類型三-與全等三角形有關的實際應用(解析版)

第二步大題奪高分類型三與全等三角形有關的實際應用1、如圖所示，公園里有一條“Z”字形道路ABCD，其中AB∥CD，在AB、BC、CD三段路旁各有一只小石凳E、M、F，M恰好為BC的中點，且E、F、M在同一直線上，在BE道路上停放著一排小汽車，從而無法直接測量B、E之間的距離，你能想出解決的方法嗎？請說明其中的道理．【思路點撥】先根據(jù)SAS判定△BEM≌△CFM，從而得出CF=BE，即測量BE之間的距離相當于測量CF之間的距離．【解析】解：能．證明：連接EF∵AB∥CD，（已知）∴∠B=∠C（兩線平行內錯角相等）．∵M是BC中點∴BM=CM，在△BEM和△CFM中，∴△BEM≌△CFM（SAS）．∴CF=BE（對應邊相等）．2、為了測量一幢高樓高AB，在旗桿CD與樓之間選定一點P．測得旗桿頂C視線PC與地面夾角∠DPC=38°，測樓頂A視線PA與地面夾角∠APB=52°，量得P到樓底距離PB與旗桿高度相等，等于8米，量得旗桿與樓之間距離為DB=33米，計算樓高AB是多少米？【思路點撥】利用全等三角形的判定方法得出△CPD≌△PAB（ASA），進而得出AB的長．【解析】解：∵∠CPD=38°，∠APB=52°，∠CDP=∠ABP=90°，∴∠DCP=∠APB=52°，在△CPD和△PAB中∵，∴△CPD≌△PAB（ASA），∴DP=AB，∵DB=33，PB=8，∴AB=33﹣8=25（m），答：樓高AB是25米．3．在湖的兩岸A、B間建一座觀賞橋，由于條件限制，無法直接度量A、B兩點間的距離．請你用學過的數(shù)學知識按以下要求設計一測量方案．（1）畫出測量圖案；（2）寫出測量步驟（測量數(shù)據(jù)用字母表示）；（3）計算AB的距離（寫出求解或推理過程，結果用字母表示）．【解析】解：（1）見圖：（2）在湖岸上選一點O，連接BO并延長到C使BO=OC，連接AO并延長到點D使OD=AO，連接CD，則AB=CD．測量DC的長度即為AB的長度；（3）設DC=m∵BO=CO，∠AOB=∠COD，AO=DO∴△AOB≌△COD（SAS）∴AB=CD=m．4、如圖為紫舞公園中的攬月湖，現(xiàn)在測量攬月湖兩旁A、B兩棵大樹間的距離（不得直接量得）．請你根據(jù)三角形全等的知識，用幾根足夠長的繩子及標桿為工具，設計一種測量方案．要求：（1）畫出設計的測量示意圖；（2）寫出測量方案的理由．【思路點撥】（1）本題屬于主觀性試題，有多種方案，我們可以構造8字形的全等三角形來測得攬月湖的長度（如下圖）；（2）根據(jù)三角形全等的證明得出對應邊相等即可得出答案．【答案與解析】解：（1）如圖所示；分別以點A、點B為端點，作AQ、BP，使其相交于點C，使得CP=CB，CQ=CA，連接PQ，測得PQ即可得出AB的長度．（2）理由：由上面可知：PC=BC，QC=AC，又∠PCQ=∠BCA，∴在△PCQ與△BCA中，，∴△PCQ≌△BCA（SAS），∴AB=PQ．5.有一座小山，現(xiàn)要在小山A、B的兩端開一條隧道，施工隊要知道A、B兩端的距離，于是先在平地上取一個可以直接到達A和B的點C，連接AC并延長到D，使CD=CA，連接BC并延長到E，使CE=CB，連接DE，那么量出DE的長，就是A、B的距離，你能說說其中的道理嗎？