專題15 猜想歸納與變式規(guī)律問題（押題預(yù)測40題：代數(shù)式、圖形、幾何、函數(shù)）【解析版】-押題培優(yōu)

專題15猜想歸納與變式規(guī)律問題（押題預(yù)測40題：代數(shù)式、圖形、幾何、函數(shù)）類型一、數(shù)與式的變化規(guī)律1．觀察下列按一定規(guī)律排列的單項式：x，﹣3x2，5x3，﹣7x4，9x5，﹣11x6，…，按這個規(guī)律，第15個單項式是（）A．15x15 B．﹣15x15 C．29x15 D．﹣29x15【分析】由所給的單項式可得第n個單項式為（﹣1）n+1（2n﹣1）xn，把n＝15代入即可求解．【解答】解：∵x，﹣3x2，5x3，﹣7x4，9x5，﹣11x6，…，∴第n個單項式為（﹣1）n+1（2n﹣1）xn，∴第15個單項式為：29x15，故選：C．【點(diǎn)評】本題考查數(shù)字的變化規(guī)律，通過所給的單項式，探索出系數(shù)與次數(shù)的關(guān)系是解題的關(guān)鍵．2．觀察下列按一定規(guī)律排列的數(shù)：﹣3，1，9，1，﹣27，1，81，1，…，則第15個數(shù)為（）A．315 B．﹣315 C．38 D．﹣38【分析】由題意歸納出數(shù)字符號與絕對值出現(xiàn)的規(guī)律進(jìn)行求解．【解答】解：由題意得，第4n﹣3個數(shù)為（﹣3）n，第4n﹣1個數(shù)為32n，∵15÷4＝3……3，∴第15個數(shù)為38，故選：C．【點(diǎn)評】此題考查了數(shù)字規(guī)律問題的解決能力，關(guān)鍵是能準(zhǔn)確理解題意，并進(jìn)行規(guī)律的歸納與運(yùn)用．3．“數(shù)學(xué)是將科學(xué)現(xiàn)象升華到科學(xué)本質(zhì)認(rèn)識的重要工具”，比如在化學(xué)中，甲烷的化學(xué)式CH4，乙烷的化學(xué)式是C2H6，丙烷的化學(xué)式是C3H8，…，設(shè)碳原子的數(shù)目為n（n為正整數(shù)），則它們的化學(xué)式都可用下列哪個式子來表示（）A．?nHn+3 B．?nH2n+2 C．?nH2n D．?nH2n﹣2【分析】設(shè)碳原子的數(shù)目為n（n為正整數(shù)）時，氫原子的數(shù)目為an，列出部分an的值，根據(jù)數(shù)值的變化找出變化規(guī)律“an＝2n+2”，依此規(guī)律即可解決問題．【解答】解：設(shè)碳原子的數(shù)目為n（n為正整數(shù)）時，氫原子的數(shù)目為an，觀察，發(fā)現(xiàn)規(guī)律：a1＝4＝2×1+2，a2＝6＝2×2+2，a3＝8＝2×3+2，…，∴an＝2n+2．∴碳原子的數(shù)目為n（n為正整數(shù)）時，它的化學(xué)式為?nH2n+2．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了規(guī)律型中的數(shù)字的變化類，解題的關(guān)鍵是找出變化規(guī)律“an＝2n+2”．本題屬于基礎(chǔ)題，難度不大，解決該題型題目時，根據(jù)碳原子的變化找出氫原子的變化規(guī)律是關(guān)鍵．4．觀察下列各數(shù)的排列規(guī)律：3，54，79，916，1125，…，據(jù)此規(guī)律可知第10個數(shù)是【分析】不難看出，分母部分是：n2，分子部分是：2n+1，從而可得到第n個數(shù)，即可求解．【解答】解：∵3=2×1+15479916…，∴第n個數(shù)為：2n+1n∴第10個數(shù)為：2×10+11故答案為：21100【點(diǎn)評】本題主要考查數(shù)字的變化規(guī)律，解答的關(guān)鍵是由所給的數(shù)總結(jié)出存在的規(guī)律．5．幻方的歷史很悠久，傳說最早出現(xiàn)在夏禹時代的“洛書”（圖1所示），把“洛書”用今天的數(shù)學(xué)符號翻譯出來，就是一個三階幻方（圖2所示）．觀察圖1、圖2，請你探究出洛書三階幻方中的奇數(shù)和偶數(shù)的位置、數(shù)和數(shù)之間的數(shù)量關(guān)系所呈現(xiàn)的規(guī)律，并用這個規(guī)律，求出圖3幻方中ab的值為﹣2【分析】觀察圖1和圖2，根據(jù)數(shù)字關(guān)系可得出幻方滿足的條件是：每行每列和每條對角線上的數(shù)字之和都相等，然后算出圖3中的a和b的值即可．【解答】解：觀察圖1和圖2，根據(jù)數(shù)字關(guān)系可得出幻方滿足的條件是：每行每列和每條對角線上的數(shù)字之和都相等，∴圖3中滿足：b+2+3＝0+2+4＝5+a+3，∴a＝﹣2，b＝1，即ab＝﹣2，故答案為：﹣2．【點(diǎn)評】本題主要考查數(shù)字的變化規(guī)律，總結(jié)歸納出數(shù)字的變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵．6．人們把5-12這個數(shù)叫做黃金分割數(shù)，著名數(shù)學(xué)家華羅庚優(yōu)選法中的0.618法就應(yīng)用了黃金分割數(shù)．設(shè)a=5-12，b=5+12，得ab＝1，記S1=11+a+11+b，S2=1【分析】利用分式的加減法則分別可求S1＝1，S2＝1，S10＝1，???，利用規(guī)律求解即可．【解答】解：∵S1=11+aS2=11S3=11…，S2022=11∴S1+S2+…+S2022＝1+1+…+1＝2022，故答案為：2022．