+b5∴a+b=24，∵S2＝15[（6﹣10）2+（9﹣10）2+（a﹣10）2+（11﹣10）2+（b﹣10）2]＝6.8∴16+1+a-10即a-102∴a2∴a2故答案為：296【點睛】本題考查了一組數(shù)據的方差公式，完全平方公式，理解方差公式意義是解題關鍵．【題型8統(tǒng)計量的選擇】【例8】（2022·廣西·柳州市柳江中學八年級期末）為了迎接第二十四屆冬季奧林匹克運動會開幕式的召開，某班11名學生參加了“我們參與冬奧會”知識競賽，前5名獲獎參加比賽且他們所得的分數(shù)互不相同．某同學知道自己的比賽分數(shù)后，要判斷自己能否獲獎，在這11名同學成績的統(tǒng)計量中只需要知道一個量，它是（

）A．眾數(shù) B．方差 C．中位數(shù) D．平均數(shù)【答案】C【分析】由于比賽設置了5個獲獎名額，共有11名選手參加，故應根據中位數(shù)的意義分析．【詳解】解：因為5位獲獎者的分數(shù)肯定是11名參賽選手中最高的，而且11個不同的分數(shù)按從小到大排序后，中位數(shù)及中位數(shù)之后的共有5個數(shù)，故只要知道自己的分數(shù)和中位數(shù)就可以知道是否獲獎了．故選：C．【點睛】此題主要考查統(tǒng)計的有關知識，主要包括平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、方差的意義．反映數(shù)據集中程度的統(tǒng)計量有平均數(shù)、中位數(shù)、眾數(shù)、方差等，各有局限性，因此要對統(tǒng)計量進行合理的選擇和恰當?shù)倪\用．【變式8-1】（2021·湖南·長沙市第二十一中學八年級期末）一鞋店試銷一種新款女鞋，試銷期間賣出情況如下表：型號2222.52323.52424.525數(shù)量/雙351015832鞋店經理最關心哪種型號的鞋最暢銷，則下列統(tǒng)計量最有意義的是（

）．A．平均數(shù) B．眾數(shù) C．中位數(shù) D．方差【答案】B【分析】眾數(shù)是一組數(shù)據中出現(xiàn)次數(shù)最多的數(shù)，可能不止一個，對這個鞋店的經理來說，他最關注的是數(shù)據的眾數(shù)．【詳解】解：對這個鞋店的經理來說，他最關注的是哪一型號的賣得最多，即是這組數(shù)據的眾數(shù)．故選：B．【點睛】本題考查學生對統(tǒng)計量的意義的理解與運用，解題關鍵是對統(tǒng)計量進行合理的選擇和恰當?shù)倪\用．【變式8-2】（2022·四川成都·八年級期末）某學校招聘一名教師，對甲、乙、丙三名候選人進行了筆試、面試測試，他們的各項測試成績如表所示，根據要求，學校將筆試、面試得分按6：4的比例確定各人的最后成績，然后錄用得分最高的候選人，最終被錄用的是_____．項目測試成績甲乙丙筆試807075面試809085【答案】甲【分析】根據加權平均數(shù)的概念分別計算出三人的得分，從而得出答案．【詳解】解：甲的最后成績?yōu)椋?0×6+80×46+4乙的最后成績?yōu)椋?0×6+90×46+4丙的最后成績?yōu)椋?5×6+85×46+4∵80>∴最終被錄用的是甲，故答案為：甲．【點睛】本題主要考查了加權平均數(shù)，解題的關鍵是掌握加權平均數(shù)的定義．【變式8-3】（2022·福建·莆田八中八年級期末）為了方便市民出行，打造健康莆田，莆田市政府推出“YouBike微笑自行車”的社會公共服務項目．微笑自行車運營管理公司經過調查獲得關于微笑自行車租用騎行時間的數(shù)據，并由此制定了收費標準：若每次租用單車騎行a小時以內，則不收取費用；若超過a小時后，超過部分每小時收費1元．為保證不少于50%的騎行是免費的，自行車運營管理公司應從此次調查得到的騎行時間的數(shù)據中，選取下列哪個統(tǒng)計了作為a的值（

