對數(shù)函數(shù)圖象及其性質(zhì)知識點及例題解析

對數(shù)函數(shù)的圖象及性質(zhì)例題解析題型一判斷對數(shù)函數(shù)【例1】函數(shù)f(x)＝(a2－a＋1)log(a＋1)x是對數(shù)函數(shù)，那么實數(shù)a＝__________．解析：由a2－a＋1＝1，解得a＝0,1．又a＋1＞0，且a＋1≠1，∴a＝1．【例1－1】以下函數(shù)中是對數(shù)函數(shù)的為__________．〔1〕y＝loga(a＞0，且a≠1)；(2)y＝log2x＋2；(3)y＝8log2(x＋1)；(4)y＝logx6(x＞0，且x≠1)；(5)y＝log6x．解析：序號是否理由(1)×真數(shù)是，不是自變量x(2)×對數(shù)式后加2(3)×真數(shù)為x＋1，不是x，且系數(shù)為8，不是1(4)×底數(shù)是自變量x，不是常數(shù)(5)√底數(shù)是6，真數(shù)是x題型二底數(shù)對圖象的影響【例2】如下圖的曲線是對數(shù)函數(shù)y＝logax的圖象．a(chǎn)從，，，中取值，那么相應(yīng)曲線C1，C2，C3，C4的a值依次為()A．，，，B．，，，C．，，，D．，，，解析：由底數(shù)對對數(shù)函數(shù)圖象的影響這一性質(zhì)可知，C4的底數(shù)＜C3的底數(shù)＜C2的底數(shù)＜C1的底數(shù)．故相應(yīng)于曲線C1，C2，C3，C4的底數(shù)依次是，，，．答案：A點技巧作直線y＝1，它與各曲線的交點的橫坐標(biāo)就是各對數(shù)的底數(shù)，由此判斷各底數(shù)的大小．題型三對數(shù)型函數(shù)的定義域的求解(1)對數(shù)函數(shù)的定義域為(0，＋∞)．(2)在求對數(shù)型函數(shù)的定義域時，要考慮到真數(shù)大于0，底數(shù)大于0，且不等于1．假設(shè)底數(shù)和真數(shù)中都含有變量，或式子中含有分式、根式等，在解答問題時需要保證各個方面都有意義．(3)求函數(shù)的定義域應(yīng)滿足以下原那么：①分式中分母不等于零；②偶次根式中被開方數(shù)大于或等于零；③指數(shù)為零的冪的底數(shù)不等于零；④對數(shù)的底數(shù)大于零且不等于1；⑤對數(shù)的真數(shù)大于零，如果在一個函數(shù)中數(shù)條并存，求交集．【例3】求以下函數(shù)的定義域．(1)y＝log5(1－x)；(2)y＝log(2x－1)(5x－4)；(3)．分析：利用對數(shù)函數(shù)y＝logax(a＞0，且a≠1)的定義求解．解：(1)要使函數(shù)有意義，那么1－x＞0，解得x＜1，故函數(shù)y＝log5(1－x)的定義域是{x|x＜1}．要使函數(shù)有意義，那么解得x＞且x≠1，故函數(shù)y＝log(2x－1)(5x－4)的定義域是(1，＋∞)．(3)要使函數(shù)有意義，那么解得＜x≤1，故函數(shù)的定義域是．題型四對數(shù)型函數(shù)的值域的求解方法一、充分利用函數(shù)的單調(diào)性和圖象是求函數(shù)值域的常用方法．方法二、對于形如y＝logaf(x)(a＞0，且a≠1)的復(fù)合函數(shù)，其值域的求解步驟如下：①分解成y＝logau，u＝f(x)這兩個函數(shù)；②求f(x)的定義域；③求u的取值范圍；④利用y＝logau的單調(diào)性求解．方法三、對于函數(shù)y＝f(logax)(a＞0，且a≠1)，可利用換元法，設(shè)logax＝t，那么函數(shù)f(t)(tR)的值域就是函數(shù)f(logax)(a＞0，且a≠1)的值域．注意：(1)假設(shè)對數(shù)函數(shù)的底數(shù)是含字母的代數(shù)式(或單獨一個字母)，要考查其單調(diào)性，就必須對底數(shù)進(jìn)行分類討論．(2)求對數(shù)函數(shù)的值域時，一定要注意定義域?qū)λ挠绊懀?dāng)對數(shù)函數(shù)中含有參數(shù)時，有時需討論參數(shù)的取值范圍．【例4】求以下函數(shù)的值域：(1)y＝log2(x2＋4)；(2)y＝．解：(1)∵x2＋4≥4，∴l(xiāng)og2(x2＋4)≥log24＝2．∴函數(shù)y＝log2(x2＋4)的值域為[2，＋∞)．(2)設(shè)u＝3＋2x－x2，那么u＝－(x－1)2＋4≤4．∵u＞0，∴0＜u≤4．又y＝在(0，＋∞)上為減函數(shù)，∴≥－2．∴函數(shù)y＝的值域為[－2，＋∞)．【例4－1】f(x)＝2＋log3x，x[1,3]，求y＝[f(x)]2＋f(x2)的最大值及相應(yīng)的x的值．