【點(diǎn)評】本題考查了規(guī)律型：數(shù)字的變化類，找出的規(guī)律是本題的關(guān)鍵．7．仔細(xì)觀察下列各式：第1個等式：12+22+22＝（2+1）2；第2個等式：22+62+32＝（6+1）2；第3個等式：32+122+42＝（12+1）2；請你根據(jù)以上規(guī)律，解決下列問題：（1）寫出第4個等式：42+202+52＝（20+1）2；（2）寫出第n（n為正整數(shù)）個等式，并證明等式成立．【分析】（1）由所給的等式的形式進(jìn)行求解即可；（2）分析所給的等式的形式，不難求解．【解答】解：（1）由題意可得，第4個等式為：42+202+52＝（20+1）2；故答案為：42+202+52＝（20+1）2；（2）第n個等式為：n2+[n（n+1）]2+（n+1）2＝[n（n+1）+1]2，右邊＝[n（n+1）]2+2n（n+1）+1＝[n（n+1）]2+2n2+2n+1＝[n（n+1）]2+n2+（n2+2n+1）＝n2+[n（n+1）]2+（n+1）2＝左邊，故等式成立．【點(diǎn)評】本題主要考查數(shù)字的變化規(guī)律，解答的關(guān)鍵是由所給的等式總結(jié)出存在的規(guī)律．8．觀察下列等式的規(guī)律，并解決問題：第1個等式：1+1第2個等式：2+1第3個等式：3+1……（1）請寫出第4個等式：4+16=52（2）請用含n的式子表示你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，并證明．【分析】（1）根據(jù)所給的等式的形式進(jìn)行求解即可；（2）分析所給的等式的形式，再進(jìn)行總結(jié)，即可求解．【解答】解：（1）第4個等式為：4+16=5故答案為：4+16=5（2）規(guī)律：n+1證明：左邊==n=(n+1＝（n+1）2×＝右邊，故規(guī)律成立．【點(diǎn)評】本題主要考查數(shù)字的變化規(guī)律，解答的關(guān)鍵是由所給的等式總結(jié)出存在的規(guī)律．9．觀察下列等式的規(guī)律，解答下列問題：第1個等式：12+22+32＝3×22+2．第2個等式：22+32+42＝3×32+2第3個等式：32+42+52＝3×42+2．第4個等式：42+52+62＝3×52+2．……（1）請你寫出第5個等式：52+62+72＝3×62+2．（2）寫出你猜想的第n個等式（用含n的式子表示），并證明．【分析】（1）根據(jù)所給的等式的形式進(jìn)行求解即可；（2）分析所給的等式的形式，再進(jìn)行總結(jié)，把等式左邊的式子及右邊的式子進(jìn)行整理即可證明．【解答】解：（1）由題意得：第5個等式為：52+62+72＝3×62+2．故答案為：52+62+72＝3×62+2；（2）猜想的第n個等式：n2+（n+1）2+（n+2）2＝3（n+1）2+2，證明：左邊＝n2+n2+2n+1+n2+4n+4＝3n2+6n+5，右邊＝3（n2+2n+1）+2＝3n2+6n+5，∴左邊＝右邊，∴猜想成立．【點(diǎn)評】本題主要考查數(shù)字的變化規(guī)律，解答的關(guān)鍵是由所給的等式總結(jié)出存在的規(guī)律．10．觀察一下等式：第一個等式：12第二個等式：12第三個等式：12…按照以上規(guī)律，解決下列問題：（1）12+12（2）寫出第五個式子：12+12（3）用含n（n為正整數(shù)）的式子表示一般規(guī)律：12+12（4）計算（要求寫出過程）：32【分析】（1）根據(jù)所給的等式的形式進(jìn)行求解即可；（2）根據(jù)所給的等式的形式進(jìn)行求解即可；（3）分析所給的等式的形式，不難總結(jié)出規(guī)律；（4）利用（3）中的規(guī)律進(jìn)行求解即可．【解答】解：（1）12+1故答案為：1-1（2）第5個式子為：12+1故答案為：12+1（3）12故答案為：12（4）3＝3×（12＝3×（1-1＝3×=189【點(diǎn)評】本題主要考查數(shù)字的變化規(guī)律，解答的關(guān)鍵是由所給的等式總結(jié)出存在的規(guī)律．類型二、圖形的變化規(guī)律11．用正方形按如圖所示的規(guī)律拼圖案，其中第①個圖案中有5個正方形，第②個圖案中有9個正方形，第③個圖案中有13個正方形，第④個圖案中有17個正方形，此規(guī)律排列下去，則第⑩個圖案中正方形的個數(shù)為（）A．41 B．37 C．33 D．32【分析】根據(jù)圖形的變化規(guī)律得出第n個圖形中有（4n+1）個正方形即可．【解答】解：由題知，第①個圖案中有5個正方形，第②個圖案中有9個正方形，第③個圖案中有13個正方形，第④個圖案中有17個正方形，……，第n個圖案中有（4n+1）個正方形，∴第⑩個圖案中正方形的個數(shù)為：4×10+1＝41，故選：A．【點(diǎn)評】本題主要考查圖形的變化規(guī)律，根據(jù)圖形的變化得出第n個圖形中有（4n+1）個正方形是解題的關(guān)鍵．12．如圖是由若干個相同的小正方體搭成的一個幾何體的左視圖和俯視圖，則所需的小正方體的個數(shù)最多是（）A．7 B．8 C．9 D．10【分析】由左視圖和俯視圖可以猜想到主視圖的可能情況，從而得到答案．【解答】解：從俯視圖可看出前后有三層，從左視圖可看出最后面有2層高，中間最高是2層，要是最多就都是2層，最前面的最高是1層，所以最多的為：2+2×2+1×2＝8．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了三視圖的知識，由兩個視圖想象幾何體是解題的關(guān)鍵，13．