【解析】解：在△ABC和△CED中，AC=CD，∠ACB=∠ECD（對頂角），EC=BC，∴△ABC≌△DEC，∴AB=ED，即量出DE的長，就是A、B的距離.6.如圖，小葉和小麗兩家分別位于A、B兩處隔河相望，要測得兩家之間的距離，請你設計出測量方案．【答案】本題的測量方案實際上是利用三角形全等的知識構造兩個全等三角形，是一個三角形在河岸的同一邊，通過測量這個三角形中與AB相等的線段的長，從而得知兩家的距離．解：在點B所在的河岸上取點C，連結BC，使CD=CB，利用測角儀器使得∠B=∠D，且A、C、E三點在同一直線上，測量出DE的長，就是AB的長．在△ABC和△ECD中∴△ABC≌△ECD（ASA）∴AB=DE．【總結升華】對于實際應用問題，首先要能將它化成數(shù)學模型，再根據(jù)數(shù)學知識去解決．由已知易證△ABC≌△ECD，可得AB=DE，所以測得DE的長也就知道兩家的距離是多少．7．如圖所示，要測量河兩岸相對的兩點A、B的距離，因無法直接量出A、B兩點的距離，請你設計一種方案，求出A、B的距離，并說明理由．【答案】：在AB的垂線BF上取兩點C，D，使CD=BC，再作出BF的垂線DE，使A，C，E在一條直線上，這時測得的DE的長就是AB的長．作出的圖形如圖所示：∵AB⊥BFED⊥BF∴∠ABC=∠EDC=90°又∵CD=BC∠ACB=∠ECD∴△ACB≌△ECD，∴AB=DE．【解析】：解答：【答案】處有解答過程分析：根據(jù)題中垂直可得到一組角相等，再根據(jù)對頂角相等，已知一組邊相等，得到三角形全等的三個條件，于是根據(jù)ASA可得到三角形全等，全等三角形的對應邊相等，得結論．8．為在池塘兩側的A，B兩處架橋，要想測量A，B兩點的距離，如圖所示，找一處看得見A，B的點P，連接AP并延長到D，使PA=PD，連接BP并延長到C，使．測得CD=35m，就確定了AB也是35m，說明其中的理由；（1）由△APB≌△DPC，所以CD=AB．【答案】：∵PA=PDPC=PB又∠APB=∠CPD∴△APB≌△DPC，∴AB=CD=35m．【解析】：解答：答案處有解答過程分析：根據(jù)題中條件可以直接得到兩組邊對應相等，再根據(jù)對頂角相等得到三角形全等的第三個條件，于是根據(jù)SAS可得到三角形全等，全等三角形的對應邊相等，得結論．9．如圖所示，小王想測量小口瓶下半部的內徑，他把兩根長度相等的鋼條AA′，BB′的中點連在一起，A，B兩點可活動，使M，N卡在瓶口的內壁上，A′，B′卡在小口瓶下半部的瓶壁上，然后量出AB的長度，就可量出小口瓶下半部的內徑，請說明理由．【答案】：∵AA′，BB′的中點為O∴OA＝OA′，OB＝OB′又∠AOB＝∠A′OB′∴△A′OB′≌△AOB，∴AB=A′B′．【解析】：解答：答案處有解答過程分析：根據(jù)線段中點的性質，得到兩組邊對應相等，再根據(jù)對頂角相等得到三角形全等的第三個條件，于是得到三角形全等。10．在一次戰(zhàn)役中，我軍陣地與敵軍碉堡隔河相望．為了炸掉這個碉堡，需要知道碉堡與我軍陣地的距離．在不能過河測量又沒有任何測量工具的情況下，如何測得距離？一位戰(zhàn)士的測量方法是：面向碉堡的方向站好，然后調整帽子，使視線通過帽檐正好落在碉堡的底部；然后，他轉過一個角度，保持剛才的姿勢，這時視線落在了自己所在岸的某一點上；接著，他用步測的辦法量出自己與那個點的距離，這個距離就是他與碉堡的距離。這是為什么呢？【答案】：理由