專題02 空間動點軌跡8種題型歸類（解析版）2023-2024學(xué)年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中期末復(fù)習(xí)講練測（人教A版2019選擇性必修第一冊）

第第頁專題02空間動點軌跡8種題型歸類一、核心考點題型歸納【題型一】空間動點恒平行型軌跡【題型二】空間動點恒垂直型軌跡【題型三】平行與垂直綜合型軌跡【題型四】空間線段長度定值型軌跡【題型五】空間定長線段中點型軌跡【題型六】空間動點角度定值型軌跡【題型七】空間翻折型動點軌跡【題型八】空間阿波羅尼斯球（圓）型軌跡二、期中期末好題培優(yōu)練熱點好題歸納【題型一】空間動點恒平行型軌跡知識點與技巧：空間點的軌跡幾種常見情形：（1）平面內(nèi)到空間定點的距離等于定長，可結(jié)合球面得軌跡；（2）與定點的連線與某平面平行，利用平行平面得點的軌跡；（3）與定點的連線與某直線垂直，利用垂直平面得點的軌跡；（4）與空間定點連線與某直線成等角，可結(jié)合圓錐側(cè)面得軌跡；1.（2023秋·湖南·高二株洲市第一中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）已知正方體的邊長為4，點E是棱CD的中點，P為四邊形內(nèi)（包括邊界）的一動點，且滿足平面，則點P的軌跡長為（

）A． B．2 C． D．1【答案】A【分析】畫出示意圖，找出過且跟面平行的平面，其跟面的交線即是的軌跡．【詳解】如圖，分別作的中點G，H，F(xiàn)，連接，由題可知，則四邊形為平行四邊形，平面BEF，平面，平面；同理可得平面，∴平面平面，由題意知平面，又點P為四邊形內(nèi)（包括邊界）的一動點，線段GH，點P的軌跡為GH，．故選：A．2.（2023春·全國·高一專題練習(xí)）在棱長為2的正方體中，E為棱BC的中點，F(xiàn)是側(cè)面內(nèi)的動點，若平面，則點F軌跡的長度為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】取中點，中點，連接，則易證平面平面，進(jìn)而得當(dāng)F的軌跡為線段時，則有平面，再根據(jù)勾股定理及三角形的中位線計算即可.【詳解】如圖所示：取中點，中點，連接，因為，，所以，平面，平面，所以平面，同理可證明平面，又因為，平面，所以平面平面，當(dāng)F的軌跡為線段時，此時平面，則有平面，此時.故選：B.3.（2023·全國·高二專題練習(xí)）如圖，在三棱柱中，M為A1C1的中點N為側(cè)面上的一點，且MN//平面，若點N的軌跡長度為2，則（

）

A．AC1=4 B．BC1＝4 C．AB1＝6 D．B1C＝6【答案】B【分析】根據(jù)面面平行的判定定理證明平面平面，再由MN//平面可得點N的軌跡為線段DE，據(jù)此即可得解.【詳解】如圖，

取的中點D，的中點E，連接MD，DE，ME，由，，又平面，平面，所以平面，同理可得平面，又，平面所以平面平面，又平面，故點N的軌跡為線段DE，又由，可得．故選：B．4.（2023·江西贛州·統(tǒng)考二模）在棱長為4的正方體中，點滿足，，分別為棱，的中點，點在正方體的表面上運動，滿足面，則點的軌跡所構(gòu)成的周長為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】作出輔助線，找到點的軌跡，利用勾股定理求出邊長，得到周長.【詳解】延長，交的延長線與，連接，分別交，于，過點作交于點，過點作交于點，因為平面，平面，所以平面，同理可得平面，因為，所以平面平面，過點作交于點，連接，則則平行四邊形（點除外）為點的軌跡所構(gòu)成的圖形，因為正方體棱長為4，，分別為棱，的中點，，所以，因為，所以，過點作⊥于點，則，則由幾何關(guān)系可知，所以，由勾股定理得，所以點的軌跡所構(gòu)成的周長為.故選：D【題型二】空間動點恒垂直型軌跡1.（2022·全國·高二專題練習(xí)）如圖，在體積為6的三棱錐中，PA?PB?PC兩兩互相垂直，，若點M是底面內(nèi)一動點，且滿足，則點M的軌跡長度的最大值為（

）A．6 B．3 C． D．【答案】C【分析】根據(jù)題意可知，點的軌跡為斜邊上的高線，即可根據(jù)等面積法以及基本不等式求出點的軌跡長度的最大值．【詳解】解：如圖所示，過作于，連接.，，兩兩垂直，所以平面，又平面即有，而，平面所以平面，又平面即，故點的軌跡為斜邊上的高線，因為三棱錐的體積為6，所以，即，又可得．當(dāng)且僅當(dāng)時取等號．點M的軌跡長度的最大值為.故選：C．2.（2023春·江蘇連云港·高二?？茧A段練習(xí)）在矩形ABCD中，，，點E在CD上，現(xiàn)將沿AE折起，使面面ABC，當(dāng)E從D運動到C，求點D在面ABC上的射影K的軌跡長度為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】在原平面矩形中,連接,由面面ABC知,故點的軌跡是以為直徑的圓上一段弧,根據(jù)的位置求出此弧的長度.【詳解】由題意，將沿折起，使平面平面，在平面內(nèi)過點作垂足為在平面上的射影，連接,由翻折的特征知，則，故點的軌跡是以為直徑的圓上一段弧，根據(jù)長方形知圓半徑是，如圖當(dāng)與重合時，,所以，取為的中點，得到是正三角形.故，其所對的弧長為；故選：D.3.（2023秋·遼寧沈陽·高二沈陽二十中校聯(lián)考期末）已知是棱長為2的正方體表面上的一個動點，且，則的軌跡周長是（

