專題02 相似三角形重要模型-母子型（共邊共角模型）（解析版）

專題02相似三角形重要模型-母子型（共邊共角模型）相似三角形是初中幾何中的重要的內(nèi)容，常常與其它知識點(diǎn)結(jié)合以綜合題的形式呈現(xiàn)，其變化很多，是中考的?？碱}型。在相似三角形中存在眾多的相似模型，其中“母子型”相似模型應(yīng)用較為廣泛，深入理解模型內(nèi)涵，靈活運(yùn)用相關(guān)結(jié)論可以顯著提高解題效率，本專題重點(diǎn)講解相似三角形的“母子”模型。母子相似證明題一般思路方法:①由線段乘積相等轉(zhuǎn)化成線段比例式相等；②分子和分子組成一個三角形、分母和分母組成一個三角形；③第②步成立，直接從證這兩個三角形相似，逆向證明到線段乘積相等；④第②步不成立，則選擇替換掉線段比例式中的個別線段，之后再重復(fù)第③步。模型1.“母子”模型(共邊角模型)【模型解讀與圖示】“母子”模型的圖形（通常有一個公共頂點(diǎn)和另外一個不是公共的頂點(diǎn)，由于小三角形寓于大三角形中，恰似子依母懷），也是有一個“公共角”，再有一個角相等或夾這個公共角的兩邊對應(yīng)成比例就可以判定這兩個三角形相似．圖1圖2圖31）“母子”模型（斜射影模型）條件：如圖1，∠C=∠ABD；結(jié)論：△ABD∽△ACB，AB2＝AD·AC.2）雙垂直模型（射影模型）條件:如圖2，∠ACB=90o，CD⊥AB；結(jié)論：△ACD∽△ABC∽△CBD；CA2＝AD·AB，BC2＝BD·BA，CD2＝DA·DB.3）“母子”模型（變形）條件:如圖3，∠D=∠CAE，AB=AC；結(jié)論：△ABD∽△ECA；例1．（2022·貴州貴陽·中考真題）如圖，在中，是邊上的點(diǎn)，，，則與的周長比是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先證明△ACD∽△ABC，即有，則可得，問題得解．【詳解】∵∠B=∠ACD，∠A=∠A，∴△ACD∽△ABC，∴，∵，∴，∴，∴△ADC與△ACB的周長比1:2，故選：B．【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，證明△ACD∽△ABC是解答本題的關(guān)鍵．例2．（2023·廣東·九年級課時練習(xí)）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB于點(diǎn)D，已知AD＝，那么BC＝_______．【答案】【分析】證明△BCD∽△BAC，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)列式計算即可．【詳解】解：∵∠ACB＝90°，CD⊥AB，∴∠ACB＝∠CDB＝90°，∵∠B＝∠B，∴△BCD∽△BAC，∴＝，即＝，∴,∵∴BC＝，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查三角形相似的判定和性質(zhì)，牢記相關(guān)知識點(diǎn)并能結(jié)合圖形靈活應(yīng)用是解題關(guān)鍵．例3.（2022.山西九年級期中）如圖，點(diǎn)C，D在線段AB上，△PCD是等邊三角形，且∠APB＝120°，求證：（1）△ACP∽△PDB，（2）CD2＝AC?BD．證明：（1）∵△PCD是等邊三角形，∴∠PCD＝∠PDC＝∠CPD＝60°，∴∠ACP＝∠PDB＝120°，∵∠APB＝120°，∴∠APC+∠BPD＝60°，∵∠CAP+∠APC＝60°∴∠BPD＝∠CAP，∴△ACP∽△PDB；（2）由（1）得△ACP∽△PDB，∴，∵△PCD是等邊三角形，∴PC＝PD＝CD，∴，∴CD2＝AC?BD．例4．（2022·浙江·九年級期中）如圖，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，點(diǎn)D在AB上，且＝．（1）求證△ACD∽△ABC；（2）若AD＝3，BD＝2，求CD的長．【答案】（1）見解析；（2）【分析】（1）根據(jù)相似三角形的判定兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似，即可得出（2）由得，，推出，由相似三角形的性質(zhì)得，即可求出CD的長．