把黑色圓點(diǎn)按如圖所示的規(guī)律拼圖案，其中第①個圖案中有4個黑色圓點(diǎn)，第②個圖案中有6個黑色圓點(diǎn)，第③個圖案中有8個黑色圓點(diǎn)，…，按此規(guī)律排列下去，則第⑦個圖案中黑色圓點(diǎn)的個數(shù)為（）A．12 B．14 C．16 D．18【分析】第①個圖案中有4個黑色圓點(diǎn)，第②個圖案中有（4+2）個黑色圓點(diǎn)，第③個圖案中有（4+2+2）個黑色圓點(diǎn)，則可以總結(jié)出第n個圖形中黑色圓點(diǎn)的個數(shù)，代入n＝7計算即可．【解答】解：第①個圖案中有4個黑色圓點(diǎn)，第②個圖案中有（4+2）個黑色圓點(diǎn)，第③個圖案中有（4+2+2）個黑色圓點(diǎn)，第④個圖案中有（4+2+2+2）個黑色圓點(diǎn)，……則第n個圖形中黑色圓點(diǎn)的個數(shù)為4+2（n﹣1）＝2n+2，當(dāng)n＝7時，2n+2＝2×7+2＝16，∴第⑦個圖案中黑色圓點(diǎn)的個數(shù)為16．故選：C．【點(diǎn)評】本題屬于規(guī)律猜想題型的圖形變化類，解題的關(guān)鍵是通過圖形的變化得出圖形中圓點(diǎn)個數(shù)的數(shù)字變化規(guī)律．14．我國的刺繡有著悠久的歷史，如圖，（1）（2）（3）（4）為刺繡最簡單的四個圖案，這些圖案都是由小正方形構(gòu)成，小正方形個數(shù)越多刺繡越漂亮．現(xiàn)按同樣的規(guī)律刺繡（小正方形的擺放規(guī)律相同），則第（5）個圖形中包含41個小正方形．【分析】由圖形可得：第（1）個圖形中正方形的個數(shù)為：1，第（2）個圖形中正方形的個數(shù)為：5＝1+3+1，第（3）個圖形中正方形的個數(shù)為：13＝1+3+5+3+1，…，據(jù)此規(guī)律可求解．【解答】解：∵第（1）個圖形中正方形的個數(shù)為：1，第（2）個圖形中正方形的個數(shù)為：5＝1+3+1，第（3）個圖形中正方形的個數(shù)為：13＝1+3+5+3+1，第（4）個圖形中正方形的個數(shù)為：25＝1+3+5+7+5+3+1，…，∴第（5）個圖形中正方形的個數(shù)為：1+3+5+7+9+7+5+3+1＝41．故答案為：41．【點(diǎn)評】本題主要考查圖形的變化規(guī)律，解答的關(guān)鍵是由所給的圖形總結(jié)出存在的規(guī)律．15．如圖，用大小相同的小正方形拼圖形，第1個圖形是一個小正方形；第2個圖形由9個小正方形拼成；第3個圖形由25個小正方形拼成，依此規(guī)律，若第n個圖形比第（n﹣1）個圖形多用了72個小正方形，則n的值是10．【分析】由題意不難得出第n個圖形中小正方形的個數(shù)為：（2n﹣1）2，從而可列出相應(yīng)的方程求解即可．【解答】解：∵第1個圖形中小正方形的個數(shù)為：1；第2個圖形中小正方形的個數(shù)為9＝（2×2﹣1）2；第3個圖形中小正方形的個數(shù)為25＝（2×3﹣1）2，.....．∴第n個圖形中小正方形的個數(shù)為：（2n﹣1）2，∵第n個圖形比第（n﹣1）個圖形多用了72個小正方形，∴（2n﹣1）2﹣[2（n﹣1）﹣1]2＝72，解得：n＝10．故答案為：10．【點(diǎn)評】本題是主要考查圖形的變化規(guī)律，解答的關(guān)鍵是得出第n個圖形中小正方形的個數(shù)是（2n﹣1）2．16．下列圖案均是由邊長相同的小正方形按一定的規(guī)律構(gòu)成：第1個圖中有1個小正方形，第2個圖中有3個小正方形，……，依此規(guī)律，則第5個圖中有15個小正方形，第n個圖中有n(n+1)2個小正方形（用含n【分析】仔細(xì)觀察圖形知道第一個圖形有1個正方形，第二個有3＝1+2個，第三個圖形有6＝1+2+3個，由此得到規(guī)律，列式計算即可．【解答】解：第1個圖中有1個小正方形，第2個圖中有3個小正方形，3＝1+2，第3個圖中有6個小正方形，3＝1+2+3，第4個圖中有10個小正方形，3＝1+2+3+4，…，依此規(guī)律，則第5個圖中有15個小正方形，第n個圖中有n(n+1)2故答案為：15，n(n+1)2【點(diǎn)評】此題主要考查了圖形的變化規(guī)律，是根據(jù)圖形進(jìn)行數(shù)字猜想的問題，關(guān)鍵是通過歸納與總結(jié)，得到其中的規(guī)律，然后利用規(guī)律解決一般問題．17．如圖，已知∠MON＝30°，點(diǎn)A1，A2，A3，…在射線ON上，點(diǎn)B1，B2，B3，…在射線OM上，△A1B1A2，△A2B2A3，△A3B3A4，…均為等邊三角形，若OA1＝2，則△A2022B2022A2023的邊長為22022．【分析】由OA1＝2，可求得，△A1B1A2的邊長為2，△A2B2A3，的邊長為2×2＝22，△A3B3A4的邊長為22×2＝23…，可歸納得△AnBnAn+1＝2n，即可求得此題結(jié)果．【解答】解：由OA1＝2，可求得，△A1B1A2的邊長＝OA1＝2，△A2B2A3，的邊長＝OA2＝2×2＝22，△A3B3A4的邊長＝OA3＝22×2＝23…，可歸納得△AnBnAn+1＝2n，∴△A2022B2022A2023的邊長為22022，故答案為：22022．【點(diǎn)評】此題考查了圖形變化類規(guī)律歸納能力，關(guān)鍵是能根據(jù)圖形進(jìn)行猜想、驗證、歸納規(guī)律．18．觀察如圖中用小黑點(diǎn)擺成的三角形，并根據(jù)圖中規(guī)律回答相關(guān)問題．