）A． B．2π C． D．4π【答案】D【分析】根據(jù)可得到的中點為的距離為，再根據(jù)正方體的幾何性質(zhì)可得在其中一個側(cè)面上的軌跡長度，同理可確定其它側(cè)面上的軌跡長度，從而可得的軌跡周長.【詳解】因為，則，又正方體的棱長為，取線段的中點為，則，由于在正方體的表面上運動，要滿足，則點在正方體的四個側(cè)面上運動，如圖，當(dāng)在側(cè)面上運動時，取中點為，連接因為，分別為，中點，所以，，又平面，所以平面，由于平面，所以，則，則在側(cè)面上得軌跡為以為圓心，為半徑的半圓，此時的軌跡長為；同理，當(dāng)在其它側(cè)面上運動時軌跡長均為；綜上，的軌跡周長是.故選：D.4.（2023春·陜西榆林·高二校考階段練習(xí)）如圖，正方體的棱長為，點是棱的中點，點是正方體表面上的動點．若，則點在正方體表面上運動所形成的軌跡的長度為（

）

A． B．C． D．【答案】C【分析】取的中點，的中點，連接、、、、，設(shè)，證明出平面，可知點在正方體表面上運動所形成的軌跡為的三邊，求出的周長即可得解.【詳解】取的中點，的中點，連接、、、、，設(shè)，如下圖所示．

因為四邊形是正方形，又點是棱的中點，點是的中點，則，，，所以，，所以，，所以，，所以，，即．在正方體中，平面，又平面，所以，又，、平面，所以平面，又平面，所以，同理可得，，又，、平面，所以，平面．所以點在正方體表面上運動所形成的軌跡為的三邊，因為正方體的棱長為，由勾股定理可得，同理可得，，所以的周長為．故選：C．【題型三】平行與垂直綜合型軌跡1.（2023·河南·統(tǒng)考三模）設(shè)正方體的棱長為1，點E是棱的中點，點M在正方體的表面上運動，則下列命題：

①如果，則點M的軌跡所圍成圖形的面積為；②如果∥平面，則點M的軌跡所圍成圖形的周長為；③如果∥平面，則點M的軌跡所圍成圖形的周長為；④如果，則點M的軌跡所圍成圖形的面積為．其中正確的命題個數(shù)為（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】由正方體性質(zhì)得面，根據(jù)線面垂直的判定定理、性質(zhì)定理證面，確定軌跡圖形判斷①；若分別為中點，連接，根據(jù)線面平行、面面平行的判定證面面，確定軌跡圖形判斷②；若分別為的中點，連接，同②方式證面面，確定軌跡圖形判斷③；若分別是的中點，并依次連接，先證面面，結(jié)合①得面，確定軌跡圖形判斷④.【詳解】由面，而面，則，又，又，面，則面，由面，則，同理，，面，則面，所以垂直于面所有直線，且面，若，則在邊長為的正△的邊上，故軌跡圖形面積為，①對；

若分別為中點，連接，由正方體的性質(zhì)易得，，所以共面，且為平行四邊形，故面即為面，由面，面，則面，同理可得面，，面，所以面面，要使∥平面，則在△的邊上，所以軌跡長為，②錯；

若分別為的中點，連接，顯然，所以共面，即面，由，面，面，則面，又，同理可得面，，面，所以面面，故面內(nèi)任意直線都與面平行，要使∥平面，則在四邊形的邊上運動，此時軌跡長為，③對；

若分別是的中點，并依次連接，易知為正六邊形，顯然，，由面，面，則面，同理可得面，，面，所以面面，由面，則面，故垂直于面所有直線，要使，則在邊長為的正六邊形邊上運動，所以軌跡圖形面積為，④對；

故選：C2.（2023春·上海楊浦·高二上海市楊浦高級中學(xué)校考開學(xué)考試）如圖，已知正方體的棱長為1，點M為棱AB的中點，點P在側(cè)面及其邊界上運動，則下列選項中不正確的是（

）A．存在點P滿足B．存在點P滿足C．滿足的點P的軌跡長度為D．滿足的點P的軌跡長度為【答案】C【分析】假定，結(jié)合條件可得，，然后利用圓的位置關(guān)系可判斷A，利用坐標(biāo)法可得點P在中心時，可判斷B，利用線面垂直的判定定理結(jié)合條件可得點P的軌跡可判斷CD.【詳解】對于A選項，假設(shè)，因為，又，且始終垂直平面，所以，點在以B為圓心，半徑為1的圓上，同理，，則，點P在以C1為圓心，半徑為的圓上，如圖1，又因為，所以兩個圓相交有交點，即存在點P滿足，故A正確；對于B選項，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，若點在正方形中心處，即，則，，可得，即，故B正確；對于C選項，取的中點，的中點，連接，，，因為平面，又平面，所以，在正方形中，，又平面，所以平面，又平面，所以，同理可得，又，平面，所以平面，又因為點P在側(cè)面上，平面平面，所以點的軌跡為線段，且，故C錯誤；對于D選項，過M點作交BC于點G，過M點作交于H，則，因為，所以，同理，又平面，平面，又平面平面，所以點的軌跡為線段，且，故D正確.故選：C.3.（2023春·廣西防城港·高二統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，在正方體中，，P是正方形ABCD內(nèi)部（含邊界）的一個動點，則（