【詳解】（1）∵，，∴；（2）∵，∴，，∴，∴，∴，即，∴．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定與性質(zhì)，掌握相似三角形的判定定理與性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．例5．（2022.浙江中考模擬）如圖，在ABC中，∠ACB＝90°，CD⊥AB．（1）圖1中共有對相似三角形，寫出來分別為（不需證明）：（2）已知AB＝5，AC＝4，請你求出CD的長：（3）在（2）的情況下，如果以AB為x軸，CD為y軸，點(diǎn)D為坐標(biāo)原點(diǎn)O，建立直角坐標(biāo)系（如圖2），若點(diǎn)P從C點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿線段CB運(yùn)動，點(diǎn)Q出B點(diǎn)出發(fā)，以每秒1個單位的速度沿線段BA運(yùn)動，其中一點(diǎn)最先到達(dá)線段的端點(diǎn)時，兩點(diǎn)即刻同時停止運(yùn)動；設(shè)運(yùn)動時間為t秒是否存在點(diǎn)P，使以點(diǎn)B、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似？若存在，請求出點(diǎn)P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．【答案】（1）3，ABC∽ACD，ABC∽CBD，ACD∽CBD；（2）；（3）存在，(，)，(，)【分析】（1）根據(jù)兩角對應(yīng)相等的兩三角形相似即可得到3對相似三角形，分別為：△ABC∽△ACD，△ABC∽△CBD，△ACD∽△CBD．（2）先在△ABC中由勾股定理求出BC的長，再根據(jù)△ABC的面積不變得到AB?CD＝AC?BC，即可求出CD的長．（3）由于∠B公共，所以以點(diǎn)B、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似時，分兩種情況進(jìn)行討論：①△PQB∽△ACB；②△QPB∽△ACB．【詳解】解：（1）圖1中共有3對相似三角形，分別為：△ABC∽△ACD，△ABC∽△CBD，△ACD∽△CBD．證明：∵CD⊥AB，∴∠ADC=∠ACB=90°，又∵∠A=∠A，∴△ADC∽△ACB同理可證：△ABC∽△CBD，△ACD∽△CBD．故答案為：3；△ABC∽△ACD，△ABC∽△CBD，△ACD∽△CBD．（2）如圖2中，在△ABC中，∵∠ACB＝90°，AB＝5，AC＝4，∴BC＝＝＝3．∵△ABC的面積＝AB?CD＝AC?BC，∴CD＝＝．（3）存在點(diǎn)P，使以點(diǎn)B、P、Q為頂點(diǎn)的三角形與△ABC相似，理由如下：在△BOC中，∵∠COB＝90°，BC＝3，OC＝，∴OB＝．分兩種情況：①當(dāng)∠BQP＝90°時，如圖2①，此時△PQB∽△ACB，∴＝，∴，解得t＝，即，∴．在△BPQ中，由勾股定理，得，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為；②當(dāng)∠BPQ＝90°時，如圖2②，此時△QPB∽△ACB，∴，∴，解得t＝，即，過點(diǎn)P作PE⊥x軸于點(diǎn)E．∵△QPB∽△ACB，∴，即，∴PE＝．在△BPE中，，∴，∴點(diǎn)P的坐標(biāo)為，綜上可得，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(，)；(，)．【點(diǎn)睛】本題屬于相似形綜合題，考查了相似三角形的判定與性質(zhì)，勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是學(xué)會用分類討論的思想思考問題，學(xué)會利用參數(shù)構(gòu)建方程解決問題，屬于中考?？碱}型．例6．（2022·浙江紹興·九年級期末）如果兩個相似三角形的對應(yīng)邊存在2倍關(guān)系，則稱這兩個相似三角形互為母子三角形．（1）如果與互為母子三角形，則的值可能為（