（1）第4個圖形對應(yīng)的等式為1+2+3+4+5=5×(1+5)2（2）若第n個圖形對應(yīng)的黑點(diǎn)總數(shù)為66個，求n的值．【分析】（1）根據(jù)所給的等式的形式進(jìn)行求解即可；（2）分析所給的等式的形式，可得到第n個圖形的等式為：1+2+3+…+（n+1）=n(1+n)【解答】解：（1）由題意得：第4個圖形對應(yīng)的等式為：1+2+3+4+5=5×(1+5)故答案為：1+2+3+4+5=5×(1+5)（2）由題意得：第n個圖形對應(yīng)的等式為：1+2+3+…+（n+1）=n(1+n)∴n(1+n)2解得：n＝11．【點(diǎn)評】本題主要考查圖形的變化規(guī)律，解答的關(guān)鍵是由所給的圖形總結(jié)出存在的規(guī)律．19．用同樣大小的兩種不同顏色（白色．灰色）的正方形紙片，按如圖方式拼成長方形．[觀察思考]第（1）個圖形中有2＝1×2張正方形紙片；第（2）個圖形中有2×（1+2）＝6＝2×3張正方形紙片；第（3）個圖形中有2×（1+2+3）＝12＝3×4張正方形紙片；第（4）個圖形中有2×（1+2+3+4）＝20＝4×5張正方形紙片；……以此類推[規(guī)律總結(jié)]（1）第（5）個圖形中有30張正方形紙片（直接寫出結(jié)果）；（2）根據(jù)上面的發(fā)現(xiàn)我們可以猜想：1+2+3+……+n＝n(n+1)2；（用含n[問題解決]（3）根據(jù)你的發(fā)現(xiàn)計算：101+102+103+……+200．【分析】（1）觀察圖形的變化即可得第（5）個圖形中正方形紙片張數(shù)；（2）根據(jù)上面的發(fā)現(xiàn)即可猜想：1+2+3+…+n=n(n+1)（3）根據(jù)（2）即可進(jìn)行計算．【解答】解：（1）第（1）個圖形中有2＝1×2張正方形紙片；第（2）個圖形中有2（1+2）＝6＝2×3張正方形紙片；第（3）個圖形中有2（1+2+3）＝12＝3×4張正方形紙片；第（4）個圖形中有2（1+2+3+4）＝20＝4×5張正方形紙片；…，第（5）個圖形中有張正方形紙片5×6＝30張正方形紙片；故答案為：30；（2）根據(jù)上面的發(fā)現(xiàn)猜想：1+2+3+…+n=n(n+1)故答案為：n(n+1)2（3）101+102+103+……+200＝（1+2+3+…+200）﹣（1+2+3+…+100）=200(1+200)＝15050．【點(diǎn)評】本題考查了規(guī)律型﹣圖形的變化類，解決本題的關(guān)鍵是觀察圖形的變化尋找規(guī)律．20．觀察下面的點(diǎn)陣圖形和與之相對應(yīng)的等式，探究其中的規(guī)律．①?→4×0+1＝4×1﹣3；②→4×1+1＝4×2﹣3；③→4×2+1＝4×3﹣3；④→4×3+1＝4×4﹣3；⑤→4×4+1＝4×5﹣3．（1）請在④和⑤后面的橫線上分別寫出相對應(yīng)的等式；（2）猜想第n（n是正整數(shù)）個圖形相對應(yīng)的等式為4（n﹣1）+1＝4n﹣3．【分析】（1）根據(jù)從同一頂點(diǎn)向外作出的四條線上的點(diǎn)的個數(shù)解答；（2）根據(jù)變化的連續(xù)自然數(shù)和相應(yīng)的圖形的序數(shù)解答．【解答】解：∵①4×0+1＝4×1﹣3；②4×1+1＝4×2﹣3；③4×2+1＝4×3﹣3；∴④4×3+1＝4×4﹣3，⑤4×4+1＝4×5﹣3；故答案為：4×3+1＝4×4﹣3，4×4+1＝4×5﹣3；（2）由（1）可得：第n個圖形對應(yīng)的等式為：4（n﹣1）+1＝4n﹣3．故答案為：4（n﹣1）+1＝4n﹣3．【點(diǎn)評】本題是對圖形變化規(guī)律的考查，仔細(xì)觀察圖形，從每一條線上的點(diǎn)的個數(shù)考慮求解是解題的關(guān)鍵．類型三、周長與面積的變化規(guī)律21．如圖，△ABC的周長為64，E、F、G分別為AB、AC、BC的中點(diǎn)，A'、B'、C'分別為EF、EG、GF的中點(diǎn)，如果△ABC、△EFG、△A'B'C'分別為第1個、第2個、第3個三角形，按照上述方法繼續(xù)作三角形，那么第n個三角形的周長是（）A．64×(12)n C．32×(12)n【分析】根據(jù)三角形中位線定理得到EF=12BC，EG=12AC，F(xiàn)G=【解答】解：∵E、F、G分別為AB、AC、BC的中點(diǎn)，∴EF=12BC，EG=12AC，∴△EFG的周長為：64×1同理可得：△A'B'C'的周長為：64×（12）2……則第n個三角形的周長為：64×（12）n﹣1故選：B．【點(diǎn)評】本題考查的是三角形中位線定理、圖形的變化規(guī)律，掌握三角形中位線等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．22．如圖，△ABC的周長為a，以它的各邊的中點(diǎn)為頂點(diǎn)作△A1B1C1，再以△AB1C1各邊的中點(diǎn)為頂點(diǎn)作△A2B2C2，…如此下去，則△AnBn?n的周長為（）A．12na B．13na C．12n-1【分析】根據(jù)三角形中位線定理得到△A1B1C1的周長=12a，△A2B2C2的周長=14【解答】解：∵點(diǎn)A1、B1、C1分別為BC、AC、AB的中點(diǎn)，∴B1C1=12BC，A1C1=12AC，A1B∴△A1B1C1的周長=12同理，△A2B2C2的周長=14a=……則△AnBn?n的周長=12故選：A．【點(diǎn)評】本題考查的是三角形中位線定理，正確找出三角形的周長的變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵．23．如圖，在矩形ABCD中，AD＝2，CD＝1，連接AC，以對角線AC為邊，按逆時針方向作矩形ABCD的相似矩形AB1C1C，再連接AC1，以對角線AC1為邊作矩形AB1C1C的相似矩形AB2C2C1，…按此規(guī)律繼續(xù)下去，則矩形ABn?nCn﹣1的周長為（）A．3×（52）n B．3×（52）n﹣1 C．6×（52）n D．6×（52【分析】根據(jù)已知和矩形的性質(zhì)可分別求得AC，AC1，AC2的長，從而可發(fā)現(xiàn)規(guī)律，根據(jù)規(guī)律即可求得第n個矩形的面積．【解答】解：∵四邊形ABCD是矩形，∴AD⊥DC，∴AC=AD∵按逆時針方向作矩形ABCD的相似矩形AB1C1C，∴矩形AB1C1C的邊長和矩形ABCD的邊長的比為5：2，∴矩形AB1C1C的周長和矩形ABCD的周長的比5：2，∵矩形ABCD的周長＝2×（2+1）＝6，∴矩形AB1C1C的周長＝6×5依此類推，矩形AB2C2C1的周長和矩形AB1C1C的周長的比，∴矩形AB2C2C1的周長6×（52）2∴矩形AB3C3C2的周長＝6×（52）按此規(guī)律第n個矩形的周長為：6×（52）n故選：C．【點(diǎn)評】本題考查了矩形的性質(zhì)，勾股定理，相似多邊形的性質(zhì)，解此題的關(guān)鍵是能根據(jù)求出的結(jié)果得出規(guī)律．24．在平面直角坐標(biāo)系中，正方形ABCD的位置如圖所示，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（1，0），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，2），延長CB交x軸于點(diǎn)A1，作第二個正方形A1B1C1C；延長C1B1交x軸于點(diǎn)A2，作第三個正方形A2B2C2C1；按這樣的規(guī)律進(jìn)行下去，第2018個正方形面積為（）A．5×（32）4034 B．5×（32）2017 C．5×（94）2018 D．5×（【分析】先證△ADO∽△A1AB，得出AB＝BC＝2A1B，所以第二個正方形邊長為第一個正方形邊長的32，以此類推，以后每個正方形邊長都是前一個正方形邊長的32，然后可求出第2018個正方形邊長與第一個正方形邊長的關(guān)系，從而求出第【解答】解：∵四邊形ABCD為正方形，∴∠ABC＝∠BAD＝90°，AB＝BC．∴∠ABA1＝90°，∠DAO+∠BAA1＝90°，又∠DAO+∠ADO＝90°，∴∠BAA1＝∠ADO．∴△ADO∽△A1AB．∴ODAO=ABA1B=2，∴A1C=3以此類推，A2C1=32A1C，A3C2=32即最后一個正方形邊長是前一個正方形邊長的32∴第2018個正方形邊長為(3∵OA＝1，OD＝2，∴BC＝AD=2∴第2018個正方形面積為[(32)2017?BC]2故選：A．【點(diǎn)評】本題考查了相似三角形的性質(zhì)與正方形的性質(zhì)，根據(jù)規(guī)律推算出第2018個正方形邊長與第一個正方形邊長的關(guān)系是解題關(guān)鍵．也是難點(diǎn)所在，本題有一定綜合性．25．如圖，小紅作出了邊長為1的第1個正△A1B1C1，算出了正△A1B1C1的面積，然后分別取△A1B1C1三邊的中點(diǎn)A2，B2，C2，作出了第2個正△A2B2C2，算出了正△A2B2C2的面積，用同樣的方法，作出了第3個正△A3B3C3，算出了正△A3B3C3的面積…，由此可得，第2017個正△A2017B2017C2017的面積是（）A．34×（14）2016 B．34×C．34×（12）2016 D．34【分析】先由平行線證得三角形相似，再分別求出正△A1B1C1、正△A2B2C2∽的面積、正△A3B3C3的面積，從而推出第n個三角形的面積，則可求得第2017個三角形的面積．【解答】解：正△A1B1C1的面積為：12×∵△A1B1C1三邊的中點(diǎn)為A2，B2，C2，∴A2B2∥A1B1，A2B2=12A1∴△A2B2C2∽△A1B1C1，△A2B2C2∽的面積：△A1B1C1的面積＝1：4∴正△A2B2C2∽的面積為：34∵正△A3B3C3的面積：正△A2B2C2∽的面積＝1：4∴正△A3B3C3的面積為：34…依此類推第n個正△AnBn?n的面積是：3∴2017個正△A2017B2017C2017的面積是：34故選：A．【點(diǎn)評】本題考查了相似三角形的判定與性質(zhì)及規(guī)律探究，明確相似三角形的判定與性質(zhì)，并發(fā)現(xiàn)題目的規(guī)律，是解題的關(guān)鍵．26．如圖，△ABC的周長為64，E、F、G分別為AB、AC、BC的中點(diǎn)，A′、B′、C′分別為EF、EG、FG的中點(diǎn)，如果△ABC、△EFG、△A′B′C′分別為第1個、第2個、第3個三角形，按照上述方法繼續(xù)作三角形，那么第n個三角形的周長是12n-7【分析】根據(jù)三角形中位線定理分別求出第2個三角形的周長、第3個三角形的周長，總結(jié)規(guī)律，根據(jù)規(guī)律解答即可．【解答】解：∵E、F、G分別為AB、AC、BC的中點(diǎn)，∴EF、EG、FG都是△ABC的中位線，∴EF=12BC，EG=12AC，∴△EFG的周長＝64×12=32，即第2個三角形的周長是同理可得，第3個三角形的周長是64×1……則第n個三角形的周長是64×1故答案為：12【點(diǎn)評】本題考查的是三角形中位線定理、圖形的變化規(guī)律，掌握三角形中位線等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．