）A．有且僅有一個點P，使得 B．平面C．若，則三棱錐外接球的表面積為 D．M為的中點，若MP與平面ABCD所成的角為，則點P的軌跡長為【答案】D【分析】根據(jù)線面垂直判斷線線垂直可求解A，利用線面平行判斷B，根據(jù)外接球與三棱錐的的幾何關(guān)系判斷C，利用線面角的定義確定點的軌跡即可求解D,【詳解】對于A，連接,因為平面,平面,所以,且四邊形為正方形，所以,且，平面,所以平面,所以當(dāng)點在線段上時，必有平面,則，所以存在無數(shù)個點P，使得，A錯誤；對于B，當(dāng)點與點重合時，與平面相交，B錯誤；對于C，若，則為中點，連接,則為等腰直角三角形，且，且也為等腰直角三角形，且,且平面平面，所以取中點為，則為三棱錐外接球的球心，所以外接球的半徑為,所以我外接球的表面積為，C錯誤；對于D，連接因為平面，所以為MP與平面ABCD所成的角，所以，所以,所以點的軌跡是以為圓心，1為半徑的個圓弧，所以點P的軌跡長為，D正確，故選:D.【題型四】空間線段長度定值型軌跡1.（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知是棱長為1的正方體，點P為正方體表面上任一點，則下列說法不正確的是（

）A．若，則點P的軌跡長度為B．若，則點P的軌跡長度為C．若，則點P的跡長度為D．若，則點P的軌跡長度為【答案】D【分析】根據(jù)題意，依次分析點P軌跡,討論各選項即可得答案.【詳解】當(dāng)時，如圖1，此時點P的軌跡為半徑為1，圓心角為的三段圓弧，所以此時點P軌跡的長度為，故A選項正確；當(dāng)時，如圖2，點P的軌跡一部分是在面三個面內(nèi)以為半徑，圓心角為的三段弧，另一部分是在面三個面內(nèi)以為半徑，圓心角為的三段弧；所以此時點P軌跡的長度為，故B選項正確；當(dāng)時，如圖3，點P的軌跡是在面三個面內(nèi)以1為半徑，圓心角為的三段弧，所以此時點P軌跡的長度為，故C選項正確；當(dāng)，如圖4，點P的軌跡是在面三個面內(nèi)以為半徑，圓心角小于的三段弧，所以此時點P軌跡的長度小于，故D選項不正確；故選：D．2.（2023·全國·高二專題練習(xí)）在正方體中，已知，點O在棱上，且，P為正方體表面上的動點，若，則點P的軌跡長度為（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】，則點P會在4個面內(nèi)有軌跡，且均是圓弧，分別計算半徑和圓心角即可.【詳解】依題意，∵，，，∴，，所以，所以，又因為，所以，所以，即.在平面內(nèi)滿足條件的點的軌跡為，該軌跡是以5為半徑的個圓周，所以長度為；同理，在平面內(nèi)滿足條件的點軌跡長度為；在平面內(nèi)滿足條件的點的軌跡為以為圓心，為半徑的圓弧，長度為；同理，在平面ABCD內(nèi)滿足條件的點的軌跡為以A為圓心，AE為半徑的圓弧，長度為.故軌跡的總長度為.故選：C.3.（2023春·廣東深圳·高一?？茧A段練習(xí)）正方體的棱長為，點在三棱錐的側(cè)面表面上運動，且，則點軌跡的長度是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】作出圖形，分析可知點軌跡是以點為圓心，半徑為的圓與的交線，計算出圓心角的大小，結(jié)合扇形的弧長公式可求得結(jié)果.【詳解】因為平面，且，所以，點的軌跡是以為圓心，半徑為的圓在內(nèi)的交線，取的中點，則，且，設(shè)圓弧交于、兩點，如下圖所示：，所以，，又因為，則為等邊三角形，故點軌跡的長度是.故選：B.4.（2023春·山西運城·高一康杰中學(xué)?？茧A段練習(xí)）正方體的棱長為3，點在三棱錐的表面上運動，且，則點軌跡的長度是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由題意可知點在以為球心，半徑的球上，所以點的軌跡是該球與三棱錐的表面的交線，然后畫出圖形，分別求出其在四個面上的軌跡長度即可.【詳解】因為，所以點在以為球心，半徑的球上，因為點在三棱錐的表面上運動，所以點的軌跡是該球與三棱錐的表面的交線，因為正方體的棱長為3，所以正方體的面對角線為，所以三棱錐為棱長為的正三棱錐，由正方體的性質(zhì)可知到平面的距離為，所以球在平面上的截面圓的半徑，所以截面圓的圓心正好是正三角形的中心，設(shè)正三角形的內(nèi)切圓半徑為，外接圓半徑為，由正弦定理得，則，所以，5.（2023春·山西運城·高一康杰中學(xué)?？茧A段練習(xí)）正方體的棱長為3，點在三棱錐的表面上運動，且，則點軌跡的長度是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】由題意可知點在以為球心，半徑的球上，所以點的軌跡是該球與三棱錐的表面的交線，然后畫出圖形，分別求出其在四個面上的軌跡長度即可.【詳解】因為，所以點在以為球心，半徑的球上，因為點在三棱錐的表面上運動，所以點的軌跡是該球與三棱錐的表面的交線，因為正方體的棱長為3，所以正方體的面對角線為，所以三棱錐為棱長為的正三棱錐，由正方體的性質(zhì)可知到平面的距離為，所以球在平面上的截面圓的半徑，所以截面圓的圓心正好是正三角形的中心，設(shè)正三角形的內(nèi)切圓半徑為，外接圓半徑為，由正弦定理得，則，所以，【題型五】空間定長線段中點型軌跡1.（2022·全國·高二專題練習(xí)）在四邊形ABCD中，，，P為空間中的動點，，E為PD的中點，則動點E的軌跡長度為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】作的中點，連接，，即可得到且，從而得到且，則點的軌跡長度與點的軌跡長度相同，作于，則點的軌跡是以為圓心長為半徑的圓，即可得解；【詳解】解：如圖，作的中點，連接，．因為，，所以．因為，，所以，故四邊形為平行四邊形，則有，且，則有點的軌跡長度與點的軌跡長度相同，過點作于，則點的軌跡是以為圓心長為半徑的圓，且，故點的軌跡長度為．故選：D．2.（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知正六棱柱的棱長均為，點在棱上運動，點在底面內(nèi)運動，，為的中點，則動點的軌跡與正六棱柱的側(cè)面和底面圍成的較小部分的體積為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)題意，可判斷出動點的軌跡為球，結(jié)合球的體積公式，即可求解.【詳解】由直角三角形的性質(zhì)得，所以點在以為球心，半徑是的球面上運動，因為，所以動點的軌跡與正六棱柱的側(cè)面和底面圍成的較小部分球，其體積為.故選：B.3.（2022·全國·高二專題練習(xí)）如圖,已知直平行六面體ABCD-A1B1C1D1的各條棱長均為3,∠BAD=60°,長為2的線段MN的一個端點M在DD1上運動,另一個端點N在底面ABCD上運動,則MN的中點P的軌跡(曲面)與共頂點D的三個面所圍成的幾何體的體積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先確定點的軌跡，從而確定點的軌跡與平行六面體所圍成的幾何體的形狀，即可求幾何體的體積．【詳解】連接、，則平面，平面，在中，MN=2，MN的中點為P，則DP=1,點P的軌跡為：以D為球心,半徑r=1的球面的一部分，球的體積為V=π·r3=.∵，∴，故所求幾何體的體積.故選:4.（2023春·陜西西安·高二校考階段練習(xí)）如圖，在棱長為的正方體中，、分別是、的中點，長為的線段的一個端點在線段上運動，另一個端點在底面上運動，則線段的中點的軌跡（曲面）與正方體（各個面）所圍成的幾何體的體積為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】連接、，分析得出，可知點的軌跡是以點為球心，半徑長為的球面，作出圖形，結(jié)合球體的體積公式可求得結(jié)果.【詳解】連接、，因為，，且、分別為、的中點，故且，所以，四邊形為平行四邊形，故且，平面，則平面，因為平面，所以，，為的中點，故，所以，點的軌跡是以點為球心，半徑長為的球面，如下圖所示：所以，線段的中點的軌跡（曲面）與正方體（各個面）所圍成的幾何體為球的，故所求幾何體的體積為.故選：D.【題型六】空間動點角度定值型軌跡1.（2022秋·廣東佛山·高二校聯(lián)考期中）如圖，正方體的棱長為1，點P為正方形內(nèi)的動點，滿足直線BP與下底面ABCD所成角為的點P的軌跡長度為（