）A．2

B．

C．2或（2）已知：如圖1，中，是的角平分線，．求證：與互為母子三角形．（3）如圖2，中，是中線，過射線上點(diǎn)作，交射線于點(diǎn)，連結(jié)，射線與射線交于點(diǎn)，若與互為母子三角形．求的值．【答案】（1）C；（2）見解析；（3）或3．【分析】（1）根據(jù)互為母子三角形的定義即可得出結(jié)論；（2）根據(jù)兩角對應(yīng)相等兩三角形相似得出，再根據(jù)從而得出結(jié)論；（3）根據(jù)題意畫出圖形，分當(dāng)分別在線段上時和當(dāng)分別在射線上時兩種情況加以討論；【詳解】（1）∵與互為母子三角形，∴或2故選：C（2）是的角平分線，，，．又，與互為母子三角形．

（3）如圖，當(dāng)分別在線段上時，與互為母子三角形，，，是中線，，又，．，，．如圖，當(dāng)分別在射線上時，與互為母子三角形，，，是中線，，又，．，，．綜上所述，或3【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、分類討論的數(shù)學(xué)思想以及接受與理解新生事物的能力．準(zhǔn)確理解題設(shè)條件中互為母子三角形的定義是正確解題的先決條件，在分析與解決問題的過程中，要考慮全面，進(jìn)行分類討論，避免漏解．課后專項訓(xùn)練1．（2022秋·山西晉中·九年級統(tǒng)考階段練習(xí)）如圖，點(diǎn)P在的邊上，要判斷，添加下列一個條件，不正確的是（

）

A． B． C． D．【答案】C【分析】根據(jù)相似三角形的判定方法逐項判斷即可．【詳解】解：A、由，滿足兩組對角相等，可判斷，故此選項不符合題意；B、由，滿足兩組對角相等，可判斷，故此選項不符合題意；C、由，但夾角不相等，不能判斷，故此選項符合題意；D、由，滿足兩邊對應(yīng)成比例且夾角相等，可判斷，故此選項不符合題意，故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定，熟練掌握相似三角形的判定方法是解答的關(guān)鍵．2.（2023成都市九年級期中）如圖，矩形ABCD中，F(xiàn)是DC上一點(diǎn)，BF⊥AC，垂足為E，ADAB=12，△CEF的面積為S1，△AEB的面積為SA．116 B．15 C．14 【解答】解：∵ADAB=12，∴設(shè)AD＝BC＝a，則AB＝CD＝2a，∴∵BF⊥AC，∴△CBE∽△CAB，△AEB∽△ABC，∴BC2＝CE?CA，AB2＝AE?AC∴a2＝CE?5a，4a2＝AE?5a，∴CE=5a5，AE=∵△CEF∽△AEB，∴S1S2=（CEAE）3.（2023浙江九年級期中）如圖，在△ABC中，∠ACB＝90°，CD是AB邊上的高．如果BD＝4，CD＝6，那么BC：AC是（）A．3：2 B．2：3 C．3：13 D．【答案】B【解答】解：∵∠ACB＝90°，CD是AB邊上的高，∴∠ADC＝∠CDB＝∠ACB＝90°，∵∠A+∠B＝90°，∠A+∠ACD＝90°，∴∠ACD＝∠B，∴△ACD∽△CBD，∴ACBC=CDBD=4．（2023·山東東營·統(tǒng)考中考真題）如圖，在中，以點(diǎn)為圓心，任意長為半徑作弧，分別交，于點(diǎn)，；分別以點(diǎn)，為圓心，大于的長為半徑作弧，兩弧交于點(diǎn)；作射線交于點(diǎn)，若，，的面積為，則的面積為．【答案】【分析】過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)，證明，得出，根據(jù)，即可求解．【詳解】解：如圖所示，過點(diǎn)作交的延長線于點(diǎn)，∴由作圖可得是的角平分線，∴∵∴∵∴∴∴，∵的面積為，∴的面積為，故答案為：．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與判定，作角平分線，熟練掌握基本作圖以及相似三角形的性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．5．（2023?宜賓）如圖，已知直角△ABC中，CD是斜邊AB上的高，AC＝4，BC＝3，則AD＝．【分析】根據(jù)勾股定理求出AB，根據(jù)射影定理列式計算即可．【解答】解：在Rt△ABC中，AB＝＝5，由射影定理得，AC2＝AD?AB，∴AD＝＝，故答案為：．【點(diǎn)評】本題考查的是射影定理、勾股定理，在直角三角形中，每一條直角邊是這條直角邊在斜邊上的射影和斜邊的比例中項．6．（2022·江蘇鹽城·中考真題）如圖，在與中，點(diǎn)、分別在邊、上，且，若___________，則．請從①；②；③這三個選項中選擇一個作為條件（寫序號），并加以證明．【答案】見解析．【分析】根據(jù)相似三角形的判定定理證明即可．【詳解】解：若選①，證明：∵，∴，，∴，∵，∴，∴，又，∴．選擇②，不能證明．若選③，證明：∵，∴，∴，又∵，∴．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形的判定定理，解題的關(guān)鍵是掌握相似三角形的判定方法．7．（2022秋·陜西西安·九年級校聯(lián)考期中）如圖，在中，點(diǎn)是邊上的一點(diǎn)，，，．求邊的長．