）A．平均數(shù) B．眾數(shù) C．中位數(shù) D．方差【答案】C【分析】根據中位數(shù)的意義求解即可．【詳解】解：∵要保證不少于50%的騎行是免費的，而中位數(shù)是這組數(shù)據最中間的數(shù)或最中間2個數(shù)的平均數(shù)∴選取中位數(shù)作為a的值最合適，故選：C．【點睛】本題主要考查統(tǒng)計量的選擇，解題的關鍵是掌握中位數(shù)的意義．【題型9根據方差確定穩(wěn)定性】【例9】（2022·福建·福清康輝中學八年級期末）甲乙兩人六次參加射擊訓練的成績(單位：環(huán))分別如下：甲：7，7，8，8，9，9；乙：6，8，8，8，8，10.則甲乙兩人中射擊成績更穩(wěn)定的是______．【答案】甲【分析】先分別求出甲、乙的平均數(shù)和方差，然后再根據方差的意義解答即可．【詳解】解：x-x-s甲s乙∵x-甲∴甲乙兩人中射擊成績更穩(wěn)定的是甲．故答案為：甲．【點睛】本題主要考查了方差的定義：一般地設n個數(shù)據，x1，x2，…xn的平均數(shù)為【變式9-1】（2022·全國·九年級單元測試）從平均身高和方差這兩個因素來判斷甲、乙兩支儀仗隊隊員的身高整齊程度．已知每支儀仗隊各10名隊員，其中甲隊隊員身高的平均數(shù)是178cm，方差1.8；乙隊隊員身高（單位：cm）如下：178，177，179，178，178，179，177，178，177，179．那么可以判斷________支儀仗隊隊員的身高更整齊．【答案】乙【分析】利用方差的意義求解即可．【詳解】解：x乙

S

+（179-178∵甲隊隊員身高的平均數(shù)是178cm，方差1.8，乙隊隊員身高的平均數(shù)是178cm，方差0.6，∴甲、乙兩隊隊員身高的平均數(shù)相同，甲的方差大于乙的方差，∴乙支儀仗隊隊員的身高更整齊．【點睛】本題考查了方差，解題的關鍵是掌握方差是反映一組數(shù)據的波動大小的一個量，方差越大，則平均值的離散程度越大，穩(wěn)定性也越?。环粗?，則它與其平均值的離散程度越小，穩(wěn)定性越好．【變式9-2】（2022·北京朝陽·八年級期末）某市2021年和2022年5月1日至5日每日最高氣溫（單位：℃）如下表：1日2日3日4日5日2021年22222424252022年2726313330則這五天的最高氣溫更穩(wěn)定的是______年（填“2021”或“2022”）．【答案】2021【分析】分別計算出這兩年的方差，即可判斷．【詳解】解：2021年的平均數(shù)22+22+24+24+255=23.4，方差=152022年的平均數(shù)=27+26+31+33+305=29.4，方差=1∵1.44<6.64，∴2021年的最高氣溫更穩(wěn)定，故答案為：2021．【點睛】此題考查了根據方差判斷穩(wěn)定性，正確掌握平均數(shù)的計算公式及方差的計算公式是解題的關鍵．【變式9-3】（2022·福建·平潭第一中學八年級期末）我市某中學舉辦“網絡安全知識競賽”，初、高中部根據初賽成績各選出5名選手組成初中代表隊和高中代表隊參加學校決賽，兩個隊各選出的5名選手的決賽成績如圖所示：平均分（分）中位數(shù)（分）眾數(shù)（分）方差初中部a85bs高中部85c100160(1)根據圖示求出a，b，c的值；(2)結合兩隊成績的平均數(shù)和中位數(shù)進行分析，哪個隊的決賽成績較好？(3)計算初中代表隊決賽成績的方差s2【答案】(1)a=85，b=85，c=80(2)初中部(3)初中部【分析】（1）根據平均數(shù)、眾數(shù)、中位數(shù)的定義進行求解即可；（2）根據兩隊成績的平均數(shù)和中位數(shù)，從中位數(shù)的意義分析即可求解；（3）根據方差計算公式求得初中代表隊的成績的方差，與高中部的成績的方差作比較即可求解．（1）解：平均分a=75+80+85+85+1005=85高中5名選手的成績分別為70，75，80，100，100，故中位數(shù)c=80；（2）由表格知初中部和高中部的平均分相同，但是初中部的中位數(shù)高，故初中部決賽成績較好．（3）s初中∵s∴初中代表隊比較穩(wěn)定．【點睛】本題考查了條形統(tǒng)計圖，求平均數(shù)，眾數(shù)，中位數(shù)的意義，求方差，根據方差判斷穩(wěn)定性，從統(tǒng)計圖中獲取數(shù)據是解題的關鍵．【題型10在統(tǒng)計圖中利用統(tǒng)計量做決策】【例10】（2022·江西·尋烏縣教育局教學研究室二模）2022年4月15日是第七個“全民國家安全教育日”，為迎接黨的二十大勝利召開，同時樹立同學們的國家安全觀、感悟新時代國家安全成就感．尋烏縣第三中學組織七、八年級學生開展了以“國家安全我的責任”為主題的學習活動，并對此次學習結果進行了測試，調查小組從這兩個年級中各隨機抽取了相同數(shù)量學生的測試成績（分數(shù)用x表示，單位：分），并對這些數(shù)據進行整理、描述和分析，下面給出了部分信息．c．扇形統(tǒng)計圖中，80≤x<90分的成績：80808386．d．相關統(tǒng)計量如下：平均數(shù)中位數(shù)眾數(shù)七年級78.97876八年級79.180根據以上信息，解答下列問題：(1)本次共抽取七年級學生______人，補全頻數(shù)分布直方圖；(2)八年級學生李賢的分數(shù)為79分，他說自己在本年級的排名在前50%，請你判斷他的說法是否正確，并說明理由；(3)結合相關統(tǒng)計量說明，你認為哪個年級的學生此次測試的成績更好，并說明理由；(4)為了提高學生學習法律知識的積極性，學校決定對本次成績不低于90分的學生進行獎勵，已知該校七、八年級人數(shù)均為500人，估計七、八年級學生中可以獲得獎勵的人數(shù)？【答案】(1)10，補全的頻數(shù)分布直方圖見解析(2)李賢的說法錯誤，理由見解析(3)八年級學生此次測試的成績更好，理由見解析(4)估計七、八年級的學生中可以獲得獎勵的有250人【分析】（1）根據八年級80≤x<90的所占百分比及人數(shù)可求出樣本容量，然后問題可求解；（2）根據中位數(shù)可進行求解；（3）根據平均數(shù)、眾數(shù)及中位數(shù)可進行求解；（4）由題意可直接進行求解．（1）解：由扇形統(tǒng)計圖中，80≤x<90的這一組數(shù)據所占的百分比是1-20％∴七年級和八年級抽取的樣本容量都是4÷40％∴七年級中90≤x≤100的人數(shù)為：10-2-3-2=3(人)．補全頻數(shù)分布直方圖如下：（2）李賢的說法錯誤，理由．由扇形統(tǒng)計圖可知，八年級學生測試成績的中位數(shù)在80≤x<90這一組，根據此組數(shù)據得八年級學生測試成績的中位數(shù)是80+802∵79<80，∴李賢的成績不在本年級排名的前50%，李賢的說法錯誤．（3）答：八年級學生此次測試的成績更好，理由：八年級分數(shù)的平均數(shù)、中位數(shù)和眾數(shù)均高于七年級．（4）解：500×310+500×20％答：估計七、八年級的學生中可以獲得獎勵的有250人．【點睛】本題主要考查頻數(shù)分布直方圖、中位數(shù)、眾數(shù)及中位數(shù)，熟練掌握頻數(shù)分布直方圖、中位數(shù)、眾數(shù)及中位數(shù)是解題的關鍵．【變式10-1】（2022·重慶八中九年級階段練習）某校為了解學生對重慶歷史文化的了解程度，舉辦了歷史文化知識問答競賽．現(xiàn)從八、九年級中各隨