）

A． B． C． D．【答案】B【分析】作出輔助線，得到P的軌跡為以為圓心，為半徑，位于平面內(nèi)的圓的，求出軌跡長度.【詳解】直線BP與下底面ABCD所成角等于直線BP與上底面所成角，連接，因為⊥平面，平面，所以⊥，故為直線BP與上底面所成角，則，因為，所以，故點P的軌跡為以為圓心，為半徑，位于平面內(nèi)的圓的，故軌跡長度為.

故選：B2.（2023·海南?？凇ばＢ?lián)考一模）如圖，點是棱長為2的正方體表面上的一個動點，直線與平面所成的角為45°，則點的軌跡長度為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先利用直線與平面所成的角為45°求得點的軌跡，進(jìn)而求得點的軌跡長度.【詳解】若點P在正方形內(nèi)，過點P作平面于，連接.則為直線與平面所成的角，則，又，則，則，則點的軌跡為以為圓心半徑為2的圓（落在正方形內(nèi)的部分），若點P在正方形內(nèi)或內(nèi)，軌跡分別為線段，因為點P不可能落在其他三個正方形內(nèi)，所以點的軌跡長度為.故選：A3.（2023·全國·高二專題練習(xí)）如圖，線段與平面斜交于點，且直線與平面所成的角為，平面上的動點滿足，則點的軌跡是（