27．如圖，△ABC的周長為a，以它的各邊的中點(diǎn)為頂點(diǎn)作△A1B1C1，再以△AB1C1各邊的中點(diǎn)為頂點(diǎn)作△A2B2C2，再以AB2C2各邊的中點(diǎn)為頂點(diǎn)作△A3B3C3，…如此下去，則△AnBn?n的周長為12na【分析】先根據(jù)三角形中位線定理計算，總結(jié)規(guī)律，根據(jù)規(guī)律解答即可．【解答】解：∵點(diǎn)A1、B1、C1分別為BC、AC、AB的中點(diǎn)，∴B1C1=12BC，A1C1=12AC，A1B∴△A1B1C1的周長=12同理，△A2B2C2的周長=14a=……則△AnBn?n的周長=12故答案為：12n【點(diǎn)評】本題考查的是三角形中位線定理、圖形的變化規(guī)律，熟記三角形中位線等于第三邊的一半是解題的關(guān)鍵．28．如圖，正方形OA1B1C1的邊長為1，以對角線OB1為邊作第二個正方形OB1B2C2，再以對角線OB2為邊作第三個正方形OB2B3C3，…，則第二個正方形OB1B2C2的面積為2，第n個正方形OBn﹣1Bn?n的面積為2n﹣1（用含n的代數(shù)式表示）．【分析】根據(jù)已知求出前4個正方形的面積，然后根據(jù)前四個值總結(jié)出一般性規(guī)律，寫出代數(shù)式即可．【解答】解：∵正方形OA1B1C1的邊長為1，則OB1的長為2，∴正方形OA1B1C1的面積為1＝20，第二個正方形OB1B2C2的面積為2＝21，第三個正方形OB2B3C3的面積為4＝22，第四個正方形OB3B4C4的面積為8＝23，……第n個正方形OBn﹣1Bn?n的面積為2n﹣1．故答案為：2，2n﹣1．【點(diǎn)評】本題主要考查圖形的變化規(guī)律，解答本題的關(guān)鍵是計算前幾個正方形的面積，總結(jié)規(guī)律，然后得出一般性結(jié)論．29．如圖，已知OP＝1，過P作PP1⊥OP，且PP1＝1；再過P1作P1P2⊥OP1；且P1P2＝1；又過P2作P2P3⊥OP2且P2P3＝1；又過P3作P3P4⊥OP3且P3P4＝1；…，按照這種方法依次作下去得到一組直角三角形Rt△OPP1，Rt△OP1P2，Rt△OP2P3，Rt△OP3P4，…，它們的面積分別為S1，S2，S3，S4，…，那么S2022＝20222【分析】根據(jù)三角形的面積公式求出S1，根據(jù)勾股定理求出OP1、OP2，求出S2，總結(jié)規(guī)律，根據(jù)規(guī)律解答即可．【解答】解：在Rt△OPP1中，OP＝1，PP1＝1，則S1=12×1×1=12∴S2=12×同理，S3=3……S2022=2022故答案為：20222【點(diǎn)評】本題考查的是勾股定理、圖形的變化規(guī)律，根據(jù)勾股定理、結(jié)合題意找出三角形面積的變化規(guī)律是解題的關(guān)鍵．30．如圖，△A1B1C1的面積為a，分別延長△A1B1C1的三條邊B1C1、C1A1、A1B1到點(diǎn)B2、C2、A2，使得C1B2＝B1C1，A1C2＝A1C1，B1A2＝A1B1，得到△A2B2C2；再分別延長△A2B2C2的三條邊B2C2、C2A2、A2B2到點(diǎn)B3、C3、A3，使得C2B3＝B2C2，A2C3＝A2C2，B2A3＝A2B2，得到△A3B3C3；…．按照此規(guī)律作圖得到△AnBn?n，則△AnBn?n的面積為7n﹣1a．【分析】連接A2C1．利用三角形的中線把三角形分成面積相等的兩個三角形，求出△A2B2C2，△A3B3C3的面積，探究規(guī)律，可得結(jié)論．【解答】解：連接A2C1．∵A2B1＝A1B1，∴S△A∵B2C1＝B1C1，∴S△A∴S△A2同法可證，S△A1∴S△A2B2C2=7a，???，S△AnBnC故答案為：7n﹣1a．【點(diǎn)評】本題考查三角形的面積，解題的關(guān)鍵是學(xué)會探究規(guī)律的方法，屬于中考?？碱}型．類型四、函數(shù)與點(diǎn)的坐標(biāo)變化規(guī)律31．二次函數(shù)y＝x2+x的圖象與直線l1：y1＝2x有一個交點(diǎn)A1（1，2），與直線l2：y2＝3x有一個交點(diǎn)A2（2，6），與直線l3：y3＝4x有一個交點(diǎn)A3（3，12），……則與直線ln的一個交點(diǎn)An的坐標(biāo)是（）A．（n，n2+n） B．（n，n2） C．（n+1，n2+n） D．（n，2n）【分析】觀察規(guī)律得：A1（1，1×2），A2（2，2×3），A3（3，3×4），……An的坐標(biāo)是（n，n（n+1）），即可得出答案．【解答】解：∵二次函數(shù)y＝x2+x的圖象與直線l1：y1＝2x有一個交點(diǎn)A1（1，2），即A1（1，1×2），二次函數(shù)y＝x2+x的圖象與直線l2：y2＝3x有一個交點(diǎn)A2（2，6），即A2（2，2×3），二次函數(shù)y＝x2+x的圖象與直線l3：y3＝4x有一個交點(diǎn)A3（3，12），即A3（3，3×4），……二次函數(shù)y＝x2+x的圖象與直線ln：yn＝（n+1）x一個交點(diǎn)An的坐標(biāo)是（n，n（n+1）），即（n，n2+n），故選：A．【點(diǎn)評】本題考查了規(guī)律型：點(diǎn)的坐標(biāo)，學(xué)生的觀察圖形的能力和理解能力，解題的關(guān)鍵是根據(jù)點(diǎn)的坐標(biāo)得出規(guī)律．32．