分析：先確定y＝[f(x)]2＋f(x2)的定義域，然后轉(zhuǎn)化成關(guān)于log3x的一個一元二次函數(shù)，利用一元二次函數(shù)求最值．解：∵f(x)＝2＋log3x，x[1,3]，∴y＝[f(x)]2＋f(x2)＝(log3x)2＋6log3x＋6且定義域為[1,3]．令t＝log3x(x[1,3])．∵t＝log3x在區(qū)間[1,3]上是增函數(shù)，∴0≤t≤1．從而要求y＝[f(x)]2＋f(x2)在區(qū)間[1,3]上的最大值，只需求y＝t2＋6t＋6在區(qū)間[0,1]上的最大值即可．∵y＝t2＋6t＋6在[－3，＋∞)上是增函數(shù)，∴當(dāng)t＝1，即x＝3時，ymax＝1＋6＋6＝13．綜上可知，當(dāng)x＝3時，y＝[f(x)]2＋f(x2)的最大值為13．題型五對數(shù)函數(shù)的圖象變換及定點問題(1)與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)圖象過定點問題對數(shù)函數(shù)y＝logax(a＞0，且a≠1)過定點(1,0)，即對任意的a＞0，且a≠1都有l(wèi)oga1＝0．這是解決與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)圖象問題的關(guān)鍵．對于函數(shù)y＝b＋klogaf(x)(k，b均為常數(shù)，且k≠0)，令f(x)＝1，解方程得x＝m，那么該函數(shù)恒過定點(m，b)．方程f(x)＝0的解的個數(shù)等于該函數(shù)圖象恒過定點的個數(shù)．(2)對數(shù)函數(shù)的圖象變換的問題①函數(shù)y＝logax(a＞0，且a≠1)eq\o(→,\s\up8(向左(b>0)或向右(b<0)),\s\do3(平移|b|個單位長度))函數(shù)y＝loga(x＋b)(a＞0，且a≠1)②函數(shù)y＝logax(a＞0，且a≠1)eq\o(→,\s\up8(向上(b>0)或向下(b<0)),\s\do3(平移|b|個單位長度))函數(shù)y＝logax＋b(a＞0，且a≠1)③函數(shù)y＝logax(a＞0，且a≠1)eq\o(→,\s\up8(當(dāng)x>0時，兩函數(shù)圖象相同),\s\do3(當(dāng)x<0時，將x>0時的圖象關(guān)于y軸對稱))函數(shù)y＝loga|x|(a＞0，且a≠1)④函數(shù)y＝logax(a＞0，且a≠1)eq\o(→,\s\up8(保存x軸上方的圖象),\s\do3(同時將x軸下方的圖象作關(guān)于x軸的對稱變換))函數(shù)y＝|logax|(a＞0，且a≠1)【例5】假設(shè)函數(shù)y＝loga(x＋b)＋c(a＞0，且a≠1)的圖象恒過定點(3,2)，那么實數(shù)b，c的值分別為__________．解析：∵函數(shù)的圖象恒過定點(3,2)，∴將(3,2)代入y＝loga(x＋b)＋c(a＞0，且a≠1)，得2＝loga(3＋b)＋c．又∵當(dāng)a＞0，且a≠1時，loga1＝0恒成立，∴c＝2．∴l(xiāng)oga(3＋b)＝0．∴b＝－2．答案：－2,2【例5－1】作出函數(shù)y＝|log2(x＋1)|＋2的圖象．解：(第一步)作函數(shù)y＝log2x的圖象，如圖①；(第二步)將函數(shù)y＝log2x的圖象沿x軸向左平移1個單位長度，得函數(shù)y＝log2(x＋1)的圖象，如圖②；(第三步)將函數(shù)y＝log2(x＋1)在x軸下方的圖象作關(guān)于x軸的對稱變換，得函數(shù)y＝|log2(x＋1)|的圖象，如圖③；(第四步)將函數(shù)y＝|log2(x＋1)|的圖象，沿y軸方向向上平移2個單位長度，便得到所求函數(shù)的圖象，如圖④．題型六利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比擬大小兩個對數(shù)式的大小比擬有以下幾種情況：(1)底數(shù)相同，真數(shù)不同．(2)底數(shù)不同，真數(shù)相同．(3)底數(shù)不同，真數(shù)也不同．(4)對于多個對數(shù)式的大小比擬注意：對于含有參數(shù)的兩個對數(shù)值的大小比擬，要注意對底數(shù)是否大于1進(jìn)行分類討論．【例6】比擬以下各組中兩個值的大?。?1)log31.9，log32；(2)log23，log2；(3)logaπ，loga3.141．分析：(1)構(gòu)造函數(shù)y＝log3x，利用其單調(diào)性比擬；(2)分別比擬與0的大小；(3)分類討論底數(shù)的取值范圍．解：(1)因為函數(shù)y＝log3x在(0，＋∞)上是增函數(shù)，所以f(1.9)＜f(2)．