）A．直線 B．拋物線 C．橢圓 D．雙曲線一支【答案】C【分析】根據(jù)題意，為定值，可得點P的軌跡為一以AB為軸線的圓錐側(cè)面與平面的交線，由圓錐曲線的定義可求.【詳解】用垂直于圓錐軸的平面去截圓錐，得到的是圓；把平面漸漸傾斜，且平面與軸線所成角大于母線與軸線所成角時得到橢圓；當(dāng)平面與軸線所成角小于母線與軸線所成角時得到雙曲線，當(dāng)平面和圓錐的一條母線平行時，得到拋物線．平面上的動點P滿足，則P在以AB為軸的圓錐的側(cè)面上，可構(gòu)造如圖所示的圓錐，母線與AB所在直線(中軸線)的夾角為，然后用平面去截圓錐，使直線AB與平面的夾角為，則平面與圓錐側(cè)面的交線為P的軌跡圖形，由圓錐曲線的定義可知，P的軌跡為橢圓.故選：C4.（2023·湖北襄陽·襄陽四中校考模擬預(yù)測）如圖，二面角的大小為，已知A、B是l上的兩個定點，且，，，AB與平面BCD所成的角為，若點A在平面BCD內(nèi)的射影H在的內(nèi)部（包括邊界），則點H的軌跡的長度為（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根據(jù)題意：點H的軌跡是以點B為球心，以為半徑的球與以AB為軸，母線AH與軸AB成60°的圓錐側(cè)面交線的一部分，該部分是圓心角為的弧長，只要求出半徑即可.【詳解】如圖所示：因為AB與平面BCD所成的角為，且點A在平面BCD上的射影H，，所以，所以點H在以點B為球心，以為半徑的球面上，又點H在以AB為軸，以AH為母線的圓錐的側(cè)面上，所以點H的軌跡為以點B為球心，以為半徑的球與以AB為軸，母線AH與軸AB成的圓錐側(cè)面交線的一部分，即圖中扇形EOF的弧EF，且扇形所在平面垂直于AB，因為二面角α﹣1﹣β的平面角的大小為，所以，又，所以點H的軌跡的長度等于，故選：D.【題型七】空間翻折型動點軌跡1.已知矩形中，，，如圖，將沿著進(jìn)行翻折，使得點與點重合，若點在平面上的射影在四邊形內(nèi)部（包含邊界），則動點的軌跡長度是（）A． B． C． D．【答案】C【分析】過點作于點，交于點，則點在平面上的射影落在線段上.由翻折過程可知，，判斷出的軌跡是以點為圓心，為半徑的一段圓弧，求出圓心角，利用弧長公式求出弧長.【詳解】如圖（1），過點作于點，交于點，則點在平面上的射影落在線段上.在中，，，則，由等面積法得.翻折的過程中，動點滿足，則動點的軌跡是以點為圓心，為半徑的一段圓弧.易得，，，所以，則，如圖（2），在圓中，，，所以點的軌跡是，且，則，，從而點的軌跡長度為.故選：C2.如圖，等腰梯形中，，，，，沿著把折起至，使在平面上的射影恰好落在上．當(dāng)邊長變化時，點的軌跡長度為（）A． B． C． D．【答案】B【分析】根據(jù)的射影在邊上，且固定長度為1，所以的軌跡在以為原點半徑為1的圓上，因此考慮的長度縮短到0時和變長到的長度兩種情況，從而求出夾角大小，進(jìn)而求出弧長.【詳解】因為的射影在邊上，且固定長度為1，所以的軌跡在以為原點半徑為1的圓上.考慮極端情況：當(dāng)?shù)拈L度縮短到0時，都匯聚到線段的中點（D2）；當(dāng)變長到的長度時（的射影為D3），如圖，設(shè)，則,在中，，同理：，∴，即在線段上的投影與點的距離為，從而與夾角為，故點的軌跡為.故選：B.3.已知菱形ABCD的邊長為2，.將菱形沿對角線AC折疊成大小為60°的二面角.設(shè)E為的中點，F(xiàn)為三棱錐表面上動點，且總滿足，則點F軌跡的長度為________.【答案】【分析】在側(cè)面B′AC上，F(xiàn)點的軌跡是EP，在側(cè)面B′CD上，F(xiàn)點的軌跡是EQ，在底面ACD上，F(xiàn)點的軌跡是PQ，求的△EPQ周長即可．【詳解】連接AC、BD，交于點O，連接OB′，ABCD為菱形，∠ABC＝60°，所以AC⊥BD，OB′⊥AC，△ABC、△ACD、△AB′C均為正三角形，所以∠B′OD為二面角B'﹣AC﹣D的平面角，于是∠B′OD＝60°，又因為OB′＝OD，所以△B′OD為正三角形，所以B′D＝OB′＝OD＝，取OC中點P，取CD中點Q，連接EP、EQ、PQ，所以PQ∥OD、EP∥OB′，所以AC⊥EP、AC⊥PQ，所以AC⊥平面EPQ，所以在三棱錐B'﹣ACD表面上，滿足AC⊥EF的點F軌跡的△EPQ，因為EP＝OB′，PQ＝OD，EQ＝B′Q，所以△EPQ的周長為，所以點F軌跡的長度為．故答案為：4.如圖所示，在平行四邊形中，為中點，，，.沿著將折起，使到達(dá)點的位置，且平面平面.若點為內(nèi)的動點，且滿足，則點的軌跡的長度為___________.【答案】【分析】根據(jù)給定條件探求出PB，PC在平面的射影PE，PD的關(guān)系，再在平面內(nèi)建立平面直角坐標(biāo)系，探討出動點P在內(nèi)的軌跡即可作答.【詳解】因平面平面，平面平面，，于是得平面，而，則平面，從而得PE，PD分別是PB，PD在平面內(nèi)的射影，如圖，，，而，則，在所在平面內(nèi)以點E為原點，射線ED、分別為x，y軸非負(fù)半軸建立平面直角坐標(biāo)系，如圖，則，設(shè)，于是得，整理得，從而得點P的軌跡是以為圓心，4為半徑的圓，圓M交分別于Q，N，顯然，圓M在內(nèi)的部分是圓心角所對的弧，弧長為，所以點的軌跡的長度為.故答案為：【題型八】空間阿波羅尼斯球（圓）型軌跡1.古希臘數(shù)學(xué)家阿波羅尼奧斯發(fā)現(xiàn)：平面上到兩定點A，B距離之比為常數(shù)（且）的點的軌跡是一個圓心在直線AB上的圓，該圓簡稱為阿氏圓.根據(jù)以上信息，解決下面的問題：如圖，在長方體中，，點E在棱AB上，，動點P滿足.若點P在平面ABCD內(nèi)運動，則點P所形成的阿氏圓的半徑為___________；若點P在長方體內(nèi)部運動，F(xiàn)為棱的中點，M為CP的中點，則點M到平面的距離的最小值為___________.【答案】【分析】①建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，求出點P的軌跡為，即得解；②先求出點P的軌跡為，P到平面的距離為，再求出的最小值即得解.【詳解】①以AB為軸，AD為軸，為軸，建立如圖所示的坐標(biāo)系，則設(shè)，由得，所以，所以若點在平面內(nèi)運動，則點所形成的阿氏圓的半徑為.②設(shè)點，由得，所以，由題得所以設(shè)平面的法向量為，所以，令，則由題得，所以點P到平面的距離為，因為，所以，所以點M到平面的最小距離為.故答案為：；.2.已知正方體的棱長為4，點P在平面內(nèi)，且，則點P的軌跡的長度為___________.【答案】【分析】若E為與的交點，由正方體的性質(zhì)可證面，在Rt△中有可得，再在面上構(gòu)建平面直角坐標(biāo)系，并寫出各點坐標(biāo)且令，結(jié)合已知條件列方程，即可得P的軌跡，進(jìn)而求軌跡長度.【詳解】若E為與的交點，則，∵面，面，∴，又，∴面，∴連接PE，即在Rt△中有，又正方體的棱長為4，∴在面上構(gòu)建如下平面直角坐標(biāo)系，若，，∴，，∴，又，∴，整理得，∴，故軌跡為半徑的圓，∴軌跡長度為.故答案為：.【點睛】關(guān)鍵點點睛：應(yīng)用正方體的性質(zhì)及勾股定理得，再在面上構(gòu)建平面直角坐標(biāo)系，設(shè)結(jié)合已知條件可得方程，整理即有P的軌跡方程.3..在棱長為6的正方體中，點是線段的中點，是正方體（包括邊界）上運動，且滿足，則點的軌跡周長為________.【答案】##【分析】由題意易知，由此可得，在平面上，建立平面直角坐標(biāo)系，可知點的軌跡為圓與四邊形的交點，由弧長公式可求解.【詳解】如圖，在棱長為6的正方體中，則平面，平面，又，在平面上，，，又，，，即，如圖，在平面中，以為原點，分別為軸建立平面直角坐標(biāo)系，則，，，由，知，化簡整理得，，圓心，半徑的圓，所以點的軌跡為圓與四邊形的交點，即為圖中的其中，，，則.由弧長公式知故答案為：.培優(yōu)練一、單選題1．（2023春·新疆烏魯木齊·高二?？茧A段練習(xí)）在棱長為4的正方體中，為的中點，點P在正方體各棱及表面上運動且滿足，則點P軌跡圍成的圖形的面積為（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】構(gòu)造輔助線，找到點P軌跡圍成的圖形為長方形，從而求出面積.【詳解】取的中點E，的中點F，連接BE，EF，AF，則由于為的中點，可得，所以∠CBE=∠ECN，從而∠BCN+∠CBE=∠BCN+∠ECN=90°，所以BE⊥CN，又EF⊥平面，平面，所以EF⊥CN，又因為BEEF=E，所以CN⊥平面ABEF，所以點P軌跡圍成的圖形為矩形ABEF，又，所以矩形ABEF面積為.故選：A2．（2021秋·福建泉州·高二晉江市第一中學(xué)?？计谥校┤鐖D，四棱錐中，底面是邊長為的正方形，平面，為底面內(nèi)的一動點，若，則動點的軌跡在（