【答案】【分析】根據(jù)條件證明，即可求出．【詳解】解：，為公共角，，，即，，，；【點(diǎn)睛】本題考查幾何問題，涉及到相似三角形的判定與性質(zhì)，熟記知識點(diǎn)是關(guān)鍵．8.（2022?惠山區(qū)九年級專項）如圖，在Rt△ABC中，∠BAC=90o，AD⊥BC于D．（1）圖中有多少對相似三角形？（2）求證：AB2=BDBC，AC2=CDCB，AD2=BDCD；（3）求證：ABAC=BCAD【解析】（1）三對．分別是：△ABD∽△CBA；△ACD∽△BCA；△ABD∽△CAD（2）∵△ABD∽△CBA，∴．∴AB2=BDBC，∵△ACD∽△BCA∴．∴AC2=CDCB，∵△ABD∽△CAD，∴，∴AD2=BCCD（3），∴ABAC=BCAD9．（2023春·山東東營·八年級統(tǒng)考期末）定義：如圖①，若點(diǎn)P在的邊上，且滿足，則稱點(diǎn)P為的“理想點(diǎn)”．(1)如圖②，若點(diǎn)D是的邊的中點(diǎn)，，，試判斷點(diǎn)D是不是的“理想點(diǎn)”，并說明理由．(2)在中，，，，若點(diǎn)D在邊上，且是的“理想點(diǎn)”，求的長．

【答案】(1)是，證明見解析(2)【分析】（1）由已知可得，從而，，可證點(diǎn)是的“理想點(diǎn)”；（2）由是的“理想點(diǎn)”，當(dāng)在上時，證明是邊上的高，根據(jù)面積法可求長度．【詳解】（1）解：點(diǎn)是的“理想點(diǎn)”，理由如下：是中點(diǎn)，，，，，，，，，，，點(diǎn)是的“理想點(diǎn)”；（2）在上時，如圖：

是的“理想點(diǎn)”，或，當(dāng)時，，，，即是邊上的高，當(dāng)時，同理可證，即是邊上的高，在中，，，，，，．【點(diǎn)睛】本題主要考查了相似三角形、勾股定理等知識，解題的關(guān)鍵是理解“理想點(diǎn)”的定義．10．（2023春·福建福州·八年級?？计谀┤鐖D，點(diǎn)是邊上一點(diǎn)，且滿足．(1)證明：；(2)若，，求的長．

【答案】(1)證明見解析(2)【分析】（1）根據(jù)相似三角形的判斷方法，兩角分別相等的兩個三角形相似，證明即可；（2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)，得，先求出，即可求出．【詳解】（1）證明：在與中，，∴；（2）解：∵，∴，即，∴，，∴，又∵，，∴，解得：，∴，．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．11．（2023·山西臨汾·統(tǒng)考二模）閱讀與思考請閱讀下列材料，并完成相應(yīng)的任務(wù)．規(guī)定：在一個三角形中，若一個內(nèi)角是另一個內(nèi)角度數(shù)的n倍，則稱三角形為“n倍角三角形”．當(dāng)時，稱為“1倍角三角形”，顯然等腰三角形是“1倍角三角形”；當(dāng)時，稱為“2倍角三角形”，小康通過探索后發(fā)現(xiàn)：“2倍角三角形”的三邊有如下關(guān)系．如圖，在中，所對的邊分別為，若，則．下面是小康對“2倍角三角形”的結(jié)論的兩種探索證明過程：證法1：如圖1，作的平分線，∴．

設(shè)，則．證法2：如圖2，延長到點(diǎn)，使得，連接，……

任務(wù)：(1)上述材料中的證法1是通過作輔助線，構(gòu)造出__________三角形來加以證明的（填“全等”或“相似”）．(2)請補(bǔ)全證法2剩余的部分．【答案】(1)相似(2)見解析【分析】（1）由題意知，是通過構(gòu)造相似三角形，然后作答即可；（2）如圖2，延長到點(diǎn)，使得，連接，則，．由，可得．證明，則，即，整理可得．【詳解】（1）解：由題意知，構(gòu)造相似三角形，故答案為：相似；（2）證明：如圖2，延長到點(diǎn)，使得，連接，

