章剛體定點轉(zhuǎn)動一般運動

第10章剛體的定點運動和一般運動

剛體運動時,如體內(nèi)只有一點相對定參考系保持不動,則此運動稱為剛體的定點運動.研究表明，剛體的定點運動是一種轉(zhuǎn)動，因此剛體的定點運動也可以稱為定點轉(zhuǎn)動。

剛體定點轉(zhuǎn)動是比定軸轉(zhuǎn)動更為普遍的運動,后者可看作是定點轉(zhuǎn)動的一種特例。也可以認為定點轉(zhuǎn)動是剛體繞若干根匯交于一點的軸轉(zhuǎn)動的復(fù)合運動.在不受約束的自由剛體內(nèi)任選一點為坐標原點建立動參考系,則剛體相對此參考系的運動就是剛體的定點轉(zhuǎn)動。因此在生產(chǎn)實踐中,剛體的定點轉(zhuǎn)動不僅是一切用球鉸聯(lián)結(jié)的機器部件運動的抽象,也是天體、飛機船舶、航天器等各種自由運動物體的普遍運動形式。10.1剛體的定點運動 10.1.1剛體的有限轉(zhuǎn)動１．剛體有限轉(zhuǎn)動定理可以證明，定點運動是一種轉(zhuǎn)動，轉(zhuǎn)動軸通過該定點。證明：以定點為球心作任意半徑的球面（圖10-1）。隨同剛體的定點運動而沿上任取兩點和作連接兩點的大圓弧，剛體的位置由的位置（和定點一起）完全確定。

剛體與球面的截面球面運動。在剛性截面，圖10-1剛體的有限轉(zhuǎn)動當(dāng)剛體位置有改變時，和分別變到和。運動到，的新位置為。既然任意兩點間的和必在同一球面上。作大圓弧連接和，作大圓弧連接和，分別作和的垂直平分距離不變，大圓面。

此二平面的交線通過點且與球面交于點夾角為。球面和由于對應(yīng)各邊的弧長相等（是由于剛體的任意兩點間的距離不變，，是因為在的垂直平分大圓上，同理，），因而是全等形。這樣。這式兩邊同加上，就給出

(a)就是說，以直線為軸，轉(zhuǎn)動角度把移到，同時也就把移到。換句話說，點固定的剛體的為軸的轉(zhuǎn)動。因此，剛體的定點運動也可以軸一次轉(zhuǎn)過角后即到達新位置。運動是以稱為定點轉(zhuǎn)動。剛體做定點轉(zhuǎn)動時，若轉(zhuǎn)角為有限值，則稱為從而證明以下歐拉有限轉(zhuǎn)動定理：有限轉(zhuǎn)動。剛體只要繞歐拉定理：剛體繞定點的任意有限轉(zhuǎn)動可由繞點的某根軸的一次有限轉(zhuǎn)動實現(xiàn)。方向余弦應(yīng)滿足以下關(guān)系式：

（10-1）

圖10-2有限轉(zhuǎn)動角的確定2有限轉(zhuǎn)動軸位置和有限轉(zhuǎn)動角

（10-2）

（10-3）

（10-4）(b)

(10-5)其中為三階單位陣?？梢宰C明，

因此齊次代數(shù)方程組（10-5）有非零解。

當(dāng)剛體轉(zhuǎn)動前后連體基之間的方向余弦矩陣給定以后，有限轉(zhuǎn)動軸的方向余弦即可由方程組（10-5）解出。根據(jù)線性代數(shù)理論，解出的也就是方向余弦矩陣的本征向量。

（10-6）

證明：幾何關(guān)系：

(c1)

(c2)利用半角公式，并代入以下方向余弦符號：

(d)

(f1)

(f2)

(f3)依此類推，可導(dǎo)出導(dǎo)出

(e)

以上三式相加，利用，即導(dǎo)出式（8-6）?！?有限轉(zhuǎn)動次序的不可交換性如剛體繞點作一系列有限轉(zhuǎn)動，根據(jù)歐拉定理，它完全將每次轉(zhuǎn)動后的連體基位置相對定參考系固定而定義一系列中間坐標系，剛體歷次轉(zhuǎn)動前后的位置關(guān)系由中間坐標系之間的方向余弦矩陣確定。由于矩陣乘法不存在交換律，故當(dāng)轉(zhuǎn)動次序改變時，即使繞各轉(zhuǎn)動軸的角度一一相同，最終到達的位置卻不相同。其原因在于前次轉(zhuǎn)動改變了固結(jié)于剛體的后續(xù)轉(zhuǎn)動軸在空間中的位置。因此一系列轉(zhuǎn)動的合成不僅取決于各次轉(zhuǎn)動軸在剛體內(nèi)的位置和轉(zhuǎn)過的角度，而且與轉(zhuǎn)動的順序有關(guān)。等效于繞過點且固定于剛體的各一次轉(zhuǎn)動軸的一系列轉(zhuǎn)動。為表明剛體在定點轉(zhuǎn)動中的位置，通常在轉(zhuǎn)動軸上畫一個箭號，其長度等于剛體所轉(zhuǎn)過的角度，其指向與剛體的轉(zhuǎn)向成右手螺旋關(guān)系，這種箭號叫作角位移。