）A．圓上 B．雙曲線上 C．直線上 D．橢圓上【答案】A【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求得的軌跡方程，從而確定正確答案.【詳解】依題意四邊形是正方形，平面，建立空間直角坐標(biāo)系如下圖所示，以為軸，為軸，為軸，為坐標(biāo)原點，則，，設(shè)，因為，由題意可得：，可得動點的軌跡為：以為圓心，以為半徑的圓．故選：A3．（2022秋·四川·高二四川省峨眉第二中學(xué)校?？计谥校┰谒睦忮F中，平面，點M是矩形內(nèi)（含邊界）的動點，且，直線與平面所成的角為．記點M的軌跡長度為，則（

）A． B．1 C． D．2【答案】C【分析】根據(jù)題意即為直線與平面所成的角，故問題轉(zhuǎn)化為以點為圓心在平面內(nèi)做2為半徑的圓，圓弧在矩形內(nèi)的部分即為點的軌跡，進(jìn)而利用幾何關(guān)系求解即可.【詳解】因為平面，所以即為直線與平面所成的角，所以，因為，所以，所以點位于矩形內(nèi)的以點為圓心，2為半徑的圓上，則點的軌跡為圓弧.連接，則，因為，，所以，則弧的長度，所以.故選：C.4．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知長方體，，，M是的中點，點P滿足，其中，，且平面，則動點P的軌跡所形成的軌跡長度是（