，．，．，，，，．【點(diǎn)睛】本題考查了等邊對等角，三角形外角的性質(zhì)，相似三角形的判定與性質(zhì)．解題的關(guān)鍵在于對知識的熟練掌握與靈活運(yùn)用．12．（2022·湖北武漢·一模）在Rt△ABC中，∠ACB=90°，點(diǎn)D為AB上一點(diǎn)．（1）如圖1，若CD⊥AB，求證：AC2=AD·AB；（2）如圖2，若AC=BC，EF⊥CD交CD于H，交AC于F，且，求的值；（3）如圖3，若AC=BC，點(diǎn)H在CD上，∠AHD=45°，CH=3DH，則tan∠ACH的值為________．【答案】（1）見解析；（2）；（3）【分析】（1）證出，證明∽，得出，即可得出結(jié)論；（2）設(shè)，則（），同（1）得，則，在中，，過作于，易證，求出，再由平行線分線段成比例定理即可得出答案；（3）過點(diǎn)作于，設(shè)，則（），，證明∽，得出，，求出，證明是等腰直角三角形，得出，由勾股定理得出，由三角函數(shù)定義即可得出答案．【詳解】（1）證明：∵，∴，∵，∴，∴，∴∽，∴，∴；（2）解：∵，∴設(shè)，則（），∵，，同（1）得：，∴，在中，，過作于，如圖2所示：則，在中，，∵，，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴，∵，∴；（3）解：過點(diǎn)作于，如圖3所示：∵，∴設(shè)，則（），∴，∵，，∴，∴又∵，∴∽，∴，，∴，∴，∵，∴，∵，∴，∴是等腰直角三角形，∴，∴，∴；故答案為：．【點(diǎn)睛】本題是相似形綜合題,主要考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰直角三角形的判定與性質(zhì)、直角三角形的性質(zhì)、三角函數(shù)定義、平行線分線段成比例定理等知識；熟練掌握等腰直角三角形的判定與性質(zhì),證明三角形相似是解題的關(guān)鍵。13．（2023·安徽合肥·九年級期中）中，，，點(diǎn)E為的中點(diǎn)，連接并延長交于點(diǎn)F，且有，過F點(diǎn)作于點(diǎn)H．（1）求證：；（2）求證：；（3）若，求的長．【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析；（3）4．【分析】（1）先根據(jù)垂直的定義可得，再根據(jù)等腰三角形的性質(zhì)可得，然后根據(jù)相似三角形的判定即可得證；（2）先根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可得，再根據(jù)等腰三角形的三線合一可得，從而可得，然后根據(jù)平行線分線段成比例定理即可得證；（3）先根據(jù)相似三角形的判定與性質(zhì)可得，從而可得的長，再根據(jù)相似三角形的判定可得，然后利用相似三角形的性質(zhì)可求出的長，最后在中，利用勾股定理即可得．【詳解】證明：（1），，，，在和中，，；（2）點(diǎn)為的中點(diǎn)，，由（1）已證：，，設(shè)，則，，，（等腰三角形的三線合一），，又，，即；（3）由（2）已證：，，，，，即，解得，，，，，在和中，，，，由（2）可知，設(shè)，則，，解得或（不符題意，舍去），，則在中，．【點(diǎn)睛】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)、等腰三角形的性質(zhì)、勾股定理等知識點(diǎn)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)是解題關(guān)鍵．14．如圖1，在中，在邊上取一點(diǎn)，在邊上取一點(diǎn)，連、，如果是等腰三角形且與相似，我們稱是邊上的“等腰鄰相似三角形”．（1）如圖2，在中，，是邊上的“等腰鄰相似三角形”，且，，請直接寫出的度數(shù)；（2）如圖3，在中，，在邊上至少存在一個“等腰鄰相似”，請畫出一個邊上的“等腰鄰相似”，并說明理由；（3）如圖4，在中，是邊上的“等腰鄰相似三角形”，求出長度的所有可能值．