所以log31.9＜log32．(2)因為log23＞log21＝0，log2＜log1＝0，所以log23＞log2．(3)當(dāng)a＞1時，函數(shù)y＝logax在定義域上是增函數(shù)，那么有l(wèi)ogaπ＞loga3.141；當(dāng)0＜a＜1時，函數(shù)y＝logax在定義域上是減函數(shù)，那么有l(wèi)ogaπ＜loga3.141．綜上所得，當(dāng)a＞1時，logaπ＞loga3.141；當(dāng)0＜a＜1時，logaπ＜loga3.141．【例6－1】假設(shè)a2＞b＞a＞1，試比擬，，logba，logab的大?。治觯豪脤?shù)函數(shù)的單調(diào)性或圖象進(jìn)行判斷．解：∵b＞a＞1，∴0＜＜1．∴＜0，logab＞logaa＝1，logb1＜logba＜logbb，即0＜logba＜1．由于1＜＜b，∴0＜＜1．由logba－＝，∵a2＞b＞1，∴＞1．∴＞0，即logba＞．∴l(xiāng)ogab＞logba＞＞．題型七利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性解不等式常見的對數(shù)不等式有三種類型：①形如logaf(x)＞logag(x)的不等式，借助函數(shù)y＝logax的單調(diào)性求解，如果a的取值不確定，需分a＞1與0＜a＜1兩種情況討論．②形如logaf(x)＞b的不等式，應(yīng)將b化為以a為對數(shù)的對數(shù)式的形式，再借助函數(shù)y＝logax的單調(diào)性求解．③形如logaf(x)＞logbg(x)的不等式，根本方法是將不等式兩邊化為同底的兩個對數(shù)值，利用對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性來脫去對數(shù)符號，同時應(yīng)保證真數(shù)大于零，取交集作為不等式的解集．④形如f(logax)＞0的不等式，可用換元法(令t＝logax)，先解f(t)＞0，得到t的取值范圍．然后再解x的范圍．【例7】解以下不等式：(1)；(2)logx(2x＋1)＞logx(3－x)．解：(1)由，得解得0＜x＜2．故原不等式的解集是{x|0＜x＜2}．(2)當(dāng)x＞1時，有解得1＜x＜3；當(dāng)0＜x＜1時，有解得0＜x＜．所以原不等式的解集是．【例7－1】假設(shè)＜1，求a的取值范圍．解：∵＜1，∴－1＜＜1，即．(1)∵當(dāng)a＞1時，y＝logax為增函數(shù)，∴．∴a＞，結(jié)合a＞1，可知a＞．(2)∵當(dāng)0＜a＜1時，y＝logax為減函數(shù)，∴．∴a＜，結(jié)合0＜a＜1，知0＜a＜．∴a的取值范圍是．題型八對數(shù)型函數(shù)單調(diào)性的討論〔1〕解決與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)的單調(diào)性問題的關(guān)鍵：一是看底數(shù)是否大于1，當(dāng)?shù)讛?shù)未明確給出時，那么應(yīng)對底數(shù)a是否大于1進(jìn)行討論；二是運用復(fù)合法來判斷其單調(diào)性；三是注意其定義域．(2)關(guān)于形如y＝logaf(x)一類函數(shù)的單調(diào)性，有以下結(jié)論：函數(shù)y＝logaf(x)的單調(diào)性與u＝f(x)(f(x)＞0)的單調(diào)性，當(dāng)a＞1時相同，當(dāng)0＜a＜1時相反．【例8】求函數(shù)y＝log2(3－2x)的單調(diào)區(qū)間．分析：首先確定函數(shù)的定義域，函數(shù)y＝log2(3－2x)是由對數(shù)函數(shù)y＝log2u和一次函數(shù)u＝3－2x復(fù)合而成，求其單調(diào)區(qū)間或值域時，應(yīng)從函數(shù)u＝3－2x的單調(diào)性、值域入手，并結(jié)合函數(shù)y＝log2u的單調(diào)性考慮．解：由3－2x＞0，解得函數(shù)y＝log2(3－2x)的定義域是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(3,2)))．設(shè)u＝3－2x，xeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(3,2)))，∵u＝3－2x在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(3,2)))上是減函數(shù)，且y＝log2u在(0，＋∞)上單調(diào)遞增，∴函數(shù)y＝log2(3－2x)在eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(3,2)))上是減函數(shù)．