）A． B． C． D．2【答案】A【分析】先構(gòu)造和平面平行的截面，再根據(jù)空間向量共面確定點的軌跡形狀，再求其長度.【詳解】如圖所示，E，F(xiàn)，G，H，N分別為，，，DA，AB的中點，則，，所以平面平面，所以動點P的軌跡是六邊形MEFGHN及其內(nèi)部.又因為，所以點在側(cè)面，所以點的軌跡為線段，因為AB=AD=2，，所以.故選：A.5．（2023春·高二課時練習(xí)）如圖所示，正方體的棱長為2，E，F(xiàn)分別為，的中點，點P是正方體表面上的動點，若平面，則點在正方體表面上運動所形成的軌跡長度為（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】要滿足平面，只需要尋找一個平面，使該平面經(jīng)過，且與平面平行即可,取的中點G，的中點H，連結(jié).證明出面面.得到點在正方體表面上運動所形成的軌跡為三角形，求出周長即可.【詳解】取的中點G，的中點H，連結(jié).正方體的棱長為2.為中點，所以,所以且.因為為分別為的中點，所以,且，所以四邊形為平行四邊形，所以.因為面，面，所以面.同理可證：面.又,面,面,所以面面.所以點在正方體表面上運動所形成的軌跡為三角形.因為正方體的棱長為2，所以,所以三角形的周長為.故選：B6．（2022·全國·高二專題練習(xí)）已知正四棱錐，底面邊長為，，交于點，平面，，為的中點，動點在該棱錐的側(cè)面上運動，并且，則點軌跡長度為（

）A．1 B． C． D．2【答案】B【分析】取的中點分別為，利用線面垂直的判定定理可得平面，進(jìn)而可得點軌跡為折線，結(jié)合條件即得.【詳解】取的中點分別為，連接，則，，又平面，，∴平面，，∴，又，∴平面，因為動點在該棱錐的側(cè)面上運動，并且，故點軌跡為折線，由題可知，，∴，故點軌跡長度為.故選：B.7．（2022秋·湖北武漢·高二華中科技大學(xué)附屬中學(xué)階段練習(xí)）已知正方體的棱長為3，點P在的內(nèi)部及其邊界上運動，且，則點P的軌跡長度為(

)A． B． C． D．【答案】A【分析】連接、、，，連接BE交于O，證明平面得DO⊥OP，求出OP長度，確定O的位置，確定P的軌跡形狀，從而可求P的軌跡長度．【詳解】連接、、，則，，，∴⊥平面，∴，同理，∴平面．設(shè)，連接BE交于O，由△BOD∽△且BD=可知OD=，則，連接OP，則，∴，可得點P的軌跡為以點O為圓心，為半徑的圓在內(nèi)部及其邊界上的部分，OB=2OE，E為中點，及△為等邊三角形可知O為△中心，OE=，如圖：，，，則∠OFE=∠=，∴OF∥，同理易知OG∥，故四邊形是菱形，則∴的長度為，故點P的軌跡長度為．故選：A．8．（2023·全國·高二專題練習(xí)）在直三棱柱中，，，為該三棱柱表面上一動點，若，則點的軌跡長度為（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】將三棱柱補形為正方體，容易找到BC的中垂面，因為，所以確定點P在中垂面內(nèi)，通過幾何關(guān)系求解中垂面與三棱柱相交的軌跡長度即可.【詳解】因為，，所以可將直三棱柱補形為邊長為2的正方體，取的中點E，F(xiàn)，G，H，K，L按順序連接.，，如圖所示，正方體中，，，所以面，所以，因為，所以.同理可得，因為，所以面，其中為正六邊形.因為E，G，H，L為的中點，所以M，N為的四等分點，根據(jù)正方體對稱性，知O為MN中點也是BC中點，因為，所以點P在過點O垂直于BC的平面內(nèi)，即點P在面內(nèi).又因為點P在三棱柱表面上，所以P點的軌跡為五邊形MNEFG，，由正六邊形及正方體對稱性可知，故點P的軌跡長度為，故選：B【點睛】處理此類問題的關(guān)鍵是熟練掌握立體幾何中的點線面垂直平行異面的關(guān)系，找到與包含未知點的量和已知量之間的等量關(guān)系或不等關(guān)系即可.本題把到兩點距離問題轉(zhuǎn)化為找中垂面，再通過線面垂直的判定定理即可證明垂面位置，由此確定點P的軌跡為五邊形，求出長度即可.二、多選題9．（2023春·浙江寧波·高二校聯(lián)考階段練習(xí)）正方體的棱長為1，點滿足，則下列說法正確的有（

）A．若，則B．若，則三棱錐的體積為定值C．若點總滿足，則動點的軌跡是一條直線D．若點到點的距離為，則動點的軌跡是一個面積為的圓【答案】ABC【分析】作出圖形，利用線面垂直、平行的判定定理和性質(zhì)定理逐項分析檢驗即可求解.【詳解】對于，因為且，由向量基本定理可知：點共線，如圖，連接，在正方體中，，平面，因為平面，所以，又，所以平面，在上任取一點，連接，則平面，所以，在正方體中，因為，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，則，故選項正確；對于，如圖，連接，因為且，由向量基本定理可知：點共線，即點在直線上，在正方體中，因為，且，所以四邊形為平行四邊形，所以，平面，平面，所以平面，則直線上任意一點到平面的距離相等，又因為的面積為一定值，所以三棱錐的體積為定值，故選項正確；對于，如圖，連接，在正方體中，，平面，因為平面，所以，又，所以平面，平面，所以，同理，有，所以平面，因為點滿足，所以點在側(cè)面所在的平面上運動，且，所以動點的軌跡就是直線，故選項正確；對于，因為點到點的距離為，所以點的軌跡是以為球心，半徑為的球面與平面的交線，即點的軌跡為小圓，設(shè)小圓半徑為，因為球心到平面的距離為1，則，所以小圓的面積為，故選項錯誤；故選：.10．（2023春·江蘇徐州·高二統(tǒng)考期中）在棱長為的正方體中，點為的中點，點是正方形內(nèi)部（含邊界）的一個動點，則下列說法正確的是（