機抽取20名學生的知識競賽分數(shù)（滿分100分，分數(shù)用x表示，共分成四組：A．95≤x≤100，B．90≤x<95，C．80≤x<90，D．0≤x<80）進行整理、描述、分析，其中分數(shù)不低于90分為優(yōu)秀，下面給出部分信息：八年級隨機抽取20名學生的知識競賽成績分數(shù)是：65，80，81，84，87，88，90，90，91，91，92，92，92，97，97，98，98，99，100，100九年級隨機抽取20名學生的知識競賽分數(shù)中，A、D兩組數(shù)據個數(shù)相等，B、C兩組的數(shù)據是：88，90，91，92，92，92，92，92，93，93，94，94八、九年級抽取的學生競賽成績統(tǒng)計表

年級八年級九年級平均數(shù)90.690.6中位數(shù)91.5a眾數(shù)9292優(yōu)秀率70%b%九年級抽取的學生競賽成績扇形統(tǒng)計根據以上信息，回答下列問題：(1)直接寫出上述圖表中a=，b=，n=；(2)根據以上數(shù)據，你認為該校八、九年級中哪個年級學生對重慶歷史文化知識掌握得更好？請說明理由（一條理由即可）；(3)若該校八年級有1200人，九年級有1500人參加了此次知識問答競賽，估計兩個年級知識問答競賽活動成績優(yōu)秀的學生人數(shù)是多少？【答案】(1)a=92，b=75(2)我認為九年級學生對重慶歷史文化知識掌握得更好，理由見解析；(3)1965人．【分析】（1）依據九年級隨機抽取20名學生的知識競賽分數(shù)中，A、D兩組數(shù)據個數(shù)相等，即可得到B、C兩組的數(shù)據的中位數(shù)即為九年級20名學生的知識競賽成績分數(shù)的中位數(shù)，求得B、C兩組的12個數(shù)據的中位數(shù)即可得到a的值．依據分數(shù)不低于90分為優(yōu)秀，即可得到