∴函數(shù)y＝log2(3－2x)的單調(diào)減區(qū)間是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(3,2)))．【例8-1】求函數(shù)y＝loga(a－ax)的單調(diào)區(qū)間．解：(1)假設(shè)a＞1，那么函數(shù)y＝logat遞增，且函數(shù)t＝a－ax遞減．又∵a－ax＞0，即ax＜a，∴x＜1．∴函數(shù)y＝loga(a－ax)在(－∞，1)上遞減．(2)假設(shè)0＜a＜1，那么函數(shù)y＝logat遞減，且函數(shù)t＝a－ax遞增．又∵a－ax＞0，即ax＜a，∴x＞1．∴函數(shù)y＝loga(a－ax)在(1，＋∞)上遞減．綜上所述，函數(shù)y＝loga(a－ax)在其定義域上遞減．析規(guī)律判斷函數(shù)y＝logaf(x)的單調(diào)性的方法函數(shù)y＝logaf(x)可看成是y＝logau與u＝f(x)兩個簡單函數(shù)復(fù)合而成的，由復(fù)合函數(shù)單調(diào)性“同增異減〞的規(guī)律即可判斷．需特別注意的是，在求復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性時，首先要考慮函數(shù)的定義域，即“定義域優(yōu)先〞．【例8－2】f(x)＝(x2－ax－a)在上是增函數(shù)，求a的取值范圍．解：是函數(shù)f(x)的遞增區(qū)間，說明是函數(shù)u＝x2－ax－a的遞減區(qū)間，由于是對數(shù)函數(shù)，還需保證真數(shù)大于0．令u(x)＝x2－ax－a，∵f(x)＝在上是增函數(shù)，∴u(x)在上是減函數(shù)，且u(x)＞0在上恒成立．∴即∴－1≤a≤．∴滿足條件的a的取值范圍是．題型九對數(shù)型函數(shù)的奇偶性問題判斷與對數(shù)函數(shù)有關(guān)的函數(shù)奇偶性的步驟是：(1)求函數(shù)的定義域，當(dāng)定義域關(guān)于原點不對稱時，那么此函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)，當(dāng)定義域關(guān)于原點對稱時，判斷f(－x)與f(x)或－f(x)是否相等；(2)當(dāng)f(－x)＝f(x)時，此函數(shù)是偶函數(shù)；當(dāng)f(－x)＝－f(x)時，此函數(shù)是奇函數(shù)；(3)當(dāng)f(－x)＝f(x)且f(－x)＝－f(x)時，此函數(shù)既是奇函數(shù)又是偶函數(shù)；(4)當(dāng)f(－x)≠f(x)且f(－x)≠－f(x)時，此函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù)．【例9】判斷函數(shù)f(x)＝(xR，a＞0，且a≠1)的奇偶性．解：∵f(－x)＋f(x)＝＝＋)＝loga(x2＋1－x2)＝loga1＝0，∴f(－x)＝－f(x)．∴f(x)為奇函數(shù)．【例9-1】函數(shù)f(x)＝(a＞0，且a≠1)．求函數(shù)f(x)的定義域；判斷函數(shù)f(x)的奇偶性；求使f(x)＞0的x的取值范圍．分析：對于第(2)問，依據(jù)函數(shù)奇偶性的定義證明即可．對于第(3)問，利用函數(shù)的單調(diào)性去掉對數(shù)符號，解出不等式．解：(1)由＞0，得－1＜x＜1，故函數(shù)f(x)的定義域為(－1,1)．(2)∵f(－x)＝＝＝－f(x)，又由(1)知函數(shù)f(x)的定義域關(guān)于原點對稱，∴函數(shù)f(x)是奇函數(shù)．(3)當(dāng)a＞1時，由＞0＝loga1，得＞1，解得0＜x＜1；當(dāng)0＜a＜1時，由＞0＝loga1，得0＜＜1，解得－1＜x＜0．故當(dāng)a＞1時，x的取值范圍是{x|0＜x＜1}；當(dāng)0＜a＜1時，x的取值范圍是{x|－1＜x＜0}．題型十反函數(shù)【例10】假設(shè)函數(shù)y＝f(x)是函數(shù)y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函數(shù)，且f(2)＝1，那么f(x)＝()A．log2xB．C．D．2x－2解析：因為函數(shù)y＝ax(a＞0，且a≠1)的反函數(shù)是f(x)＝logax，又f(2)＝1，即loga2＝1，所以a＝2．故f(x)＝log2x．【例10-1】函數(shù)f(x)＝3x(0＜x≤2)的反函數(shù)的定義域為()A