【答案】（1）30°；（2）見解析；（3）2或或8-【分析】（1）只要證明∠A=∠PAB即可解決問題．（2）如圖3中，作∠BAC的平分線AP交BC于P，作PD∥AB交AC于D，只要證明DP=DA，即可解決問題．（3）分三種情形討論①如圖3′中，當(dāng)DA=DP時．②如圖4中，當(dāng)PA=PD時．③如圖5中，當(dāng)AP=AD時．分別求解即可解決問題．【詳解】解：（1）如圖2中，∵AB=AC，DA=DP，∴∠B=∠C，∠DAP=∠DPA，∵∠PAC=∠BPD，∴∠APC=∠BDP=∠DAP+∠DPA，∵∠APC=∠B+∠BAP，∴∠B=∠PAB=50°，∵∠BAC=180°-50°-50°=80°，∴∠PAC=30°故答案為30°．（2）如圖3中，作∠BAC的平分線AP交BC于P，作PD∥AB交AC于D，∴∠BAP=∠PAD=∠DPA，∠CPD=∠B，∵∠CAB=2∠C，∴∠PAD=∠C，∴DP=DA，∴△APD是等腰三角形且與△APB與△CDP相似．（3）如圖3′中，當(dāng)DA=DP時，設(shè)∠APD=∠DAP=x，①若∠BPD=∠CAP=90°-x，∠BDP=∠CPA=2x，∴90°-x+2x+x=180°，∴x=45°，∴三角形都是等腰直角三角形，∴AD=2，②若∠PDB=∠CAP時，設(shè)∠APD=∠DAP=x，得到∠PDB=∠CAP=2x，易知x=30°，設(shè)AD=a，則AP=a，∵△BPD∽△CPA，∴，即，解得：a=，如圖4中，當(dāng)PA=PD時，易知∠PDB是鈍角，∠CAP是銳角，∴∠PDB=∠CPA，則△BPD≌△CPA，設(shè)AD=a，則BD=4-a，BP=BC-CP=BC-BD=-（2-a）=-4+a，AC=4，∴-4+a=4，解得：a=8-，如圖5中，當(dāng)AP=AD時，設(shè)∠APD=∠ADP=x，則∠DAP=180°-2x，易知∠PDB為鈍角，∠CAP為銳角，∴∠PDB=∠CPA=180°-x，∠CAP=90°-∠DAP=90°-（180°-2x）=2x-90°，在△APC中，2x-90°+180°-x+45°=180°，解得x=45°，不可能成立．綜上所述．AD的長為2或或8-．【點(diǎn)睛】本題考查相似三角形綜合題、等腰直角三角形的性質(zhì)、角平分線的定義、相似三角形的判定和性質(zhì)等知識，解題的關(guān)鍵是理解題意，學(xué)會用構(gòu)建方程的思想思考問題，屬于中考壓軸題．15．（2022?靜安區(qū)期末）如圖1，四邊形ABCD中，∠BAD的平分線AE交邊BC于點(diǎn)E，已知AB＝9，AE＝6，AE2＝AB?AD，且DC∥AE．（1）求證：DE2＝AE?DC；（2）如果BE＝9，求四邊形ABCD的面積；（3）如圖2，延長AD、BC交于點(diǎn)F，設(shè)BE＝x，EF＝y(tǒng)，求y關(guān)于x的函數(shù)解析式，并寫出定義域．【分析】（1）先證明△ABE∽△AED，可得∠AEB＝∠ADE，再由平行線性質(zhì)可推出∠ADE＝∠DCE，進(jìn)而證得△ADE∽△ECD，根據(jù)相似三角形性質(zhì)可證得結(jié)論；（2）如圖2，過點(diǎn)B作BG⊥AE，運(yùn)用等腰三角形性質(zhì)可得G為AE的中點(diǎn)，進(jìn)而可證得△ADE≌△ECD（SAS），再求得S△ABE＝×AE×BG＝18，根據(jù)△ABE∽△AED且相似比為3：2，可求得S△AED＝S△CDE＝8，由S四邊形ABCD＝S△ABE+S△AED+S△CDE可求得答案；（3）由△ABE∽△AED，可求得：DE＝x，進(jìn)而得出DC＝x2，再利用△ADE∽△ECD，可得：CE＝x，再利用DC∥AE，可得△AEF∽△DCF，進(jìn)而求得：CF＝EF，再結(jié)合題意得出答案．