如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，等腰直角三角形OAB，∠A＝90°，點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)B在x軸上，點(diǎn)A的坐標(biāo)是（1，1）．若將△OAB繞點(diǎn)O順時針方向依次旋轉(zhuǎn)45°后得到△OA1B1，△OA2B2，△OA3B3，…，可得A1（2，0），A2（1，﹣1）A3（0，-2），…，則A2022A．（﹣1，1） B．(0，2) C．(-2，0) 【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)及旋轉(zhuǎn)角度分析可得旋轉(zhuǎn)8次為一個周期，然后將2022÷8可得余數(shù)，從而分析求解．【解答】解：∵點(diǎn)A的坐標(biāo)是（1，1）若將△OAB繞點(diǎn)O順時針方向依次旋轉(zhuǎn)45°后得到△OA1B1，△OA2B2，△OA3B3，…，∴旋轉(zhuǎn)360°÷45°＝8次為一個變化周期，2022÷8＝252......6，∴A2022的坐標(biāo)與第6次旋轉(zhuǎn)后A6的坐標(biāo)相同，如圖：∵A點(diǎn)坐標(biāo)為（1，1），∴OA5＝OA=2∴OA6=2∴A5的坐標(biāo)為（-2，0∴A6的坐標(biāo)為（﹣1，1），即A2022的坐標(biāo)為（﹣1，1），故答案為：A．【點(diǎn)評】本題考查旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，周期型圖形變化規(guī)律，理解旋轉(zhuǎn)方向和旋轉(zhuǎn)角的概念，探索圖形旋轉(zhuǎn)變化規(guī)律，掌握旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．33．如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)A的坐標(biāo)是（0，2），以O(shè)A為邊在右側(cè)作等邊三角形OAA1，過點(diǎn)A1作x軸的垂線，垂足為點(diǎn)O1，以O(shè)1A1為邊在右側(cè)作等邊三角形O1A1A2，再過點(diǎn)A2作x軸的垂線，垂足為點(diǎn)O2，以O(shè)2A2為邊在右側(cè)作等邊三角形O2A2A3，…，按此規(guī)律繼續(xù)作下去，得到等邊三角形O2022A2022A2023，則點(diǎn)A2023的縱坐標(biāo)為（）A．（12）2021 B．（12）2022 C．（12）2023 D．（【分析】根據(jù)30°角所對的直角邊等于斜邊的一半得出O1A1=12OA1＝1，O2A2=12O1A2＝（12）1，O3A3=12O2A3＝（12）2，即點(diǎn)A1的縱坐標(biāo)為1；點(diǎn)A2的縱坐標(biāo)為（1【解答】解：∵三角形OAA1是等邊三角形，∴OA1＝OA＝2，∠AOA1＝60°，∴∠O1OA1＝30°．在直角△O1OA1中，∵∠OO1A1＝90°，∠O1OA1＝30°，∴O1A1=12OA1＝1，即點(diǎn)A1的縱坐標(biāo)為同理，O2A2=12O1A2＝（12）1，O3A3=12O2A3即點(diǎn)A2的縱坐標(biāo)為（12）1點(diǎn)A3的縱坐標(biāo)為（12）2…∴點(diǎn)A2023的縱坐標(biāo)為（12）2022故選：B．【點(diǎn)評】此題考查了規(guī)律型：點(diǎn)的坐標(biāo)，等邊三角形的性質(zhì)，解答此題的關(guān)鍵是通過認(rèn)真分析，根據(jù)30°角所對的直角邊等于斜邊的一半，從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律．34．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，直線l經(jīng)過點(diǎn)A（﹣1，0），點(diǎn)A1，A2，A3，A4，A5，……按如圖所示的規(guī)律排列在直線l上．若直線l上任意相鄰兩個點(diǎn)的橫坐標(biāo)都相差1，縱坐標(biāo)也都相差1，若點(diǎn)An（為正整數(shù)）的縱坐標(biāo)為﹣2022，則n的值為（）A．4042 B．4043 C．4044 D．4045【分析】觀察①n為奇數(shù)時，橫坐標(biāo)縱坐標(biāo)變化得出規(guī)律；②n為偶數(shù)時，橫坐標(biāo)縱坐標(biāo)變化得出規(guī)律，再求解．【解答】解：觀察①n為奇數(shù)時，橫坐標(biāo)變化：﹣1+1，﹣1+2，﹣1+3，…﹣1+n+1縱坐標(biāo)變化為：0﹣1，0﹣2，0﹣3，?-n+1②n為偶數(shù)時，橫坐標(biāo)變化：﹣1﹣1，﹣1﹣2，﹣1﹣3，…﹣1-n縱坐標(biāo)變化為：1，2，3，?n∵點(diǎn)An（n為正整數(shù)）的縱坐標(biāo)為﹣2022，∴-n+12=-2022，解得n故選：B．【點(diǎn)評】本題主要考查了一次函數(shù)圖象上點(diǎn)的坐標(biāo)特征，解題的關(guān)鍵是找出坐標(biāo)的規(guī)律．35．在平面直角坐標(biāo)系中，等邊△AOB如圖放置，點(diǎn)A的坐標(biāo)為（﹣1，0），每一次將△AOB繞著點(diǎn)O順時針方向旋轉(zhuǎn)60°，同時每邊擴(kuò)大為原來的2倍，第一次旋轉(zhuǎn)后得到△A1OB1，第二次旋轉(zhuǎn)后得到△A2OB2，…，依次類推，則點(diǎn)A2022的坐標(biāo)為（）A．