(g)結(jié)論，有限角位移不是矢量。值得注意的是剛體有限轉(zhuǎn)動中兩個角位移的相加次序不可交換。這可用一個實例來加以說明。在圖10-3和圖10-4中，長方體按不同順序先繞軸、后繞軸或先繞軸、后繞軸各轉(zhuǎn)過后，最終到達的位置截然不同！

10.1.2剛體的瞬時轉(zhuǎn)動

1.無限小轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)動瞬軸

定轉(zhuǎn)動瞬軸跡面和動轉(zhuǎn)動瞬軸跡面

剛體定點轉(zhuǎn)動時，若轉(zhuǎn)過的角度極小以至可視作無限小量時，稱為無限小轉(zhuǎn)動。根據(jù)歐拉定理，剛體的任意無限小轉(zhuǎn)動完全等效于繞瞬時轉(zhuǎn)動軸的無限小轉(zhuǎn)動。圖10-5轉(zhuǎn)動瞬軸跡面圖10-6繞瞬軸無限小轉(zhuǎn)動角位移矢量2.瞬時角位移矢量

（10-7）叫做角位移。

(h)

(i)

（10-8）

(j)或即（10-9）(i)轉(zhuǎn)動前：；(ii)轉(zhuǎn)動后：；(iii)再轉(zhuǎn)動后：。

(k)

(l)

(m)

(o)

(p)即即故

（10-10）證明了無限小轉(zhuǎn)動時角位移是一個矢量。

3.角速度矢量

（10-11a）

（10-11b）瞬時角加速度

（10-12）4.剛體內(nèi)點的速度和加速度

(a)(b)

圖10-７定點轉(zhuǎn)動剛體上點速度和加速度

（10-13）稱為剛體的角速度。是時間的矢量函數(shù)，如為已知，我們就可以求出任何時刻剛體內(nèi)任何一點的線速度。

線加速度

（10-14a），（10-14b）上式中的稱為向軸加速度，它和質(zhì)點到，這里是點到的垂直距離。則叫轉(zhuǎn)動加速度。令，那么，其中矢量沿著瞬時轉(zhuǎn)動軸，矢量垂直瞬時轉(zhuǎn)動軸。矢量刻畫了大小的變化，而矢量刻畫了方向的變化。如果瞬時轉(zhuǎn)動軸以角速度繞轉(zhuǎn)動，則有。轉(zhuǎn)動瞬軸的垂線相合，可以寫為10.2歐拉角10.2.1歐拉角剛體的定點轉(zhuǎn)動可以分解成為三個剛體定軸轉(zhuǎn)動相加。

(a)(b)圖10-8地球繞地心的轉(zhuǎn)動方位歐拉角

節(jié)線

進動角

章動角

自轉(zhuǎn)角

(a)(b)圖10-9歐拉角，

（10-16a），

（10-16b）

，

（10-16c）

（10-17a）,（10-17b）10.2.2歐拉運動學(xué)方程

（10-18a）

（10-18b）

（10-19a）

（10-19b）

（10-19c）

（10-20a）

（10-20b）

（10-20c）10.3點在定點運動參考系中運動的合成10.3.1矢量相對運動坐標系的導(dǎo)數(shù)

（10-21）(10-22)

(10-23a)(10-23b)

(10-23c)(10-24)(a)矢量的絕對導(dǎo)數(shù)和相對導(dǎo)數(shù)(b)牽連運動為定點轉(zhuǎn)動參照系圖10-10點在定點運動參考系中的合成運動10.3.2點在定點運動參考系中的速度合成

（10-25）

（10-26）

（10-27）

（10-28）

10.3.3點在定點運動參考系中的加速度合成(a)

#將式（10-26）對時間求導(dǎo)。

#利用式(10-24)。#展開。

#利用(a)式，合并整理。

(b)

（10-29）牽連加速度

（10-30）

（10-31）

（10-32）將式（10-29），（10-30），（10-31）和（10-32)代入式（8-3b），導(dǎo)出（8-24）。10.4剛體的一般運動10.4.1剛體運動的矢量-矩陣描述基點

平行移動坐標系

固連坐標系

圖10-11(a)

（10-33）

（10-34）,

（10-35）,，

（10-36a）

，，

（10-36b）10.4.2作一般運動剛體上點的速度與加速度1.作一般運動剛體上點的速度定理：存在唯一的稱為剛體角速度的矢量，使剛體上點的速度可以寫成其中是基點的速度，矢量不依賴于基點的選擇。(10-37a)(10-37b)

證明：

(b)再利用（10-33）得

兩邊對時間求導(dǎo)得

(c)(d)

(e)(f)于是由式(b)可推出(10-37)。這樣也順便證明了下面等式（稱為歐拉公式）

(10-38)將等式（10-34）的兩邊微分，考慮到是常矢量，即矢量相對固連坐標系不動，

2.作一般運動剛體上點的加速度定理：剛體上任意點的加速度等于基點的加速度、轉(zhuǎn)動加速

度和向軸加速度之和。(10-39a)，(10-39b)

證明：(g)(h)矢量稱為轉(zhuǎn)動加速度。

稱為向軸加速度。

公式(10-39)稱為里瓦斯公式。

10.4.3運動學(xué)不變量