【解答】（1）證明：如圖1，∵AE平分∠BAD，∴∠BAE＝∠DAE，∵AE2＝AB?AD，∴＝，∴△ABE∽△AED，∴∠AEB＝∠ADE，∵DC∥AE，∴∠AEB＝∠DCE，∠AED＝∠CDE，∴∠ADE＝∠DCE，∴△ADE∽△ECD，∴＝，∴DE2＝AE?DC；（2）解：如圖2，過點(diǎn)B作BG⊥AE，∵BE＝9＝AB，∴△ABE是等腰三角形，∴G為AE的中點(diǎn)，由（1）可得△ADE、△ECD也是等腰三角形，∵AE2＝AB?AD，AB＝BE＝9，AE＝6，∴AD＝4，DE＝6，CE＝4，AG＝3，∴△ADE≌△ECD（SAS），在Rt△ABG中，BG＝＝＝6，∴S△ABE＝×AE×BG＝×6×6＝18，∵△ABE∽△AED且相似比為3：2，∴S△ABE：S△AED＝9：4，∴S△AED＝S△CDE＝8，∴S四邊形ABCD＝S△ABE+S△AED+S△CDE＝18+8+8＝34；（3）解：如圖3，由（1）知：△ABE∽△AED，∴＝，∵BE＝x，AB＝9，AE＝6，AE2＝AB?AD，AD＝4，∴＝，∴DE＝x，由（1）知：DE2＝AE?DC，∴DC＝x2，∵△ADE∽△ECD，∴＝＝，∴CE＝x，∵DC∥AE，∴△AEF∽△DCF，∴＝＝，∴CF＝EF，∴＝＝＝，∴y＝EF＝CE＝×x＝，∵即，∴3＜x＜9，∴y關(guān)于x的函數(shù)解析式為y＝，定義域為3＜x＜9．【點(diǎn)評】本題是相似三角形綜合題，考查了角平分線定義，平行線的性質(zhì)，勾股定理，相似三角形的判定和性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，三角形面積等知識，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題關(guān)鍵．16．（2022·安徽·校聯(lián)考三模）在中，，平分．（1）如圖1，若，，求的長．（2）如圖2，過分別作交于，于．①求證：；②求的值．【答案】（1）；（2）①見解析；②【分析】（1）由已知易證，利用可求得AD的長；（2）①由（1）和已知易證，進(jìn)而證得；②過作，與的延長線交于，易證：、和均為等腰三角形，進(jìn)而得到AC=BG，根據(jù)等腰三角形的“三線合一”性質(zhì)即可得證．【詳解】解：（1）∵在中，，平分，∴，又∠A=∠A，∴，∴，∵，，∴；（2）①∵交于，于，∴∠AFB=∠EAC，又∠ABF=∠ACB，∴，∴，∵，，∴；②過作，與的延長線交于，∵，∴，∴、和均為等腰三角形，∴，∵在等腰中，于，∴，即，∴的值為．【點(diǎn)睛】本題考查了等腰三角形的判定與性質(zhì)、相似三角形的判定與性質(zhì)、平行線的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的判定與性質(zhì)，會借助作平行線，用等腰三角形的“三線合一”性質(zhì)解決問題是解答的關(guān)鍵．17．（2023·安徽合肥·統(tǒng)考一模）如圖1，，，將繞點(diǎn)逆時針旋轉(zhuǎn)得到，使點(diǎn)落在的點(diǎn)處，與相交于點(diǎn)，與相交于點(diǎn)，連接．(1)求證：；(2)求證：；(3)若點(diǎn)，，在同一條直線上，如圖2，求的值．（溫馨提示：請用簡潔的方式表示角）【答案】(1)見解析(2)見解析(3)【分析】（1）根據(jù)旋轉(zhuǎn)變換的性質(zhì)得到旋轉(zhuǎn)前后兩個三角形全等，從而得到，根據(jù)，就能得到，然后利用平行可以得到內(nèi)錯角相等，最后加上，就可以通過邊角邊證明兩個三角形全等．（2）根據(jù)旋轉(zhuǎn)和第一小題的結(jié)論，可以得到，然后用等角對等邊即可得到，又可以從前面的兩個全等中得到，從而得到，那么和就是頂角互為對頂角的一組等腰三角形，所以就能得到底角相等，即，那么內(nèi)錯角相等，兩直線平行即可證結(jié)論．（3）根據(jù)，，在同一條直線上，可以證明和全等，即可得到，那么就是中位線