（﹣22022，0） B．（22022，0） C．（22022，22022） D．（﹣22021，﹣22022）【分析】根據(jù)旋轉(zhuǎn)角度為60°，可知每旋轉(zhuǎn)6次點(diǎn)A的位置重復(fù)出現(xiàn)，由此可知第2022次旋轉(zhuǎn)后，點(diǎn)A2與點(diǎn)A的位置相同，都在x軸的負(fù)半軸上，再由OAn＝2n，即可求解．【解答】解：∵A（﹣1，0），∴OA＝1，∵每次旋轉(zhuǎn)角度為60°，∴6次旋轉(zhuǎn)360°，∵2022÷6＝337，∴第2022次旋轉(zhuǎn)后，點(diǎn)A2與點(diǎn)A的位置相同，都在x軸的負(fù)半軸上，∵第一次旋轉(zhuǎn)后，OA1＝2，第二次旋轉(zhuǎn)后，OA2＝22，第三次旋轉(zhuǎn)后，OA3＝23，……∴第2022次旋轉(zhuǎn)后，OA2022＝22022，∴點(diǎn)A2022的坐標(biāo)為（﹣22022，0），故選：A．【點(diǎn)評】本題考查圖形的旋轉(zhuǎn)，熟練掌握圖形旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，根據(jù)旋轉(zhuǎn)角度找到點(diǎn)的坐標(biāo)規(guī)律是解題的關(guān)鍵．36．如圖，動點(diǎn)P在平面直角坐標(biāo)系中按“→”所示方向跳動，第一次從A（﹣1，0）跳到點(diǎn)P1（0，1），第二次跳到點(diǎn)P2（1，0），第三次跳到P3（2，﹣2），第四次跳到P4（3，0），第五次跳到P5（4，3），第六次跳到P6（5，0）．第七次跳到P7（6，﹣4），第八次跳到P8（7，0），第九次跳到P9（8，5），……，按這樣的跳動規(guī)律，點(diǎn)P2022的坐標(biāo)是（）A．（2020，0） B．（2021，0） C．（2022，0） D．（2023，0）【分析】觀察圖象，結(jié)合動點(diǎn)P的橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)可得規(guī)律即可．【解答】解：觀察圖象，結(jié)合動點(diǎn)P第一次從A（﹣1，0）跳到點(diǎn)P1（0，1），第二次運(yùn)動到點(diǎn)P2（1，0），第三次運(yùn)動到P3（2，﹣2），第四次運(yùn)動到P4（3，0），第五運(yùn)動到P5（4，3），第六次運(yùn)動到P6（5，0），第七次跳到P7（6，﹣4），第八次跳到P8（7，0），第九次跳到P9（8，5），…，橫坐標(biāo)為：0，1，2，3，4，5，6，…，縱坐標(biāo)為：1，0，﹣2，0，3，0，﹣4，0，5，0，﹣6，…，可知Pn的橫坐標(biāo)為n﹣1，當(dāng)n為偶數(shù)時縱坐標(biāo)為0，當(dāng)n為奇數(shù)時，縱坐標(biāo)為±n+12，當(dāng)n+12為偶數(shù)時符號為負(fù)，當(dāng)∴P2022的橫坐標(biāo)為2021，縱坐標(biāo)為0．故選：B．【點(diǎn)評】本題考查了規(guī)律型點(diǎn)的坐標(biāo)，數(shù)形結(jié)合并從圖象中發(fā)現(xiàn)循環(huán)規(guī)律是解題的關(guān)鍵．37．如圖，將邊長為1，1，2的等腰直角△ABO沿x軸正方向連續(xù)滾動．點(diǎn)A依次落在點(diǎn)小A1，A2，A3，A4……的位置，則A2022的坐標(biāo)是（1348+6742，1）．【分析】分析A1，A2，A3，A4，A5，A6，……點(diǎn)坐標(biāo)，找到規(guī)律：坐標(biāo)變換規(guī)律為3次一循環(huán)，A3n﹣2（2n﹣1+n2，0），A3n﹣1（2n﹣1+n2，0），A3n（2n+n2，1），按此規(guī)律求解即可．【解答】解：根據(jù)圖形分析，從B（1，0）開始旋轉(zhuǎn)，當(dāng)旋轉(zhuǎn)到A3時，A回到三角形的起始位置，所以旋轉(zhuǎn)3次為一個循環(huán)，故坐標(biāo)變換規(guī)律為3次一循環(huán)．A1（1+2，0），A2（1+2，0），A3（2+2A4（3+22，0），A5（3+22，0），A6（4+22，1），A7（5+32，0），A8（5+32，0），A9（6+32，1），A10（7+42，0），A11（7+42，0），A12（8+42，1），A3n﹣2（2n﹣1+n2，0），A3n﹣1（2n﹣1+n2，0），A3n（2n+n2，1），當(dāng)A2022時，即3n＝2022，解得n＝674，∴橫坐標(biāo)為2n+n2=2×674+6742=1348+6742，縱坐標(biāo)為則A2022的坐標(biāo)（1348+6742，1），故答案為：（1348+6742，1）．【點(diǎn)評】本題主要考查圖形的旋轉(zhuǎn)變換，解題關(guān)鍵是找到圖形在旋轉(zhuǎn)的過程中，點(diǎn)坐標(biāo)變化規(guī)律進(jìn)而求解．38．如圖，在正方形ABCD中，頂點(diǎn)A（﹣5，0），C（5，10），點(diǎn)F是BC的中點(diǎn)，CD與y軸交于點(diǎn)E，AF與BE交于點(diǎn)G，將正方形ABCD繞點(diǎn)O順時針旋轉(zhuǎn)，每次旋轉(zhuǎn)90°，則第2023次旋轉(zhuǎn)