）A．存在唯一一點，使得B．存在唯一一點，使得直線與平面所成角取到最小值C．若直線平面，則點的軌跡長度為D．若，則三棱錐的體積為【答案】BCD【分析】可證得平面，則當(dāng)在線段上時都滿足，即可判斷A；可得是直線與平面所成的角，當(dāng)直線與平面所成角取到最小時，最大，亦有最大，即可判斷B；可證平面平面，所以若直線平面，則點在線段上，求出的長度即可判斷C；用向量法求出點到平面的距離，再求出的面積即可計算三棱錐的體積，可判斷D.【詳解】對于A，在正方體中，，，，所以平面，所以當(dāng)在線段上時，都滿足，此時點有無數(shù)個，故A錯誤；對于B，在正方體中，平面，所以是直線與平面所成的角，因為，且，，所以當(dāng)直線與平面所成角取到最小時，最大，亦有最大，所以當(dāng)且僅當(dāng)點與重合時，最大，故B正確；

對于C，分別取的中點為，連接，在正方形中，因為分別是的中點，所以，又平面，平面，所以平面，同理可證平面，平面，，所以平面平面，所以若直線平面，則點在線段上，點的軌跡長度即為線段的長度，在中，，故C正確；

對于D，以為原點建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，由得，，，，設(shè)是平面的一個法向量，則，令得，設(shè)點到平面的距離為，則，在中，，，則等腰底邊上的高，，所以三棱錐的體積，故D正確.故選：BCD11．（2023·全國·高二專題練習(xí)）已知正方體的棱長為2，棱AB的中點為M，點N在正方體的內(nèi)部及其表面運動，使得平面，則（

）A．三棱錐的體積為定值B．當(dāng)最大時，MN與BC所成的角為C．正方體的每個面與點N的軌跡所在平面夾角都相等D．若，則點N的軌跡長度為【答案】ACD【分析】首先利用平面的基本性質(zhì)確定點所在平面，且面面，構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，求面的一個法向量，應(yīng)用向量法求到面的距離，進(jìn)而求三棱錐的體積判斷A；找到最大時MN與BC所成角的平面角即可判斷B；判斷，，與的夾角余弦值的絕對值是否相等即可判斷C；N的軌跡是以為球心的球體被面所截的圓，進(jìn)而求周長判斷D.【詳解】過中點作與交，作與交，重復(fù)上述步驟，依次作的平行線與分別交于（注意各交點均為各棱上的中點），最后依次連接各交點，得到如下圖示的正六邊形，因為，面，面，所以面，同理可得面，因為，面，所以面面，所以面中直線都平行于面，又面，且平面，所以面，即面，根據(jù)正方體性質(zhì)，可構(gòu)建如下圖示的空間直角坐標(biāo)系，則，，，，且，，，，，，A：由上分析知：面任意一點到面的距離，即為到面的距離，而，，若為面的一個法向量，所以，令，則，而，所以到面的距離，即到面的距離為，又△為等邊三角形，則，所以三棱錐的體積為定值，正確；B：由圖知：當(dāng)與重合時最大為，且，所以MN與BC所成的角，即為，錯誤；C：由正方體性質(zhì)，只需判斷各側(cè)面的法向量，，與的夾角余弦值的絕對值是否相等即可，又，同理可得，所以正方體的每個面與點N的軌跡所在平面夾角都相等，正確；D：若，則點N的軌跡是以為球心的球體被面所截的圓，因為面面，故也是面的法向量，而，所以到面的距離為，故軌跡圓的半徑，故點N的軌跡長度為，正確.故選：ACD12．（2023·吉林通化·梅河口市第五中學(xué)?？寄M預(yù)測）已知正方體的棱長為為空間中任一點，則下列結(jié)論中正確的是（

）A．若為線段上任一點，則與所成角的余弦值范圍為B．若為正方形的中心，則三棱錐外接球的體積為C．若在正方形內(nèi)部，且，則點軌跡的長度為D．若三棱錐的體積為恒成立，點軌跡的為圓的一部分【答案】ABC【分析】對于A：建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量夾角公式計算分析判斷；對于B：根據(jù)題意分析可得與的交點即為三棱錐的外接球的球心，結(jié)合球體的體積公式計算；對于C：分析可得，結(jié)合圓的周長分析計算；對于D：根據(jù)題意結(jié)合圓錐的截面分析判斷.【詳解】對于A：以點為坐標(biāo)原點，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，

則，由題意設(shè)，，設(shè)與所成角為，則，當(dāng)時，；當(dāng)時，，，因為，得，則，時取等號，則，綜上，，故A正確．對于B：設(shè)與的交點，連接OM，，

因為O，M分別是與AC的中點，則MO＝＝，又MA＝MB＝MD＝，所以點為三棱錐的外接球的球心，半徑，此外接球的體積，故B正確．對于C：由題意可知：平面平面，則，點在側(cè)面內(nèi)，滿足，故點的軌跡是以點為圓心，半徑為的四分之一圓弧，所以點的軌跡的長度為，故C正確．

對于D：設(shè)三棱錐的高為，由三棱錐的體積為，解得，即點到平面的距離為．對于三棱錐，設(shè)高為，由體積可得，解得，即點到平面的距離為，點到平面的距離為，平面與平面的距離為，故點在平面或為點，若，空間點的軌跡為以為軸的圓錐側(cè)面，顯然點不滿足題意，設(shè)與平面